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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
5 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
Resumen de la unidad
En esta unidad, los estudiantes aplicarán las funciones trigonométricas a la resolución de problemas
con triángulos y explorarán las propiedades e inversa de las funciones trigonométricas. Desarrollarán y
aplicarán definiciones de la función de seno y coseno, desarrollarán identidades fundamentales y
resolverán problemas del mundo real.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre las propiedades e inversas de las funciones trigonométricas para interpretar, predecir y resolver
situaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas
Geometría
G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos.
G.FG.11.5.2 Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales de suma y
diferencia, doble ángulos, funciones secante, cosecante, tangente y cotangente; los cuales utiliza para
simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos.
G.FG.11.5.3 Conoce los dominios restringidos de las funciones de seno, coseno y tangente, para poder
definir sus inversas.
 Calcula los valores de las funciones trigonométricas inversas.
 Define y traza la gráfica de las funciones trigonométricas inversas con dominios restringidos
adecuadamente.
G.FG.11.5.4 Resuelve triángulos rectángulos y usa los resultados para resolver problemas concretos.
G.FG.11.5.5 Desarrolla la Ley de Seno y la Ley de Coseno y las utiliza para hallar las medidas
desconocidas de los lados y los ángulos en el triángulo.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:





Las funciones trigonométricas resuelven los
triángulos.
Las identidades pitagóricas trigonométricas
simplifican las expresiones y resuelven los
triángulos.
Las gráficas trigonométricas y sus inversas nos
permiten tomar decisiones informadas.
Las medidas indirectas se basan en las
propiedades de los triángulos rectángulos.



¿Por qué usarías funciones trigonométricas
para resolver triángulos?
¿Por qué son útiles las identidades
trigonométricas pitagóricas?
¿Cómo puedes comparar las gráficas de
funciones de seno, coseno y tangente y su
inversa?
¿Cómo se usan los triángulos rectángulos para
tomar medidas indirectas?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)



Conocer los dominios restringidos de la
función de seno, coseno y tangente para
definir sus inversas
La definición de la función de seno y coseno
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
Desarrollar y aplicar la definición de las
funciones seno y coseno para resolver
triángulos.
Desarrollar las identidades pitagóricas
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Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
5 semanas





Las identidades trigonométricas pitagóricas
fundamentales de suma y resta, ángulos
dobles, y funciones de secante, cosecante,
tangente y cotangente
Los dominios restringidos de la función de
seno, coseno y tangente para definir sus
inversas
La gráfica de las funciones trigonométricas
inversas con dominios restringidos
La ley de cosenos (c2 = a2 + b2 – 2ab cos C)
La ley de senos
𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶
=
=
𝑎
𝑏
𝑐
Vocabulario de contenido

ángulos dobles, dominios restringidos,
funciones trigonométricas inversas,
identidades trigonométricas pitagóricas, ley
de cosenos, ley de senos




trigonométricas de suma y resta, doble
ángulos, funciones de secante, cosecante,
tangente y cotangente, que se utilizan para
simplificar expresiones trigonométricas y
resolver triángulos.
Calcular los valores de las funciones
trigonométricas inversas.
Definir y trazar la gráfica de las funciones
trigonométricas inversas con dominios
restringidos adecuadamente.
Resolver triángulos rectángulos y usa los
resultados para resolver problemas concretos.
Desarrollar la ley de seno y la ley de coseno y
utilizarlas para hallar las medidas
desconocidas de los lados y los ángulos en el
triángulo.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Tareas de desempeño
Otra evidencia
Recorrido trigonométrico1
Los estudiantes demostrarán su conocimiento de
las leyes de seno y coseno creando un recorrido
trigonométrico.
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
1. Demuestra la identidad trigonométrica:
senθsecθ = (1 - cos²θ) / (senθcosθ).
2. ¿Cuál NO es una identidad?
a. 1 + cos²θ = sen²θ
b. csc²θ – 1 = cot²θ
c. 1 + tan²θ = sec²θ
d. 1-sen²θ = cos²θ
3. Escribe una oración compuesta que equivalga
a cada ecuación. Pista: tu primera respuesta
debe tener la forma x = ____y |y| ≤ ____.3
a. y=sen -1 x
b. y=cos -1 x
c. y=tan -1 x
4. Usando las ecuaciones a continuación crea
una gráfica con el dominio restringido de (-1,
1) y una gráfica con el dominio restringido de
todos los números reales.
Instrucciones:
Tu tarea es crear un recorrido trigonométrico.
Utiliza tu área inmediata* para crear un problema
en el que haya que hallar una altura o distancia
inaccesible. Tu problema debe ser tridimensional
e incluir un triángulo rectángulo, así como el uso
de las leyes de seno y coseno. Entrega el
problema y su solución completa.
Los estudiantes intercambian sus problemas para
dar una caminata trigonométrica en que tomen
medidas y resuelvan los problemas diseñados por
los otros.
*Nota: el maestro puede especificar o limitar el
1
3
Fuente: http://www.mrsantowski.com/MCR3U/Assignments/M11SB555.pdf
Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect07.pdf
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área en que los estudiantes pueden crear su
recorrido trigonométrico.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Laberinto de triángulo2
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la ley de senos y la ley de cosenos por medio de la
siguiente tarea en que trabajan como arquitectos
paisajistas que han recibido la tarea de diseñar un
laberinto al aire libre para un parque de
diversiones.
Tarea:
El parque de diversiones quiere añadir un
laberinto hecho de arbustos por el cual la gente
pueda pasear. Han encontrado ejemplos de
laberintos en otros parques que están formados
por ángulos rectos únicamente, y otros de
naturaleza circular. Para ser originales, les gustaría
crear su primer laberinto compuesto
completamente de formas triangulares sin
ángulos rectos.
Tú, el arquitecto paisajista, debes inventar un plan
para hacer un laberinto interesante de 1 acre que
esté compuesto de secciones triangulares. Los
triángulos estarán bordeados de arbustos altos, y
el interior de los triángulos estará cubierto de
agua para que la gente no intente saltar por
encima de los arbustos. Propón un diseño para
esta atracción con medidas de todos los lados y
ángulos, así como el área interior de los
triángulos. Puedes tener algunos ángulos con las
mismas dimensiones, pero asegúrate de que el
diseño tenga por lo menos cinco tipos diferentes
de triángulos, la variedad suficiente para ser
interesantes.
a. y=Sen -1 x
b. y=Cos -1 x
c. y=Tan -1 x
Diario
1. Comenzando por cos2x + sen2x=1 y usando tu
conocimiento de las identidades por cociente
y recíproca, deriva una identidad equivalente
en términos de la tan x y la sec x. Muestra
todo el proceso.4
2. Traza una gráfica para demostrar que y = sin -1
x es una relación y no una función. Explica por
qué no es una función.5
Boletos de entrada/salida
1. Reescribe en términos de cosθ y simplifica:
sen²θcot²θsecθ
2. Sea P(x, y) un punto en el cuadrante uno del
círculo unitario, x2 + y2 = 1. Traza el segmento
de línea OP. Sea θ el ángulo formado por OP y
la porción positiva del eje de x. Ahora traza la
perpendicular de P para que se encuentre con
el eje de x en el punto M.6
a. Establece la razón de OP/MP en términos
de θ. Establece la razón de OP/OM en
términos de θ.
b. Establece las coordenadas del punto P en
términos de θ.
c. Sustituye tus coordenadas en la ecuación
del círculo unitario para demostrar una de
las identidades pitagóricas.
d. Ahora escoge P en otro cuadrante y repite
el proceso. ¿Sigue siendo cierta la
identidad?
Procedimiento:
2
Fuente: www.curriculumframer.com
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
5
Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect07.pdf
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Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
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1. Haz un boceto de tu plan. Antes de finalizarlo,
asegúrate de que los caminos que la gente
escoja sean variados e interesantes. Algunos
deben llevar a callejones sin salida.
2. Una vez hayas terminado tu diseño, crea una
versión final de tu plan con todas las medidas
rotuladas, haz varias copias y traza los
caminos potenciales que puede tomar la
gente por el laberinto, tanto largos como
cortos. Estima cuán largos son estos caminos
posibles, y estima cuánto tiempo se tomaría
recorrerlos a un paso relajado.
3. Para hacerle la vida más fácil al
Departamento de Terrenos, informa la
longitud total de verjas de arbustos a las que
hay que darle mantenimiento, así como el
volumen total de agua en las piscinas que
tendrán que mantener. Escribe un párrafo
que describa las características del plan de
forma tal que sirva para "venderle" tu
propuesta al comité del parque.
4. Incluye todos los cálculos que respalden tu
propuesta en un apéndice adjunto al final.
5. Opcional (puntos de bono) - Da la milla extra
y crea una maqueta de tu plan para
asegurarte de que el comité entienda tu
visión del laberinto.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: 11.5 Tarea de
desempeño - Rúbrica del Laberinto de triángulos).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Actividades de aprendizaje

Funciones trigonométricas uno a uno7: Los estudiantes utilizarán el estudio previo de las funciones
inversas para comprender que las funciones trigonométricas no tienen inversa a menos que
restrinjamos su dominio. Primero, pídeles a los estudiantes que tracen la gráfica de y = sen x.
¿Cómo sabemos que se trata de una función? A continuación, pregúntales: ¿es una función uno a
uno? ¿Tiene una función inversa?*8 Haz que los estudiantes tracen la gráfica de la relación x = sen
7
Fuente: www.curriculumframer.com
*Nota importante: No todos los libros de texto son uniformes en cuanto al uso del término inversa. Algunos libros
utilizan el término inversa con el sentido de "función inversa" y señalarán que la inversa no existe si al intercambiar las
variables de x y de y se cra una relación que no es una función. Otros libros utilizan el término inversa para describir la
relación creada por el intercambio de variables, aun cuando no se trata de una función, con lo cual cabe preguntarse
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y. Obviamente no es una función. Reta a los estudiantes a hallar la porción mayor del sen x que sea
uno a uno. Primero, pídeles que lo trabajen solos y después compara sus respuestas. ¿Cuán larga
es? ¿Hay solo una respuesta posible? ¿Todo intervalo en x posee la calidad de ser uno a uno?
Pídeles que hagan lo mismo para el coseno y el seno en parejas. Discútanlo como clase.
Tres funciones trigonométricas inversas9: Explícales las funciones trigonométricas inversas para
funciones de seno, coseno y tangente, y su dominio y recorrido. Usa esta actividad para darle
seguimiento a las funciones trigonométricas uno a uno. Refiérete a la discusión anterior de las
funciones trigonométricas inversas de seno, coseno y tangente y haz hincapié en la diferencia entre
x = sen (hallar todos los ángulos y para los cuales el seno de y = x no sea una función), y y = arcosen
x (hallar el ángulo entre -π/2 y π/2 para el cual el seno de y = x).*10 Muéstrales a los estudiantes
ambas convenciones para la escritura de funciones trigonométricas inversas: el uso de "arco-" y el
uso del índice superior "-1". Haz hincapié en que no se trata de un exponente, y contrástalo con
colocar sen x entre paréntesis con el exponente afuera como la forma correcta de elevar el seno a
la potencia negativo uno. Modela ejemplos y pídeles a los estudiantes que practiquen usando los
ejemplos para comprobar su habilidad para usar las funciones trigonométricas inversas básicas
(seno, coseno y tangente inversos). No les pidas que hallen la inversa de la cosecante, secante y
cotangente; esto se discutirá en la próxima actividad.
Funciones trigonométricas inversas11: En esta actividad, los estudiantes usarán su comprensión de
la función trigonométrica inversa de seno, coseno y tangente para crear funciones inversas de
cosecante, secante y cotangente. Primero, pídeles que explique en sus propias palabras lo que
significa "seno inverso de x". Recopila las ideas de los estudiantes y discútelas. A continuación,
rétalos a crear funciones inversas basadas en y = csc x, y = cot x usando lo que han aprendido en
actividades previas. Haz que compartan y discutan sus respuestas. Luego, rétalos a explicar por qué
estas inversas son menos importantes y algunos libros no las incluyen. En concreto, diles que no
necesitan una función cosecante inversa para hallar la cosecante inversa de 5/3, por ejemplo, y
pídeles que averigüen por qué. Dales tiempo para que lo discutan en parejas.
Tengo...quién tiene12: Haz una lista de preguntas y respuestas del tema que quieras repasar. Haz
dos columnas; la primera lleva "Tengo" de título y la segunda lleva "Quién tiene". La primera
columna es para las respuestas y la segunda es para las preguntas (las repuestas son de la pregunta
en la línea anterior). Para un ejemplo de esto con identidades trigonométricas básicas, ver anejo:
11.5 Actividad de aprendizaje - Tengo, quién tiene. A continuación, crea tarjetas por cada pregunta
y respuesta que hayas preparado; sin embargo, la tarjeta debe tener la respuesta de la próxima
pregunta de la lista. En el ejemplo con identidades trigonométricas fundamentales, la tarjeta
número dos dice: "Tengo cos A. ¿Quién tiene sen2A + cos2A?”. La tercera tarjeta dice "Tengo 1.
"¿es la inversa una función?”. Comprueba la terminología del libro de texto que están usando tus estudiantes y guarda la
coherencia terminológica con el libro para minimizar la confusión. En este documento, se utilizará el acercamiento
anterior; así, el término inversa se refiere a que se trata de una función.
9 Fuente: www.curriculumframer.com
10 *Nota importante: En relación con la nota anterior sobre la falta de uniformidad en el uso del término "inversa",
algunos libros diferencian entre "Arcsen x" y "arcsen x", donde uno es la función y el otro es la no función que equivale a
la relación x = sen y. Nuevamente, modifica tus explicaciones en clase para reflejar la convención usada en tu texto. En
este documento, usaremos la convención de no poner mayúscula para diferenciar el uso, y arcsen x se referirá a la
función con recorrido restringido, o "ángulo principal".
11 Fuente: http://www.mde.k12.ms.usACADIDCurriculumFramermath_pagesgrade_hsm.html
12 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/ihave.html
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¿Quién tiene 1/sen A?" La respuesta a la pregunta en la tarjeta dos se halla en la tarjeta tres.
Repárteles las tarjetas a los estudiantes al azar. Quédate con la primera tarjeta de la lista para que
tú empieces y termines el ejercicio. Lee la primera tarjeta. El estudiante que tenga la respuesta a la
primera pregunta entonces lee su tarjeta. El estudiante que tenga la respuesta a esa pregunta
entonces lee su tarjeta, y así sucesivamente hasta que todos hayan leído la suya.
Rompecabezas de identidades trigonométricas13: Los estudiantes acomodan los dieciséis
cuadrados para formar un cuadrado mayor en que todos los lados se pareen para formar
identidades trigonométricas. (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Rompecabezas
trigonométrico).
Identidades trigonométricas14: Utiliza una técnica de delegación gradual de la responsabilidad para
modelar problemas y pedirles a los estudiantes que hagan problemas de práctica y crítica
inmediata de su trabajo con la Identidad trigonométrica fundamental (ver anejo: 11.5 Actividad de
aprendizaje - Identidades trigonométricas).
Identidades de ángulo doble15: Los estudiantes toman nota de las identidades de ángulo doble y se
les guía paso a paso con una serie de ejemplos. Pídeles que resuelvan algunos problemas de
práctica por su cuenta; durante ese tiempo, date la vuelta por el salón para responder a sus
preguntas (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Identidades de ángulo doble).
Ejemplos para planes de la lección



Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica16: En esta lección, se les guía paso a paso
a los estudiantes para cambiar el dominio de las ecuaciones trigonométricas y se les dan problemas
guiados de práctica (ver anejo: 11.5 Ejemplo para plan de lección - Cómo cambiar el dominio de
una ecuación trigonométrica).
Desarrollar ley de cosenos17: Primero, para repasar LAL y LLL, se les darán a los estudiantes varios
datos sobre triángulos y se les pedirá que los tracen con regla y transportador. Compararán
triángulos entre sí para ver con cuáles conjuntos de datos se obtiene un solo triángulo, así como
ver que con ciertos ejemplos de LLL no se obtiene triángulo. Los estudiantes desarrollarán la ley de
cosenos como extensión lógica de la fórmula pitagórica y nuestra definición de razón de coseno. A
continuación, explorarán los escenarios donde resulte útil, y verán qué sucede cuando intentan
aplicarlo a uno de los ejemplos de LLL imposibles de la actividad anterior (ver anejo: 11.5 Ejemplo
para plan de lección - Desarrollo de la ley de cosenos).
Funciones trigonométricas inversas18: Se introduce a los estudiantes a la inversa de funciones
trigonométricas con representación tanto gráfica como simbólica. A continuación, el maestro guía
paso a paso a los estudiantes en el uso de las definiciones de inversa para evaluar y trazar gráficas.
Provee problemas adicionales de asignación. Para más información y materiales, dirigirse a:
http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%2040-
13
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/trgcutup.html
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
15 Ibídem.
16 Ibídem.
17 Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/template_233.html
18 Fuente: http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%2040%20Inverse%20Trig%20Functions.pdf
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%20Inverse%20Trig%20Functions.pdf.
Las leyes de seno y coseno ¡simplificadas!19: Esta actividad está diseñada para expandir el
conocimiento de trigonometría usando la ley de senos y la ley de cosenos. Los estudiantes
elaborarán una herramienta de trigonometría de triángulos para ayudarlos a visualizar las leyes de
trigonometría. A continuación los estudiantes reconstruirán los triángulos por su cuenta,
intercambiarán las construcciones con otros grupos y hallarán las soluciones. Corroborarán sus
soluciones usando un transportador y una regla de centímetros como herramientas de medir.
Necesitarán un pedazo de cartulina de color claro, marcadores rojo/azul/negro, transportador,
regla y tijeras. Los estudiantes ya deben conocer el teorema de Pitágoras, así como las relaciones
trigonométricas de seno, coseno y tangente con respecto a un triángulo rectángulo.
Instrucciones:
1. En esta actividad se les pide a los estudiantes que hagan su propio triángulo no rectángulo y lo
completen con un código de colores y razones trigonométricas escritas en su triángulo. Esto les
servirá como herramienta instructiva para que la utilicen cuando estén aprendiendo por
primera vez sobre la ley de senos y la ley de cosenos.
o Usando un escalímetro, los estudiantes trazan una línea por el lado diagonal de una
cartulina. Se forman así dos triángulos rectángulos congruentes. Recorta por la línea
diagonal. Deja un triángulo de lado para usarlo después.
o Usando un escalímetro, traza una línea por el triángulo rectángulo hasta el lado opuesto,
dividiendo así el ángulo recto de forma tal que ya no mida 90˚. Los estudiantes deberán
tener ahora un triángulo no rectángulo.
o Usando un marcador rojo, pídeles que rotulen un ángulo “ángulo A”. A continuación, haz
que cada estudiante coloree el opuesto del ángulo A con el marcador rojo. Completa el
mismo proceso para rotular el ángulo B, y luego el lado opuesto con un marcador azul. A
continuación, rotula el ángulo C y el lado opuesto con un marcador negro.
o Rotula cada ángulo con una letra mayúscula, y el lado opuesto de ese ángulo con la
misma letra y color, pero en minúscula.
o Pídeles que volteen el triángulo y dupliquen las marcas en el dorso.
o Pídeles que escriban la fórmula de la ley de senos en el centro de un lado del triángulo, y
que en el otro lado del triángulo escriban las tres fórmulas de la ley de cosenos.
2. Provéeles triángulos con la medida de un ángulo dada, su lado opuesto (en cm) y otra medida
que escojas. Los estudiantes deberán utilizar la ley de senos y la ley de cosenos para solucionar
los triángulos.
3. En parejas o grupos pequeños, los estudiantes dibujarán unos seis triángulos, lo
suficientemente grandes como para que ocupen toda la página. Infórmales que deben dibujar
estos triángulos con cuidado y precisión usando un escalímetro.
o Los estudiantes medirán tres de las 6 partes de cada triángulo y anotarán las medidas a
la derecha del dibujo.
o A continuación, intercambiarán su papel con otro compañero o grupo. En el nuevo papel,
los estudiantes deberán hallar las partes que faltan de cada triángulo usando el
conocimiento de trigonometría que posean. Pídeles a los estudiantes que muestren
todos los pasos del proceso y no dejes que usen las herramientas de medir como
muletilla.
Fuente: http://www.uen.org/Lessonplan/preview?LPid=19845
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o
o
Una vez los grupos hayan terminado, devuélvanle el papel al propietario original.
Usando un transportador y una regla de centímetros, pídele al propietario original que
corrija las respuestas.
Recursos adicionales
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http://profjserrano.wordpress.com/
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/trigoecu.pdf
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/trigodef.pdf
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
 Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
 El matemático del rey de Juan Carlos Arce
 La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
 Trigonometric Delights de Eli Maor
Junio 2012
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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