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5. GEOMETRÍA ANALÍTICA DE LA RECTA
M.Sc. Richard Naredo Castellanos
INTRODUCCIÓN
La idea esencial de la Geometría Analítica es la representación de los lugares
geométricos por ecuaciones y el estudio de las figuras susceptibles de tal
expresión mediante el algoritmo algebraico.
Los antiguos egipcios referían los puntos a dos ejes perpendiculares, para la
medición de parcelas y la construcción de templos y pirámides. En el siglo III
Arquímedes utilizó coordenadas y Apolonio dio una expresión métrica
característica de cada cónica, que no es más que su ecuación. La Geografía de
Ptolomeo escrita hacia el siglo II es en esencia una tabla de longitudes y
latitudes de muchos puntos del mundo conocido, a las que llamamos
“coordenadas geográficas”.
La Geometría Analítica no podía nacer hasta que la incipiente Álgebra no se
desarrollara, pero una vez logrado esto por Vieta a fines del Siglo XVI, el nuevo
instrumento permite a Fermat y Descartes el descubrimiento de esta nueva
disciplina. Y como tantas veces ocurre, los dos llegaron por el mismo tiempo,
independientemente, a las mismas conclusiones.
Analizando exclusivamente los documentos escritos, para huir de las
conjeturas, las ideas de Fermat aparecen escritas en su carta a Roberval de
1636; las de Descartes aparecen impresas en su famosa Geometría,
publicada en Leyden en 1637, como tercer apéndice de su Discours de la
methode. Debido a esto se le considera como el padre de la Geometría
Analítica.
De la Geometría y el Álgebra dice: “La primera está siempre tan ligada a
consideraciones sobre las figuras, que no puede ejercitar el intelecto, sin
cansar mucho la imaginación, y la otra se está tan sujeta a ciertas reglas y
ciertas letras, que en lugar de ser una ciencia que eduque la mente, se
convierte en un arte oscuro y confuso que la turba” . Tras este análisis
despectivo, se propone (y lo consigue) de la manera más brillante, tomar lo
mejor de la Geometría y del Álgebra, corrigiendo los defectos del uno por el
otro, creando así la Geometría Analítica.
La diversa finalidad de la nueva Geometría (metódica para Descartes, técnica
para Fermat), explica su diverso desarrollo. Como método, la Geometría
Analítica permite hallar y estudiar los lugares geométricos de manera
sistemática y general. Como instrumento de Análisis, dio la clasificación de las
curvas en algebraicas y trascendentes, permitió demostrar la imposibilidad de
solución de ciertos problemas clásicos (duplicación del cubo, trisección del
ángulo, etc), y abrió las puertas al estudio general de las transformaciones
geométricas.
El calificativo”analítica” procede de la “Analytica” con que Aristóteles designó la
Lógica, y de él se deriva el nombre actual “Análisis Matemático”dado al Álgebra
ampliada con el Cálculo Infinitesimal.
1. REPASO Y PROFUNDIZACIÓN SOBRE GEOMETRÍA.
La geometría clásica (sintética), siguiendo las ideas de los griegos, es
esencialmente estática, considera a las figuras como entes rígidos, cuyas
propiedades estudia.
En la resolución de problemas geométricos, ya sean de demostración, de
cálculo o de construcción, el éxito se alcanza independientemente de los
métodos matemáticos utilizados, por el conocimiento de los teoremas y las
interrelaciones que se pueden obtener en el momento de su aplicación, según
las exigencias que nos propone el problema a resolver.
Para la aplicación de los distintos teoremas estudiados, en la resolución de los
tipos de ejercicios antes mencionados, es indispensable el conocimiento de
cuál es su permisa (datos) y cuál es su tesis (conclusión) pues esto nos permite
saber qué relaciones debemos buscar para llegar a una conclusión exitosa y
cómo poder establecer relaciones entre los distintos teoremas. Recordemos el
enunciado de algunos teoremas que se emplean activamente en la resolución
de estos ejercicios.
1.1 Rectas. Pares de ángulos.
Como conoces dos puntos determinan una recta, ahora ¿qué relaciones se
pueden establecer entre dos rectas en el plano?, a esta preguntas podemos
responder que son paralelas (o coincidentes como caso particular de
paralelismo) o se cortan.
En caso de que se corten pueden hacerlo, formando ángulos agudos y obtusos
o perpendicularmente (formando ángulos de 900). Veamos algunos teoremas
de rectas que se cortan perpendicularmente.
Ejemplo 1
Si dos rectas son perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí. (Si ac ,
bc entonces ab ) (Figura 5.1.a).
¿Cuál es la premisa de este teorema? (ac , bc), ¿cuál es su tesis? (ab),
luego si yo quiero demostrar que dos recta “m” y “n” son paralelas una vía es
utilizar este teorema, por lo que debemos probar primeramente que dichas
rectas (m y n) son perpendiculares a una tercera recta digamos “p” a través de
otros datos que nos planteen en el ejercicio propuesto o por conclusiones
intermedias que halla podido establecer con los datos. 
Ejemplo 2
Si una recta es perpendicular a una paralela es perpendicular a la otra.
(Figura 5.1.b).
En este otro ejemplo ¿cuál es la premisa de este teorema? (ab, ca), ¿cuál
es su tesis? (cb). Teniendo en cuenta como analizamos el ejemplo 1, para
poder aplicar este teorema en la demostración de la perpendicularidad de dos
rectas (cb) debemos probar primero u obtener de los datos el paralelismo de
una de ellas (b) con otra recta (a) con una tercera recta (c). 
Teniendo en cuenta el análisis hecho en los ejemplos 1 y 2 te propongo que
resuelvas el siguiente ejercicio.
De los siguientes teoremas separa la premisa y la tesis.
a) Segmentos de paralela entre paralelas son iguales.
b) Al cortarse dos rectas los ángulos opuestos por el vértice son iguales y
los adyacentes suman 1800.
c) Los ángulos agudos (obtusos) de lados respectivamente paralelos son
iguales.
d) Dos ángulos de lados respectivamente perpendiculares uno agudo y el
otro obtuso suman 1800.
Utilizando los teoremas analizados anteriormente veamos una forma de cómo
resolver el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3
En la figura 5.2 tenemos:
CD  AB ; ED  AC ; CG  AC ,
B punto de intersección de CG y AF,
A = 500.
Calcula las amplitudes de los ángulos
EDC y FBG.
Resolución:
CD  AB por datos
ED  AC por datos (1)
luego CDE = A = 500 por tener sus lados respectivamente perpendiculares
ADE + EDC = ADC por suma de ángulos
ADE + 500 = 900
ADE = 400
de (1) y CG  AC por datos
entonces ED GC
porque dos rectas perpendiculares a una tercera son
paralelas entre si.
CBA = ADE = 400
por ser correspondiente entre ED GC y AF secante
FBG = CBA = 400
por ser opuestos por el vértice. 
Ejercicios (epígrafe 1.1)
1. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que:
a) dos ángulos en posición de alternos o correspondientes sean iguales y
los conjugados sean suplementarios?
b) las bisectrices de dos ángulos consecutivos sean perpendiculares?
2. Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Las falsas
redáctalas correctamente.
a) La suma de ángulos consecutivos alrededor de un punto suman 180 0.
b) Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos y uno es agudo y
el otro es obtuso entonces suman 1800.
c) El ángulo complementarios a un ángulo de 500 es de 410.
d) Los ángulos suplementarios suman 1800.
e) Los ángulos agudos (u obtusos) de lados respectivamente perpendiculares
son iguales.
3. En la figura 5.3 determina todos los
pares de ángulos adyacentes, opuestos por
el vértice, correspondientes, alternos y
conjugados que hay y calcula sus
amplitudes si 1 = 500.
4. En la figura 5.4 BA DE , BC
B =
300
FG ,
. Calcula :, ,  y .
5. En la figura 5.5 OC  OA, OD  OB
OM : bisectriz del AOB
ON : bisectriz del COD
Prueba que:  = 
1.2 Triángulos y rectas notables.
Los triángulos, porción del plano limitado por una poligonal cerrada de tres
lados, han de cumplir que cada lado es menor que la suma de los otros dos y
menor que su diferencia (Desigualdad triángular). Se clasifican tanto según la
longitud de sus lados como la amplitud de sus ángulos interiores. Teniendo en
cuenta lo que conoces de estas clasificaciones, enlaza un elemento de la
columna A con su correspondiente en la columna B.
A
Acutángulo
B
sus tres lados son iguales
Escaleno
uno de sus ángulos interiores es de 900.
Triángulo
rectángulo
sus tres ángulos interiores son agudos.
dos de sus lados son iguales
Equilátero
uno de sus ángulos interiores es obtuso.
Obtusángulo
sus tres lados son desiguales.
Isósceles
es tres veces isósceles.
los ángulos base son iguales.
En todo triángulo existen tres de cada una de las rectas notables que se
intersecan cada trio en un punto llamado punto notable. Las rectas notables
son la altura, la bisectriz, la mediatriz y la mediana; y los puntos notables son el
ortocentro, incentro, circuncentro y baricentro respectivamente.
En relación a las rectas y puntos notables de un triángulo completa los
siguientes párrafos.
La ------------------------- es el segmento de perpendicular trazado desde un
vértice hasta el lado opuesto (figura 5.6 ----) y se intersecan en un punto
llamado ortocentro, El incentro es el punto de intersección de las ------------------(figura 5.6 d) de los ángulos interiores del triángulo y cumple la propiedad de
ser el centro -----------------------------------------------.
El centro de gravedad de un triángulo es el ---------------------------- que es el
punto de intersección de las ------------------------- , las cuales son los segmentos
trazados desde un vértice hasta el --------------------------------------(figura 5.6 a) y
cumplen además , que se encuentra, de cada vértice, a una distancia igual a
los dos tercios de la longitud de la mediana correspondiente y a un tercio del
punto medio del lado.
En la figura 5.6 ---- se ha trazado la ----------------------------- de un lado del
triángulo y no es más que la recta perpendicular en el punto medio del lado.
Las tres mediatrices se intersecan en el ----------------- de la -------------------------circunscrita al triángulo el cual es el -----------------------------------.
Según la definición de cada recta y punto notable correspondiente, comprueba
trazando dos triángulos uno isósceles y otro equilátero las siguientes
proposiciones:
• En todo triángulo isósceles la altura relativa a la base coincide con la bisectriz
del ángulo principal, la mediana y la mediatriz relativa a ese lado y los cuatro
puntos notables están alineados sobre dicha altura.
• En todo triángulo equilátero, la altura relativa a cada lado coincide con las
restantes rectas notable y todos los puntos notables coinciden en un punto.
Ejemplo 1
Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un triángulo
equilátero de 4,0 cm de lado.
Resolución:
La circunferencia inscrita en un triángulo es
aquella que es interior al triángulo y
tangente a los lados del mismo (Figura 5.7)
y su centro es el incentro (), punto de
intersección de las bisectrices de los
ángulos interiores del triángulo, luego


existen tres radios ID;IE;IF que son
perpendiculares a los lados del triángulo.
Como el triángulo en cuestión es equilátero
(Figura 5.8) las bisectrices coinciden con las
alturas y las medianas; el incentro por tanto es
ortocentro y baricentro por lo que los radios D,
E e F están sobre dichas rectas notables y su
longitud es:
r  ID 
1
CD
3
(1)
condición que cumple el incentro en el triángulo equilátero por coincidir con el
baricentro.
Calculemos la longitud de
CD :
En el BCD rectángulo en D (Figura 5.8) por ser
CD altura tenemos:
ACB
por ser CD bisectriz del C.
2
60
BCD 
 30 por ser ACB interior del ABC equilátero.
2
BCD 
Por el teorema del ángulo de 300 en un triángulo rectángulo tenemos:
BD 
1
 BC
2
por ser
BD
el cateto opuesto al ángulo de 300 y
BC la
hipotenusa
1
 4  2cm
2
CD  3  BD por ser CD
BD 
el cateto adyacente al ángulo de 300 y
BD
el
cateto opuesto.
CD  2 3cm
sustituyendo en (1) tenemos:
r
1
2 3
2 3 
 1,15cm  1,2cm 
3
3
NOTA: Existe otra vía para calcular la longitud de
CD İBúscala!
En el triángulo rectángulo existen también un grupo de teoremas conocidos
como Grupo de Teoremas de Pitágoras en los cuales se plantean relaciones
métricas entre los lados del triángulo y entre la altura relativa a la hipotenusa y
los lados; estos son:
• Teorema de Pitágoras : El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los catetos. (c2 = a2 + b2)
(Figura 5.9).
• Teorema de la altura : La longitud de la
altura relativa a la hipotenusa es media
proporcional entre las longitudes de los
segmentos que determina sobre la
p h
hipotenusa. ( 
ó h2 = pq) (Figura
h q
5.9).
• Teorema de los catetos : La longitud de cada cateto es media proporcional
entre la longitud de su proyección sobre la hipotenusa y la longitud de la
p b q a
hipotenusa. (  ; 
ó a2 = qc ; b2 = pc) (Figura 5.9)
b c a c
Ejemplo 2
En el ABD rectángulo en D (figura 5.10),
O: punto medio de AB ;
AB  15cm ;
EO  4,5cm ;
DC  AB ;
E: punto medio de DC .
Calcula la longitud de AD , DC y CO
Resolución:
Como DC  AB (por datos) entonces DE es la altura relativa a la hipotenusa
del ABD rectángulo en D, luego por el Teorema de la altura tenemos:
2
DE  AE  BE (1)
(2) AE  AO  EO por suma de segmentos.
(3) BE  BO  EO por diferencia de segmentos.
AB 15

 7,5cm por ser O punto medio de AB
pero AO  BO 
2
2
y EO  4,5 cm por datos
luego sustituyendo en (2) y (3) tenemos:
AE = 7,5 + 4,5 = 12 cm
BE = 7,5 – 4,5 = 3 cm
entonces sustituyendo en (1) obtenemos:
2
DE = 12  3 = 36 cm2
DE = 6 cm
pero se tiene que calcular DC
DC  2  DE por ser E punto medio de DC
DC  2  6
DC  12cm
Cálculo de AD
2
AD  AE  AB por el Teorema de los catetos
2
AD = 12  15
2
AD = 180
AD  180
AD  13,4cm  13cm
Cálculo de CO
En el CEO rectángulo en E por ser DC  AB (por datos) tenemos:
CE  DE = 6 cm por ser E punto medio de DC
2
2
CO  EO  CE
2
por Teorema de Pitágoras.
2
CO = 4,52 + 62
2
CO = 20,25 + 36
2
CO = 56,25
CO  56,25  7,5cm 
NOTA: Busca otra vía para realizar el cálculo de AD .
Ejercicios (epígrafe 1.2)
1. Si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es
2
del otro
3
¿Cuáles son las amplitudes de esos ángulos?
2. En un triángulo isósceles la amplitud del ángulo principal es de 60 0 ¿Cuál es
la amplitud de los ángulos bases?¿Qué puedes decir de este triángulo?
3. En la figura 5.11
M,N y P puntos alineados
Si QNP = 2
Prueba que: MN  NQ
4. En un triángulo rectángulo se pueden determinar los puntos notables
ortocentro y circuncentro sin necesidad de trazar las rectas notables ¿En qué
lugares se encuentran estos puntos? Fundamenta tu respuesta.
5. En la figura 5.12
CD  AB ;
BC  AC ;
AM : bisectriz del A
 B = 580
Calcula la amplitud del ángulo .
6. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa mide 6,0 cm
a) ¿Qué longitud pueden tener los segmentos en que el pie de la altura
divide a la hipotenusa?.
b) ¿Qué longitud tienen los segmentos de hipotenusa si su razón es 1:4?
1.3 Cuadriláteros.
¿Recuerdas aqué llamábamos cuadrilátero convexo y cómo se clasificaban?
En la figura 5.13 (a y b) tienes dos ejemplos de cuadriláteros convexo, no
siendo así el caso del inciso c, ¿qué los diferencia? En los incisos a y b si
trazas las rectas que contienen a sus lados siempre el cuadrilátero quedará
completamente a un lado de dicha recta, no sucede así en el inciso c, si trazas
las rectas HG o GF el cuadrilátero queda a ambos lados de la misma.
¿Qué criterio se tiene en cuenta para clasificar a los cuadriláteros convexos en
paralelogramo, trapecio o trapezoide?
Enlaza un elemento de la columna A con su correspondiente en la columna B.
A
Paralelogramo
B
Un par de lados opuestos paralelos
Trapecio
Ningún par de lados opuestos
paralelos
Trapezoide
Los dos pares de lados opuestos
paralelos.
Los paralelogramos (figura 5.13b) cumplen las siguientes propiedades:
 Los lados opuestos son paralelos e iguales ( MN PQ ; NP MQ ;
MN  PQ ; NP  MQ ).
 Las diagonales se cortan en su punto medio.
 Los ángulos opuestos son iguales.
 Los ángulos consecutivos son suplementarios (suman 1800).
Los paralelogramos a su vez se clasifican en paralelogramo general (figura
5.13b), rectángulo, rombo o cuadrado.
¿Qué propiedades adicionales deben cumplir los paralelogramos para ser
rectángulo, rombo o cuadrado?
Completa las siguientes proposiciones:
 El --------------------------- es un paralelogramo con sus ángulos rectos y las
diagonales iguales.
 El paralelogramo con sus cuatro lados iguales y sus diagonales
perpendiculares es un ------------------------------------- .
 El cuadrado es un paralelogramo que es -------------------------- y -----------------a la vez.
¿Qué debemos probar para que un cuadrilátero convexo sea un
paralelogramo?
Se debe probar que:
 los lados opuestos son iguales, o
 los lados opuestos son paralelos, o
 un par de lados opuestos sean iguales y paralelos, o
 las diagonales se cortan en su punto medio, o
 los ángulos opuestos son iguales.
Ejemplo 1
Si ABCD y CDEF son paralelogramos
figura 5.14.
Prueba que: ABFE es un paralelogramo.
Resolución:
AB CD por ser lados opuestos del paralelogramo ABCD.
CD EF
por ser lados opuestos del paralelogramo CDEF.
luego AB EF por carácter transitivo.
AB  CD por ser lados opuestos del paralelogramo ABCD.
CD  EF por ser lados opuestos del paralelogramo CDEF.
luego AB  EF por carácter transitivo.
ABEF es un paralelogramo por tener un par de lados opuestos paralelos e
iguales. 
Nota: En el ejemplo 1 también se puede resolver probando que los lados
opuestos son iguales a través de demostrar que ADE = BCF ¡inténtalo!
En la figura 5.15 se muestra la clasificación y propiedades de los trapecios.
¿Podríamos afirmar que todo paralelogramo es un trapecio?
Si, pues para que un cuadrilátero sea trapecio sólo basta con tener un par de
lados opuestos paralelos, en el caso del paralelogramo tenemos los dos pares
de lados opuestos paralelos, sin embargo, no podemos decir que todo trapecio
es un paralelogramo. ¿ porqué ?
Ejercicios (epígrafe 1.3)
1, Probar que si por cada vértice de un paralelogramo se trazan paralelas a las
diagonales, la figura formada es también un paralelogramo.
2. Probar que el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos
de un paralelogramo, es paralelo a los otros
dos lados.
3. Sea ABCD un paralelogramo (figura
5.16).
M y N son los puntos medios de OA y OC
respectivamente.
Prueba que:
BNDM es un paralelogramo.
4. Si la diagonal menor de un rombo es igual
al lado, halla las amplitudes de los ángulos del rombo.
5, Probar que la paralela media de un trapecio corta en sus puntos medios a
las diagonales.
1.4 Circunferencia.
Desde grados anteriores estudiaste la circunferencia como el conjunto de
puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto fijo
llamado centro, y que la distancia de un punto de la circunferencia al centro se
llama radio, también estudiaste los elementos de la circunferencia y relaciones
métricas que se cumplen entre estos.
Para recordar los elementos de la circunferencia enlaza los elementos de la
columna A con su correspondiente en la columna B.
A
B
Cuerda
• intersección de un ángulo central
con la circunferencia
Diámetro
• segmento con sus extremos en la
circunferencia.
Ángulo central
• ángulo cuyo vértice pertenece a la
circunferencia y sus lados intersecan
Arco
a la misma en otros dos puntos.
• cuerda que contiene al centro de la
circunferencia
Ángulo semiinscrito
• ángulo cuyo vértice es el centro de
la circunferencia.
• ángulo cuyo vértice pertenece a la
circunferencia y un lado es cuerda y el
otro es tangente a la circunferencia.
En la circunferencia se cumplen ciertas relaciones métricas entre sus
elementos, las cuales son:
Ángulo inscrito
En toda circunferencia o en circunferencias iguales se cumple:
a) A ángulos centrales iguales corresponden arcos iguales y cuerdas iguales, y
viceversa ( AOB  COD  AB  CD; AB  CD ; figura 5.17a ).
b) A arcos iguales corresponden cuerdas iguales y viceversa.
( AB  CD  AB  CD ; figura 5.17a)
c) Los ángulos inscritos en un mismo arco o en arcos iguales son iguales y su
amplitud es la mitad de la amplitud del arco correspondiente.
(MPN = MLN = MQN = MN ; figura 5.17b)
2
d) Toda recta tangente a la
circunferencia es
perpendicular al radio en su
punto de tangencia y
viceversa (figura 5.18 a).
e) Todo radio o diámetro
perpendicular a una cuerda
la biseca a ella y al arco correspondiente (figura 5.18b)
Ejemplo 1
Demuestra que en toda circunferencia o en circunferencias iguales todo radio o
diámetro en el punto medio de una cuerda es perpendicular a dicha cuerda.
Resolución:
Lo primero que debemos determinar para demostrar este teorema es cuál es la
premisa y la tesis del mismo, es decir, de qué datos dispongo y qué tengo que
demostrar, seguidamente hacer una representación
gráfica de la situación planteada, entonces:
Premisa:  C(O;r)  EF : cuerda  EF  r = C
 C: punto medio de EF (figura 5.19)
Tesis: r  EF
Tracemos los radios OE y OF (figura 5.20) luego el
EOF es isósceles de base EF .
Como C es el punto medio del lado EF entonces
OC es la mediana relativa a la base del triángulo
isósceles EOF, y como en todo triángulo isósceles las
rectas notables relativas a la base coinciden entonces
OC es altura por lo que OC  EF , pero OC está sobre
el radio r por tanto r  EF . 
Ejercicios (epígrafe 1.4)
1. Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Fundamenta tu
respuesta .
a) Si dos cuerdas de una circunferencia son paralelas, entonces hay un
diámetro de la circunferencia que pasa por el punto medio de estas cuerda.
b) Si dos cuerdas de una circunferencia son iguales, entonces son paralelas.
c) Existen dos cuerdas desiguales de una circunferencia que equidistan del
centro.
d) Si dos rectas no coincidentes son tangentes a una circunferencia en los
extremos de un diámetro, entonces son paralelas.
e) Los puntos de una circunferencia equidistan del punto medio de la
hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo inscrito en ella.
f) El conjunto que forman los puntos medios de las hipotenusas de 100
triángulos inscritos en la misma circunferencia, tienen un solo elemento.
g) En un triángulo isósceles cualquiera, el centro de la circunferencia inscrita y
el de la circunscrita coinciden.
h) Si dos arcos de distintas circunferencias tienen la misma longitud, entonces
los ángulos centrales correspondientes son iguales.
2. Los lados de un triángulo ABC inscrito en una circunferencia equidistan del
centro, AD es la altura al lado BC , CE es la bisectriz del ACB y P es el
punto de intersección de AD y CE .
a) Demuestra que: AD es bisectriz del CAB .
b) Demuestra que: CE es la altura relativa al lado AB .
c) Demuestra que: P es el circuncentro del tirángulo.
d) Demuestra que: P es el incentro del tri{angulo.
e) Demuestra que: APC es isósceles.
f) Demuestra que: AB = BC = AC
h) Demuestra que: si se traza ED , el cuadril{atero que se forma es un trapecio
isósceles.
1.5 Áreas y perímetros de figura planas.
Son infinitas las razones por las cuales es necesario el conocimiento de las
áreas y perímetros de las figuras planas, entre ellas podemos sitar:
 conocer que cantidad de envases de conserva se pueden obtener de una
chapa metálica de cierta área,
 conocer si un territorio con cierta cantidad de población está densamente
poblado,
 conocer que cantidad de alambre se necesita para cercar un terreno,
 dado el área de cierto terreno poder proyectar la planta de un edificio, etc.
Ejemplo 1
La figura 5.21 muestra el desarrollo en el plano
de un envase de conservas cilíndrico de 8,0 cm
de altura y 7,3 cm de diámetro. ¿Cuál será la
cantidad máxima de envases que se pueden
obtener de una chapa de lata rectangular de 2,0
m2 de área?
Resolución:
Como se puede observar en la figura 5.21 el
desarrollo en el plano de este envase está
compuesto por un rectángulo que tiene de largo
la longitud de la circunferencia (L = 2r = d) y de
ancho la altura del envase, y por dos círculos de
7,3 cm de diámetro.
Calculemos la cantidad de chapa necesaria para un envase.
Área del rectángulo: Ar= l · a = d ·  · a = 7,3 · 3,14 · 8 = 183,376 cm2  0,02 m2
Área del círculo: AC= r2 = 3,14(3,65)2 = 41,83265 cm2  0,004 m2
Total de chapa para un envase: AT = Ar + 2AC = 0,02 + 2(0,004) = 0,02 + 0,008
= 0,028 m2
Para calcular la cantidad de envases que se pueden obtener dividimos el área
de la chapa por el área de un envase y obtenemos:
2  0,028 = 71,4
o sea, que se pueden obtener 71 envases completos y quedarían 0,4 de otro
envase que representaría de la chapa original:
0,028 · 0,4 = 0,0112 m2 = 1,12dm2
Respuesta: Se pueden obtener 71 envases y sobran 1,12 dm 2de chapa.
Ejemplo 2
Se quiere construir un edificio
cuya planta está compuesta por
un triángulo rectángulo
isósceles, un cuadrado y dos
trapecios rectángulos, como se
muestra en la figura 5.22, en un
terreno que tiene forma de
triángulo rectángulo isósceles
con una hipotenusa de 42 m.
¿Calcula el área que ocupa
dicho edificio? (las medidas
están dadas en metros)
Resolución:
Para resolver este ejercicio podemos utilizar dos vías:
1. Hallar el área del terreno y restarle las áreas verdes, sabiendo que como
el terreno tiene la forma de un triángulo rectángulo isósceles este no es
más que la mitad de un cuadrado cuya diagonal es la hipotenusa de
dicho triángulo y la altura relativa a la hipotenusa es la mitad de la
misma (mitad de la diagonal del cuadrado).
2. Hallar directamente el área de la planta calculando las áreas de las
figuras planas que la componen según las medidas del plano.
Utilicemos la segunda vía.
Área del cuadrado: A1 = a2 = 122 = 144 m2
Área del isorectángulo: A2
Si consideramos la hipotenusa como la base de este triángulo, entonces la
altura relativa a la hipotenusa es su mitad, según analizamos en la primera vía,
por tanto b = 12m y h = 6m luego:
A2= b  h = 12  6 = 36 m2
2
2
Área de los trapecios: A3
En la planta del edificio vemos que ambos trapecios son iguales con una altura
h = 3m, la base menor b = 3m y según la simetría de la misma su base mayor
B = 5m luego:
A= b  h  h = 3  5  3 = 4 · 3 = 12 m2
2
2
A3= 2A = 2 · 12 = 24 m2
por tanto AP = A1 + A2 + A3 = 144 + 36 + 24 = 204 m2

En los ejemplos 1 y 2 hemos utilizado las áreas y perímetros de algunas figuras
planas, otras son:
Figura
Triángulo
Paralelogramo
Rombo
Ejercicios (epígrafe 1.5)
Área
A=
1
2
absen
A = bh
A=
d1  d2
2
Perímetro
P=a+b+c
P = 2(a + b)
P = 4a
1. Demuestre la fórmula del área del rombo (utilice la fórmula del área del
triángulo).
2. En un cuadrado de lado “a” se ha inscrito otro cuadrado tal que sus vértices
son los puntos medios del primer cuadrado. La suma de los perímetros de los
triángulos rectángulos que así se forman es:
a) 6 a
b) (4 + 2 2 )a
c) 7 a
d) 5 2 a
3. ¿Cuál es la razón entre las áreas de los cuadrados del ejercicio 2 ?
4. ¿Cuántas lozas se necesitarán, si cada una de ellas cubre una superficie de
8,0 dm2, para pavimentar un espacio rectangular de 36 m de largo por 21,6 m
de ancho?
5. ¿Cuál es el área y la longitud del lado de un cuadrado, si el lado es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7,0 cm y 14 cm
respectivamente?
6. Dos calles paralelas tienen una separación de 264m y están cruzadas por
otras dos que no son paralelas; la zona limitada por las cuatro calles no es
rectángulo, ni siquiera un paralelogramo. Si esta manzana de casas tienen
300 m de largo por un lado y 250 m por otro, ¿Cuál será su área?
2. GEOMETRÍA ANALÍTICA DE LA RECTA.
En el trabajo con la Geometría Analítica encontramos dos problemas
fundamentales:
1. Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos
de la misma, determinar su ecuación.
2. Dada una ecuación interpretarla geométricamente, es decir, construir la
gráfica correspondiente.
Para resolver cualquiera de estos problemas de la Geometría Analítica se
trabaja en un sistema de coordenadas rectangulares o sistema cartesiano, el
cual lleva este nombre en honor a René Descartes.
El estudio analítico de la recta, según los problemas señalados anteriormente,
nos lleva a precisar algunas fórmulas como son: la distancia entre dos puntos,
es decir, determinar una relación que nos permita calcular la longitud de un
segmento, hallar las coordenadas del punto medio del mismo, determinar la
inclinación de una recta respecto al eje de la abcisas (pendiente), determinar la
relación de paralelismo o perpendicularidad entre dos rectas, hallar la distancia
de un punto a una recta, determinar la ecuación de una recta, etc.
2.1. Fórmulas básicas.
Ejemplo 1
Dos centros experimentales de cría de ganado vacuno A y B se encuentran de
un pueblo P a 10 km al Oeste y 5,0 km al Norte; y 10 km al Este y 20 km al
Norte respectivamente.
a) ¿A qué distancia se encuentra un centro de otro?
b) Se quiere construir un pueblo M para los trabajadores de dichos centros de
forma tal que equidiste de ambos y sea la menor distancia posible, ¿cuál sería
su ubicación respecto al pueblo P?
c) Demuestra que el pueblo M representa, en este caso, el circuncentro del
triángulo formado por el pueblo P y los centros experimentales A y B.
Resolución:
Para resolver esta problemática elijamos convenientemente un sistema de
coordenadas; como las ubicaciones de los centros A y B están dadas respecto
al pueblo P por sus coordenadas geográficas entonces consideremos un
sistema de coordenadas con origen de coordenadas en el pueblo P y con los
ejes coordenados orientados según la rosa náutica o rosa de los vientos como
muestra la figura 5.23 . Por lo tanto, el pueblo P y los centros experimentales
A y B tienen coordenadas: P(0;0), A(–10; 5) y B(10 ; 20).
a) Para hallar la distancia entre los centro A y B utilizamos la fórmula de la
distancia entre dos puntos:
d(A;B) = x A  xB 2  y A  yB 2
=  10  102  5  202
=  202   152
= 400  225
= 625
= 25 km
La distancia entre los centros A y B es de 25 km.
b) Para ubicar el pueblo M equidistante de los centros A y B es suficiente
determinar las coordenadas de un punto sobre la mediatriz del segmento
determinado por los centros A y B, pero, teniendo en cuenta la definición de
mediatriz de un segmento (recta perpendicular en el punto medio de un
segmento y cuyos puntos equidistan de los extremos del segmento) la menor
equidistancia se encuentra sobre el punto medio del segmento AB , luego
utilizando la fórmula de las coordenadas del punto medio de un segmento
encontraremos la ubicación del pueblo M.
M  x
A
 xB y A  yB 
;

2
2

M  102 10 ; 5 220 
M 0 ; 12,5
por tanto el pueblo M se encuentra a 12,5 km al norte del pueblo P.
c) El circuncentro de un triángulo es el punto de intersección de las mediatrices
de los lados del triángulo, por lo que equidista de los tres vértices, esto hace
que sea el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, en este caso el
punto M es el punto medio del segmento AB , luego si d(A; B) = 25 km
entonces d(A; M) = d(B; M) = 12,5 km ; se cumple también que d(P; M) = 12,5
km (según el inciso a) por lo que podemos plantear que:
d(A; M) = d(B; M) = d(P; M) = 12,5 km
lo que indica que el punto M equidista de los vértices del APB, por tanto M es
el circuncentro de dicho triángulo. 
En el inciso c del ejemplo anterior podríamos hacer otro análisis.
El circuncentro es un punto interior al triángulo si este es acutángulo, exterior si
es obtusángulo y frontera (está sobre un lado) si es rectángulo.
En el caso del triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa, por lo
que ésta es un diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo,
cumpliéndose así el Teorema de Tales que nos plantea: “todo ángulo inscrito
en un diámetro es recto”, por tanto el triángulo formado por los extremos de un
diámetro y un punto de la circunferencia es rectángulo.
Verifiquemos si el APB es rectángulo, para ello analicemos las pendientes de
las rectas que contienen a los lados AP y BP a través de las relaciones de
paralelismo y perpendicularidad de dos rectas que plantea:
Sea m1 y m2 las pendientes de las rectas r1 y r2 respectivamente entonces:
r1 r2 si y solo si m1 = m2
r1  r2 si y solo si m1  - 1
m2
Calculemos las pendiente de la recta AP y BP.
m AP 
y A  yP
x A  xP
50
 10  0
5

10
1

2
mBP 
20 - 0
10 - 0
20

10
m AP 
mBP 
mAP
mBP
m AP
como las pendientes son opuesta y recíprocas
yB  y P
xB  x P
mBP  2

1
m   AP
m
BP





entonces AP  BP
lo que hace que el APB tenga un ángulo recto en el vértice P.
Podemos concluir entonces que el punto M es el circuncentro del APB
rectángulo en P por ser el punto medio de la hipotenusa.
En cuanto a la pendiente de una recta no paralela al eje y debemos apuntar
que es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo
x.
Ejemplo 2
Prueba que el cuadrilátero de vértices A(0; 2), B(6; 0), C(8; 6) y D(2; 4) es un
rombo.
Resolución:
Para demostrar que este cuadrilátero es un rombo debemos probar en primer
lugar que es un paralelogramo, lo cual podemos hacer por cualquiera de los
casos indicados en el epígrafe 1.3 y además, probar que los cuatro lados son
iguales o que las diagonales son perpendiculares, condiciones que debe
cumplir el paralelogramo para ser rombo.
Este ejemplo lo demostraremos de la siguiente forma:
1. Demostrar que tiene un par de lados opuestos paralelos e iguales
(paralelogramo).
2. Las diagonales son perpendiculares.
El cuadrilátero ABCD se muestra en la figura 5.24 y según lo indicado
anteriormente debemos demostrar que: AB  CD , AB CD y AC  BD .
AB  d(A; B) 
(x A - x B )2  (y A - y B )2

(0 - 6)2  (- 2 - 0)2

36  4

40
 2 10 u
CD  d(C; D) 
(xC - x D )2  (yC - y D )2

(8 - 2)2  (6 - 4)2

36  4

40
 2 10 u
luego se cumple que
AB  CD
.
Para demostrar que estos dos lados son paralelos calculamos las pendientes
de las rectas que los contiene.
mAB 
20 2
1
y A  yB



06
6 3
x A  xB
,
mCD 
6-4
2 1
yC  yD

 
8-2
6 3
xC  xD
como se cumple que mAB = mCD entonces AB  CD por lo que
AB
CD .
Hasta aquí hemos demostrado que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo,
si demostramos que AB  BD (diagonales perpendiculares) entonces podremos
afirmar que este cuadrilátero es un rombo. Para esto calculemos las
pendientes de las rectas que contienen a las diagonales.
mAC 
26
8
y A  yC


0 8
8
x A  xC
=1 ,
mBD 
4
yB  y D 0 - 4


6-2
4
xB  x D
=–1
como se cumplen que esta pendientes son opuestas en signo y recíprocas en
sus valores absolutos (recíproco de 1 es – 1 ), es decir se cumple que:
1
entonces AC  BD
mAC  mBD
por lo que sus diagonales son perpendiculares por tanto el cuadrilátero ABCD
es un rombo. 
Ejercicios (epígrafe 2.1)
1. Sean los siguientes pares de puntos. Calcula: la longitud del segmento
determinado por los mismos, la pendiente de la mediatriz de ese segmento y
las coordenadas del punto de intersección de la mediatriz con el segmento.
a) A(– 5; 1) , B(3; 7)
b) C(– 1; 4) , D(1; – 2)
c) E(0; 1) , F(8; 5)
d) G(4; 3) , H(8; – 1)
2. Del segmento AB conocemos las coordenadas de un extremo y de C punto
medio del mismo. Determina las coordenadas del extremo que falta, la longitud
del segmento AB y el ángulo de inclinación de la recta que lo contiene con el
semieje positivo x.
a) A(– 1; 3) , C(3;0)
b) B(– 3; – 1) , C(0;0)
c) A(– 4; – 6) , C(– 2 ; – 3)
d) B(5; 4) , C(1; 1)
3. Halla sobre el eje x un punto situado a una distancia de 5 unidades del
punto:
a) A(3; 4)
b) B(–1; 3)
c) C(– 4; 4)
d) D(4; – 3)
4. Un vehículo se desplaza por una carretera rectilínea desde el punto
A(– 30;80) hasta el punto B(50;20) (respecto a cierto sistema de coordenadas).
Halla el tramo recorrido entre A y B y las coordenadas de una gasolinera que
se encuentra en el centro del recorrido. Las coordenadas están dadas en
kilómetros.
5. Halla las coordenadas de los tres puntos que dividen en 4 partes iguales al
segmento dado por los puntos:
a) A(– 1; – 2) , B(3; 6)
b) C(– 5; 0) , D(3; 4)
c) E(– 6; – 6) , F(2; 6)
d) G(5; – 4) , H(– 11; 8)
6. Un bosque tiene forma de cuadrilátero con vértices A(0; 200), B(200; 0) ,
C(500; 300) y D(100; 700). Demuestra que tiene forma de trapecio rectángulo y
calcula su área. Las coordenadas están dadas en metros.
7. Demuestra que si se determina el punto medio del segmento CD en el
ejercicio 6 el cuadrilátero que representa el bosque se descompone en un
rectángulo y un triángulo rectángulo.
8. Demuestra que los siguientes cuadriláteros dados por las coordenadas de
sus vértices tomados en ese orden son paralelogramos. Clasifícalos.
a) A(– 3; – 1) , B(4; 1) , C(5; 4) , D(– 2; 2)
b) M(– 6; –2) , N(– 5; – 4) , P(1; –1) , Q(0; 1)
c) E(2; –2) , F(2; 3) , G(– 2; 6) , H(– 2; 1)
d) I(2; 1) , J(6; 3) , K(4; 7) , L(0; 5)
9. Del ejercicio 8 calcula el área del cuadrilátero en el caso de ser rectángulo,
rombo o cuadrado.
2.2 Ecuación cartesiana de la recta.
En el estudio realizado sobre las funciones analizaste la función lineal que tiene
como representación gráfica la recta y cuya ecuación tiene la forma f(x)=mx+n
(ó y = mx + n).
Ejemplo 1
Los puntos A(–1; –1) y B(2; 5) pertenecen al gráfico de una función lineal f.
a) Escribe una ecuación de dicha función y represéntala gráficamente.
b) ¿Cuál es la amplitud del ángulo formado por el gráfico de la función f y el
semieje positivo x?
Resolución:
a) Para escribir la ecuación de esta función debemos encontrar los valores de
m (pendiente de la recta) y n (punto de intersección con el eje x o intercepto
con ese eje).
Cálculo de la pendiente: m  y A  yB  -1 - 5  6  2
x A  xB
- 1- 2
3
conocida la pendiente m la ecuación se expresaría como:
y = 2x + n (I)
Para hallar n, basta sustituir en (I) las coordenadas de cualquiera de los puntos
A ó B, escojamos las coordenadas del punto B, entonces tendremos:
5=2 ·2+n
5=4+n
n=1
por tanto la ecuación buscada es: f(x) = 2x +1 ó y = 2x + 1
Para representar gráficamente esta función, como dos puntos determinan una
recta, basta con representar en un sistema de coordenadas los puntos A y B
que pertenecen a la misma, como se muestra en la figura 5.25a .
b) El ángulo () que forma la recta con el semieje positivo del eje x se muestra
en la figura 5.25b, para determinar su amplitud conocemos que el valor de la
pendiente de la recta es igual al valor de la tangente de este ángulo, luego
tan  = 2
dicho ángulo solo puede tomar valores en el intervalo 00;1800, período
principal de la tangente, siendo positiva para ángulos en el primer cuadrante y
negativa para el segundo; en este caso la tangente es positiva por tanto  es
un ángulo agudo (del primer cuadrante), luego  = 63,40. 
En el ejemplo anterior escribimos la ecuación de la recta en la forma:
y = mx + n
(1)
o forma explícita de expresar la misma, pero también se puede escribir en la
forma:
Ax + By + C = 0
(2)
(A  0; B  0) conocida como Ecuación General de la Recta o forma implícita.
Ambas forma de escribir la ecuación de una recta son equivalentes, pues si
en la ecuación (2) despejamos la coordenada “y” obtendremos la ecuación (1)
considerando m   A y n   C .
B
B
Si en la ecuación (2) A = 0 ó B = 0 ó C = 0 se obtienen los casos particulares:
 Si A = 0; se tiene una recta paralela al eje x por el punto (0; n).
(representa a la función lineal constante f(x) = n).
 Si B = 0; se tiene una recta perpendicular al eje x en el punto
 C 
  ; 0 .
 A 
(no representa una función, ¿porqué?).
 Si C = 0; se tiene una recta que pasa por el origen de coordenadas con
pendiente m   A .
B
(representa la función lineal f(x) = mx o función de proporcionalidad directa).
En el epígrafe 2.1 analizamos que la pendiente de una recta se obtiene
conocidos dos puntos de la recta o el ángulo de inclinación que forma la recta
con el semieje positivo x.
Tenemos ahora que conocida la ecuación (2) la pendiente se puede obtener
como m   A , por tanto, para calcular la pendiente de una recta conocemos
B
tres formas que son:
m 
y2  y1
A
 tan α  
x2  x1
B
Las ecuaciones (1) y (2) son formas de expresar la ecuación de una recta,
¿cómo obtener la misma?
La pendiente de una recta es única para cualquier par de puntos de la misma,
entonces para una recta “r” de pendiente “m” que contiene a un punto P 1(x1;y1),
si consideramos otro punto P(x;y) que represente a cualquier punto de la recta,
su ecuación se expresa por la relación:
m 
y  y1
x  x1
(3)
Ejemplo 2
Sean los puntos M(–1; 4) , N(– 3; 1) , P(3; 3) y Q(5; 6) los vértices de un
paralelogramo tomados en ese orden. Halla las ecuaciones de las rectas que
contienen a los lados opuestos MQ y NP .
Resolución:
El paralelogramo MNPQ se
muestra en la figura 5.26, pero,
¿cómo podemos dar respuesta a
este ejercicio?
Toda recta queda determinada por
dos puntos o también por un punto
y la pendiente.
En este ejemplo conocemos los
cuatro vértices del paralelogramo,
esto quiere decir, que tenemos dos
puntos de cada una de la rectas de
las cuales nos piden sus
ecuaciones, luego, con cada pareja
de puntos podemos calcular las
pendientes respectivas de cada
recta y después con uno de los puntos correspondientes de cada una de ellas
y su pendiente encontrar dichas ecuaciones.
Cálculo de la ecuación de la recta MQ
Pendiente:
mMQ 
yM  y Q
4-6
2
1



xM  x Q
- 1- 5
6
3
Tomando las coordenadas del punto M ó Q escribimos la ecuación de la recta.
Consideremos las coordenadas del punto M entonces según (3) tenemos:
mMQ 
y  yM
x  xM
1
y  4

3
x  1
x + 1 = 3(y – 4)
x + 1 = 3y – 12
x – 3y + 13 = 0
Se ha expresado la ecuación de la recta MQ en la forma implícita o Ecuación
General de la recta, pero se podía haber expresado en la forma explícita
quedando ésta como:
y 
1
13
x 
3
3
Para obtener la ecuación de la recta que contiene al lado NP podemos repetir
el proceso anterior, pero, estamos buscando las rectas que contienen los lados
opuestos de un paralelogramo luego no es necesario realizar el cálculo de la
pendiente de NP pues conocemos que MQ NP por tanto mNP = mMQ = 1 .
3
Consideremos ahora las coordenadas de uno de los puntos N ó P y
obtendremos así la ecuación de la otra recta pedida.
mNP 
y  yN
x  xN
1
y  1

3
x  3
x + 3 = 3(y – 1)
x + 3 = 3y – 3
x – 3y – 6 = 0

Nota: En el ejemplo anterior pueden buscar las ecuaciones de los otros dos
lados y de las diagonales, la longitud de las diagonales y de los lados opuestos
y las coordenadas del punto de intersección de las diagonales.
Ejemplo 3
Dos carretera rectilíneas r y q están
dadas por las ecuaciones
r: x – y + 1 = 0 y q: x – 4y + 13 = 0
referidas a un sistema de
coordenadas con origen en un
pueblo P como muestra la figura
5.27.
a)¿Qué amplitud tiene el ángulo con
que se intersecan estas carreteras?
b) ¿Qué longitud (en km) debe tener
una carretera rectilínea “s” desde el
pueblo P hasta la intersección (I) de
las carreteras r y q?
Resolución:
a) Hallar el ángulo de intersección de estas carreteras rectilíneas se soluciona
hallando el ángulo de intersección entre dos rectas.
¿Cuál es el ángulo de intersección entre dos rectas no perpendiculares, si al
cortarse forman ángulos agudos y obtusos? figura 5.27.
Se considera como ángulo de intersección entre dos rectas al ángulo agudo y
su amplitud se obtiene a través de la relación:
tan δ 
m1  m2
1  m1  m2
(4)
donde: , es el ángulo de intersección (00   900).
m1; m2 las pendientes de las rectas que se intersecan.
Calculemos las pendientes de las rectas r y q conocidas sus ecuaciones.
r: x – y + 1 = 0 ; mr   A   1  1
1
A
1
1
 
 

B
4
4
B
q: x – 4y + 13 = 0 ;
mq
sustituyendo estas pendientes en (4) tenemos:
1
3
4
4
tan δ 


1
 1
1
1  1 
4
4
1
3
4
5
4

3 4
3
 
 0,6
4 5
5
luego  = 310.
b) Para hallar la longitud de la carretera s debemos calcular la distancia del
pueblo P que tiene coordenadas (0;0) a la intersección I de las carreteras r y q.
Hallar el punto de intersección entre dos rectas (o curvas cualesquiera o
solución común a dos o más situaciones problémicas que se puedan expresar
a través de ecuaciones) es resolver el sistema de ecuaciones dado por las
ecuaciones de dichas rectas.
Formemos el sistema con las ecuaciones de r y q.
(1)
(2)
x–y= –1
x – 4y = – 13
multiplicando la ecuación (2) por –1 para cancelar la variable x tenemos:
x–y= –1
– x + 4y = 13
-----------------------------------
3y = 12
y=4
x–4=–1
x=3
La intersección tiene coordenadas (3; 4) luego la longitud de la carretera s
sería:
s = d(P;) = xΙ  xP 2  yΙ  yP 2
sustituyendo y = 4 en (1) obtenemos:

32  42

25
= 5 km
entonces la carretera s tiene una longitud de 5 km . 
La fórmula (4) para determinar la tangente del ángulo de intersección entre dos
rectas nos puede dar tanto un valor positivo como negativo al sustituir las
pendientes de las rectas que se intersecan, en caso de ser positivo, este
ángulo se obtiene directamente de la tabla debido a que el mismo es un ángulo
agudo y toma valores en el intervalo 00  900 en el cual la tangente es
positiva.
De ser negativo el valor de la tangente esto quiere decir que el ángulo que se
obtendría al considerar ese valor es obtuso teniendo que utilizar la fórmula de
reducción  –  , pero, el ángulo que se busca es agudo, luego tendríamos
como ángulo de intersección el ángulo auxiliar  , que tiene el mismo valor
modular de la tangente, es decir, que de ser negativo este valor de tangente, se
tomaría su módulo para hallar el ángulo de intersección.
Analicemos un ejemplo donde utilizando la ecuación general de la recta
podemos calcular el área de figuras planas.
Ejemplo 4
Calcula el área del ABC si sus vértices tienen coordenadas M( – 4; 0), N(8; 5)
y P(– 2; 8) .
Resolución:
Para dar respuesta a este ejercicio, donde están dadas las coordenadas de los
tres vértices del triángulo, podemos utilizar cualquiera de las tres fórmulas para
calcular el área del triángulo que conocemos, o sea, si calculamos:
1. las longitudes de los lados a través de la fórmula de distancia entre dos
puntos podemos utilizar la fórmula de Herón:
A = p(p  a)(p  b)(p  c)
donde p es el semiperímetro del triángulo y a, b, y c las longitudes de los lados.
2. las longitudes de dos lados digamos, MN y MP y el ángulo de intersección
entre las rectas que contienen estos lados nos permitiría utilizar la fórmula:
A = 1 ab sen 
2
3. la longitud de un lado considerado como la base y de la altura relativa a ese
lado usaríamos la fórmula:
A= bh
2
Analicemos esta última vía, para ello consideremos como base el lado
cual calculamos su longitud:
MN  d(M; N) 
( xM  xN )2  ( yM  yN )2 

( 4  8)2  (0  5)2 
169
= 13 u
( 12)2  (  5)2
MN
al
Calculemos la altura relativa al
lado MN , para esto debemos
tener presente que la altura de
un triángulo es el segmento de
perpendicular trazado desde un
vértice hasta el lado opuesto
figura 5.28 .
En este caso, para calcular la
longitud del segmento PQ
debemos tener las coordenadas
del punto Q que es el punto de
intersección de las rectas MN y
PQ.
Si tenemos en cuenta que la
distancia de un punto a una recta
es el segmento de perpendicular
trazado desde el punto a la recta el cual se calcula por la fórmula:
d(P;r)=
Ax P  ByP  C
A 2  B2
siendo P(x;y) y r la ecuación de la recta, podemos abreviar este cálculo de la
forma siguiente:
Para calcular la longitud de PQ por esta vía debemos tener la ecuación de la
recta MN y las coordenadas del punto P.
Cálculo de la ecuación de la recta MN
y  yN
0  5 5
5



Pendiente:
mMN= M
xM  x N
 4  8  12 12
y  yN
Ecuación :
mMN=
x  xN
5
y

12 x  4
5x + 20 = 12y
5x – 12y + 20 = 0
Cálculo de h = PQ :
h = d(P;MN) =
=
=
AxP  By P  C
A2  B 2
5(2)  12(8)  20
52  (12) 2
 10  96  20
25  144
=
Cálculo del área del MNP
AMNP=
- 86
196
b  h
2
=

86
 6,6 u
13
13  6,6 85,8

 43 u2
2
2

Nota: Comprueba este resultado utilizando las otras dos vías señaladas en la
resolución de este ejemplo y compara los tres procedimientos.
Ejercicios (epígrafe 2.2)
1. Una recta está dada por la ecuación
x
y

 1.
3
4
a) ¿Cuál es su pendiente?
b) ¿Cuáles son sus interceptos?
c) ¿Qué ángulo forma con el eje Ox?
d) Calcula el área del triángulo formado por la recta y los ejes coordenados.
2. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto M(2;1), si M es el punto
medio del segmento que determina con los ejes coordenados.
3. Una recta corta a los ejes coordenados en el primer cuadrante formando
segmentos iguales. Escribe la ecuación de dicha recta si el área del triángulo
limitado por la recta y los ejes coordenados es de 18 u2.
4. Escribe la ecuación de una recta que pasa por el punto B(0;8), si el área del
triángulo limitado por la recta y los ejes coordenados es igual a 16 u 2.
5. Dado un triángulo de vértices M(0; –2), N(0;2) y P(2;4). Escribe las
ecuaciones de: lado MP, de la mediana NE y de la altura ND.
6. De un rectángulo se conocen los extremos de una diagonal y el ángulo de
inclinación de un lado respecto al semieje positivo x. Escribe la ecuación de
cada lado del rectángulo.
a) M(1;2), P(3;7),  = 450
b) A(0;0), B(5;5),  = 68,20
7. E n el triángulo EFG conocemos las coordenadas de los vértices E y F, y de
los puntos medios M y N de los lados opuestos a dichos vértices
respectivamente. Calcula las coordenadas del Baricentro B, escribe las
ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del triángulo y las
coordenadas del Vértice G.
8. Calcula el ángulo entre las rectas:
a) 7x – 24y + 86 = 0 y 8x – 15y + 8 = 0
b) 3x – y – 18 = 0
y
x – 3y + 15 = 0
c) x + 5y + 9 = 0
y 2x – 3y + 1 = 0
d) 2x – 3y + 12 = 0
y 4x – 6y + 15 = 0
9. Halla la distancia desde el punto M a la recta r:
a) M  3 ; 9  , r: 4x + 3y – 8 = 0
2

10. Sea la recta
x
y

 1.
3
2
b) M
 3

  ; - 9
 2

, r: 4x + 3y – 17 = 0
Calcula la distancia hasta esta recta del origen de
coordenadas.
11. En el triángulo isósceles de vértices A(2;1), B(1;8) y C(– 4;3).
a) Escribe la ecuación de la recta que contiene al circuncentro y el incentro.
b) Calcula la amplitud de sus ángulos bases.
c) Calcula su área.
12 Se dan las ecuaciones de dos lados de un paralelogramo y de una de sus
diagonales. Halla las coordenadas de sus vértices y la amplitud de sus ángulos
interiores.
lados
diagonal
a) 8x + 3y + 1= 0 ; 2x + y – 1 = 0
3x + 2y + 3 = 0
b) x – 4y + 11 = 0 ; 2x + y – 5 = 0
x–y–1=0
2
13. Sea el paralelogramo de área 20 u y cuyos vértices son los puntos M(0;1),
N(7;2), P(8;5) y Q(1;4). Comprueba que las siguientes fórmulas para calcular
su área son equivalentes.
a) A = b · h (b: base , h: altura).
b) A = a·c sen (a y c: longitudes de dos lados consecutivos , : ángulo
interiror comprendido entre esos dos lados) .
c) A = 1 d1·d2 sen (d1 y d2: longitudes de las diagonales, : ángulo de
2
intersección de las diagonales).
14. Una recta pasa por el origen de coordenadas y forma con el eje Ox un
ángulo de 450; otra recta pasa por el punto A(a;0) y forma con el eje Ox un
ángulo de 600. Halla las coordenadas del punto de intersección de estas rectas
y la amplitud del ángulo con que se cortan.
15. Calcula el área de los siguientes trapecios dados por sus vértices.
a) A(7;1), B(–1;7) , C(0;0), D(2; –15)
b) E(– 3 ;0), F(9;4), G(5;6), H(–1;4)
c) M(–1;1), N(7;5), P(2;8), Q(–2;6)
16. Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que se forman al
cortarse las rectas:
a) 2x – y + 1 = 0 y x – 2y + 2 = 0
b) x – 4y + 2 = 0 y 4x – y – 7 = 0
c) 4x – 3y + 6 = 0 y
y–2=0
17. Un policlínico B se encuentra a 4,0 km al este y 2,0 km al Norte de otro
policlínico A, y otro C se encuentra de A a 2,0 km al Oeste y 6,0 km al Norte.
Se quiere construir un centro de urgencia médica M que equidiste de estos tres
policlínicos. ¿Cuál debe ser su ubicación respecto al policlínico A?¿A qué
distancia se encuentra de A, B y C?
Respuestas del Capítulo 5
Epígrafe 1.1
(3) 1=3=5=7=500 , 2=4=6=8=1300 (4) ===300 ; =1500
Epígrafe 1.2
(1) 360 ; 540 (2) 600 (5) 1060 (6) b) 3,0 cm y 12 cm.
Epígrafe 1.3
(4) 600 ; 1200
Epígrafe 1.5
(3)
1
2
(4) 9720 lozas (5) A=2,5 dm2 ; L=15,6 cm (6) A=7,26 hm2
Epígrafe 2.1
(1) a) 10u; m=  4 ; (–1;4) b) 7,32u; m= 1 ; (0;1) c) 8,96u; m = –2; (4;3)
3
3
d) 5,64u; m = 1; (6;1) (2) a) B(7; – 3), 10u; 143,10 b) A(3;1), 6,32u; 18,40
c) B(0;0); 7,22u; 56,30 d) A(–3; –2); 10u; 36,90 (3) a) (0;0), (6;0) b) (– 5;0),
(4;0) c) (– 7;0), (– 1;0) d) (0;0), (8;0) (4) 100 km, (10;50) (5) a)(0;0), (1;2),
(2;4) b) (– 3;1), (–1;2), (1;3) c) (– 4; –3), (–2;0), (0;3) d)(1; –1), (–3;2), (–7;5)
(6) 18 hm2 (7) a) paralelogramo b) rectángulo c) rombo d) cuadrado
(9) rectángulo: 15u2, rombo: 20u2, cuadrado: 20u2
Epígrafe 2.2
(1) a) m=  4 b) (3;0), (0;4) c) 126,90 d) 6u2 (2) x + 2y – 4 = 0 (3) x + y – 6 = 0
3
(4) 2x + y – 8 = 0 ; – 2x + y – 8 = 0 (5) MP: 3x – y – 2 = 0; NE: x – 5y + 4 = 0;
ND: x + 3y – 12 = 0 (6) a) x – y – 1 = 0; x – y + 4 = 0; x + y – 10 = 0;
x + y – 3 = 0 b) 5x – 2y = 0; 5x – 2y – 15 = 0; 2x + 5y = 0; 2x + 5y – 35 = 0
(7) a) B(0;3), G(5; –6), x – 4y + 26 = 0; 4x + 5y – 1 = 0; 5x + y – 17 = 0
b) B(0;0), G(–6;2); x – 5y + 16 = 0; x + y + 4 = 0; 5x – y – 16 = 0
c) B(3;2), G(–3;2); 3x – 4y + 17 = 0; 3x + 5y – 1 = 0; 6x + y – 38 = 0
(8) a)   440; b)   530; c)  = 450 ; d)  = 00 (9) a) 5 u b) 10 u (10) d  1,7u
(11) a) 3x – y + 5 = 0; b)   63,40 ; c) 20 u2 (12) a) (–2;5), (1; –3), (5;9),
(8; –17), 47,10; 132,90 b) (1;3), (2;1), (5;4), (6;2), 49,40; 130,60
(14)

 

a
a

 3 3; 3 3 
2
2

;150 (15) a) A  31,3 u2 b) A = 30 u2 c) 33 u2
(16) a) x + y – 1 = 0 ; x – y + 1 = 0 b) x + y – 3 = 0 ; x – y – 1 = 0
c) x – 2y + 4 = 0 ; 2x + y – 2 = 0
(17) M es encuentra a 0,71 km al este y 3,6 km al norte de A, a una distancia
aproximada de 3,7 km