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B.- BALANCE DE ENERGÍA ELECTROMAGNÉTICA
8.5.- Balance de energía electromagnética. El vector de Poynting.Tomando
las ecuaciones (8.7) y (8.8), y multiplicando escalarmente la

primera por E y la segunda por H , tenemos:


 
D
E  [ rot H = J +
]
t



B
H  [ rot E = ]
t
Operando, y restando miembro a miembro se obtiene:



 

   D  B
E  rot H  H  rot E = E  J + E 
H
t
t
y reemplazando en el primer miembro por el operador equivalente, resulta:


 
   D  B
 div (E  H) = E  J + E 
 H
t
t
En el capítulo II se vio de la ecuación (2.13) que:
 



E  Em = Et y J = Et
Las utilizaremos en el primer término del segundo miembro, debido a que es
el único en el cual pueden quedar manifestadas las energías de la fuente, y la
consumida por efecto Joule en un sistema electromagnético. Operando y ordenando
los términos, se obtiene:


     D  B
 
Em  J = Et  J  E 
 H
 div (E  H)
t
t
Si integramos sobre todo el volumen , resulta finalmente:


 
E m  Jd =




 
 D
 B
 
E t  Jd   E 
d   H 
d   div (E  H) d
t
t



(8.23)
que es la expresión del llamado Teorema de Poynting. El primer miembro es la
potencia entregada por la fuente. En el segundo miembro, el primer término es la
potencia consumida por efecto Joule; el segundo, la potencia consumida por
VIII B 1
almacenamiento de energía eléctrica; el tercero, la potencia consumida por
almacenamiento de energía magnética, y el cuarto, la potencia expulsada por
radiación electromagnética.
Para comprender mejor cada uno de los términos de dicho Teorema, los
analizaremos en términos más sencillos. Por ejemplo, en el primer miembro,
supongamos que d  dl. Se tiene entonces:
 
i
E
 m  Jd =  E m  dl = i  E mdl = ie
que es la potencia entregada por una fuente de fuerza electromotriz e.
Para el primer término del segundo miembro procedemos de la misma forma:



J 
i2
dl
 Jd =  2 dl =  i 2
= i2 R



que es la potencia eléctrica consumida en un resistor por efecto Joule.
Para el segundo término:



 D
1 E 2
E
d =  
d = 
t
2 t


 
ED
(
)
2 d = ue d
 t
t

y como ue es la densidad de energía eléctrica, este término resulta ser la potencia
eléctrica almacenada en un capacitor.
En el caso del tercer término del segundo miembro se tiene en forma similar al
anterior:
 
HB

(
)
 B
2 d = u m d
H

d

=
 t
 t
 t



siendo um la densidad de energía magnética, por lo cual este término es la potencia
magnética almacenada en un inductor.
Analicemos ahora el último término de la (8.23). Al producto vectorial:
  
S E  H
VIII B 2
(8.24)

se lo denomina vector de Poynting S , y sus unidades son: Volt.Ampere/m2 , es decir
Watt/m2 . O sea que el vector de Poynting está indicando que hay un flujo de potencia
a través de una superficie, que en este caso será la superficie que limita al volumen de
integración .
Por ello, el último término de la ecuación (8.23) es introducido por Poynting
por primera vez, y está referido a la potencia emitida por radiación electromagnética.
Queda entonces:





 div (E  H) d =  div S d =  S  d


(8.25)

Es muy importante señalar que la
dirección y sentido del vector de Poynting
coincide con la dirección del vector de

onda k , y por
 lo tanto es perpendicular a
los vectores E y H, tal como se puede ver
en la figura 8.3.
8.6.- El oscilador de Hertz. Existencia de
las ondas electromagnéticas.En 1888, Heinrich Hertz, gran físico
teórico y hábil experimentador, pudo
realizar la comprobación de que las
predicciones de Maxwell respecto de las
ondas electromagnéticas, eran correctas.
Habían transcurrido unos 23 años.
Fig. 8.3
La idea básica con la cual Hertz realizó sus experimentos era la siguiente:
supongamos tener el campo eléctrico generado por un dipolo como el que se ve en la
figura 8.4ª. Si ahora invertimos la polaridad del dipolo, en el mismo punto O, el
campo tendrá un sentido opuesto (figura 8.4b).
Supongamos que el cambio lo hacemos rápidamente, a una frecuencia fija y
conocida. El campo adoptará la forma de la figura 8.4c. Además en cada punto O fijo,
el campo variará con el tiempo como se ve en la figura 8.4d.
Como el campo eléctrico varía con el tiempo, se generará un campo
magnético que también variará con el tiempo, y este último deberá ser perpendicular
al campo eléctrico, tal como se vio. En definitiva puso de manifiesto la idea del
dipolo oscilante.
VIII B 3
Hertz utilizó como emisor de las ondas electromagnéticas, un dispositivo de
descarga oscilante, tal como se puede ver en la figura 8.5. El condensador del emisor
Fig. 8.4
está conectado a los bornes de una fuente de alta tensión (FAT), que puede ser por
ejemplo una bobina de Ruhmkorff. Cuando la diferencia de potencial entre los bornes
de las esferas a y b es suficiente, se produce una chispa, y la rama AB se vuelve
conductora: el circuito emisor es ahora un
circuito RLC con poco amortiguamiento, y las
oscilaciones de la corriente, generan las
oscilaciones de las cargas en a y b, las cuales a
su vez generan el campo electromagnético.
Como receptor, utilizó el circuito de la
figura 8.6, que consta de un resonador y de un
detector. El resonador es un circuito oscilante,
que se sintoniza con la frecuencia de la onda a
detectar, mediante el capacitor variable.
Fig. 8.5
Obviamente este circuito sólo puede
recibir ondas cuyas frecuencias estén dentro del rango que se obtiene con la variación
del capacitor.
Como detector de dichas ondas, se puede usar el detector de chispas que
utilizó Hertz: entre los puntos 1 y 2 se produce una chispa cuando la oscilación de la
corriente inducida en el resonador es suficiente para originar una diferencia de
potencial oscilante elevada.
VIII B 4
También puede realizarse mediante una
lámpara, para una visualización más eficaz.
Esta pequeña lámpara, tiene una inductancia,
cuyo plano debe ubicarse perpendicular al
plano del campo magnético oscilante.
La fem inducida provoca el pasaje de
una
corriente
que es detectada por la lámpara.
Fig. 8.6
La corriente es más intensa cuanto mejor
sintonizado esté el circuito con la frecuencia de
la radiación a detectar. Estos receptores usados
inicialmente, eran mucho menos sofisticados
que, por ejemplo, las radios y televisores de hoy en día, los que, sin embargo, se
basan en el mismo principio.
Con este simple dispositivo, y utilizando ondas con longitudes de onda
de 7,5 m, 4,8 m y 0,6 m, Hertz puso en evidencia la existencia de ondas
estacionarias, mediante el recurso de poner una chapa conductora a una cierta
distancia del emisor. Usando el chispero a modo de detector, pudo verificar también
que las ondas se componían de campos eléctrico y magnético. Se puede utilizar
también la lámpara.
El lector puede deducir por qué en una posición se detecta campo magnético y
en la otra eléctrico. Observó también que cuando hay un vientre de campo eléctrico,
habrá un nodo de campo magnético. Midió la longitud de onda , y con el periodo T
del oscilador, pudo también verificar que la velocidad de propagación era c, la
velocidad de la luz.
También puso en evidencia la reflexión, la refracción y la polarización de las
ondas electromagnéticas.
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