Download los símbolos de la lógica proposicional.

ESCUELA DE OFICIALES PNP
LÓGICA PROPOSICIONAL
Las proposiciones y sus tipos.
Una proposición es una oración enunciativa, es decir, una oración que afirma o niega algo y que
puede ser verdadera o falsa.
Las proposiciones pueden ser simples o complejas. Una proposición simple es aquella
que no puede descomponerse en partes que sean a su vez proposiciones. Las proposiciones
simples se llaman también proposiciones atómicas. Una proposición compleja es aquella que
puede descomponerse en proposiciones simples, también son llamadas proposiciones
moleculares.
Ejemplo:
Simboliza las siguientes proposiciones:
a. No vi la película, pero leí la novela:
b. Ni vi la película ni leí la novela:
c. No es cierto que viese la película y leyese la novela:
d. Vi la película aunque no leí la novela:
e. No me gusta trasnochar ni madrugar:
f. O tú estás equivocado o es falsa la noticia que has leído:
g. Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí:
h. Llueve y o bien nieva o sopla el viento:
i.
O está lloviendo y nevando o está soplando el viento:
j.
Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni otras violaciones
de los derechos civiles:
k. Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga la licenciatura:
l.
Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes de las seis. Luego,
tanto si viene en tren como si viene en coche, llegará antes de las seis:
Formaliza las siguientes proposiciones:
a. No es cierto que no me guste bailar.
b. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción.
c. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.
d. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre.
e. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.
f. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera
y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.
g. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a
trabajar.
10. Formaliza el siguiente enunciado. ¿Cuántas variables tiene la tabla? ¿Es una tautología?
“Si un animal fabuloso se enfada, te quedas paralizado del susto; y si te quedas paralizado del
susto, entonces no puedes sino apelar a su bondad y así no ser engullido. Por lo tanto, si un
animal fabuloso se enfada, tendrás que apelar a su bondad o serás engullido.”
LOS SÍMBOLOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL.
Variables proposicionales.
En la Lógica Proposicional, para simbolizar las proposiciones simples se recurre a las letras
minúsculas del alfabeto, comenzando por la letra “p” y después siguiendo el orden alfabético.
Para representar los valores de verdad de una proposición utilizaremos dos números el “1” y el
“0”. El número “1” representa que esa proposición es verdadera, y el número “0” representa que
esa proposición es falsa.
a. Negador.- Se representa con este símbolo “~”, y produce fórmulas del tipo “~ p”, “no es cierto
que p”, “no es p”, “es imposible que p”, etc.
Por definición el negador es aquella conectiva que invierte el valor de verdad de una
proposición, es decir, la convierte en verdadera si es falsa, y en falsa si es verdadera. Esto se
representa con la siguiente tabla de verdad:
p ~
1 0
0 1
b. Conjuntor.- El conjuntor se representa con el símbolo “∧”, y da lugar a fórmulas del tipo “p ∧
q”, “p y q”.
Por definición el conjuntor es aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son
verdaderas únicamente cuando son verdaderas las dos proposiciones que las componen. Se
representa con la siguiente tabla de verdad:
p q p ∧q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
c. Disyuntor.- El disyuntor se representa con el símbolo “v ”, dando lugar a fórmulas del tipo pvq,
“p o q”.
Por definición, el disyuntor es aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son
verdaderas, cuando al menos una de las proposiciones que las componen es verdadera.
Únicamente una disyunción es falsa cuando son falsas las proposiciones que la componen.
Esto se representa con la siguiente tabla:
p q pvq
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
d. Condicional o implicador.- La condicional o implicador se representa con el símbolo“→”,
dando lugar a fórmulas del tipo “p → q”, “sí p entonces q” o también “cuando p entonces q”.
Por definición la condicional es una conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son
verdaderas en todos los casos menos cuando siendo verdadero el antecedente (antes de la
flecha) es falso el consecuente.
p q p→q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
e. Bicondicional o coimplicador.- La bicondicional o coimplicadora se representa con el símbolo
“↔”, dando lugar a fórmulas del tipo “p↔q”, “p coimplica a q”, o también “si y sólo si p entonces
q”, o “únicamente si p entonces q”.
La Bicondicional es aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas
cuando coinciden los valores de verdad de las proposiciones que las componen.
p q p↔q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
Los símbolos auxiliares: Paréntesis ( ) y corchetes [ ].
Al igual que en matemáticas estos símbolos marcan la prioridad de una conectiva sobre otra.
Cuando en una fórmula hay varias conectivas tienen que quedar claro cuál de ellas es la conectiva
dominante: siempre será aquella que quede fuera del paréntesis. Por ejemplo:
• (p ↔ q) v r: Disyunción.
• p ∧ (q → r): Conjunción.
Sin embargo existen excepciones por las llamadas reglas de economía de paréntesis. Estas leyes
son las siguientes:
1ª. El implicador y coimplicador tienen prioridad sobre el resto de las conectivas, esto quiere
decir que no es necesario marcar con paréntesis que se trata de la conectiva dominante.
2ª. En fórmulas en las que se repite la misma conectiva si se trata de una conjunción o de una
disyunción no es necesario marcar la prioridad con paréntesis.
Ejercicios.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(p v q) ∧ ¬ q → ¬ p
¬ [(p v q) → ¬ (¬ p ∧ ¬ q)]
(p v q) ∧ r → ¬ p
¬ (p v q) → ¬ p ∧ ¬ q
[p v ( p ∧ q )] ↔ p
[ p v ( q ∧ ~p )] ↔ [ ( p v ~q) ∧ p]