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APÉNDICE I:
DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE MICHAELIS-MENTEN
Para llegar a la descripción de la actividad enzimática en función de la concentración de
sustrato descrita por Michaelis-Menten se tuvieron que realizar algunas consideraciones,
debido a que existen varios pasos intermedios de la reacción, todos reversibles y a que la
velocidad de formación de cada una de las especies involucradas depende no solo de su
concentración sino también de las constantes de velocidad (k1, k-1, k2, k-2, kp, k-p) y que se
encuentran en la siguiente reacción.
Las simplificaciones y suposiciones para obtener la curva matemática que mejor se ajusta
a los datos experimentales fueron las siguientes:
1. Suponer que hay un complejo central (ES), esto es que ES se rompe directamente
en E + P.
Simplificándose la reacción a dos pasos:
Paso 1. Formación de ES que depende de:
A) La velocidad de formación
v1=k1[S] [E]
B) La velocidad de disociación
v-1=k-1[ES]
Paso 2. Formación de productos que depende de:
A) La velocidad de formación
vp=kp[ES]
B) La velocidad de disociación
v-p=k-p[E] [P]
2. Asumir que la reacción reversa (P→S) es despreciable. La reacción es
termodinámicamente factible y podemos establecer condiciones experimentales
que minimicen la reacción reversa, por ejemplo añadiendo una enzima que
convierta P en otra especie como Q y que está no reaccione con nuestra enzima. O
bien podemos medir la velocidad de reacción a tiempos muy cortos en donde la
reacción reversa es insignificante. Lo anterior nos simplifica la reacción:
De tal forma que la velocidad a tiempos cortos correspondería a la velocidad inicial
de reacción y quedaría expresada como sigue:
Pero para formar el producto debemos considerar que tan rápido se rompe el
complejo ES, quedando descrito en los dos siguientes pasos:
Paso 1. En la formación del complejo ES debemos considerar:
[E]total= [E] + [ES]
entonces
[E]= [E]total-[ES]
V formación ES = k1 [S] [E]
sustituyendo E en la ecuación de velocidad de formación de ES
resulta:
V formación ES = k1 [S] ([E] total -[ES])
Paso 2. Ruptura del complejo ES:
Velocidad de ruptura ES = v-1+vp
Sustituyendo las velocidades
Velocidad de ruptura ES = k-1[ES] +kp[ES]
3. Suposición del estado estacionario de Briggs Haldane.
Figura A.1. Cambios en las concentraciones de las especies involucradas en la catálisis. En el estado
estacionario la concentración del complejo ES se mantiene pequeña y constante.
En el modelo cinético del estado estacionario, hay un intervalo de tiempo durante la
catálisis enzimática en el que la concentración del complejo ES es constante
(Figura A.1), por lo tanto la velocidad de formación del complejo ES es igual al de
su disociación:
Despejando [ES]
rearreglando
Si regresamos a la ecuación de velocidad inicial
ES, obtenemos lo siguiente:
y sustituimos
4. Por último si se considera que la [S] >> [E] (Figura A.1) la interacción de S con E
para formar ES no afecta significativamente la [S]. La enzima está saturada de
sustrato y
Entonces podemos definir la velocidad máxima de la enzima o Vmax como:
Si sustituimos en la ecuación de velocidad inicial tendríamos que:
Agrupando las constantes:
Sustituyendo Km en la ecuación de velocidad inicial se obtiene la ecuación
de Michaelis-Menten: