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CONCEPTO DE FASOR
1. CIRCUITO RL
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝑉𝑝 < 𝜃 = 𝑣(𝑡) = 𝑅𝑒 [𝑉𝑝𝑒 𝑗𝜃 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ]
𝑉𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝑖(𝑡)𝑅 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝛽) = 𝑖(𝑡) = 𝑅𝑒 [𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ]
Por definición la corriente fasorial es: 𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 = 𝐼𝑝 < 𝛽
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= −𝐼𝑝𝜔 sen(𝜔𝑡 + 𝛽) = −𝐼𝑝𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝛽 − 90)
𝑑𝑖
𝐿 𝑑𝑡 = −𝐼𝑝𝐿𝜔 cos(𝜔𝑡 + 𝛽 − 90) = 𝑅𝑒 [– 𝜔𝐿𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑒 −𝑗90 ] = 𝑅𝑒 [𝑗𝜔𝐿𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ]
𝑑𝑖
𝐿 𝑑𝑡 = 𝑉𝐿 (𝑡)
Por definición el fasor tensión en la bobina es:
𝑉𝐿 = 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 = 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑝, donde I es la corriente fasorial en la bobina y
𝑉𝑅 (𝑡) = 𝑅 𝑖(𝑡) = 𝑅 𝐼𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝑅𝑒 [𝑅𝐼𝑝𝑒 𝑗𝜃 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ]
Por definición la tensión fasorial en la resistencia es:
𝑉𝑅 = 𝑅𝐼𝑝𝑒 𝑗𝜃 = 𝑅𝐼, donde I es la corriente fasorial.
En el dominio del tiempo:
𝑉(𝑡) = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 (𝑡)
𝑅𝑒 [𝑉𝑝𝑒 𝑗𝜃 𝑒 𝑗𝜔 ] = 𝑅𝑒 [𝑅𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] + 𝑅𝑒 [𝑗𝜔𝐿𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ]
= 𝑅𝑒 [[𝑅𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 + 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 ]𝑒 𝑗𝜔𝑡 ]
Luego por la definición de fasor:
𝑉𝑝𝑒 𝑗𝜃 = 𝑅𝐼𝑝𝑒 𝑗𝜃 + 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 ó 𝑉 = 𝐼𝑅 + 𝑗𝑤𝐿𝐼, donde I es la corriente fasorial
y V la tensión fasorial.
2. CIRCUITO RC
𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑣𝑅 + 𝑣𝐶
𝑣𝑅 = 𝑖(𝑡)𝑅
𝑗
𝑑𝑣𝑐
𝑑𝑡
= 𝑖(𝑡)
1
𝑣𝐶 (𝑡) = 𝐶 ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶
1
𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑖(𝑡)𝑅 + ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶
𝐶
𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑉𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝜃)
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝛽)
𝐼𝑝
𝑉𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝑅𝐼𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝛽) + 𝜔𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛽)
𝐼𝑝
𝑉𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝑅𝐼𝑝 cos(𝜔𝑡 + 𝛽) + 𝜔𝑐 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝛽 − 90)
En forma compleja:
−𝑗
𝑅𝑒[𝑉𝑝𝑒 𝑗𝜃 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] = 𝑅𝑒 [𝑅𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] + 𝑅𝑒 [ 𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ]
𝜔𝑐
1
𝑅𝑒[𝑉𝑝𝑒 𝑗𝜃 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] = 𝑅𝑒 [𝑅𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] + 𝑅𝑒 [𝑗𝜔𝑐 𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ]
1
𝑅𝑒[𝑉𝑝𝑒 𝑗𝜃 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ] = 𝑅𝑒 [[𝑅𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 + 𝑗𝜔𝑐 𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 ] 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ]
Por definición de fasor:
𝑉𝑝𝑒 𝑗𝜃 = 𝑅𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 +
1
𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽
𝑗𝜔𝑐
Como: 𝑉𝑝𝑒 𝑗𝜃 = 𝑉 y 𝐼𝑝𝑒 𝑗𝛽 = 𝐼; entonces:
1
𝑉 = 𝑅𝐼 + 𝑗𝜔𝑐 𝐼
EJERCICIOS: (Sadiku)
9.23. Aplique el análisis fasorial para evaluar lo siguiente:
a. 𝑣 = 50𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 30) + 30 cos(𝜔𝑡 − 90) 𝑉
b. 𝑖 = 15𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 45) − 10𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 45)𝐴
9.24. Halle v(t) en la siguiente ecuación integrodiferencial aplicando el método fasorial.
𝑣(𝑡) + ∫ 𝑣 𝑑𝑡 = 10 cos(𝑡)
9.25. Usando fasores, determine i(t) en las siguientes ecuaciones:
a. 2
𝑑𝑖(𝑡)
+
𝑑𝑡
3𝑖(𝑡) = 4 cos(2𝑡 − 45)
𝑑𝑖
b. 10 ∫ 𝑖 𝑑𝑡 + 𝑑𝑡 + 6𝑖(𝑡) = 5cos(5𝑡 + 22)
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS (Sadiku)
9.38. Halle i(t) y v(t) en el circuito de la figura.
En dominio de los fasores:
1
𝑗𝜔𝑐
1
= 𝑗4∗3 = −𝑗3Ω
𝑗𝜔𝐿 = 𝑗4 ∗ 3 = 12Ω
𝐼1 =
50<0°
4−𝑗3
= 8 + 𝑗6 = 10 < 36.8899° , luego,
𝑖(𝑡) = 10cos(4𝑡 + 36.8899°)
50<0°
𝐼2 = 8+𝑗12 = 1.9231 − 𝑗2.8846 = 3.4669 < −56.31°
𝑉2 = 𝑗12 ∗ 𝐼2 = 𝑗12 ∗ 3.4669 < −56.31° = 41.6028 < 90 − 56.31°
𝑉2 = 41.6028 < 33.69° ; entonces, 𝑣2 (𝑡) = 41.6028cos(4𝑡 + 33.69)
9.53. Halle 𝐼0 en el circuito de la figura.
(10 − 𝑗2)𝐼1 − 8𝐼2 + 𝑗2𝐼3 = 60 < −30°
−8𝐼1 + (10 + 𝑗6)𝐼2 − 𝑗6𝐼3 = 0
𝑗2𝐼1 − 𝑗6𝐼2 + (4 + 𝑗4)𝐼3 = 0
𝐼1 =
60<−30°
−8
𝑗2
0
18+𝑗6 −𝑗6
0
−𝑗6
4+𝑗4
10−𝑗2
−8
𝑗2
−8
18+𝑗6 −𝑗6
𝑗2
−𝑗6
4+𝑗4
= 8.2464 − 𝑗3.2770
𝐼1 = 8.8737 < −21.67° = 𝐼0
𝑖(𝑡) = 8.8737cos(𝜔𝑡 − 21.67°)
Programa en matlab para obtener las 3 corrientes:
𝑍 = [10 − 2𝑖, −8, 2𝑖, −8, 18 + 6𝑖, −6𝑖, 2𝑖, −6𝑖, 4 + 4𝑖]
𝑉 = [60 ∗ exp (−30 ∗
80
𝜋
∗ 𝑖) , 𝜃, 𝜃]
𝐼 = 𝑖𝑛𝑣(𝑍) ∗ 𝑉
10.19. Obtenga 𝑉0 en la figura aplicando el análisis de nodo.
𝑉1 + 𝑉2 = 12 < 0° , entonces, 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 12 < 0°
Para el supernodo:
𝑉1
2
1
+
𝑉1 −𝑉3
𝑗2
1
𝑉
2
+ −𝑗4
+
1
(𝑉2 −𝑉3 )
4
1
=0
1
1
(2 + 𝑗2) 𝑉1 + (4 − 𝑗4) 𝑉2 − (𝑗2 + 4) 𝑉3 = 0
Para el nodo 3:
1
1
1
1
− 𝑗2 𝑉1 − 4 𝑉2 + (𝑗2 + 4) 𝑉3 = 0.2𝑉0 = 0.2𝑉
1
1
1
1
-(0.2 + 𝑗2) 𝑉1 − (4) 𝑉2 + (4 − 𝑗2) 𝑉3 = 0
Organizando las ecuaciones se tiene:
a. 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 12 < 0°
1
1
1
1
1
1
b. (2 + 𝑗2) 𝑉1 + (4 − 𝑗4) 𝑉2 − (𝑗2 + 4) 𝑉3 = 0
1
1
1
1
c. -(0.2 + 𝑗2) 𝑉1 − (4) 𝑉2 + (4 − 𝑗2) 𝑉3 = 0
Resolviendo por matlab:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
𝐺 = [1, −1, 0; (2 + 2𝑖) , (4 + 4𝑖) , − (4 + 2𝑖) ; − (0.2 + 2𝑖) , − 4 , + (4 + 2𝑖)]
𝐼 = [12, 0, 0]
𝑉 = 𝑖𝑛𝑣(𝐺) ∗ 𝐼
𝑉0 = 7.6822 < 50.19° = 𝑉1
10.68 Halle el equivalente de Thévenin en los terminales a – b del circuito de la figura.
1
𝑗𝜔𝐶
=
1
1
20
𝑗∗10∗
= −𝑗2Ω
𝑗𝜔𝐿 = 𝑗 ∗ 10 ∗ 1 = 𝑗10Ω
Circuito en el dominio de la frecuencia:
𝑉
𝑉0 = 𝑉𝑇𝐻 = (𝑣 − 30 ) ∗ (−𝑗2.5)
𝑉
𝑉0 = (6 − 30 ) ∗ (−𝑗2.5) = −𝑗15 +
𝑉0 −
𝑗2.5𝑉0
3
𝑉0 (1 −
𝑉0 =
= −𝑗15
𝑗2.5
)
3
−𝑗15
(1−
𝑗2.5𝑉0
3
𝑗2.5
)
3
= −𝑗15
= 7.37 − 𝑗8.86 = 11.5233 < −50.24