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LA MATEMÁTICA A FINES DEL SIGLO XIX
A lo largo del tiempo, las matemáticas se van haciendo cada vez más
abstractas. Y a través del siglo XIX diversos matemáticos se adentraron en
ellas trayendo consigo distintas aportaciones al crecimiento de la ciencia,
donde esta época se caracterizó por el desarrollo y creación de la Teoría
de conjuntos, lógica matemática y la axiomática.
En ese momento, los matemáticos y en especial los lógicos matemáticos,
volvieron su mirada al pasado, con el objeto de examinar cuidadosamente
los fundamentos del edificio del conocimiento matemático y asegurarse
de que fueran totalmente confiables. Los lógicos encontraron que existían
ciertos aspectos básicos que no se habían demostrado, Esto los puso en la
labor de demostrar cada idea y teorema a partir de unos pocos principios
básicos: Los verdaderos Axiomas.
Esta idea fue liderada principalmente por uno de los matemáticos más
influyentes de aquel entonces, llamado David Hilbert nacido en enero de
1862 en Wehlau, Prusia oriental.
David hizo contribuciones innovadoras a muchos
campos de la Matemática, como la teoría de
invariantes, la noción del espacio de Hilbert en el
análisis funcional, la teoría de la demostración y
aportes a la Lógica matemática. A finales del siglo
XIX, Hilbert era el principal protagonista de lo que se
llamaría más tarde, el “Programa Hilbert”, que
consistía en axiomatizar toda la estructura del
conocimiento matemático, ya que él creía posible la demostración de
todos los teoremas a partir de unos cuantos axiomas correctamente
elegidos.
Entre los que se encontraban apoyando a Hilbert en esta
tarea, estaba Friedrich Ludwig Gottlob Frege, nacido en
1848 en Wismar (actual Alemania). A él le debemos la
introducción de los cuantificadores lógicos en la lógica
matemática moderna y la definición de número por
medio de la idea intuitiva de conjunto. Frege, como era
un fiel logiecita, creía que todas las verdades
matemáticas podían deducirse de la lógica y
ayudándose de una definición intuitiva de conjuntos, preparó un intento
de formalizar la Aritmética a partir de la lógica en su obra “Grundgesetze
der Arithmetik”.
Luitzen Egbertus Jan Brouwer condujo a una nueva perspectiva del
conocimiento del objeto matemático con su intuicionismo, aunque no fue
muy bien recibido al principio, sí influenció en una figura que marca la
historia de ese tiempo: el lógico y matemático Kurt Gödel
Gödel nació en abril de 1906 en Brünn (Imperio
Astrohúngaro). Hizo contribuciones a la teoría de
conjuntos, la hipótesis del continuo, la teoría de la
decisión y las funciones recursivas. Pero en 1931
publica
un
artículo
llamado
“Sobre
las
proposiciones formalmente irresolubles de los
Principia Mathematica y los sistemas relacionados”
En donde presentaba una demostración formal de
sus teoremas de indivisibilidad que dicen: si un
sistema axiomático es consistente, entonces hay teoremas que no pueden
demostrarse por medio de deducciones de los axiomas, y el segundo
teorema dice que no existe procedimiento alguno para demostrar la
consistencia del sistema axiomático. Esto pues acabó con las esperanzas
de ver culminado el “Programa Hilbert” de unas matemáticas completas y
consistentes con todos sus teoremas demostrados, lo que ocasionó toda
una nube de especulaciones sobre el nuevo rumbo que debían tomar
estas investigaciones sobre los fundamentos del conocimiento
matemático. Gödel fue galardonado como el “descubridor de la verdad
matemática más significativa del siglo” por la Universidad de Harvard.
Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su
tiempo fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar
al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto
que no pertenece a ésta (descubierta primero por Gauss). Las geometrías
no euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con
su descubrimiento de las múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los
trabajos de Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física.
Nikolas Ivanovitch Lobatchewsky nació en Makarief,
Rusia en noviembre de 1793. EL punto central de su
obra fue la Geometría. El incómodo quinto Postulado
de la obra de Euclides no fue atacado directamente
por Lobatchewsky, sino se trabajó desde una
proposición equivalente, la del ángulo recto. La
importancia de la proposición del ángulo recto
radica en que, de poder demostrarse, sería
suficiente para probar el quinto Postulado. Los dos
modos distintos en que se podría resolver esta
proposición, lleva a los dos trabajos sobre Geometría no Euclidiana: El de
Lobatchewsky y el de Riemann.
Nikolas encontró que el quinto postulado no era necesario para una
Geometría consecuente y basó su sistema diciendo que por un punto
exterior a una recta no pasa una sola paralela si no dos. Esto marcó todo
un hito en la historia de las Matemáticas de la época, pues se estaba
probando por primera vez la vulnerabilidad de los axiomas euclidianos
La geometría elíptica fue desarrollada, más avanzado el siglo XIX,
por el matemático alemán Bernhard Riemann; en esta no existen
paralelas y los ángulos en un triángulo suman más de 180°.
Riemann desarrolla también la geometría de Riemann, que
unifica y generaliza los tres tipos de geometría, y definió el
concepto de variedad, que generaliza las ideas de curva y
superficie.
Carl Friedrich Gauss es uno de los más importantes matemáticos de
la historia, realizó grandes descubrimientos en teoría de
números, un área en la que su libro Disquisitiones
arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era
moderna.
Presentó la primera demostración apropiada del teorema
fundamental del álgebra. Combinando a menudo
investigaciones científicas y matemáticas; por ejemplo,
desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita
de un planetoide recién descubierto.
Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos
que tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos sistemas
se encuentran las cuaternas del matemático irlandés William Rowan
Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físico estadounidense
Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones del
matemático alemán Hermann Günther Grassmann.
Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra
para estudiar la geometría, el matemático alemán Felix Klein y el noruego
Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para
clasificar las geometrías según sus grupos de transformaciones (el
llamado “Programa Erlanger”, y Lie la aplicó a una teoría geométrica de
ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de transformaciones
conocidas como “grupos de Lie”.
Y por ultimo hablaremos de Georg Cantor que inventó la teoría de
conjuntos, lo que permitió el tratamiento riguroso de la noción de infinito y
se ha convertido en el lenguaje común de casi todas las matemáticas. Y
también sin olvidar a Giuseppe Peano que se dio a conocer por su teoría
de los números naturales y por su con su formulario matemático en 1891
que permitió escribir con símbolos una preposición cualquiera y someter
además esas preposiciones a un cálculo formal sujeto a leyes
determinadas.
Conclusión:
La etapa del siglo XIX fue trascendental en el progreso de las matemáticas
en la mayoría de sus ramas lo que logro un crecimiento importante en el
ámbito científico, pues con la ayuda de diversos matemáticos, se lograron
avances impresionante a través de sus distintas aportaciones, tomando la
axiomática como base para dicho crecimiento matemático.
Bibliografía:

http://es.scribd.com/doc/12697010/MatemAticos-Del-Siglo-XIX-y-Su-Impacto-en-LosFundamentos-de-Las-MatemAticas

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Las_matem%C3%A1ticas_en_el_siglo_XIX

http://www.monografias.com/trabajos91/matematicas-traves-tiempos/matematicastraves-tiempos.shtml