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Trigonometría
5°año
Las definiciones que solo aplicábamos a ángulos agudos se pueden extender a ángulos generales.
  1cuadrante
  2cuadrante
  3cuadrante
  4cuadrante
Sea  un ángulo arbitrario (se considera positivo si ha sido generado girando el lado inicial en sentido
contrario al de las agujas del reloj, y negativo si el giro es del mismo sentido que el de las agujas del reloj) y
(a;b) las coordenadas cartesianas de un punto P situado en su lado terminal, a una distancia r  a2  b2 del
origen (por el Teorema de Pitágoras).
El triángulo rectángulo, indicado en cada caso en las figuras de arriba, se llama triángulo de referencia del
ángulo  correspondiente. Observá que tiene un cateto en el eje x, de longitud a y otro vertical, de longitud
b.
Con estas referencias definimos, siempre que los denominadores no se anulen:
sen 
b
r
cos 
a
r
tg  
b
a
Trigonometría
5°año
Razones trigonométricas
Las definiciones de seno, coseno y tangente, las presentamos como cocientes de longitudes, de ahí surge el
nombre de razones. Sea cual sea el radio del círculo escogido, la razón trigonométrica nos da siempre el mismo
valor.
Otra forma de verlos, más intuitiva, consiste en tomar la circunferencia trigonométrica o circunferencia de
unidad (circunferencia de radio 1 centrado en el origen de coordenadas).
La rotación del segmento OP, con centro en (0,0) y el ángulo de giro  , corta a la circunferencia en el punto P y
determina un triángulo rectángulo OPQ (nuestro triángulo de referencia definido anteriormente).

cateto opuesto

PQ
sen 
 sen 

hipotenusa
1




cateto adyacente
OQ
Como sabemos , cos  
entonces, para la circunferencia trigonométrica cos  
1
hipotenusa




PQ
cateto opuesto
tg  
tg  
OQ
cateto adyacente


En este caso especial el seno se relaciona con el cateto vertical PQ (eje y) y el coseno con el horizontal OQ(eje
x).
Trigonometría
5°año
De esta manera tenemos una representación geométrica del seno, del coseno y de la tangente de un ángulo,
mediante segmentos asociados.
EL seno y el coseno se reducirían a las expresiones:
sen  y
cos   x
Signos de las razones trigonométricas
1°cuadrante
2°cuadrante
x  0  cos   0
x  0  cos   0
y  0  sen  0
y  0  sen  0
Trigonometría
5°año
3° cuadrante
4°cuadrante
x  0  cos   0
x  0  cos   0
y  0  sen  0
y  0  sen  0
De otra forma…
Sistema de medición de ángulos
Para mediar ángulos se pueden usar distintos sistemas de medición.
Sistema sexagesimal : la unidad de medida es el grado sexagesimal, que se obtiene de dividir el ángulo
recto en 90 partes iguales. Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto sexagesimal y el
segundo sexagesimal.
Trigonometría
5°año
Sistema circular: la unidad de medida es el radián. Se llama radián al ángulo que abarca un arco de
circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma.
El valor de un ángulo de un giro es 2 radianes.
equivalencias
Sistema circular
Sistema sexagesimal
90°

2
180°
360°

2
Para calcular la amplitud de cualquier ángulo en radianes, solo bastará con armar una tabla de
proporcionalidad…
360 2 rad

45 x(rad)
Y despejar la incógnita….
45.2 rad

 x(rad) . Entonces 45  rad .
360
4
Trigonometría
5°año
Amplicamos trigonometría a los ángulos de los otros cuadrantes
Ángulos simétricos respecto del eje y
Analicemos que pasa si tomamos un ángulo de 45°, osea
calculamos su seno obtenemos: sen
bien

4
y

rad, el cual pertenece al 1° cuadrante. Si
4
2

3
=
.Ahora comparémoslo con el ángulo
……Si observás
2
4
4
3
son simétricos respecto del eje y.¿Tendrán alguna relación?
4
Los triángulos de referencias son los mismos, por lo tanto los segmentos asociados tienen las mismas
longitudes y por ende sen

4
 sen
3
2

.
4
2
Veamos si pasa lo mismo cuando calculamos el coseno de esos ángulos:
cos

4

3
2
2

pero cuando calculamos el coseno cos
4
2
2
¿cómo se explica?
Fácil. Como vimos el seno está relacionado con el eje y, el triángulo de referencia es el mismo y los
signos de los segmentos asociados también.
Pero el coseno está asociado al eje x, en el primer cuadrantes es positivo pero en el segundo negativo.
Así se explica que den resultados opuestos.
Si
 y  son ángulos simétricos respecto del eje de ordenadas, eje y, entonces siempre se cumple que
sen  sen  y cos  cos 
Trigonometría
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Ángulos simétricos respecto del eje x
2
 perteneciente al 2° cuadrante y buscamos su simétrico respecto
3
4
del eje de abscisas, encontramos que es  perteneciente al 3° cuadrante.
3
Si elegimos, por ejemplo, al ángulo
4
3
sen   
, vemos que nos da el resultado
3
2
2
1
4
1
opuesto. Si calculamos los cosenos cos    y cos    , vemos que el resultado es el mismo.
3
2
3
2
Por lo tanto, si  y  son ángulos simétricos respecto del eje de abscisas, eje x:
Si calculamos el seno de ambos ángulos:

y
sen   sen  y cos  cos 
Ecuaciones trigonométricas
De acuerdo con el análisis que venimos haciendo las ecuaciones trigonométricas tendrían infinitas
soluciones, pero ¿cómo hacemos para escribirlas todas?
Analicemos por ejemplo, cos x=0,5. Vimos que cuando calculábamos el coseno de un ángulo, si
2 .
dábamos un giro completo volvíamos a obtener el mismo valor, porque tiene período
Por lo tanto cada 2 habrá una solución de esta ecuación. Por eso lo que se suele hacer es pedir el
conjunto solución de una ecuación dentro de un intervalo determinado.
Busquemos la solución en el intervalo  0;2  . Sabemos que el coseno es positivo tanto en el primer
cuadrante como en el cuarto, es decir que tenemos que buscar un ángulo del primer cuadrante cuyo
coseno sea 0,5 y otro en el cuarto que cumpla la misma condición.
Empecemos calculando el primer ángulo….
Trigonometría
cos x  0,5
 x  ar cos 0,5
Busquemos el simétrico de

3
y
 x  60 

3
5°año
rad .

perteneciente al 4° cuadrante:
3
5
  5 
son simétricos respecto del eje x. Asi queda determinado el conjunto solución S   ;
.
3
3 3 
Funciones trigonométricas
Veamos los valores que toman los ángulos representados en la circunferencia trigonométrica, armemos
una tabla de valores y pasémoslos a un gráfico cartesiano, donde el eje de abscisas estén como
referencias los múltiplos de ángulo en radianes y el eje de ordenadas graduémoslo de -1 a 1.

0
sen
0

4
2
2

2
3
4

1
2
2
0
5
4

2
2
3
2
-1
7
4

2
2
2
0
Trigonometría
5°año
Si observamos la circunferencia trigonométrica podemos ver que los puntos pertenecientes a esta toman
valores entre -1 y 1, en los cuatro cuadrantes. Esto ocurre porque pertenecen a una circunferencia de
radio 1.
Por lo tanto f (x)  senx tiene como conjunto imagen al intervalo  1;1 .pero como x puede tomar
cualquier valor real tiene como dominio al conjunto
.
Pensemos algo… si en la circunferencia trigonométrica marcamos un ángulo
 y otro   2 , llegamos
al mismo punto; por lo tanto, queda determinado el mismo triangulo rectángulo, entonces:
sen  sen    2 
cos  cos    2 
tg  tg    2 
Lo mismo ocurre cuando sumo o resto cualquier cantidad de giros, lo que es lo mismo que sumarle a
 un múltiplo de 2 , es decir,   2k , con k  .
Por lo tanto la función seno es periódica, lo que también se observa en el gráfico. Tiene período 2 ,
es decir, completa una “onda” en ese intervalo. Luego se vuelven a repetir los mismos valores, una y
otra vez.
Si miras el grafico tiene máximos en x 

2
 2k , y mínimos en x 
También podrás encontrar que los ceros son k con k 
3
 2k con k  .
2
.
Coeficientes de las Funciones trigonométricas
Se llama amplitud a la altura que alcanza cada onda en los gráficos.
Trigonometría
5°año
La frecuencia es el número de veces que entra una onda en un período normal de la función (
2 ).
El ángulo de fase es el valor donde comienza el ciclo de onda que comenzaba en cero en la función
original.
Fórmulas:
f (x)  a.sen  bx  d   c
Período =
2
b
frecuencia= b
amplitud= a
Ángulo de fase= 
d
b
Trigonometría
5°año
Ejercicios resueltos
1) Hallar todos los valores de x que pertenecen al intervalo
y cos x =
3
.
2
0;2  tales que
sen x =
1
2
Trigonometría
2) Graficar la función f(x)=cos x +1 en
0;5 
5°año
Trigonometría
3) Graficar la función f(x)=2 sen (x-

) entre
3
conjuntos de negatividad y positividad.
5°año
0;5  .indicar conjuntos de ceros y
Trigonometría
4) Sea f(x)=5cos(2x)+1, determinar todos los x 0;2  que verifican f(x)=-4.
5) Sea f(x)=4sen(2x)-3, determinar todos los x   ;  que verifican f(x)=-1.
5°año
Trigonometría
6) Hallar los ceros de la función f(x)=2 sen(x+
0;2  .
5°año

)+1, que pertenezcan al intervalo
4