Download reglas de derivación

COLEGIO UNIVERSITARIO SOCORRO
Área de matemáticas
Grado 11
PROFESOR: Esp. MANUEL GOMEZ CARREÑO
OTRAS NOTACIONES DE LA DERIVADA:
La derivada de la función f en x se nota como 𝑓′(𝑥), pero existen dos formas más de representarla.
1) 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) que se lee derivada en x de 𝑓(𝑥).
2)
Notación de Leibniz: Geométricamente la derivada de f
en x es la pendiente de la tangente a la curva en el punto de
tangencia, por lo tanto:
Δ𝑦
∆𝑥→0 Δ𝑥
Cuando ∆𝑥 → 0 también ∆𝑦 → 0 , lo cual llevó a Leibniz a
𝑑𝑦
utilizar para la derivada el símbolo 𝑑𝑥 así:
𝑓 ′ (𝑥) = lim
𝑑𝑦
Δ𝑦
= lim
∆𝑥→0
𝑑𝑥
Δ𝑥
En la notación de Leibniz dy y dx se denominan diferencial de y
y diferencial de x, respectivamente.
La derivada de la función f evaluada en el punto 𝑥 = 𝑎 se nota 𝑓′(𝑎), 𝐷𝑎 𝑓(𝑥) y
𝑑
𝑓(𝑥)|
𝑑𝑥
𝑥=𝑎
en cada una de las
notaciones de derivada.
Ejemplos:
1) Si 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 + 5 entonces la derivada de f en x es 𝑓 ′ (𝑥) = 12𝑥 2 + 4𝑥 − 3, pero la derivada
evaluada en 𝑥 = −2 es 𝑓 ′ (−2) = 12(−2)2 + 4(−2) − 3 = 37
2) 𝐷𝑡 (𝑡 4 − 5) = 4𝑡 3 , entonces la derivada evaluada en 𝑡 = 1/2 es 𝐷1/2 (𝑡 4 − 5) = 4(1/2)3 = 1/2
3) Si 𝑤 = 5𝑧 2 + 3𝑧 − 1 entonces
𝑑𝑤
|
𝑑𝑧 𝑧=−1
𝑑𝑤
𝑑𝑧
= 10𝑧 + 3 , por lo tanto, la derivada de w evaluada en 𝑧 = −1 es
= 10(−1) + 3 = −7
REGLAS DE DERIVACIÓN
Las reglas de derivación, utilizando la notación de Leibniz son:
Si k es una constante y u y v son funciones derivables en x, entonces:
𝑑
𝑘=0
𝑑𝑥
𝑑

𝑥=1
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
 𝑑𝑥 𝑘 𝑢(𝑥) = 𝑘 𝑑𝑥 𝑢(𝑥)


𝑑 𝑛
𝑥 = 𝑛 𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
𝑑
[𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥)] =
𝑢(𝑥) ±
𝑣(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
𝑑

[𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)] = 𝑣(𝑥) 𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
𝑣(𝑥) 𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
 𝑑 [𝑢(𝑥)] =
[𝑣(𝑥)]2
𝑑𝑥 𝑣(𝑥)

Ejemplos:
𝑑 3
1
√𝑥 = 3 2
𝑑𝑥
3√𝑥
1)
𝐷𝑡 (3𝑡 2 + 5𝑡 − 3) = 6𝑡 + 5
3)
Si 𝑉 = 3 𝜋𝑟 3 entonces 𝑑𝑟 = 4𝜋𝑟 2 (desarrollar los pasos intermedios)
4
2)
(desarrollar los pasos
intermedios)
𝑑𝑉
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1) Derivada de la función seno
𝑑
sin(𝑥 + ℎ) − sin 𝑥
sin 𝑥 = lim
𝑑𝑥
ℎ
ℎ→0
⋮
completar proceso
⋮
𝑑
sin 𝑥 = cos 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
2) Derivada de la función coseno: 𝑑𝑥 cos 𝑥 = − sin 𝑥 (demostrarlo)
3) Derivada de la función tangente:
𝑑
tan 𝑥
𝑑𝑥
= sec 2 𝑥
𝑑
4) Derivada de la función cotangente: 𝑑𝑥 cot 𝑥 = −csc 2 𝑥
𝑑
5) Derivada de la función secante: 𝑑𝑥 sec 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥
𝑑
6) Derivada de la función cosecante: 𝑑𝑥 csc 𝑥 = −csc 𝑥 cot 𝑥
EJERCICIO
1) Demostrar las reglas de derivación de las funciones trigonométricas
2) Evaluar la derivada indicada. (Utilice las reglas de derivación)
a)
𝑑𝑦
|
𝑑𝑥 𝑥=2
si 𝑦 = 5𝑥 3 + 7𝑥 2 − 9
5
1
b) 𝑓´(−1) si 𝑓(𝑥) = √𝑥 3 − 2
c) 𝐷−1 [5𝑡 1⁄5 − 3𝑡 2⁄3 ]
3) Derivar las siguientes funciones
a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 3 − 7)(2𝑥 2 + 3)
b) 𝑔(𝑡) = (2𝑡 2 − 45 + 7)(5𝑡 3 + 𝑡 − 2)
c) ℎ(𝑟) = 5𝑟 3 (𝑟 4 + 2𝑟 3 − 7𝑟 + 5)
d) 𝐺(𝑤) = 𝑤 3 −1
e) ℎ(𝑥) =
8𝑥 2 −6𝑥+11
𝑥−1
g) 𝑘(𝑧) =
𝑧 3 +3𝑧−4
𝑧 2 +4
𝑤 3 +4
8𝑡+15
f) 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 −2𝑡+3
4) Encuentre la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva dada en el punto dado. Construya las
gráficas en geogebra.
a) 𝑓(𝑥) =
4
1+𝑥 2
𝑒𝑛 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = −2
b) 𝑦 = (3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 1) en 𝑥 = −1, 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 2
5) La curva 𝑦 = 1⁄(1 + 𝑥 2 ) se llama bruja de Agnesi. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en
𝑥 = −1.
6) Sean f y g dos funciones derivables tales que 𝑓(2) = 3, 𝑓´(2) = −1, 𝑔(2) = −5 𝑦 𝑔´(2) = 2. Encuentre los
siguientes valores:
a) (𝑓 + 𝑔)′(2)
b) (𝑓 − 𝑔)′(2)
c) (𝑓𝑔)′(2)
d) (𝑓/𝑔)′(2)
e) (4𝑓)′(2)
f) (𝑔 − 𝑓)′(2)
g) (𝑔/𝑓)′(2)
h) (𝑓𝑓)′(2)
i)
(−5𝑓)′(2)
7) Considere que 𝑓(5) = −3, 𝑓´(5) = −2, 𝑔(5) = 4 y 𝑔´(5) = 4. Encuentre ℎ´(5).
a) ℎ(𝑥) = 5𝑓(𝑥) − 4𝑔(𝑥)
b) ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
c) ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥)
d) ℎ(𝑥) = 1+𝑓(𝑥)
8) Encuentre los puntos donde la tangente a la curva 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12𝑥 + 1 es horizontal. Compruebe el
resultado gráficamente en geogebra.
9) Encuentre los puntos donde la tangente a la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 + 3 es horizontal. Compruebe el
resultado gráficamente en geogebra.
10) La ecuación del movimiento de una partícula es 𝑠 = 𝑡 3 − 3𝑡, donde s está en metros y t en segundos. Hallar:
a) La velocidad y la aceleración como funciones de t.
b) La posición, velocidad y aceleración cuando 𝑡 = 2 segundos.
c) La aceleración y la posición cuando la velocidad es cero.
𝑡
11) La ecuación del movimiento de una partícula es 𝑠 = 𝑡 2 +1 , donde s está en metros y t en segundos. Hallar:
a) La velocidad y la aceleración como funciones de t.
b) La posición, velocidad y aceleración cuando 𝑡 = 2 segundos.
c) La aceleración y la posición cuando la velocidad es cero.
12) Derivar las siguientes funciones:
b) 𝑦 = 5 tan 𝑥 − 3 sec 𝑥
a) 𝑦 = √𝑥 − 2 cos 𝑥
1
1+sin 𝑡
1+cos 𝑡
c) 𝑦 =
1+sin 𝑥
cos 𝑥
sec 𝜃
d) 𝑓(𝑡) = 2 cot 𝑥 − 5 csc 𝑥
e) 𝑠(𝑡) =
g) 𝑦 = 𝑥(cos 𝑥 + 𝑥)
h) 𝑔(𝑧) = 𝑧 3 tan 𝑧
f) 𝑓(𝜃) = 1+sec 𝜃
i)
𝑦 = 𝑥 2 sin 𝑥 tan 𝑥
13) Encuentre la ecuación de la curva tangente a la curva en el punto dado. Compruebe el resultado gráficamente
en geogebra:
a) 𝑦 = 2𝑥 sin 𝑥 en 𝑥 =
𝜋
2
b) 𝑦 = sec 𝑥 − 2 cos 𝑥 en 𝑥 = 𝜋/3
14) Una masa en un resorte vibra horizontalmente sobre una superficie lisa y nivelada, en un movimiento
armónico simple. Su ecuación del movimiento es 𝑥(𝑡) = 8 sin 𝑡, donde t está
en segundos y x en cm.
a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t.
b) Encuentre la posición, velocidad y la aceleración cuando 𝑡 = 2𝜋/3
segundos
15) Una banda elástica cuelga de un gancho con una masa sujeta en el extremo inferior. Cuando la masa se tira
hacia abajo y luego se deja en libertad, vibra verticalmente con MAS. La ecuación del movimiento de la masa
es 𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 3 𝑠𝑖𝑛 𝑡 con 𝑡 ≥ 0, donde x se mide en cm y t en segundos. (tome como dirección positiva
del movimiento hacia abajo).
a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t.
b) Construya las gráficas de la posición, la velocidad y la aceleración.
c) ¿En qué instante pasa la masa por la posición de equilibrio (x = 0) por primera vez?
d) ¿Qué tan lejos de su posición de equilibrio viaja la masa?
e) ¿Cuándo es máxima la velocidad?
16) Desde el borde de la azotea de un edificio se lanza hacia arriba un objeto. A los t segundos el objeto está a
una altura ℎ = −16𝑡 2 + 48 𝑡 + 256 pies.
a) ¿Cuáles son la posición y velocidad iniciales? ¿Qué representa la posición inicial?
b) ¿Cuándo alcanza su altura máxima y cuál es su valor?
c) ¿Cuánto tiempo demora en caer al suelo y cuál es su velocidad?
17) Una pelota rueda a lo largo de un plano inclinado de modo que su distancia s desde su punto de inicio después
de t segundos es 𝑠 = 5𝑡 2 + 2𝑡 pies. ¿Cuándo su velocidad es de 30 pies/seg y qué distancia ha recorrido?
18) Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, 5) y son tangentes a la curva 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 .
19) Una viajera espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva 𝑦 = 𝑥 2 . Cuando apaga los
motores continúa moviéndose la línea recta a lo largo de la tangente en el punto donde se encuentra en ese
momento. ¿En qué punto debe apagar los motores para que pase por el punto (4, 15)?
20) Una mosca se arrastra de izquierda a derecha a lo largo de la parte superior de la curva 𝑦 = 7 − 𝑥 2 . Una araña
espera en el punto (4,0). Determine la distancia entre los dos insectos cuando se ven por primera vez.