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B.- BALANCE DE ENERGÍA ELECTROMAGNÉTICA 8.5.- Balance de energía electromagnética. El vector de Poynting.Tomando las ecuaciones (8.7) y (8.8), y multiplicando escalarmente la primera por E y la segunda por H , tenemos: D E [ rot H = J + ] t B H [ rot E = ] t Operando, y restando miembro a miembro se obtiene: D B E rot H H rot E = E J + E H t t y reemplazando en el primer miembro por el operador equivalente, resulta: D B div (E H) = E J + E H t t En el capítulo II se vio de la ecuación (2.13) que: E Em = Et y J = Et Las utilizaremos en el primer término del segundo miembro, debido a que es el único en el cual pueden quedar manifestadas las energías de la fuente, y la consumida por efecto Joule en un sistema electromagnético. Operando y ordenando los términos, se obtiene: D B Em J = Et J E H div (E H) t t Si integramos sobre todo el volumen , resulta finalmente: E m Jd = D B E t Jd E d H d div (E H) d t t (8.23) que es la expresión del llamado Teorema de Poynting. El primer miembro es la potencia entregada por la fuente. En el segundo miembro, el primer término es la potencia consumida por efecto Joule; el segundo, la potencia consumida por VIII B 1 almacenamiento de energía eléctrica; el tercero, la potencia consumida por almacenamiento de energía magnética, y el cuarto, la potencia expulsada por radiación electromagnética. Para comprender mejor cada uno de los términos de dicho Teorema, los analizaremos en términos más sencillos. Por ejemplo, en el primer miembro, supongamos que d dl. Se tiene entonces: i E m Jd = E m dl = i E mdl = ie que es la potencia entregada por una fuente de fuerza electromotriz e. Para el primer término del segundo miembro procedemos de la misma forma: J i2 dl Jd = 2 dl = i 2 = i2 R que es la potencia eléctrica consumida en un resistor por efecto Joule. Para el segundo término: D 1 E 2 E d = d = t 2 t ED ( ) 2 d = ue d t t y como ue es la densidad de energía eléctrica, este término resulta ser la potencia eléctrica almacenada en un capacitor. En el caso del tercer término del segundo miembro se tiene en forma similar al anterior: HB ( ) B 2 d = u m d H d = t t t siendo um la densidad de energía magnética, por lo cual este término es la potencia magnética almacenada en un inductor. Analicemos ahora el último término de la (8.23). Al producto vectorial: S E H VIII B 2 (8.24) se lo denomina vector de Poynting S , y sus unidades son: Volt.Ampere/m2 , es decir Watt/m2 . O sea que el vector de Poynting está indicando que hay un flujo de potencia a través de una superficie, que en este caso será la superficie que limita al volumen de integración . Por ello, el último término de la ecuación (8.23) es introducido por Poynting por primera vez, y está referido a la potencia emitida por radiación electromagnética. Queda entonces: div (E H) d = div S d = S d (8.25) Es muy importante señalar que la dirección y sentido del vector de Poynting coincide con la dirección del vector de onda k , y por lo tanto es perpendicular a los vectores E y H, tal como se puede ver en la figura 8.3. 8.6.- El oscilador de Hertz. Existencia de las ondas electromagnéticas.En 1888, Heinrich Hertz, gran físico teórico y hábil experimentador, pudo realizar la comprobación de que las predicciones de Maxwell respecto de las ondas electromagnéticas, eran correctas. Habían transcurrido unos 23 años. Fig. 8.3 La idea básica con la cual Hertz realizó sus experimentos era la siguiente: supongamos tener el campo eléctrico generado por un dipolo como el que se ve en la figura 8.4ª. Si ahora invertimos la polaridad del dipolo, en el mismo punto O, el campo tendrá un sentido opuesto (figura 8.4b). Supongamos que el cambio lo hacemos rápidamente, a una frecuencia fija y conocida. El campo adoptará la forma de la figura 8.4c. Además en cada punto O fijo, el campo variará con el tiempo como se ve en la figura 8.4d. Como el campo eléctrico varía con el tiempo, se generará un campo magnético que también variará con el tiempo, y este último deberá ser perpendicular al campo eléctrico, tal como se vio. En definitiva puso de manifiesto la idea del dipolo oscilante. VIII B 3 Hertz utilizó como emisor de las ondas electromagnéticas, un dispositivo de descarga oscilante, tal como se puede ver en la figura 8.5. El condensador del emisor Fig. 8.4 está conectado a los bornes de una fuente de alta tensión (FAT), que puede ser por ejemplo una bobina de Ruhmkorff. Cuando la diferencia de potencial entre los bornes de las esferas a y b es suficiente, se produce una chispa, y la rama AB se vuelve conductora: el circuito emisor es ahora un circuito RLC con poco amortiguamiento, y las oscilaciones de la corriente, generan las oscilaciones de las cargas en a y b, las cuales a su vez generan el campo electromagnético. Como receptor, utilizó el circuito de la figura 8.6, que consta de un resonador y de un detector. El resonador es un circuito oscilante, que se sintoniza con la frecuencia de la onda a detectar, mediante el capacitor variable. Fig. 8.5 Obviamente este circuito sólo puede recibir ondas cuyas frecuencias estén dentro del rango que se obtiene con la variación del capacitor. Como detector de dichas ondas, se puede usar el detector de chispas que utilizó Hertz: entre los puntos 1 y 2 se produce una chispa cuando la oscilación de la corriente inducida en el resonador es suficiente para originar una diferencia de potencial oscilante elevada. VIII B 4 También puede realizarse mediante una lámpara, para una visualización más eficaz. Esta pequeña lámpara, tiene una inductancia, cuyo plano debe ubicarse perpendicular al plano del campo magnético oscilante. La fem inducida provoca el pasaje de una corriente que es detectada por la lámpara. Fig. 8.6 La corriente es más intensa cuanto mejor sintonizado esté el circuito con la frecuencia de la radiación a detectar. Estos receptores usados inicialmente, eran mucho menos sofisticados que, por ejemplo, las radios y televisores de hoy en día, los que, sin embargo, se basan en el mismo principio. Con este simple dispositivo, y utilizando ondas con longitudes de onda de 7,5 m, 4,8 m y 0,6 m, Hertz puso en evidencia la existencia de ondas estacionarias, mediante el recurso de poner una chapa conductora a una cierta distancia del emisor. Usando el chispero a modo de detector, pudo verificar también que las ondas se componían de campos eléctrico y magnético. Se puede utilizar también la lámpara. El lector puede deducir por qué en una posición se detecta campo magnético y en la otra eléctrico. Observó también que cuando hay un vientre de campo eléctrico, habrá un nodo de campo magnético. Midió la longitud de onda , y con el periodo T del oscilador, pudo también verificar que la velocidad de propagación era c, la velocidad de la luz. También puso en evidencia la reflexión, la refracción y la polarización de las ondas electromagnéticas. VIII B 5