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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Examen Final – 10 de diciembre de 2008
Tema G-09-08
Apellido y nombres del alumno: .................................................................................................... ....................................
Especialidad:………………………………………………………………………….......................................................
___________________________________________________________________
T1
T2
P1
P2
P3
Calificación Final
NOTA: La condición para aprobar el Examen Final es tener bien resueltos como mínimo tres de los ejercicios propuestos, de los cuales
por lo menos uno debe corresponder a los temas consignados como teóricos. Presente en las hojas que entrega el desarrollo completo de
todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. No haga el examen con lápiz.
TEMAS TEORICOS
1.- Deducir la expresión que permite obtener la distancia de un punto M (xM,yM) a una recta de ecuación
Ax + By + C = 0
2.- Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son verdaderas, demostrarlas. Si fueran falsas,
demostrarlas o brindar un contraejemplo.
a.- El plano α: x + 2y – 4z + 4 = 0 contiene a la recta L:
1 2

b.- La matriz A =  1 2

 0

x2
z
 y 1 
2
2
2

0 1 2  es ortogonal para cualquier valor de k ε R

k
0 

0 1
TEMAS PRACTICOS
1.- Obtener la ecuación de la parábola que cumple simultáneamente con las siguientes condiciones:
 Su concavidad es negativa.
 Su vértice se encuentra en el primer cuadrante y la recta de ecuación y = 4 es tangente al mismo.
 Su eje focal es paralelo al eje de ordenadas y está ubicado a 2 unidades del origen de coordenadas.
 La recta de ecuación y = 7 es la recta directriz de la parábola.
Obtenida la ecuación, calcular el valor del lado recto y representar gráficamente.
2.- a.- Obtener todos los valores de a ε R (si existen) para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales sea compatible
2 x  4 y  6 z  4

determinado, compatible indeterminado e incompatible:  3x  3 y  8 z  4
 3y  z  a

 4
 
b.- Para aquellos valores de a que hacen el sistema compatible, ¿es X =  0  una solución del sistema?
 2
 
c.- Escriba el sistema homogéneo asociado al sistema de ecuaciones anterior. Obtenga su conjunto solución, una base del
mismo y su dimensión.
1 0 
1 1  0
1  1 


     
3.- Sea T : R 2  R3 / M (T) BB’ = 1 3  , siendo las bases B = {   ,   } y B’ = {  0  ,  1  ,  0  } Se pide :
0

1
   
1 k 
0 0 1


     
2
 
 
a.- Calcular para qué valores de k ε R el vector u  1  , cuyas coordenadas están en la base canónica, pertenece a la Im(T)
1
 
b.- Obtener las componentes en la base canónica del vector del dominio cuya imagen es u