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Números Complejos
Números complejos: Una propiedad de un número real es que sus cuadrado es no negativo. Por ejemplo,
no existe ningún número real x para el cual
x2 = −1
Para remediar esta situación, introducimos un número llamado unidad imaginaria, que denotamos con (i) y
cuyo cuadrado es −1. Así
i 2 = −1
El sistema de números que resulta de introducir el número i se llama Sistema de números Complejos.
Los Números Complejos son números de la forma a + bi, donde a y b son números reales. El número
real a, se llama parte real del número a + bi; el número real b, se llama parte imaginaria de a + bi
Por ejemplo, el número complejo −10 + 9i tiene como parte real −10 y como parte imaginaria + 9i
El número complejo 7 − 8i tiene como parte real 7 y como parte imaginaria −8i
Completa los siguientes espacios colocando la parte real y la parte imaginaria para los siguientes
Números complejos:
NÚMERO COMPLEJO
3 − 6i
PARTE REAL
________
PARTE IMAGINARIA
________
− 6 + 3i
________
________
− 42 + 75i
________
________
9i
________
________
10
________
________
Facilitador: Abdiel Cosme
Números Complejos
Cuando un Número Complejo se escribe de la forma a + bi, donde a y b son números reales decimos que está
escrito en forma estándar. Sin embargo, si la parte imaginaria de un número complejo es negativa, como en el
número complejo 6 + (− 7)i, es conveniente en escribir este número en la forma 6 − 7i
De la misma manera el número complejo
a + 0i se escribe simplemente como a. Esto nos sirve para
recordar que los números reales son un subconjunto de los números complejos. El número complejo 0 + bi,
se escribe usualmente como bi. Cuando el número complejo está formado solamente por la parte imaginaria
se le llama a dicho número imaginario puro.
La adición, la sustracción y la multiplicación de números complejos se define de manera tal que preserven las
reglas comunes del algebra de los números reales (ley de los signos).
SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dos números complejos se suman de manera que se forme el número complejo, cuya parte real es la suma de
las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias.
Por ejemplo:
Sumar el número complejo 10 + 9i
más − 42 + 75i
(10 − 42) + (9+ 75)i = − 32 + 84i
Sumar el número complejo (− 5i)
+ (4 + 7i)
(0 +4) + (− 5 + 7)i = 4 + 2i
Grandes matemáticos establecen que no existe la resta, sino una suma de números positivos con números
negativos y basados en ese concepto se le ha denominado el nombre de diferencia, que hace referencia a la
diferencia de signos.
¿Qué opinas tú?
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Facilitador: Abdiel Cosme
Números Complejos
Parte Real
− (7 +41i) + (− 6 + 7i) − (− 2 + 98i)
= (−7 − 6 +2 )
Resultado =
− 11
Parte Imaginaria
+
(− 41 + 7− 98 )i
−
132 i
PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS
El producto de números complejos se calcula como se muestra a continuación
PROPIEDAD DE ( i )
(6 + 8i) . (3+ 5i ) = (6 )(3) + (6)(5i) + (8i)( 3) + (8i)(5i)
=
18
=
18
+ 54i
+
=
18
+ 54i
− 40
+
30i
Resultado = − 22
+ 24i
+ 40i
i2
2
= −1
40(− 1)
+ 54i
CONJUGADOS
Si z = a + bi es u un número complejo, entonces su conjugado denotado por z , se define como
z = a + bi
Por ejemplo, 5i − 93 i
= 5i
+ 93 i
Por ejemplo, 11 − 0 i = 11
Por ejemplo, 20 + 3 i = 20 − 3 i
Facilitador: Abdiel Cosme
= a − bi
Números Complejos
OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS COMPLEJOS
Ejemplos demostrativos:
Escriba
1
3 + 4𝑖
en la forma estándar a + bi.
Solución: Siempre que se desea expresar un número complejo en su forma estándar a + bi, y dicho número
se encuentra en el denominador el procedimiento a seguir es multiplicar el numerador y el denominador por el
conjugado del número complejo que se encuentre en el denominador.
1
3+4𝑖
Escriba
=
1
3 + 4𝑖
1+4𝑖
5 − 12𝑖
.
3 − 4𝑖
3 − 4𝑖
=
3 − 4𝑖
9 + 16
=
3 − 4𝑖
25
=
3
− 4𝑖
25
25
en la forma estándar
Solución
1 + 4𝑖
5 − 12𝑖
=
1+4𝑖
5 − 12𝑖
.
5 + 12𝑖
5 + 12𝑖
=
5 + 20𝑖 +12𝑖+48𝑖 2
25 + 144
Si a = 4 – 7i y b = 9 + i . Determina: c = a − b
Solución
c= ( 4−9) + (−7− 1)i
Facilitador: Abdiel Cosme
= − 5 −8i
=
5 + 8i
=
−43 +32𝑖
169
=
−43
169
+
32𝑖
169
Números Complejos
ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UN DISCRIMINANTE NEGATIVO
Si N es un número real positivo, definido por la raíz cuadrada principal de − N, denotada por √−𝑁
Como por ejemplo:
√−𝟖 = 𝟐√𝟐𝒊 ,
√−𝟒 = 2i ,
√−𝟗 = 3i ,
√−𝟏𝟎𝟎 = 10i
Como otro ejemplo podemos citar el siguiente caso:
Resuelva la siguiente ecuación cuadrática en el sistema de números complejos.
𝒙𝟐 – 4x + 8 = 0
Utilizando la fórmula de la función cuadrática para cuando a ≠ 0.
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
X =
X=
2𝑎
4±√−16
2
=
4±4𝑖
2
= 2±2𝑖
La ecuación tiene como resultado el conjunto
Facilitador: Abdiel Cosme
{2 − 2𝑖, 2 + 2𝑖}
Números Complejos
PRACTICA
ESCRIBA CADA EXPRESIÓN EN LA FORMA ESTÁNDAR a + bi
1) (2 −3i) + ( 6 + 8i)
2) (4 +5i) + ( −8 + 2i)
3) ( −3 +2i) − ( 4 − 4i) 4) (3− 4i) − (−3 − 4i)
5) (2 −5i) − ( 8 + 6i)
6) (−8 +4i) − (2 − 2i)
7)
9) 2i (2 − 3i)
10)
11) (3 −4i) (2 8i)
13) (−6 +i) (− 6 − i)
14) (2 −3i) + ( 6 + 8i)
17)
21)
2+𝑖
18)
𝑖
1
(2 +
2
√3
𝑖)
2
3i (−3 +4i)
2−𝑖
√3
2
10
15)
3− 4𝑖
6 −𝑖
19)
− 2𝑖
22) (
3 ( 2 − 6i)
1
2
− )
2
1+𝑖
i14
23)
8)
−4 ( 2 + 8i)
12) (2 +3i) (2 + i)
13
16)
5− 12𝑖
2 +3𝑖
20)
1− 𝑖
i 23
24)
RESUELVA CADA ECUACIÓN EN EL SISTEMA DE NÚMEROS COM PLEJOS
a) 𝑥 2 + 4 = 0
b) 𝑥 2 + x + 1 = 0
c) 10𝑥 2 – 6x + 1= 0
d) 𝑥 2 – 16 = 0
e) 𝑥 2 + 25 = 0
f) 𝑥 2 – 6x + 13 = 0
g) 𝑥 2 + 4x + 8 = 0
h) 𝑥 2 – x + 1 = 0
i) 𝑥 2 – 6x + 10 = 0
j) 𝑥 2 + 81 = 0
k) 8𝑥 2 – 4x + 1 = 0
l) 𝑥 2 – 4 = 0
m) 𝑥 4 – 1 = 0
n) 5𝑥 2 + 2x + 1 = 0
ñ)13 𝑥 2 + 6x + 1=0
PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Escriba cada expresión en la forma estándar a + bi
a) ( 1 + 𝑖)3
b) i6 −5
c) 2i4 ( 1+i2)
d) 4i3−2i2 + 1
e) √(4 + 3𝑖)(3𝑖 − 4)
2. Determine la solución de cada una de las soluciones del sistema de números complejos
a) 3𝑥 2 – 3x + 4 = 0
b) 2𝑥 2 – 4x + 1 = 0
Facilitador: Abdiel Cosme
c) 9𝑥 2 – 12x + 4=0
d) 2𝑥 2 + 3x – 4 = 0
e) 𝑥 2 + 100 = 0
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