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Colegio Alberto Blest Gana
“Jóvenes emprendedores para el siglo XXI”
Coordinación Académica
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SUBSECTOR DE APRENDIZAJE: Mecánica (Plan Diferenciado)
NOMBRE GUIA Y/O MÓDULO DE APRENDIZAJE: Gravitación y Leyes de Kepler
NIVEL: 3º Medio
PROFESORA: María Alejandra Palma
OBJETIVOS GUIA Y/O MODULO DE APRENDIZAJE:
 Reconocer las leyes que determinan el movimiento de objetos masivos cerca de la superficie de la terrestre
(velocidades de impacto, alturas máximas, tiempo de vuelos, etc.).
 Reconocer movimiento vertical: Caída libre y lanzamiento vertical hacia arriba. Lanzamiento horizontal e inclinado.
 Identificar las magnitudes físicas involucradas, con sus respectivas unidades en ambos sistemas (SI, CGS).
 Resuelven ejercicios, aplicando las relaciones matemáticas para cada uno de estos movimientos a problemas.
 Reconocer las Leyes de Kepler, su significado y utilidad astronómica, para calcular radios de orbita.
 Reconocer la Ley de gravitación universal de Newton, sus aplicaciones prácticas en astronomía, como el cálculo de
la masa de algunos astros.
 Para cada ley deben identificar las magnitudes físicas involucradas con sus unidades en ambos sistemas de
medición.
 Aplicar estas leyes a problemas.
En esta guía recordaremos los conceptos ya estudiados en clase sobre GRAVITACION Y LEYES DE KEPLER, para preparar el
examen final de física, los objetivos a evaluar son los ya mencionados .En esta guía encontraras conceptos, ejercicios resueltos y
otros para que tú los resuelvas, puedes usar tú calculadora cuando sea necesario, en los horarios de atención revisaremos y
clarificaremos tus preguntas, es importante que traigas el desarrollo que tú haz realizado de estos ejercicios y escritas todas tus
preguntas, para poder avanzar.
Te puedes apoyar en tu cuaderno, el texto escolar y en las siguientes paginas de referencias:
www.resueltoscbc.com.ar/teoricos/biofisica/pdf/T1-3.pdf
es.wikipedia.org/wiki/Trayectoria_balística
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Caída Libre:
Sabemos que si soltamos un martillo y una pluma o una hoja de papel desde una
misma altura, el martillo alcanzará primero el piso. Si arrugamos el papel dándole
forma de bola se observa que ambos objetos llegarán al piso casi al mismo tiempo.
Fue él célebre italiano Galileo Galilei quien rebatió la concepción de Aristóteles al
afirmar que, en ausencia de resistencia de aire, todos los objetos caen con una misma
aceleración uniforme. Pero Galileo no disponía de medios para crear un vacío
succionando el aire. Las primeras máquinas neumáticas capaces de hacer vacío se
inventaron después, hacia el año 1650. Tampoco disponía de relojes suficientemente
exactos o de cámaras fotográficas de alta velocidad.
Pero en el año 1971 un astronauta realizó en la Luna, donde no existe atmósfera, el
experimento de soltar desde una misma altura y simultáneamente un martillo y una
pluma. Ambos objetos hicieron contacto con la superficie lunar al mismo tiempo.
Cualquier objeto que cae libremente tiene una aceleración dirigida hacia abajo,
independientemente del movimiento inicial del objeto. La magnitud de esta aceleración
de caída libre(aceleración de gravedad) se denota con el símbolo g, cuyo valor varía
ligeramente con la altura y con la latitud. En la cercanía de la superficie de la Tierra el
valor de g es aproximadamente 9,8 m/s2. Ahora, la causa de esta aceleración fue
encontrada por Newton, quien estableció en su ley de Gravitación Universal que las
masas se atraen en proporción directa al producto de sus masas e inversamente a su
separación al cuadrado.
Es la masa de la Tierra la que origina esta aceleración de 9,8 m/s 2 en su superficie. La caída libre es un ejemplo común de
movimiento uniformemente acelerado (MUA), con una aceleración a = -9,8 m/s2. El signo menos indica que la aceleración está
dirigida en sentido contrario al eje en dirección vertical (eje apuntando verticalmente hacia arriba). Si se escoge el eje vertical en
dirección hacia la Tierra, la aceleración se toma como a =+9,8 m/s2.
Recordemos las ecuaciones de un MUA:
1
x  vit + at 2
2
Y velocidad final: v  vi  a  t
Posición:
Donde:
x = distancia recorrida de la persona o partícula, auto, etc, unidad en metros en el SI o en centímetros en el sistema CGS
v i = velocidad inicial de la persona o partícula, auto, etc.; su unidad de medida es
V = velocidad final, de una persona o partícula, auto, unidad en SI es
m
cm
en el SI y
en el sistema CGS
s
s
m
s
a = aceleración de la persona o partícula, auto, etc.; su unidad de medida es
m
cm
en el SI y 2 en el sistema CGS
2
s
s
t = tiempo del recorrido, su unidad de medida en ambos sistemas es el segundo
Ahora como la caída libre ocurre en el plano vertical, y la característica principal es que el movimiento ocurre con una velocidad
inicial cero (vi = o) ya dijimos que la aceleración (a) se reemplaza por aceleración de gravedad (g). Y el objeto cae o sea va hacia
abajo y el signo de g es positivo, las ecuaciones anteriores (de MUA) quedan así:
1
 g t2
2
v  g t
y
Donde:
y = Distancia o altura recorrida por el cuerpo o partícula, su unidad de medida en el SI
es el metro (m)
Vi = velocidad inicial de un cuerpo o partícula, auto, unidad en SI es
V = velocidad final de un cuerpo o partícula en el Si es el
m
s
t = tiempo del recorrido, su unidad de medida en el SI es el segundo
g = aceleración de gravedad, su unidad de medida en el SI es el
m
s2
m
s
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Ejemplos:
1) Un proyectil cae en caída libre desde 510 m de altura. Calcula la velocidad de impacto o sea la velocidad que se produce al
tocar al suelo.
Datos:
Primero necesitamos el tiempo en que llega al suelo, reemplazando:
y = 510 m
g = 9,8
1
 9,8  t 2
2
2
510 = 4,9  t (aproximando al entero)
2
104 = t
(extraemos raíz cuadrada)
m
s2
510 =
10 s = t
(aproximando al entero)
Ahora podemos calcular la velocidad de impacto así :
v = 9,8 ∙10 = 98 m/s ; o sea este proyectil impacta el suelo a 98 m/s
2) Desde lo alto de un edificio se deja caer en caída libre un objeto, el que impacta el suelo a los 10,2 s. Calcula la altura de la
cual fue lanzado este objeto y la velocidad de impacto.
Datos:
1
t = 10,2 s
y =  9,8  10 2  4,9  100  490m , o sea la altura del edificio es
g = 9,8
2
490m
v = 9,8  10,2  99,96m / s ; por lo tanto la velocidad de impacto de
este objeto es de 99,96 m/s
m
s2
Lanzamiento vertical hacia arriba:
En este caso para tirar o lanzar un objeto hacia arriba necesariamente la velocidad inicial debe ser diferente de cero, más
específicamente mayor de cero. Ademas como el cuerpo sube el signo de la aceleración de gravedad es negativo (g = - 9,8
Las ecuaciones que representan este movimiento son:
1
y  vi  t   g  t 2
2
v  vi  g  t
Donde:
y = Distancia o altura recorrida por el cuerpo o partícula, su unidad de medida en el SI
es el metro (m)
Vi = velocidad inicial de un cuerpo o partícula, auto, unidad en SI es
V = velocidad final de un cuerpo o partícula en el Si es el
m
s
m
s
t = tiempo del recorrido, su unidad de medida en el SI es el segundo
g = aceleración de gravedad, su unidad de medida en el SI es el
m
s2
En este tipo de movimiento, tenemos otra formulas o relaciones matemáticas, son:
t max 
vi
g
y max 
vi2
2 g
Donde:
tmax corresponde al tiempo máximo, es decir el tiempo en que el cuerpo logra llegar a la altura
máxima y max , esta altura se logra cuando la velocidad inicial (vi) llega a cero .. Y luego el
cuerpo cae en caída libre
Ejemplos:
1) Un proyectil es lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/s. Calcular:
a) La altura que alcanza (o sea la altura máxima, que logra con esta velocidad inicial)
b) El tiempo que se demora en llegar a esta altura (o sea el tiempo máximo)
c) Determinar el tiempo total hasta que este proyectil llegue al suelo (o sea de ida y vuelta)
Datos:
Vi = 100 m/s
100 2 10000

 510,2m
2  9,8 19,6
100

 10,2s
9,8
 10,2  10,2  20,4s
a) y max 
b)t max
c)t total
m
).
s2
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Es un movimiento parabólico (como el de la figura), se considera
en un plano sin roce. Ejemplo una piedra, una bala, gotas de un
chorro de agua, una pelota son todos cuerpos que al ser lanzados
corresponden a este tipo de movimiento. Supongamos un
lanzamiento con velocidad inicial v0 (vi) que forma un ángulo 
con la horizontal en el sistema de referencia de la figura. El
movimiento puede considerarse descompuesto en una traslación
horizontal y una vertical cuyas velocidades iniciales (vox, Voy) se
logran utilizando las funciones trigonometriítas sen y cos en el,
triángulo de la figura.
Recordemos:
Lanzamiento de proyectil:
catetoopuesto
hipotenusa
catetoadyacente
cos  
hipotenusa
sen 
Para encontrar las velocidades iniciales se procede así:
v0 y
vox
despejando voy  v0  sen
despejando v0 x  v0  cos ; sen 
v0
v0
Por lo tanto: v0  v0  cos  , v0  sen  Componente de la velocidad inicial
cos  
El desplazamiento horizontal su coordenada se
deduce en: v 
dis tan cia
despajando la distancia, queda así:
tiempo
dis tan cia  v  tiempo , reemplazamos se obtiene:
x  v0 x  t , reemplazamos
x  V0  cos   t
El desplazamiento vertical es un movimiento uniforme retardado, su coordenada se deduce en:
reemplazando se obtiene:
y  vo  sen  t 
1
 g t2
2
Por lo tanto las coordenadas de la posición en este tipo de movimiento es:
(vo  cos   t , vo  sen  t 
1
 g t2)
2
Donde, según la figura:
V0 = velocidad inicial del lanzamiento de la partícula, se mide en el SI en m/s
Vox = Componente de la velocidad en el plano horizontal
Voy = Componente de la velocidad en el plano vertical
 = ángulo de lanzamiento, se mide con respecto a la horizontal
Para determinar las componentes de la velocidad en cualquier parte del recorrido:
Se representa así:
La componente de la aceleración en el plano horizontal es cero, y en el plano vertical es –g (sube). Se aplica:
Plano horizontal: v  v o  a  t ; queda : v 0 x = vo  cos 
Plano vertical: v  v 0  g  t ; queda: v oy  v o  sen  g  t
Por lo tanto las componentes de la velocidad en cualquier parte del recorrido son:
v  (v0  cos  , v0  sen  g  t )
Ademas se define, altura máxima (punto medio en la figura) y tiempo máximo:
y max 
vo2  sen 2
2 g
t max 
vo  sen
g
1
y  vo  t   g  t 2 ,
2
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En este tipo de aplicaciones se puede calcular el alcance máximo (R) de un proyectil es decir cuantos metros recorre
hasta llegar al suelo en el plano horizontal, se calcula así:
R
vo2
 sen 2
g
Ejemplos:
Usa la figura anterior para representar el lanzamiento de un proyectil con una velocidad inicial de 49 m/s y un ángulo
de 53º. Calcula:
a) Las coordenadas de la velocidad inicial
b) Las coordenadas de la posición a los 2 segundos del recorrido
c) Las coordenadas de la velocidad a los 2 segundos del recorrido
d) El tiempo máximo que logro el proyectil
e) La altura máxima que logro el proyectil
f) El alcance que logro el proyectil
Datos:
V0 = 49 m/s
 = 53º
t=2s
a) Para encontrar las coordenadas de la velocidad reemplazamos en:
v0  v0  cos  , v0  sen  ∙
v0 = ( 49∙ cos 53 , 49 ∙sen53) = (49∙0,6 ; 49 ∙0,8) = (29,4 ; 39,2)
b) Para encontrar las coordenadas de la posición después de 2 segundos, usamos:
(vo  cos   t , vo  sen  t 
(49 ∙ 0,6 ∙ 2 ; 49 ∙ 0,8 ∙2 -
1
1
 g  t 2 ) = (49∙ cos 53 ∙ 2; 49 ∙ sen 53 ∙ 2 -  9,8  2 2 ) =
2
2
1
 9,8  4 ) = ( 58,8 ; 39,2 -19,6) =(58,8 ; 19,6)
2
c) Para determinar la velocidad a los 2 segundos se usa:
v  (v0  cos  , v0  sen  g  t ) = ( 49 ∙ cos 53 ; 49 ∙ sen 53 – 9,8 ∙ 2 ) =
( 49 ∙ 0,6 ; 49 ∙ 0,8 – 19,6) = ( 29,4 ; 39,2 -19,6) = ( 29,4 ; 19,6)
d) Para determinar el tiempo máximo, se procede así:
t max 
vo  sen 49  sen53 49  0,8 39,2
=


 4s (es cuando logra la altura máxima)
g
9,8
9,8
9,8
e) Ahora para determinar la altura máxima se usa:
y max 
vo2  sen 2 49  sen532 49  0,82 39,2 2 1536,64



 78,4m
=
2  9,8
19,6
19,6
19,6
2 g
f) Para determinar el alcance máxima, se usa:
R
vo2
49 2  sen2  53 2401  sen106 2401  0,96 2304,96
 sen 2 =



 235,2m
g
9,8
9,8
9,8
9,8
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Leyes de Kepler: Fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en
sus órbitas alrededor del Sol. Aunque él no las enunció en el mismo orden, en la actualidad las leyes se numeran como sigue:
Primera ley (1609): todos los
planetas
se desplazan alrededor del Sol

siguiendo órbitas elípticas. El Sol está
en uno de los focos de la elipse.
Segunda ley (1609): Una línea que una el Sol con el planeta recorre áreas iguales en tiempo iguales.
De esta manera se indica que la velocidad del planeta en su orbita no es constante y cuando esta en el afelio (cuando
el planeta esta mas alejado del Sol) su recorrido es mas lento que cuando esta en el perihelio (cuando el planeta esta
mas cerca del Sol)
Tercera
ley (1618):
cualquier
planeta, planeta,
el cuadrado
de su período
directamente
proporcional
al cubo de
 Tercera
ley para
(1618):
para cualquier
el cuadrado
de su orbital
períodoesorbital
es directamente
proporcional
al la
cubo de la
longitudlongitud
del semieje
mayor almayor
de sualórbita
del semieje
de suelíptica.
órbita elíptica.
Donde,
T es
orbital
(tiempo
queque
tarda
en en
dardar
unauna
vuelta
alrededor
del del
Sol),
(L) (L)
la distancia
media
del del
planeta
concon
el el Sol
Donde,
T el
esperiodo
el periodo
orbital
(tiempo
tarda
vuelta
alrededor
Sol),
la distancia
media
planeta
SolyyKK lalaconstante
constantede
deproporcionalidad.Estas
proporcionalidad.
leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia
gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y la Luna
Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema
formado
por la Tierra
la Lunade Kepler es que se utilizan en astronomía, que es la ciencia que estudia los cuerpos celestes, sus
Una utilidad
de lasy leyes
movimientos y sus leyes. Estas leyes son aplicables no solo a los planetas, sino tambien a otros cuerpos que gravitan, como los
satélites naturales de los planetas: la Luna en torno a la Tierra, Deimos y Fobos, en torno a Marte, y tambien a los satélites
artificiales que giran alrededor de la Tierra. En la Tercera ley de Kepler, el valor de la constante k depende del cuerpo central que
domina gravitatoriamente.
Para que un modelo sea una ley, debe representar un fenómeno de la naturaleza. En el caso de las leyes de Kepler, estas son un
modelo matemático que dan cuenta del movimiento de los planetas alrededor del Sol. A partir de una ley física, podemos
comprender parte de la realidad, ya que en ella se postulan relaciones entre variables, ejemplo la tercera ley de Kepler relaciona el
período orbital y el semieje mayor de la elipse que representa a la orbita. Ademas, una ley nos permite hacer predicciones sobre
eventos futuros.
Ley de gravitación universal: es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa.
Ésta fue presentada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde
establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen
dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende
del valor de sus masas y de la distancia que los separa. También se observa que dicha fuerza actúa de tal forma que es como si
toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos
fuesen únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos.
Así, con todo esto resulta que la ""ley de la Gravitación Universal"" predice que la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas m1 y
m2 separados una distancia d es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia,
es decir
F es la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, su unidad de medida es
el Newton (N) en el SI
m es la masa de los cuerpos 1 y 2 respectivamente, su unidad de
medida en el SI es el kilogramo (kg)
d es la distancia entre dichos cuerpos, su unidad de medida es el
metro en el SI
G es la constante de Gravitación Universal y su valor es 6,67∙ 10-11
Nm 2
kg 2
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Características de la ley de gravitación universal: Los alcances de la ley de gravitación universal y de las leyes del
movimiento enunciadas por Newton son enormes. Han permitido deducir, explicar y predecir el movimiento de la Luna alrededor
de la Tierra; el movimiento de los satélites naturales de los planetas; las masas relativas de la Tierra, el Sol y los planetas; la
aceleración de gravedad de los planetas, entre otras cosas. Se sabe que si la masa del cuerpo es mayor, mayor también es la
fuerza necesaria para mantenerla girando. Algo similar ocurre con la ley de Newton, en que la fuerza de atracción gravitacional es
directamente proporcional a las masas de los cuerpos que experimentan dicha atracción. Con respecto a la relación entre fuerza y
distancia entre las masas, la ley de gravitación universal plantea que la intensidad de la fuerza disminuye a medida que el cuerpo
celeste se aleja del Sol. Además, establece la forma en que se produce esta disminución: si la separación entre dos cuerpos
aumenta al doble, por ejemplo, entonces la fuerza gravitacional entre ellos se reduce a la cuarta parte.
Una aplicación de la ley de gravitación universal es calcular el valor de la aceleración de gravedad en la Tierra
Para resolver este problema utilizaremos la Tierra como referencia y la ley de gravitación universal de Newton.
F
G  MT  m
rT
2
Donde:
M T = masa de la tierra
m = masa de una manzana
rT2 = distancia aproximadamente al radio de la tierra ( ya que la
manzana esta sobre la superficie de la tierra)
En la manzana sobre la superficie de la tierra actúa la fuerza peso, por eso la ley de gravitación universal queda así:
G  MT  m
; simplificando m, queda así:
rT2
G  MT
, reemplazamos los valores, el radio de la tierra es 6378000m, y la masa de la tierra es 5,9736∙10 24 kg queda
g
rT2
m g 
así:
6,67  10 11  5,9736  10 24
N
m
g
 9,79
 9,79 2
2
kg
6378000
s
De la misma manera se puede buscar la aceleración de gravedad de otro planeta.
Encontrar la distancia a la que hay que colocar dos masas de un kilogramo cada una, para que se atraigan con una
Fuerza de un N
Datos:
F=1N
m1 = 1kg
m2 = 1 kg
G = 6,67 ∙ 10-11 Nm2/kg2
r =d = ¿
Con la ley de la Gravitación Universal, podemos calcular la fuerza de atracción entre la Tierra y un cuerpo de 50 kg. La masa de la
Tierra es 5,974 × 1024 kg y la distancia entre el centro de gravedad de la Tierra (centro de la tierra) y el centro de gravedad del
cuerpo es 6378,14 km (igual a 6.378.140 m, y suponiendo que el cuerpo se encuentre sobre la línea del Ecuador). Entonces, la
fuerza es:
La fuerza con que se atraen la Tierra y el cuerpo de 50 kg es 490,062 N
Ejercicios:
1) Desde el balcón de un edificio se deja caer libremente un objeto, que llega a la planta baja en 12,5 segundos.
Contestar:
a) Determina de que piso se dejo caer, si cada piso mide 3 metros
b) Calcula con que velocidad llego al suelo
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2) Un cuerpo cae libremente desde la terraza de un edificio, que se encuentra a 0,8 km del suelo. Calcular con que
velocidad impacta el suelo
3) Un cuerpo que cae libremente se la mide la velocidad al pasar por un primer punto A y es de 24 m/s, luego al pasar
por otro punto mas abajo B, su velocidad es de 86 m/s . Determina:
a) ¿Cuánto tiempo se demora en recorrer la distancia entre A y B
b) ¿Cuál es la distancia entre A y B
c) ¿Cuál será la velocidad después de 6 segundos después de pasar por B
4) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 16 m/s. Calcula:
a) ¿Cuál será la velocidad luego de haber descendido 2segundos?
b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 2 segundos?
c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 80 metros?
d) Si el cuerpo se lanzo desde una altura de 400 metros, calcula en cuanto tiempo alcanzará el suelo
e) ¿Con qué velocidad impactara el suelo?
5) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 9 m/s, luego de 5 segundos de haber
efectuado este lanzamiento su velocidad es de 4 m/s, Determina:
a) ¿Qué altura máxima habrá alcanzado?
b) ¿En qué tiempo recorre esa distancia?
c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lanzo?
d) ¿Cuánto tarda en alcanzar la altura de 2 metros?
6) Compara la fuerza como se atrae el planeta A con el planeta B
7) Determina que ocurre con la fuerza FA y FB , si la primera masa aumenta 6 veces su valor y la segunda disminuye
a la mitad, la distancia permanece constante:
8) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 108 Km/h, con un ángulo de tiro de 25º; contesta:
a) Grafica esta situación
b) Encuentra el alcance que logra este lanzamiento de proyectil
c) Encuentra el tiempo que tarda este proyectil en lograr su altura máxima
d) Calcula la altura máxima que alcanza este proyectil
9) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 180 m/s y con un ángulo de tiro de 70º. Contesta:
a) Escribe las coordenadas de la velocidad inicial
b) Calcula el alcance máximo que logra este proyectil
c) Calcula la altura máxima que logra este proyectil
d) Para los 9 segundos del recorrido, encuentra las coordenadas de su posición
e) Para los 9 segundos del recorrido, encuentra las coordenadas de la velocidad
f) El alcance que logro el proyectil
10) Calcula la fuerza que se ejerce la Tierra sobre Sol y la fuerza que ejerce Sol sobre la Tierra, con la siguiente
información:
Masa de la Tierra = 5,97 ∙ 1024 Kg
Masa de Sol = 1,99 ∙ 1030Kg
Distancia entre Tierra y Sol = 1,5 ∙ 1011 m