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triangulo
Triángulo es la figura plana formada por una poligonal cerrada de tres lados,
o bien, la figura formada por tres rectas que se cortan, a los puntos de corte se les
llama vértices.
Los ángulos del triángulo se designan con letras mayúsculas A,B, y C y los lados
opuestos con a, b y c. La suma de los lados es el perímetro y notaremos por p el
semiperímetro.
Un ángulo y un lado son adyacentes cuando el vértice del ángulo está sobre el lado, y
un lado y un ángulo son opuestos cuando el ángulo no tiene vértice en ese lado.
Clases de triángulos:
1.
2.
3.
4.
1.
 Según los lados
Equilátero.
Rectángulo. Tiene Los tres lados iguales
Isósceles. Dos lados iguales y el tercero desigual.
Escaleno. Los tres lados desiguales.
 Según los ángulos
un ángulo recto.
Igualdad de triángulos
Dos triángulos se dicen congruentes, si mediante un movimiento los podemos hacer
coincidir, es decir, si tienen los mismos lados y los mismos ángulos; los lados que
coinciden se llaman correspondientes u homólogos, análogamente ocurre con los
ángulos.
Criterios de congruencia
1. Un lado igual y los dos ángulos adyacentes.
2. Dos lados iguales y el ángulo comprendido.
3. Los tres lados iguales.
Si los triángulos son rectángulos serán iguales si:


Coinciden la hipotenusa y un ángulo agudo.
Si tienen iguales la hipotenusa y un cateto.
Problema.- Por un punto cualquiera de la base de un triángulo isósceles se trazan
paralelas a los lados, probar que el paralelogramo así obtenido tiene perímetro
constante. Solución
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Problema.- Sobre la base de un triángulo isósceles se eleva una perpendicular por un
punto cualquiera P, ésta recta cortará a los lados iguales en dos puntos M y N; probar
que PM+PN es constante y hallar dicha constante. Solución
Relación entre ángulos y lados
La suma de los ángulos de un triángulo es 180º.
El ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos internos no adyacentes.
La suma de los ángulos externos siempre es 360º.
Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos. Como consecuencia,
en todo triángulo un lado es mayor que la diferencia de los otros dos.
En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.
Teorema.- Si por los vértices de un triángulo se trazan paralelas a los lados opuestos
se obtiene otro triángulo tal que los puntos medios de sus lados son los vértices del
dado.
Demostración.- Los segmentos paralelos comprendidos entre paralelas son iguales, por
tanto:
CB = AB'
CB = AC'
de donde, A es el punto medio de B' C'.
El triángulo A' B' C' se llama anticomplementario del ABC.
Corolario.- Los cuatro triángulos son iguales.
Definiciones básicas
Base es uno cualquiera de los lados.
Altura c. es el segmento perpendicular a un lado pasando por el vértice opuesto a la
base o a su prolongación, los notaremos por h_a, h_b y h_
Bisectriz interior es la recta que divide un ángulo cualquiera en dos partes iguales y
es interior al triángulo, al segmento determinado por el vértice y el lado opuesto se
nota por v_a, v_b y v_c.
La bisectriz de los ángulos externos de un triángulo se le llama bisectriz exterior. Como
los dos ángulos externos son opuestos por el vértice, sus bisectrices son prolongación
una de otra y perpendiculares a la bisectriz interior del mismo vértice.
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Llamaremos mediatriz de un triángulo a la recta perpendicular a un lado en su punto
medio.
Mediana es el segmento determinado por un vértice y el punto medio del lado
opuesto. Las notaremos por m_a, m_b y m_c.
.teoremaSi por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a otro lado, ésta
pasará por el punto medio del tercer lado y el segmento que determina será la mitad
del lado paralela a ella.
Demostración.- Sea D el punto medio de AB y E el punto de corte de la paralela a BC
por D. Trazamos por D la paralela a AC que corta en F al lado a. Los triángulos DBF y
ADE son iguales, pues:
AD = DB y los ángulos adyacentes son iguales
Además DFCE es un paralelogramo, y AE = DF = EC y E es punto medio de AC.
Como DE = FC = BF tendremos que F es punto medio de BC.
teorema recipocro
por los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado e igual a
su mitad.
Demostración.Sean D y E los puntos medios de los lados AB y AC respectivamente, si prolongamos el
segmento DE cortará a la paralela a AB por C en el punto F. Los triángulos ADE y ECF
son iguales, ya que los ángulos en E coinciden por opuestos por el vértice, los ángulos
DAE y ECF son iguales por ser alternos-internos y el lado AE = EC por ser E punto
medio, así pues, AD // BF y al ser AD = CF, DB=AD resulta que DB=CF.
DB y CF son iguales y paralelos, y el cuadrilátero DBCF es un paralelogramo.
problema
.- En todo cuadrilátero, los puntos medios de los lados son vértices de un
paralelogramo. Solución
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