Download LÓGICA PROPOSICIONAL.
Document related concepts
Transcript
LÓGICA PROPOSICIONAL. La lógica es una ciencia formal que se ocupa de una cuestión clara: ¿Cómo pensamos? ¿Cuál es la estructura del pensamiento? Se ocupa por tanto de los razonamientos correctos, de las leyes del pensamiento. Podemos distinguir dos tipos de lógica atendiendo a si las unidades básicas con las que se trabaja son términos o conceptos (lógica de clases) o proposiciones (lógica proposicional o lógica matemática). Por términos se entienden palabras que sirven para designar a multitud de individuos; por ejemplo “hombre”, “casa”, “perro”, que incluyen dentro de si todos los seres que son hombres, casas o perros. Por otro lado, una proposición es una oración enunciativa. Es decir, una expresión en la que se afirma o niega algo, es decir, que puede ser verdadera o falsa. Las proposiciones pueden ser simples o atómicas cuando no contienen en sí otras proposiciones. Ejemplo: “María encontró trabajo”; también compuestas o moleculares cuando están formadas a partir de varias simples. Ejemplo: “si María encuentra trabajo, entonces dejará de estudiar”. Cuando las ciencias empíricas señalan que un enunciado es verdadero o falso, se refieren a que éste coincide con lo que ocurre en la realidad. Este tipo de verdad se llama verdad semántica, porque se refiere a la capacidad que tiene el lenguaje para referirse al mundo. Pero como la lógica no se refiere a la experiencia, su tipo de verdad es diferente; se refiere a que algo es verdadero cuando se deduce de otros enunciados ya dados que se llaman premisas. Este tipo de verdad recibe el nombre de validez, porque aunque un enunciado derive necesariamente de las premisas, estas premisas no tienen por qué ser verdaderas. FORMALIZACIÓN. La formalización es el proceso mediante el cual transformamos los enunciados o proposiciones del lenguaje natural en el lenguaje formal de la lógica. En ese proceso se siguen una serie de normas. 1. Las proposiciones simples se sustituyen por letras minúsculas empezando por la letra “p”; (“p”,”q”,”r”,”s” etc). Por ejemplo; “los gatos son felinos”, que es una proposición simple, se convertiría en “p”. 1 2. Dentro de un mismo razonamiento no podemos utilizar la misma letra para distintas proposiciones ni letras distintas para la misma proposición. Por ejemplo, si en un razonamiento tenemos tres proposiciones, serán “p”, “q” y “r”, y a la que llamemos “p” siempre será exclusivamente “p”. 3. Las proposiciones compuestas o moleculares se unen entre sí mediante los llamados juntores o conectivas. Los que utiliza la lógica proposicional son los siguientes: NEGADOR: se representa mediante el símbolo ¬ colocado delante de la proposición que se quiere negar. Por ejemplo: “los gatos no son caninos” se representaría como ¬p, y se lee “no – p”. Hay que tener en cuenta que el negador no es estrictamente un juntor, porque no une nada, simplemente cambia el valor de la proposición. CONJUNTOR: se representa mediante el símbolo л colocado entre las proposiciones que queremos unir. Se lee “y”. por ejemplo: la proposición “los gatos son felinos y las vacas rumiantes”, se formaliza como “pлq” y se lee: “p y q”. DISYUNTOR: Se representa con el símbolo v colocado entre las proposiciones a unir. Se lee: “O”. Por ejemplo: “la puerta es ancha o verde” se representa como pvq” y se lee: “p o q”. IMPLICADOR O CONDICIONAL: Se representa con el símbolo → colocado entre las proposiciones a juntar. Se lee: “si … entonces”. Por ejemplo:, la proposición “si vas al cine (entonces) te quedarás sin dinero”, se representa como “p→q” y se lee: “si p entonces q” COIMPLICADOR O BICONDICIONAL”. Se representa mediante el símbolo ↔ colocado entre las proposiciones a unir. Se lee “si y solo si”. Por ejemplo: la proposición “si y solo si vas al cine” se representa como “p↔q” y se lee “p si y solo si q”. Además, las premisas suelen ir precedidas del símbolo “-“, y la conclusión del símbolo “┤”. 2 POTENCIA DE LAS CONECTIVAS Y USO DE PARÉNTESIS. Las conectivas tienen distinta potencia de unión entre sí. La conectiva con menos potencia es el, negador, seguido del conjuntor y disyuntor que tienen la misma potencia y por último los juntores con mayor potencia lógica son el condicional y el bicondicional, ambos a su ves iguales en potencia de unión. Por ejemplo, en la proposición compuesta “¬pvq→r”, el negador sólo afecta a “p”, el disyuntor afecta a “p” y a “q”, y el condicional, que es el más potente, afecta a todas las proposiciones. Cuando en una misma proposición compuesta existen conectiva con la misma potencia lógica, debemos usar paréntesis para destacar cuáles son las que tienen más potencia. También para destacar aquellos juntores que teniendo menos potencia de unión destacan sobre los demás, porque quedan fuera de los paréntesis. Lo que a su vez esté dentro pierde capacidad de unión sobre los demás. Ejemplo, si tenemos el argumento pvqлr, tenemos un conjuntor y un disyuntor con la misma potencia. Si quisiéramos que destacara el disyuntor, haríamos lo siguiente: pv(qлr), de manera que lo que queda entre paréntesis pierde fuerza de unión. Otro ejemplo: en la proposición p→qлr no hay duda de que el condicional manda sobre el conjuntor, pero si hacemos lo siguiente, (p→q)лr, al haberlo dejado entre paréntesis, es ahora el conjuntor el que cobra más fuerza de unión. Para repasar lo dicho, vamos a formalizar el siguiente argumento: “Carlos tendrá que ir al examen o fingirse enfermo. Si va al examen copiará o le suspenderán. No copiarán y no se fingirá enfermo. Luego le suspenderán”. TABLAS DE VERDAD. Las tablas de verdad sirven para comprobar si dadas unas proposiciones, se deriva necesariamente la conclusión. En la lógica proposicional se manejan dos valores de verdad. El valor de verdad “verdadero” que se representa como “V” o “1”, y el valor de verdad “falso”, que se representa como “F” o “0”. 3 Cada conectiva tiene sus propios valores de verdad y su propia tabla. Son las siguientes: NEGADOR. Una negación es verdadera si la proposición negada es falsa y es falsa si la proposición negada es verdadera. Si “p” es verdadero, “no p” será falso y viceversa. Su tabla es: p ¬p V F F V CONJUNTOR: Una conjunción es verdadera si todas las proposiciones conjuntadas son verdaderas y es falsa en cualquier otro caso. Así si decimos que “la puerta es ancha y verde” es porque se cumplen las dos condiciones”, si una de las dos falla, entonces es falso. Su tabla es p q pлq V V V V F F F V F F V F DISYUNTOR: Una disyunción es verdadera cuando aal menos una de las proposiciones o las dos son verdaderas, y falsa cuando ambas son falsas. Su tabla es: p q pvq V V V V F V F V V F F F 4 CONDICINAL: Un condicional es verdadero en todos los casos menos cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, es decir cuando tenemos “p→q”, (siendo “p” el antecedente y “q” el consecuente), si “p” es verdadero y “q” falso, el resultado es falso. Su tabla es: p q p→q V V V V F F F F V F F V BICONDICIONAL: Un bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas, es decir cuando ambas tienen el mismo valor. En los otros casos es falso. Su tabla es: p q p↔q V V V V F F F V F F F V COMO HACER TABLAS DE VERDAD: Cuando sólo manejamos dos proposiciones simples y queremos saber el valor de la conclusión según los valores de verdad que tengan las proposiciones, sólo tenemos que mirar la tabla correspondiente, pero cuando manejamos tres o más proposiciones simples, es necesario hacer la tabla de verdad para calcular todos los valores. Para empezar, primero tenemos que calcular el número de valores que tiene que tener la tabla. Eso se hace con la fórmula 2n, siendo “n” el número de proposiciones que tenemos. Así, por ejemplo, si en un argumento tenemos tres proposiciones “p, q y r”, los valores que tenemos que 5 utilizar serán 23, es decir 8. Si tuviéramos cuatro proposiciones serían 16, y así sucesivamente. El siguiente paso sería saber cómo combinar verdaderos y falsos para sacar todas las combinaciones posibles sin repetir ni dejar ninguna. Es fácil; en la primera columna se ponen la mitad de valores verdaderos y la mitad falsos. En la segunda la mitad de la mitad, en la tercera la mitad de la mitad que en la segunda y así sucesivamente. Ejemplo: tenemos un argumento de tres proposiciones; luego necesitamos ocho valores. Ponemos cuatro verdaderos y cuatro falsos en la primera columna, dos verdaderos, dos falsos, dos verdaderos y dos fasos en la segunda y uno y uno en la tercera. Para resolver una tabla de verdad hay que seguir los siguientes pasos. Primero debemos quitar los paréntesis si los hubiera, seguidamente los corchetes en caso de haberlos, después los juntores con menor potencia de unión y por último los juntores con mayor potencia. Vamos con un ejemplo en el siguiente argumento: (p→q)vr. Primero construir la tabla: p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F V 6 Son ocho filas con la mitad de valores que en la anterior. Ahora tenemos que quitar el paréntesis, que es un condicional. Para eso miramos la tabla de este juntor y lo quitamos: p q p→q V V V V V V V F F V F F F V V F V V F F V F F V Por último, unimos el resultado del condicional con “r” mediante el disjuntor, mirando su tabla. p q r p→q (p→q)vr V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V V F F V F V V F F V V V F F F V V 7 Ten en cuenta que primero tienes que mirar la columna del condicional y luego la “r”. No vale alterar el orden. Cuando en una tabla de verdad resuelta todos los valores son verdaderos es una tautología o verdad necesaria. Ejemplo: “si Juan está casado entonces no está soltero”. Cuando todos los valores son falsos, es una contradicción. Ejemplo: “llueve y no llueve”. Cuando hay valores verdaderos y falsos es una indeterminación. Ejemplo: “llueve o nieva”. RESUELVE LA SIGUIENTE TABLA DE VERDAD señalando de qué se trata. pvq→r 8