Download Examen noviembre 2013

+Examen física primer parcial noviembre 2013
1. Dado el vector deslizante v=i+2j+k, cuya recta soporte pasa por el punto A(1,-2,1)
calcular el momento axial respecto al eje de ecuación
𝑥−2 𝑦−1 𝑧−1
0
=
3
=
3
Solución con explicación: tenemos los siguientes datos:
-Vector deslizante:(1,2,1): lo llamaré 𝑣⃗
-Punto del vector deslizante:(1,-2,1):lo llamaré A
-Vector recta:(0,3,3) lo llamaré 𝑒⃗
-Punto de la recta: (2,1,1) lo llamaré P
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
La fórmula del momento axial es la siguiente: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒⃗
𝑀𝑝∙
|𝑒|
Para calcular ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑝: aplicamos: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐴^𝑣⃗
𝑖
|−1
1
𝑗
−3
2
𝑘
0|=-3i+j+k=(-3,1,1)
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒⃗
𝑀𝑝∙
Aplicando la fórmula: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 = |𝑒|
(−3,1,1)∙(0,3,3)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 =
=
√18
6
=
2
√18 √2
Como podemos comprobar, el momento axial es una magnitud escalar
2. Un sólido está sometido a las rotaciones 𝑤
⃗⃗⃗1 y 𝑤
⃗⃗⃗2, siendo A y O puntos de sus respectivas
rectas soportes; además se traslada con una velocidad de traslación:
⃗⃗ = 2𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘
𝑇
𝑤
⃗⃗⃗1= 2i
A(0,1,0)
𝑤
⃗⃗⃗2= 2k
0(0,0,0)
𝑤
⃗⃗⃗ = 𝑤
⃗⃗⃗ 1 +𝑤
⃗⃗⃗2 = (2,0,2)
Calcular:
a) La velocidad de los puntos 0 y A
-
Una forma práctica de calcular la velocidad en cualquier punto es calcularla primero en el
punto 0. En este caso nos piden la velocidad en este punto, por lo que primero lo calculamos
en 0 y luego en A.
Aplicamos la fórmula:𝑣⃗ 0 =∑ 𝑇𝑖 + ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑜𝑤
⃗⃗⃗
𝑖
𝑣⃗ 0= (2,2,2)+ |0
2
𝑗
1
0
𝑘 𝑖
0|+|0
0 0
𝑗
0
0
𝑘
0|=(2,2,2)+(0,0,-2)=(2,2,0)
2
𝑣⃗ a=𝑣⃗ 0 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑂 ^𝑤
⃗⃗⃗
𝑖
𝑣⃗ a =(2,2,0)+ |0
2
𝑗
−1
0
𝑘
0| = (2,2,0)+ (-2,0,2)=(0,2,2)
2
b) Velocidad en punto genérico M(x,y,z)
Aplicamos una fórmula similar a la del apartado anterior: 𝑣⃗ m=𝑣⃗ 0 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑂^𝑤
⃗⃗⃗
𝑖
𝑣⃗ m=(2,2,0)+ |−𝑥
2
𝑗
−𝑦
0
𝑘
−𝑧|=(-2yi-2zj+2yk+2xj)=(2-2y,2+2x-2z,2y)
2
Para comprobar si el resultado es correcto, sustituyo en las coordenadas(x,y,z) el punto
A(0,1,0),y si da (0,2,2),el resultado es correcto.
c) Invariantes del sistema y vector 𝑣⃗ min
Invariante 1: |𝑤|=√4 + 4=√8=2√2
Invariante 2: 𝑤
⃗⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ 0=(2,0,2)(2,2,0)=4
Invariante 3:
𝑣⃗ min=
⃗⃗⃗∙𝑣
⃗⃗0
𝑤
|𝑤|
⃗⃗⃗∙𝑣
⃗⃗0
𝑤
|𝑤|
⃗⃗⃗
𝑤
∙ |𝑤|=
2
√2
=
∙
4
2
=
2√2 √2
(2,0,2)
2√2
=(1,0,1)
d) Ecuación del Eje Instantáneo de Rotación y Deslizamiento(EIRD)
Fórmula EIRD:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦−𝑂𝐻
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑦
𝑥−𝑂𝐻𝑥
𝑤𝑥
=
𝑤𝑦
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑧
𝑧−𝑂𝐻
𝑤𝑧
𝑤
⃗⃗⃗=(2,0,2)
𝑣⃗ 0=(2,2,0)
Fórmula para calcular ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑂𝐻
EIRD:
{
𝑖
|2
2
𝑥+
2
1
2
⃗⃗⃗^𝑣
⃗⃗0
𝑤
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻 = |𝑤|2
𝑗 𝑘
0 2|
1 1 1
2 0
=(− , , )
8
2 2 2
=
𝑦−
𝑦 = 1/2
𝑥 =𝑧−1
0
1
2
=
𝑧−
2
1
2
en forma continua
como intersección de dos planos
3. Un cuerpo sigue una trayectoria cuyo vector posición es 𝑟⃗=t2i+tj+k. Calcular:
a) Velocidad: módulo y vector.
Para calcular el vector velocidad (𝑣⃗), derivamos 𝑟⃗ en función de t. De esta forma: 𝑣⃗ = 2𝑡𝑖 + 𝑗
(m/s)
Para calcular el módulo de v (|𝑣 |), aplicamos: |𝑣 | = √(𝑉𝑥)2 + (𝑉𝑦)2 + (𝑉𝑧)2
De esta forma: |𝑣 | = √4𝑡 2 + 1 (m/s)
b) Vector aceleración: Para calcular el vector aceleración (𝑎⃗), derivamos 𝑣⃗ en función de t. De esta
forma: 𝑎⃗ = 2𝑖 (m/s2)
c) Componentes intrínsecas de la aceleración: tangencial y normal.
Cuando nos piden las componentes intrínsecas de la aceleración, solo tenemos que dar el módulo
de éstas.
IatI= es la derivada del módulo de la velocidad respecto al tiempo.
4𝑡
IatI= √4𝑡 2
+1
(m/s2)
IanI= es la raíz cuadrada del módulo de la aceleración al cuadrado menos el módulo de la
aceleración tangencial al cuadrado: IanI2=IaI2-IatI2
De esta forma IanI=√4 −
16𝑡 2
4𝑡 2 +1
=√
16𝑡 2 +4−16𝑡 2
4𝑡 2 +1
2
= √4𝑡 2
+1
(m/s2)
4.Un punto material realiza un movimiento circular cuyo vector posición en función del
tiempo es: 𝑟⃗ = 2cos2ti + 2sen2tj. Calcular:
a) El desplazamiento angular 𝜑(𝑡 ), la velocidad angular 𝜔 y la aceleración angular 𝛼.
Sacando factor común: 𝑟⃗ = 2(cos2ti + sen2tj)
Como 𝑟⃗ = R ∙ (cos 𝜑𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝜑𝑗). Deducimos que 𝜑 = 2𝑡 (rad)
𝜔 es la derivada de 𝜑 respecto al tiempo : 𝜔 =
𝛼 es la derivada de 𝜔 respecto al tiempo :𝛼 =
𝑑𝜑
𝑑𝑡
𝑑𝜔
𝑑𝑡
.Deducimos que 𝜔 = 2 (rad/s)
. Deducimos que 𝛼 = 0 (rad/s2)
b) Vector velocidad instantánea⃗⃗⃗⃗(t)
𝑣 y módulo IvI
⃗⃗⃗⃗(t)=
𝑣
𝑑𝑟⃗
𝑑𝑡
. ⃗⃗⃗⃗(t)=4(-sen2ti+cos2tj)
𝑣
Como 𝑣⃗(t)=IvI∙ 𝑢
⃗⃗ t , y 𝑢
⃗⃗t= -sen𝜑+cos𝜑. Deducimos que IvI=4 (m/s)
c) Componentes intrínsecas de la aceleración:
𝑎⃗n=
𝑑⃗⃗⃗⃗
𝑣
.Por tanto, 𝑎⃗n=8(−𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑖 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑗)
𝑑𝑡
(m/s2)
Como 𝑎⃗n(t)=IanI ∙ 𝑢
⃗⃗n , y 𝑢
⃗⃗n= -cos𝜑-sen𝜑. Deducimos que IanI=8
𝑎⃗t=R∙ 𝛼 ∙ 𝑢
⃗⃗t . Como α=0, no existe aceleración tangencial. Por tanto: IatI=0
d) Vector aceleración instantánea⃗⃗⃗⃗
𝑎t y su módulo
En este caso, como 𝑎⃗t=0, la aceleración va a ser igual que la aceleración normal y su módulo. Por
tanto: 𝑎⃗=8(−𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑖 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑗)
IaI=8
(m/s2)
5. Una partícula de masa=2kg está sometida a la acción de una fuerza:
𝐹⃗ = (-3x2 +4x)i-2yj-3k (N)
a)Indicar si la fuerza es conservativa:
Una fuerza es conservativa si ⍢^𝐹⃗ =0 . Para ello, hacemos el siguiente determinante:
𝑖
𝑗
𝑘
𝑖
𝑗
𝑘
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦
𝑑𝑧
−2𝑦
−3
| 𝑑𝑥
𝑑𝑦
|=|
𝑑𝑧
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝐹𝑧
−3𝑥 + 4𝑥
Esto es así porque por Sarrus, por ejemplo,
| = 0.
𝑑(−3)
𝑑(−2𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑦
=0,
𝑑(−3𝑥 2 +4𝑥)
= 0,
𝑑𝑥
=0
Una regla memorística es saber si en la fuerza, el componente de las i tiene solo x (y/o número sin
variable), el componente de las j tiene solo y (y/o número sin variable), el componente de las k
tiene solo z (y/o número sin variable).
En este caso, el componente i solo tiene x, el componente j solo tiene y, el componente k tiene
número sin variable
Por tanto, la fuerza es conservativa
b) Obtener la energía potencial de la partícula considerando U(0,0,0)=0
En este apartado, tenemos que aplicar:
Fx=
−𝑑𝑈
𝑑𝑥
Fy=
−𝑑𝑈
𝑑𝑦
𝑑𝑈 = −𝐹𝑥𝑑𝑥 − 𝐹𝑦𝑑𝑦 − 𝐹𝑧𝑑𝑧
U=∫ −𝐹𝑥𝑑𝑥 − 𝐹𝑦𝑑𝑦 − 𝐹𝑧𝑑𝑧
Fz=
−𝑑𝑈
𝑑𝑧
U=∫(3𝑥 2 − 4𝑥)𝑑𝑥 + (2𝑦)𝑑𝑦 + (3)𝑑𝑧
U=x3-2x2+y2+3z+C
Como U(0,0,0)=0
C=0
U= x3-2x2+y2+3z
c) Calcular el trabajo realizado por la fuerza 𝐹⃗ cuando la partícula se desplaza desde 0(0,0,0) hasta
A (1,1,1)
Existen dos caminos distintos que al final llegan al mismo resultado:
Método 1: W=-Δ𝑈=U0-Ua=0-3=-3J. He sustituido el punto 0 y A en U
Método 2: por definición de trabajo. W=∫ 𝐹 ⋅ 𝑑𝑟
W=∫ 𝐹𝑑𝑥 + 𝐹𝑑𝑦 + 𝐹𝑑𝑧
𝐹⃗ = (-3x2 +4x)i-2yj-3k (N)
1
W= -x3+2x2-y2-3z{ =(-1+2-1-3)-0=-3 J
0
d) Si la velocidad de la partícula en la posición 0 (0,0,0) es v0=4 m/s, calcular la velocidad en el
punto A(1,1,1)
Como es un campo conservativo, no varía la energía mecánica. Por tanto:Ema=Em0
Como la energía mecánica es la suma de la Ec y U, tenemos:EcA+UA=Ec0+UB
Ec= (mv2/2)
Tenemos la masa(2kg), la velocidad en el punto 0 (4m/s) y la energía potencial en A(3J) y 0(0J), por
lo que solo nos queda por despejar la energía cinética en A.
Eca=Ec0+U0-UA Despejamos: Eca=16-3=13(J)
13=mv2/2; v=√13 (m/s)
6. El trabajo realizado por una fuerza 𝐹⃗ para trasladar una partícula de masa m desde una
posición a otra es: (indicar si es verdadero o falso y argumentarlo muy brevemente)
-Siempre igual a la variación de energía potencial
Falso. Solo es verdad si estamos hablando de un campo conservativo
-Siempre igual a la variación de energía cinética
Verdadero. El teorema de la energía cinética relaciona el trabajo con la variación de energía
cinética, y es válido para todo tipo de fuerzas, ya sean conservativas o no conservativas
-Siempre independiente del camino seguido
Falso. Solo es cierto si estamos hablando de fuerzas conservativas
-Producto vectorial de la fuerza por el desplazamiento
Falso. Por definición, 𝑊 es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento