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Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
Resumen de la unidad
En esta unidad, los estudiantes usarán las identidades trigonométricas para resolver ecuaciones y
problemas de trigonometría. Explorarán las coordenadas polares y los números complejos y sus
relaciones con las funciones trigonométricas. Relacionarán el plano de coordenadas polares con el
plano cartesiano, aplicarán los números complejos a la forma trigonométrica y aplicarán el teorema de
De Moivre.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre las identidades y relaciones trigonométricas y las relaciones entre las coordenadas polares, los
números complejos y las funciones trigonométricas para resolver situaciones del mundo real y
consolidar las bases para matemáticas de más alto nivel.
Estándares de contenido y expectativas
Precálculo
5.0 Demostrarán identidades trigonométricas, resolverán ecuaciones trigonométricas y resolver
problemas.
• Conoce la identidad básica cos2(x) + sin2(x) = 1 y demostrar que es equivalente al Teorema de
Pitágoras.
• Usa las identidades trigonométricas básicas para demostrar otras identidades y simplificar sus
expresiones.
• Utiliza las fórmulas de adición para senos, cosenos y tangentes.
• Utiliza las fórmulas del ángulo medio y del ángulo doble para senos, cosenos y tangentes.
• Resuelve ecuaciones trigonométricas.
• Resuelve problemas verbales que involucren aplicaciones de ecuaciones trigonométricas.
6.0 Define las coordenadas polares y los números complejos y comprende su relación con las funciones
trigonométricas.
• Define las coordenadas polares y relacionarlas con las coordenadas Cartesianas.
• Representa ecuaciones de coordenadas rectangulares en términos de coordenadas polares.
• Grafica ecuaciones en el plano coordenado polar.
• Define los números complejos y convertirlos a la forma trigonométrica y multiplicarlos en la forma
trigonométrica.
 Define, demuestra y aplica el Teorema de De Moivre.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Preguntas esenciales:




Las coordenadas polares se relacionan con las
coordenadas rectangulares y cartesianas.
En las identidades trigonométricas
fundamentales, μ puede ser un ángulo, un
número real o una variable.
El teorema de De Moivre identifica las
potencias y raíces de los números complejos.
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¿Cuál es la diferencia entre las coordenadas
cartesianas y las polares?
¿Cuál es la ventaja de usar identidades
trigonométricas?
¿Cuál es la ventaja de usar el teorema de De
Moivre?
¿Cómo se relacionan las coordenadas polares
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y los números complejos con las funciones
trigonométricas?
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
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Identidades trigonométricas
La identidad básica cos2(μ) + sen2(μ) = 1 y que
es equivalente al teorema de Pitágoras
Las fórmulas de suma de seno, coseno y
tangente
Las fórmulas de ángulo medio y ángulo doble
para seno, coseno y tangente
La definición de coordenadas polares y
números complejos
La relación entre coordenadas polares y
funciones trigonométricas
La relación entre números complejos y
funciones trigonométricas
La relación entre coordenadas polares y
coordenadas Cartesianas
Números complejos para la trigonometría
Teorema de De Moivre
Vocabulario de contenido
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
Trigonometría (fórmula de ángulo doble,
fórmula de ángulo medio, identidades
trigonométricas)
 Coordenadas polares (coordenadas
cartesianas, coordenadas polares,
coordenadas rectangulares, números
complejos, planos de coordenadas, Teorema
de De Moivre)
Para más información referirse al glosario
matemático básico en las guías operacionales del
DEPR.
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•

Demostrar identidades trigonométricas,
resolver ecuaciones trigonométricas y
resolver problemas.
Demostrar la identidad básica cos2(μ) +
sen2(μ) = 1 y que es equivalente al Teorema
de Pitágoras.
Usar identidades trigonométricas básicas para
demostrar otras identidades y simplificar sus
expresiones.
Utilizar las fórmulas de adición para senos,
cosenos y tangentes.
Utilizar las fórmulas del ángulo medio y del
ángulo doble para senos, cosenos y tangentes.
Resolver ecuaciones trigonométricas
Resolver problemas verbales que involucren
aplicaciones de ecuaciones trigonométricas.
Relacionar las coordenadas polares con las
cartesianas.
Representar las ecuaciones de coordenadas
rectangulares en términos de coordenadas
polares.
Trazar la gráfica de ecuaciones en el plano de
coordenadas polares.
Convertir y multiplicar números complejos en
la forma trigonométrica.
Definir, demostrar y aplicar el Teorema de De
Moivre.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Tareas de desempeño
Otra evidencia
El Revoltillo1
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las identidades trigonométricas y la suma de
Ejemplos para preguntas de examen/quiz
1. sen50˚cos30˚ +cos50˚sen30˚ es equivalente
a___________________?4
1
Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/unit_232/Trig_Unit4_PerfTask.doc
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ecuaciones trigonométricas ayudando a planificar
una nueva machina para un parque de
diversiones.
Tarea:
El parque de diversiones está planificando montar
una machina nueva llamada "El Revoltillo" que
consiste en sentar a las personas en 6 asientos
que parecen cáscaras de huevo y hacerlas girar en
patrones circulares separados. El gerente del
parque quiere que la frecuencia sea distinta para
cada grupo, y quiere que la gente regrese a su
posición inicial en momentos distintos durante la
vuelta, pero que todos regresen a la posición
inicial al final.
Tú eres el consultor matemático que tiene que
ayudarles a determinar las velocidades adecuadas
de giro y proveer modelos matemáticos para
predecir la ubicación de cada cáscara de huevo en
cada momento determinado.
1. Provéeles tablas en que se muestren las
ubicaciones, y explícales las ecuaciones que
tendrían que resolver para hallar el momento
en que una cáscara está en una orientación
particular, así como cuándo dos cáscaras
cualquiera estarían en la misma posición
relativa.
2. Usando una gráfica, demuestra la orientación
relativa de las 6 cáscaras durante el
transcurso de la vuelta y muéstrales que
todas sí terminan en la misma orientación.
(Debes también estimar una velocidad
adecuada para que la vuelta sea
emocionante, pero no peligrosa.)
Procedimiento:
1. La posición de cada participante puede
modelarse usando una ecuación
trigonométrica simple: si trazamos ejes con el
2. Si cosx =
3
, ¿cuál es el valor positivo de sen
5
1 5
x?
2
3. Utiliza el teorema de De Moivre para evaluar
los números complejos. Escribe los resultados
en forma polar.6
a. (2 + 7i)4
b. (-9 + 0i)12
c. (1 – 13i)7
Diario
1. Convierte cada número complejo, escrito en
forma rectangular, en forma polar.7
a +bi
5 = (-5i)
-7 + 10i
0 + 18i
r
θ
Forma polar
2. ¿Cuáles son las coordenadas polares? ¿Cómo
se relacionan las coordenadas polares con las
coordenadas cartesianas?
24
3. Si tanx =  , y x es un ángulo en el
7
1
cuadrante II, halla sen x.8
2
Boletos de entrada/salida
1. Utiliza el teorema de De Moivre para escribir
cada uno en forma estándar a + bi.9
a. [7cos(20°) + i7sen(20°)]3
b. [2cos(120°) + i2sen(120°)]4
c. [cos(210°) + isen(210°)]3
2. Evalúa: sen300˚cos90˚ + cos300˚sen90˚.10
3
3. Si θ está en el cuadrante II y cosθ =  , halla
4
4
Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.76.htm
Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.77.htm
6 Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect11.pdf
7 Ibídem.
8 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.77.htm
9 Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect11.pdf
10 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.76.htm
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origen en el centro de la taza, el participante
a la derecha tiene una posición horizontal de
f(t) = x = cos(b(𝜋)t, y una posición vertical de
g(t) = y = sen(b(𝜋)t. Al comienzo de la vuelta t
= 0, y todos los participantes en la posición
correcta están de frente a la misma dirección.
2. Escoge distintos valores de b para las
diferentes tazas e investiga cómo estos
afectan la orientación de estas.
3. Determina los valores que producirán una
vuelta de cinco minutos en que todas las
tazas estén girando a diferentes velocidades,
pero que todas regresen a la orientación
original al cabo de los cinco minutos.
4. Traza diagramas que demuestren la
orientación de las tazas en tres momentos
distintos durante la vuelta para demostrar
cómo será la experiencia.
5. Si cada taza tiene 12 pies de diámetro,
verifica que nadie esté moviéndose a una
velocidad incómoda.
6. Presenta una descripción narrativa de la
vuelta para vendérsela al gerente del parque,
y provee toda la prueba matemática
necesaria para tu trabajo en un apéndice.
Dales la oportunidad a los estudiantes de hacerse
comentarios y observaciones sobre sus trabajos.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
un valor exacto de sen2θ.11
Las coordenadas polares de tu cara2
Los estudiantes demostrarán su comprensión del
sistema de coordenadas polares al evaluar la
simetría de su cara y explicar el proceso en un
análisis técnico.
Tarea:
Cada estudiante recibe una foto de su cara
tomada completamente de frente a la cámara y
sin hacer ninguna expresión. Usando el centro de
la punta de la nariz como el punto 0, el estudiante
2
Fuente: http://www.tensigma.org/media/samples/pas/pa.ma.ana.05.01.pdf
Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.77.htm
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desarrollará una gráfica en la fotografía para
completar los pasos siguientes:
1. Halla las coordenadas polares de varios
puntos clave de la cara (esquina interior y
exterior de los ojos y cejas, parte externa de
las narices, esquinas de la boca, extremo
superior e inferior de ambas orejas) y traza en
la fotografía los puntos y líneas usados para
determinar las coordenadas polares.
2. Halla las coordenadas cartesianas para los
mismos puntos.
3. Haz una tabla en que enumeres las
coordenadas de los puntos tanto en el
sistema polar como en el cartesiano.
4. Redacta un análisis técnico en que expliques
el proceso que usaste y una evaluación de la
simetría de la cara.
Se les evaluará a los estudiantes en base a lo
siguiente:
• Aplicación correcta del sistema polar y
cartesiano en la foto y el análisis.
• Puntos correctamente derivados en ambos
sistemas.
• Demarcación de puntos y dibujo sobre la cara
estaban correctos, limpios y fáciles de
entender.
• Aplicación y ortografía correcta de todos los
símbolos/términos matemáticos.
• Evaluación de la simetría lógica y justificada.
Resumen del teorema de de Moivre3
Los estudiantes demostrarán su comprensión del
teorema de De Moivre al crear un afiche para
resumir dicho teorema con ejemplos y
aplicaciones.
Tarea:
Crearás un afiche para resumir el teorema de De
Moivre con ejemplos. Usarás por lo menos dos de
los siguientes como ejemplos en tu afiche:
1. Expresa sen3θ en términos de senθ.
2. Expresa tan3θ en términos de tanθ.
3
Fuente: www.curriculumframer.com and http://www.scribd.com/doc/52876760/24/Chapter-4-De-Moivre%E2%80%99sTheorem-and-its-Applications
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3. Expresa sen5θ en términos de senθ.
4. Demuestra que cos6 = cos6θ – 3cos4θ +
3cos2θ-1.
Asegúrate de incluir lo siguiente en tu afiche.
1. Demuestra el teorema de De Moivre con
ejemplos.
2. Explica las ventajas de trabajar con números
complejos en forma polar en vez de forma
rectangular.
3. Utiliza el Internet para investigar usos de los
números complejos: áreas en que podría
aplicarse el teorema de De Moivre. Provee un
resumen general de por lo menos tres
aplicaciones.
Se te evaluará en base a lo siguiente:
1. La precisión y claridad de tus explicaciones.
2. La calidad de tus ejemplos matemáticos:
¿demuestran estos de forma adecuada lo que
estás tratando probar?
3. La atención al detalle en tu presentación. Tu
producto final debe ser claro y estar bien
organizado, y todos los diagramas deben ser
atractivos y estar bien rotulados.
4. Tu capacidad de encontrar y resumir tres
aplicaciones interesantes de números
complejos.
Opcional (de bono)
1. Esfuérzate por explorar la matemática detrás
de una de las aplicaciones que identificaste en
tu investigación. Vé más allá del resumen
general de la aplicación para explicar
específicamente cómo se usan los números
complejos en la aplicación con ejemplos claros
de cálculos representativos.
2. Hemos visto en este curso que hay que añadir
conceptos nuevos a la base de conceptos que
se han probado anteriormente. Como no lo
hicimos juntos en clase, demuestra el
teorema de De Moivre. Puedes usar un libro
de texto como referencia, pero deberás
explicar la justificación de cada paso en tus
propias palabras.
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Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Actividades de aprendizaje
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Identidades más complejas12: ¿Cómo podemos probar que las identidades son ciertas? Los
estudiantes recibirán instrucciones directas de cómo usar las identidades trigonométricas básicas
para verificar que un enunciado es, en efecto, una identidad. Tendrán también la oportunidad de
usar las mismas destrezas para llegar a la conclusión de que un enunciado no es una identidad, sino
un enunciado condicional (ver anejo: PC.3 Actividad de aprendizaje - Identidades más complejas).
¿Cómo se ve una identidad?13: Se les pedirá a los estudiantes que verifiquen las identidades de
forma gráfica con una TI-83, además de probarlas con números específicos y usar identidades
básicas. Se les retará además a que creen problemas de identidad simples al "trabajar en
retroceso", y que utilicen las mismas tres estrategias de verificación que usaron en las identidades
provistas (ver anejo: PC.3 Actividad de aprendizaje - ¿Cómo se ve una identidad?).
¿Cuál es la pregunta?14: Se les darán soluciones a los estudiantes y se les pedirá que saquen
ecuaciones. Crearán problemas tanto sencillos como difíciles para cada solución y comprobarán si
están correctas con una calculadora gráfica. Dales a los estudiantes la solución x = 𝜋/4. ¿Cuántas
ecuaciones simples pueden obtener que tengan esto como solución? Dales unos cuantos minutos
para que piensen en algunas ideas, y luego recoge algunas de ellas y ponlas en la pizarra para
discutirlas. ¿Cuántos olvidaron limitar el dominio? (ver anejo: PC.3 Actividad de aprendizaje - ¿Cuál
es la pregunta?). Ahora haz que intenten lo siguiente (todas las respuestas en radianes):
(a) x = 0 .276
(b) x = 𝜋/6 + (𝜋)n
(c) x = 𝜋/6 + (𝜋)n, 𝜋/6 + (𝜋)n
(d) (más difícil) x = 0.256, 1.256
Dales tiempo suficiente para que lo trabajen en parejas. Sugiéreles que repasen otros conjuntos de
problemas pasados e intenten crear problemas al revertir los pasos de la resolución de los
problemas. Para problemas con múltiples soluciones, sugiéreles que repasen el deslizamiento de
periodo y cambio de fase de las funciones trigonométricas. Una vez hayan generado problemas,
pídeles que los intercambien con otras parejas e intenten hallar soluciones tanto de forma gráfica
como algebraica. Finalmente, deben escoger un par de sus ecuaciones y hacerlas más difíciles
usando identidades trigonométricas. De nuevo, pídeles que hagan sus problemas más difíciles al
"desimplificarlos".
El reto de la identidad: Ya que los estudiantes dominan la verificación de identidades, pídeles que
trabajen en parejas. Cada estudiante crea una ecuación de identidad a partir de identidades
trigonométricas fundamentales. Las parejas se intercambian las identidades y las corroboran.
Finalmente, escriben una explicación de las técnicas que usaron para crear la identidad.
Multiplicaciones múltiples15: Se les pide a los estudiantes que eleven un número complejo a la
décima potencia. Diles que no debe tomarse tanto tiempo como podría parecerles de primera
instancia. Los estudiantes se darán cuenta de que el cálculo resulta más rápido si usan la forma
polar de los números.
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Fuente: www.curriculumframer.com
Ibídem.
14 Ibídem.
15 Fuente: www.curriculumframer.com
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1. Preséntales a los estudiantes el problema de elevar (2 + 3i) a la décima potencia. Pídeles que lo
intenten.
2. Lo ideal sería que se den cuenta de que hay una forma de usar la forma polar del número para
ahorrarse bastante tiempo. Si no, el problema les tomará un tiempo, y como hay muchos
cálculos que hacer, es muy probable que cometan un error por descuido en el proceso.
3. Si no lo obtienen por su cuenta, y avanzan con lentitud con los cálculos en forma rectangular,
sugiéreles que hay una forma más fácil. Ya conocen otra forma de multiplicar (usando la forma
r cis(θ): ¿no podría esta ayudarles a hacerlo un poco más rápido?
Ejemplos para planes de la lección

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16
17
A descubrir las identidades16: Se les dará a los estudiantes una identidad (no básica) sin decírseles
que se trata de una identidad. Como tienen más experiencia con ecuaciones condicionales,
asumirán que es únicamente cierta para ciertos valores de la variable. Rétalos a encontrar una
solución adivinando y luego verificando sus hipótesis en la calculadora. Reúne todas las soluciones
"correctas" y discútelas. Continúa dándoles más ejemplos y termina con una condicional. Con algo
de ayuda, los estudiantes descubrirán las identidades recíprocas, pares/impares y de cofunción. Se
llevará a cabo un estudio de los seis valores trigonométricos de un ángulo para hacer
observaciones que lleven a las identidades recíprocas. Un estudio de los seis valores
trigonométricos de un ángulo, en comparación con los del negativo del mismo ángulo, les ayudará
a los estudiantes a ver la lógica de las identidades pares/impares. Finalmente, los estudiantes
observarán las identidades de cofunción por medio de un estudio de las seis funciones
trigonométricas de cada uno de los ángulos oblicuos del mismo triángulo rectángulo (ver anejo:
PC.3 Ejemplo para plan de lección - Identidades de ángulo doble).
Relaciones entre funciones trigonométricas17: Se les instruye a los estudiantes sobre identidades
trigonométricas básicas. Resumen lo que hallaron en el ejemplo para plan de la lección “Cómo
descubrir identidades en forma general”, y luego desarrollan las identidades pitagóricas y de
cociente junto con el maestro. Se hará hincapié en cómo derivar estas identidades usando hechos
matemáticos ya probados, así como las definiciones básicas de las funciones trigonométricas.
1. Realiza una discusión en clase para resumir los hallazgos del día anterior. En una discusión,
enfatiza el hecho de que no hay fórmulas mágicas que memorizar, sino consecuencias lógicas
de las definiciones básicas de las funciones. Diles a los estudiantes que esperas que memoricen
las identidades a medida que las usan en problemas, pero que de ser necesario, cuentan con
las herramientas para volver a derivarlas en el futuro.
2. Resume todas las identidades en forma general.
3. Cuando resumas las identidades pares/impares, repasa los conceptos de funciones
pares/impares y la simetría de las gráficas. Pídeles a los estudiantes que observen el origensimetría del seno y tangente (funciones impares: f(-x) = -f(x)), así como la simetría del eje de y
del coseno (función par: f(-x) = f(x)). Si no están familiarizados con los términos, se podría llevar
a cabo una minilección usando y = x2 y y = x3.
4. Desarrolla las identidades de cociente con tu clase. En vez de empezar con la identidad y
probarla, escribe sen x/cos x en la pizarra y pídeles que introduzcan las definiciones de las dos
funciones y la simplifiquen. Observa el resultado y escríbelo en forma general.
Ibídem.
Ibídem.
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5. De igual forma, en vez de presentar las identidades pitagóricas y luego resolverlas, tus
estudiantes pueden descubrirlas con un poco de orientación:
(a) Pídeles a los estudiantes que tracen un triángulo con lados a, b e hipotenusa c, y expresen
la fórmula pitagórica.
(b) Escribe x en el lado opuesto del ángulo b, y enumera las seis funciones trigonométricas del
ángulo x.
(c) Ahora, divide a la clase en tres grupos grandes: el primero divide por el a2, el segundo
divide por el b2 y el tercero divide por el c2. Pídeles que observen los resultados y que
intenten reexpresarlos usando funciones trigonométricas.
(d) Discutan los resultados. Enfatiza en que estas identidades no son una fórmula mágica, sino
que sencillamente son versiones de la fórmula de Pitágoras reexpresada usando funciones
trigonométricas.
(e) Toma además la identidad pitagórica expresada con seno y coseno y usa las identidades
recíproca y de cociente para desarrollar las otras dos.
(f) Usando los descubrimientos de los estudiantes, demuestra cómo cos2(x) + sen2(x) = 1
equivale al teorema de Pitágoras.
(g) Provéeles problemas del libro para consolidar su conocimiento de las identidades
trigonométricas básicas.
Fórmulas de la suma y diferencia de seno, coseno y tangente18: Primero, dados dos puntos en el
círculo unitario, se les pedirá a los estudiantes que hallen la distancia de dos formas distintas, al
establecer el acercamiento básico para desarrollar la fórmula para el coseno de la diferencia entre
dos ángulos. A continuación, se les guiará a los estudiantes paso a paso para elaborar la fórmula de
coseno de la diferencia entre dos ángulos. Se establecerán variaciones de coseno de una suma y
seno de una suma y diferencia usando identidades previamente establecidas. Finalmente, se retará
a los estudiantes a utilizar esta lección y su conocimiento de la relación entre seno, coseno y
tangente para derivar las fórmulas de tangente de la suma o resta de dos ángulos. (ver anejo: PC.3
Ejemplo para plan de lección – Fórmulas de suma y diferencia de seno, coseno y tangente.)
¿Y qué tal ángulos dobles?19: Se retará a los estudiantes a personalizar fórmulas de seno, coseno y
tangente de un ángulo doble. Los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre fórmulas de
doble ángulo.
1. Los estudiantes desarrollarán fórmulas de ángulo doble solos con muy poca orientación. Diles a
los estudiantes que quieres que utilicen las fórmulas que han aprendido recientemente para
desarrollar fórmulas de sen(2x), cos (2x) y tan(2x).
2. Permíteles que trabajen en parejas y discutan sus ideas.
3. Cuando crean tener la respuesta correcta, pídeles que las corroboren al introducir ángulos y
evaluar, y usando el acercamiento gráfico que se introdujo en la lección anterior para verificar
identidades. (Aunque vemos estas como fórmulas por la manera en que las usamos, son
también identidades.)
4. Si alguna pareja tiene problemas para comenzar, recuérdales que otra forma de escribir "2x" es
"x + x".
5. Revisa el ejercicio anterior; discute el proceso que nos llevó hasta este punto y cómo las
Fuente: www.curriculumframer.com
Ibídem.
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fórmulas dependen de las otras identidades.
6. Reta a los estudiantes a encontrar variaciones de la fórmula cos(2x) usando la identidad
pitagórica (cos (2x) = (cos x)2 - (sen x) 2 = 2(cos x) 2 - 1 = 1 - 2(sen x) 2). Diles que la utilidad de
estas variaciones se hará más evidente más tarde en la lección.
7. Provéeles ejemplos del libro para que apliquen las fórmulas de doble ángulo.
Fórmulas de reducción de potencias20: ¿Cómo podemos reducir la potencia de una función
trigonométrica? Se les retará a los estudiantes, con sugerencias de ser necesario, a personalizar las
fórmulas de la lección “Y qué tal ángulos dobles” para reducir la potencia de una función
trigonométrica. A continuación, los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre fórmulas
para reducir potencias.
1. Antes de comenzar, explícales que ciertos temas de matemáticas sirven de base para
conceptos posteriores: las fórmulas aprendidas hoy son particularmente importantes en el
estudio del cálculo.
2. Explícales que: "El objetivo de hoy es expresar una función trigonométrica cuadrada usando
funciones trigonométricas que no son cuadradas." Dales tiempo para que lo intenten entender.
3. Si necesitan una pista, sugiéreles que repasen las fórmulas e identidades de las que contengan
tanto funciones trigonométricas cuadradas como funciones trigonométricas que no son
cuadradas.
4. Una vez identifiquen las dos versiones alternas de la fórmula de cos(A - B) como las fórmulas
de interés, resultará muy sencillo resolverlas para el término cuadrado.
5. Al igual que lo hicimos en fórmulas e identidades previas, prueba la nueva fórmula al introducir
algunos ángulos y evaluarla. Corrobórala además por medio de una gráfica.
6. Vuelve a hacer hincapié en que las identidades y fórmulas están interconectadas. ¿Dónde
comenzó el proceso que nos llevó a estas fórmulas? (Al hallar la distancia entre dos puntos con
diferentes métodos.) Junto con los estudiantes, enumera diferentes identidades y definiciones
usadas para llegar desde ese punto a la fórmula actual.
7. Provéeles ejemplos del libro para que practiquen a usar las nuevas fórmulas.
Coordenadas polares21: los estudiantes trazan la gráfica de un conjunto de puntos equidistantes del
origen y se les pide que observen lo que estos tienen en común. Se les darán instrucciones sobre
las coordenadas polares, como trazar la gráfica de puntos en coordenadas polares usando una
regla y un transportador, y convertir de coordenadas polares a cartesianas, y viceversa. (ver anejo:
PC.3 Ejemplo para plan de lección - Coordenadas polares)
Gráficas polares especiales22: Los estudiantes exploran las gráficas de ecuaciones en forma polar
incluidos los círculos, los cardioides, las rosas polares y caracoles usando una calculadora gráfica.
Utilizarán las gráficas que creen para hacer generalizaciones y agrupar las gráficas en categorías.
Para verificar la precisión de su trabajo y generalizaciones, usarán la calculadora gráfica.
1. Explícales que explorarán formas especiales que se expresan mucho mejor en forma polar que
en forma rectangular. (Puedes mencionar que parte del valor de estas expresiones alternas se
hace más evidente en cálculo de más alto nivel; ahora se encuentran sentando las bases para
clases que puedan tomar en la universidad.)
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Fuente: www.curriculumframer.com
Ibídem.
22 Fuente: www.curriculumframer.com
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2. Dales las siguientes funciones:
(a) r = 5 cos (θ)
(b) r = -2 sen (3 θ)
(c) r = 3 cos (4 θ)
(d) r = 2 + 2 sen (θ)
3. Pídeles que las tracen sin la calculadora; deben poder tener una idea de lo que está pasando al
trazar la gráfica de todos los puntos que puedan generar por sus valores trigonométricos
memorizados.
4. Usando la calculadora gráfica, los estudiantes deben corroborar la precisión de sus dibujos.
(Primero, cambia el modo gráfico a "polar".)
5. Ahora, permíteles a los estudiantes que trabajen en parejas o grupos pequeños y rétalos a que
exploren la variedad de formas que existen dentro de los cuatro tipos básicos anteriores. Por
cada ejemplo, experimenta cambiando el valor y signo del número. Experimenta también
cambiando el seno al coseno y viceversa. ¿Cómo afectan estos cambios a las gráficas?
6. Date la vuelta por el salón y asegúrate de que los estudiantes estén considerando un conjunto
exhaustivo de variaciones. Específicamente, asegúrate de que cuando los estudiantes exploren
el cuarto tipo, r = a + b sen (θ), consideren ejemplos en que el valor absoluto de a sea menor
que el de b, así como ejemplos en que este es mayor.
7. Por ejemplo, deben comenzar trazando la gráfica de algunos puntos sin calculadora (aunque no
tantos para las cuatro gráficas iniciales), y luego hacer predicciones de cómo la variación se
comparará con las otras gráficas en esa categoría. La calculadora gráfica también puede usarse
para confirmar las predicciones.
8. Para darle fin a la lección, pídeles a los estudiantes que escriban un conjunto de instrucciones
de cómo trazar la gráfica de cada tipo de ecuación polar anterior y cómo las constantes afectan
la gráfica.
Recursos adicionales
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http://profjserrano.wordpress.com/
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/complejo.pdf
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
 John and Betty’s Journey in Complex Numbers de Matt Bower
 Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
 El matemático del rey de Juan Carlos Arce
 La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
 Trigonometric Delights de Eli Maor
Junio 2012
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe
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