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LOS ÁNGULOS Y SU MEDIDA
Con objeto de estudiar los ángulos y su medida
consideraremos que un ángulo es un recorrido en la
circunferencia con centro el origen y de radio unidad
o circunferencia goniométrica, el punto de partida
de estos recorridos se situará en el punto de
coordenadas (1,0) y la medida de un ángulo será la
medida de ese recorrido.
Los ángulos pueden tener sentido positivo o
negativo según sea el de su recorrido; si es contrario
al de las agujas del reloj será positivo y si es igual,
negativo.
segundos.Así un ángulo se mide en:
minutos' segundos''
grados °
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
De grados a radianes y de radianes a grados
De grados a radianes: multiplicamos por
De radianes a grados: multiplicamos por
Para definir las funciones trigonométricas de un
ángulo primero se coloca a éste en posición
estándar y después se selecciona un punto P(x,y)
sobre el lado final del recorrido, así como se
muestra en la figura.
𝜋
180
180
𝜋
Resumiendo: Los ángulos más usados y sus
equivalentes se muestran en la siguiente
circunferencia
Radianes
El ángulo de 1 radián es aquel cuyo recorrido en la
circunferencia es igual al radio.
Grados sexagesimales
Ya conoces el sistema sexagesimal de medida de
ángulos. Al dividir la circunferencia en 360 partes
iguales, obtenemos un grado, a su vez cada grado se
compone de 60 minutos y cada minuto de 60
TALLER
En el triángulo de la figura calcula:
TALLER
1. Pasa a radianes: a) 150º, b) 210º, c) 270º, d)
60º
2. Pasa a grados: a) 11π/6 rad, b) π/4 rad, c)
5π/4 rad, d) 2π/3 rad
β
5
3
α
4
a) sen α
b) cos α
c) tg α
d) sen β
e) cos β
f) tg β
EJEMPLO
Un cable de sujeción, se amarra a 12 m de la
base de un mástil, y el cable forma un ángulo de
15° con el suelo ¿Cuánto mide dicho cable?
6.
Encuentre el valor de cada una de las seis
funciones trigonométricas, si los puntos P
pertenecen al lado terminal del ángulo asociado.
7.
Relaciones fundamentales
Determinamos el valor de B a través de
12
sen15°=
𝑋
Despejamos X y obtenemos
X=46,3644
EJERCICIO
1.
EJEMPLO
2.
3.
4.
5.
Un edificio proyecta una sombra de
150m. cuando el sol forma un ángulo
de 20º 30' sobre el horizonte, calcular
la altura del edificio
Una escalera está apoyada contra la
pared de un edificio y su base se
encuentra a una distancia de 12 pies
del edificio. ¿A qué altura está el
extremo superior de la escalera y cuál
es la longitud si el ángulo que forma
con el suelo es de 70°?
De lo alto de un faro, de 120 m sobre el
nivel del mar, el ángulo de depresión
de un bote es de 15°. ¿A qué distancia
está el bote del faro?
Un hombre maneja 500 m a lo largo de
un camino inclinado 20 o con respecto
a la horizontal. ¿A qué altura se
encuentra con respecto al punto de
partida?
Un árbol quebrado por el viento forma
un triángulo rectángulo con el suelo. Si
la parte quebrada hace un ángulo de
50º con el suelo y si la copa del árbol
esta ahora a 6 metros de su base. ¿Qué
altura tenía el árbol?.
Dos edificios de cubierta plana distan
18 metros. Del techo del más bajo de
12 metros de alto, el ángulo de
elevación del borde del techo del más
alto es de 40º. ¿Cuál es la altura del
edificio más alto?
Desde un punto se observa un edificio
cuya parte más alta forma con el suelo
un ángulo de 30º, si avanzamos 30
metros, el ángulo pasa a ser de 45º.
Calcular la altura del edificio.