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ECUACIONES DE MAXWELL
LUIS FERNANDO ESPEJO
RUBEN RIOS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
LICENCIATURA EN MATEMATICA Y FISICA
ELECTROMAGNETISMO
2016
LEY DE AMPERE
INTRODUCCIÓN
La ley de Faraday nos dice que la magnitud de la fem en un circuito es igual a
la razón de cambio del flujo magnetico a través del circuito. Con todos los
experimentos llego a la conclusión que la fem se puede inducir, al igual que la
corriente, mediante una simple bobina o un simple alambre dentro de un campo
magnetico.
LEY DE FARADAY
Maxwell desarrollo sus ecuaciones formalizando principios físicos que habían
sido, en su mayor parte, establecidos por otros científicos. Ya dijimos entonces
que sin el genio de Michael Faraday probablemente no hubiéramos disfrutado
del de maxwell, al menos en toda su extensión. No en vano Faraday era uno de
los héroes del joven james Clerk maxwell a pesar de la falta de preparación
formal del primero.
Porque,
aunque
no
fuera
un
matemático
experto,
Faraday
era
un
experimentador de primera, y su intuición física era fenomenal. Aunque no fue
el primero en darse cuenta de la relación entre la electricidad y magnetismo
“fue Hans Christian Orsted” en 1821, su experimentos en electromagnetismo
fueron de tal calidad que nos proporcionaron una enorme cantidad de
conocimientos sobre el problema. Además, a pesar de sus lagunas
matemáticas, Faraday expreso las conclusiones de sus experimentos con tal
lucidez que permitió a maxwell enunciar los principios subyacentes de un modo
muy eficaz.
Faraday había demostrado que una corriente eléctrica produce a su alrededor
un campo magnético ¿pero era lo posible lo contrario? ¿Podría un campo
magnético producir fenómenos eléctricos? Fue unas de las preguntas que se
planteaba Faraday en ese entonces, la respuesta la dieron, de manera
independiente y casi a la vez, el estadounidense Joseph Henry y el británico
Michael Faraday, pero Faraday publico sus resultados antes y de ahí el nombre
de la ecuación.
En uno de sus experimentos, en 1831, Faraday enrollo un cable conectado a
una pila alrededor de un anillo de hierro, se conocía ya que la corriente
eléctrica del cable generaba un campo magnético, de modo que el anillo se
convertía en un imán. Hasta aquí todo conocido sin embargo, Faraday enrollo
un segundo cable del otro lado del anillo, un cable sin pila.
Lo extraño era que no la existencia de un campo magnético lo que inducia una
corriente en el circuito sin pila, era la variación del campo magnético la que
generaba corriente. Además noto que cuando se encendía el circuito, la
corriente en el segundo circuito iba en un sentido, pero al apagarlo, la corriente
iba en sentido contrario. En ambos caso se detectaba corriente durante un
tiempo muy corto, dando origen a la ecuación de Faraday.
𝐹𝑒𝑚 = −
𝜕Φ𝐵
𝜕𝑡
Eind=RIind
La fem inducida es igual a la resistencia de la espira por la corriente inducida
por esta.
Donde nos dice que un circuito cerrado cualquiera se genera una fuerza
electromotriz. Inducida “fem” proporcional al ritmo de variación (es decir, a la
derivada a la derivada respeto al tiempo del flujo magnético que atraviesa el
área que encierra la superficie)
𝜖∝
𝜕Φ𝐵
𝜕𝑡
¿Qué es una fuerza electromotriz?
Es la diferencia de potencial eléctrico que se induce en un circuito, como
consecuencia de la variación del flujo magnético que la atraviesa.
Donde esa proporcionalidad estaba determinada por el número de vueltas que
presenta una espira en sentido contrario al campo magnético.
𝜖 = −𝑁
∂ΦB
𝜕𝑡
La característica esencial de la variación de flujo magnético a través
de
cualquier superficie es que induce un campo eléctrico no electrostático en el
contorno que delimita esta área. Las líneas de campo son cerradas y el campo
eléctrico inducido es un campo no conservativo; la fem inducida está definida
como la circulación de este campo a lo largo del contorno.
𝜖 = ∮ Ε. 𝑑𝑙
El significado de la fem se deduce de la ecuación anterior consideremos una
carga arbitraria que se mueve en un circuito conductor por la acción del campo
inducido: la integral representa el trabajo por unidad de carga a lo largo del
circuito completo, porque se está integrando la componente tangente de la
fuerza por unidad de carga. El movimiento de cargas debido al campo inducido
en el circuito conductores origina las corrientes transitorias que observo
Faraday.
En 1843 Heinrich F. Lenz postulo que la corriente que circula por un circuito
cerrado a causa de una fem es tal que el campo magnético que se producen
genera un flujo magnético que intenta compensar la variación del flujo que a
generado la fem inducida.
A medida que el imán se acerca a la espira induce una corriente al a ver una
corriente esta genera un campo magnético que se opone al campó generado
por el imán, si el flujo aumenta, la corriente inducida genera un campo
magnetico opuesto al original para compensar el aumento.
El signo negativo de la ley de Faraday está íntimamente relacionado con esta
notación de oposición. Es importante puntualizar que la ley de Lenz se refiere a
corrientes inducidas, y no a fuerzas electromotrices inducidas esto significa que
solo puede aplicarse directamente a circuitos cerrados.
La Ley de Lenz y la conservación de la energía: Consideraremos ahora la ley
de Lenz desde un punto de vista complementario: nos preguntamos qué
sucedería si la corriente inducida actuase a favor del cambio que la produce, en
lugar de oponerse a él. Como ejemplo, veamos qué ocurriría si cuando
acercamos una barra imantada con su polo norte orientado hacia la espira, ésta
respondiese con una corriente inducida en sentido horario. Esto equivaldría a
crear un pequeño imán con el polo sur enfrentado al polo norte de la barra que
se aproxima. Es decir, tendríamos enfrentados dos imanes por sus polos
opuestos, de manera que se atraerían entre sí. Por tanto, el movimiento de la
barra imantada sería acelerado, ganando energía cinética (tanto más cuanto
mayor fuese su velocidad) sin ningún impulso exterior al sistema espira barra; y
además, ello produciría un aumento de flujo cada vez más rápido en la espira,
cuyo efecto inmediato sería mayor intensidad de la corriente inducida. Como
consecuencia, aparecería energía térmica en la espira, pues esta corriente
disiparía cada vez más potencia en la resistencia óhmica de la espira (efecto
Joule).
La ley de Faraday puede escribirse como la relación integral entre los campos
eléctricos y magnéticos a partir de las definiciones de flujo y fem y otra de
forma diferencial que son las siguientes.
𝑑
∮ 𝐸. 𝑑𝑙 = − 𝑑𝑡 ∬ 𝐵. 𝑑𝑠
Ecuación integral
Por teorema de Stokes se puede obtener una forma diferencial de esta ley.
𝜕𝐵
∇ 𝑋 Ε = − 𝜕𝑡

Donde 𝛁 𝑿 𝑬
Ecuación diferencial
no es más que el rotacional del campo eléctrico, que
indica hacia dónde y cómo de rápido girara el campo eléctrico en un
punto.

Donde
−𝝏𝑩
𝝏𝒕
es el ritmo de cambio del campo magnetico.
LEY DE AMPERE
Al considerar él porque de este nuevo planteamiento dado por Maxwell
después de la formulación dada por Ampère, es necesaria una breve definición
de dicha ley la cual fue modelada por André-Marie Ampère en 1831, relaciona
un campo magnético estático con la causa, es decir, una corriente eléctrica
estacionaria. James Maxwell encontró una irregularidad a dicho afirmación y
reformulo dicha ley a través del conjunto de ecuaciones que planteo
nombrándolas de la “A” a la “H”. El trabajo que Maxwell publicó en 1865,
Una Teoría Dinámica del Campo Electromagnético, modificaba la versión de la
ley de Ampère con lo que se predecía la existencia de ondas electromagnéticas
propagándose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en
dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda
electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo. La
translación del concepto electromagnético de ampere a Maxwell se puede
determinar al considerar que la circulación de corriente total no era igual en
cualquier clase de superficie. Ya que los campos magnéticos son producidos
por corrientes eléctricas y por campos eléctricos variables.
Las corrientes en la superficie 𝑆1y 𝑆2 no son iguales. Ya que existe una
corriente de desplazamiento. Como se puede observar en la figura así:
En las superficies 𝑆1 y 𝑆2 se puede cumplir que:

En la superficie 𝑆1, el flujo magnético es igual a la corriente recorriendo
por el vacío.

En la superficie 𝑆2 , el flujo magnético es igual a la corriente de
desplazamiento recorriendo por un material que puede ser conductor o
semi-conductor.
Donde la corriente de desplazamiento 𝐼𝑑 equivale a: