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¿Qué son las Matemáticas?
Una introducción a la Filosofía de las Matemáticas.
Santiago A. Cárdenas Martín
¿Qué son las Matemáticas?
El diccionario de la RAE nos dice:
matemática.
(Del lat. mathematĭca, y este del gr. τὰ μαθηματικά, der. de μάθημα,
conocimiento).
f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes
abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus
relaciones. U. m. en pl. con el mismo significado que en sing.
~s aplicadas.
f. pl. Estudio de la cantidad considerada en relación con ciertos
fenómenos físicos.
~s puras.
f. pl. Estudio de la cantidad considerada en abstracto.
Las Matemáticas como ciencia.
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Las Matemáticas no utilizan el método científico.
En ese sentido, no son una ciencia.
Hay quien las define como una ciencia deductiva,
ya que se utiliza la deducción como herramienta
para obtener resultados, frente a la inducción del
método científico.
Las teorías matemáticas pueden ser más o menos
útiles o adecuadas, pero una vez probadas, no son
discutibles.
¿Qué tipo de cosas estudian las
Matemáticas?
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Las Matemáticas identifican y estudian patrones
abstractos de comportamiento.
Se inventan objetos matemáticos abstractos para
representar estos patrones y Teorías Matemáticas que
desarrollan el comportamiento de estos objetos.
En un primer nivel se identifican estos patrones en la
naturaleza y se crean las correspondientes teorías.
En un segundo nivel, se identifican patrones dentro
de las propias Teorías Matemáticas y dan lugar a
nuevas teorías.
Ejemplos: La Aritmética y la
Geometría.
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Podemos crear una teoría que sea la Aritmética de
gavillas de trigo.
Y otra teoría que sea la Aritmética de vacas.
Enseguida nos daremos cuenta de que hay un patrón
similar de comportamiento entre ambas teorías y
podemos crear la aritmética, dónde manejaremos
unos objetos abstractos llamados números.
De igual manera, crearemos la geometría, con
cuadrados, triángulos, etc.
Buscando patrones en Aritmética...
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Podemos observar que la suma es una operación
que a partir de dos números reales genera otro
número real y que tiene ciertas propiedades.
De igual manera, observamos que la
multiplicación es una operación análoga.
Ambas son operaciones asociativas, conmutativas,
tienen un elemento neutro y elemento simétrico, si
consideramos la multiplicación sin el cero.
... y en Geometría.
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En Geometría, cuando
estudiamos las
transformaciones de
cualquier figura geométrica
como un triángulo, nos
damos cuenta que podemos
pensar en una operación
abstracta que consiste en
componer dos
transformaciones.
La teoría de Grupos.
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A partir de estas observaciones, podemos inventar
un nuevo objeto que generaliza estos
comportamientos, llamado Grupo.
Un Grupo es un conjunto dotado de una operación
interna que es asociativa, tiene elemento neutro y
elemento simétrico.
El estudio abstracto de estos grupos da lugar a la
Teoría de Grupos y todo lo que averigüemos sobre
ellos, será de aplicación a todos los grupos que nos
encontremos en otras teorías matemáticas.
El método axiomático
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Los objetos matemáticos siempre son objetos
abstractos, nunca son objetos reales y para
definirlos de manera rigurosa, tendremos que
partir de objetos previamente definidos o bien,
axiomatizar su comportamiento.
Los axiomas son reglas de comportamiento de
unos objetos matemáticos, que precisan todo lo
que podemos utilizar sobre dichos objetos.
Si no definimos los objetos matemáticos con
conceptos previos, simplemente serán “algo” que
verifica esos axiomas.
Las teorías Matemáticas.
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Un Sistema o Teoría Matemática está formada por
un conjunto de axiomas.
A partir de estos axiomas, podremos de manera
deductiva, obtener otros resultados, a los que
llamaremos teoremas.
Si en cualquier modelo del mundo real o en
cualquiera otra Teoría Matemática aparece un
objeto que verifica los axiomas de la Teoría que
hemos creado, podremos aplicar todos sus
resultados.
Ejemplo: Los axiomas de Peano.
1. 0 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales es no
vacío.
2. Si a es un número natural, entonces “a + 1” también es un número natural,
llamado el sucesor de a.
3. 0 no es sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son iguales, entonces
a y b son números naturales iguales.
5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los
sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números
naturales.
La Aritmética axiomatizada.
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Los axiomas de Peano recogen el comportamiento de
los números naturales y de la función sucesor.
No definimos lo que es un número natural, ni la
función sucesor, pero decimos como se comportan.
Pero a partir de sólo estos axiomas podremos definir
de manera rigurosa los conceptos de suma,
multiplicación, etc. y demostrar teoremas, como
“2+2=4”.
De esta manera creamos una Teoría Matemática (la
Aritmética) que es aplicable en muchísimos
contextos.
Ejemplo: Los axiomas de Euclides
de la Geometría.
1. Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta
ilimitada en la misma dirección.
3. Se puede trazar una circunferencia que tenga su centro en cualquier punto y con
cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado
menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan
del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos (este axioma es
conocido con el nombre de axioma de las paralelas y fue enunciado más tarde
también de la siguiente manera: por un punto exterior a una recta se puede trazar
una única paralela).
Uso de la Geometría Euclídea.
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Los axiomas de Euclides, aunque imprecisos para
nuestro punto de vista actual, axiomatizan el
comportamiento de los puntos y rectas. Con sólo
esos axiomas podemos demostrar muchísimas cosas.
Los puntos y rectas de los axiomas de Euclides son
objetos abstractos y como tales constituyen una
teoría matemática. Hay una evidente correspondencia
de esta teoría con la geometría física que nos rodea.
Podemos utilizar esta correspondencia en cualquier
“sitio” dónde se verifiquen los axiomas.
Geometría no-euclídea elíptica.
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Si cambiamos el quinto axioma por la alternativa:
“Por un punto exterior a una recta no pasa
ninguna recta que no la corte” también obtenemos
una teoría matemática válida.
Esta geometría no-euclídea es una nueva teoría
matemática que corresponde a la superficie de
una hiper-esfera, y que puede que sea la
geometría del Universo.
Geometría Hipérbolica.
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Y si cambiamos el quinto axioma de Euclides por
la alternativa: “Por un punto exterior a una recta
siempre pasa más de una recta que no la corta”
también obtenemos una teoría matemática válida,
que en este caso es la geometría Hiperbólica.
Las Matemáticas son el estudio de
sistemas matemáticos.
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Desde el punto de vista formal, podemos decir que
las Matemáticas son el estudio de las Teorías (o
sistemas) Matemáticas.
Recordemos que cada Teoría Matemática no es
otra cosa que un conjunto de axiomas y todo el
desarrollo de teoremas a partir de estos axiomas.
Las teorías contendrán definiciones axiomáticas
(un objeto x es “algo” que verifica estos axiomas)
o definiciones rigurosas a partir de conceptos
previamente definidos en la teoría.
Matemáticas: Creatividad y Rigor.
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Vemos que en las matemáticas se combinan dos
facetas en apariencia opuestas.
Por una parte la creatividad y el ingenio, para
observar, buscar patrones e inventar nuevas
teorías. Con una buena parte de búsqueda de la
belleza.
Y por otra parte, Es indispensable construir las
Teorías Matemáticas con un absoluto rigor, sin
dejar ningún detalle sin demostrar.
La Lógica.
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Desde los tiempos de Aristóteles, muchos
filósofos se han preocupado de estudiar la manera
en la que razonamos.
Las Matemáticas son, sin lugar a dudas, el campo
en el que los razonamientos son más puros y
precisos.
Por eso, la Lógica es tan importante en la
sistematización de las Matemáticas.
El lenguaje de la Lógica.
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La Lógica nos proporciona un lenguaje
absolutamente preciso en el que escribir las
sentencias matemáticas.
Aunque un matemático pueda utilizar expresiones
de lenguaje cotidiano para expresar una
afirmación matemática, siempre sabrá escribirla
de manera precisa utilizando el lenguaje de la
Lógica.
¿Qué es una demostración
matemática?
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Una vez que expresamos los axiomas de una Teoría
Matemática con el lenguaje de la Lógica, una
demostración es una secuencia de transformaciones
sobre estos axiomas, para producir una nueva
sentencia a la que llamamos Teorema.
La Lógica nos dice que tipo de transformaciones son
válidas en el transcurso de una demostración.
En la práctica, una demostración matemática se
expresa con una mezcla de lenguaje formal y lenguaje
cotidiano, para hacerla legible, pero un matemático
siempre será capaz de traducirla a un lenguaje lógico.
El estudio matemático de la Lógica.
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La Lógica esta formada por objetos abstractos
(axiomas y teoremas) y reglas para transformarlas.
Enseguida nos damos cuenta de que la Lógica es
susceptible de ser estudiada de manera
matemática. Es decir, podemos hacer una Teoría
Matemática de la Lógica.
Esto nos permite profundizar mucho en el
desarrollo de la Lógica.
La Lógica estudia el razonamiento
matemático y las Matemáticas
sirven para estudiar la Lógica...
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Mediante la Lógica Filosófica hacemos una
primera justificación del razonamiento
matemático.
Y, luego aprovechamos la potencia de las
Matemáticas para desarrollar y estudiar en
profundidad la Lógica, lo que justifica y valida
aún más su uso.
La Metamatemática.
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Existe una enorme potencia en el estudio sistemático,
(utilizando herramientas matemáticas) de como se
desarrollan las teorías matemáticas y que
propiedades tienen.
Esto da lugar a la Metamatemática, que podríamos
decir que es la Teoría Matemática que estudia como
objetos abstractos a las propias Teorías Matemáticas,
los Axiomas y los Teoremas.
Y lo curioso, es que la Metamatemática acaba
teniendo muchas aplicaciones directas en las propias
Teorías Matemáticas.
La definición rigurosa de objetos
matemáticos.
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Como hemos dicho, un objeto matemático puede
ser definido de manera rigurosa a partir de otros
objetos matemáticos previamente definidos, o
podemos no definirlo y precisar su
comportamiento de manera axiomática.
En las Matemáticas actuales, lo que hacemos es
definir de manera precisa absolutamente todo a
partir de conceptos previos, excepto dos conceptos.
Sólo hay dos “cosas” que dejamos sin definir y que
por tanto tendremos que axiomatizar.
La Teoría de Conjuntos.
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Las dos “cosas” que dejamos sin definir son el
concepto de conjunto y el concepto de pertenencia
a un conjunto.
La axiomatización de estos dos conceptos es la
Teoría de Conjuntos, que tiene suma importancia en
la sistematización de los fundamentos de las
Matemáticas.
No definimos que es un conjunto y que es
pertenecer a un conjunto, pero especificamos con
unos axiomas, como se comportan los conjuntos.
La Teoría de Conjuntos como
fundamentos de las Matemáticas.
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A partir de los conjuntos podemos definir
conceptos como pares ordenados, funciones entre
conjuntos, etc.
E incluso podemos definir de manera rigurosa que
son los números (serán ciertos conjuntos,
evidentemente) y los axiomas de Peano se
obtendrán como teoremas de la Teoría de
Conjuntos a partir de esas definiciones.
El formalismo de Hilbert
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El matemático alemán David Hilbert creo a
principios del siglo XX una corriente de
pensamiento matemático llamada “formalismo”,
que básicamente es la que impera hoy día.
La versión actual del formalismo es la definir
todos los objetos matemáticos en el seno de la
Teoría de Conjuntos y expresarlo todo con el
lenguaje de la Lógica.
Las Matemáticas se convierten en una enorme
colección de Teorías Matemáticas.
El infinito. Los cardinales infinitos.
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Las mayores complicaciones que aparecen en la
Teoría de Conjuntos provienen del hecho de
considerar conjuntos de tamaño infinito.
La teoría de Conjuntos original (no axiomática) fué
creada por George Cantor, a finales del siglo XIX.
Y una de las cosas más curiosas que obtuvo Cantor
es que existen infinitos de “diferentes tamaños”.
La idea básica para comparar el tamaño de diferentes
conjuntos infinitos es emparejar los elementos de los
dos conjuntos.
Diferentes tamaños de infinitos.
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Por ejemplo, fácilmente vemos que podemos
emparejar los números naturales con los números
pares (n --> 2n), aunque los números pares sean un
subconjunto de los naturales.
Este es el infinito más pequeño, el de los números
naturales, o el de los racionales.
Sin embargo, el infinito de los números reales o el de
los puntos que forman un segmento es un infinito
mayor, que no puede ser emparejado con el de los
naturales.
El teorema de incompletitud de
Gödel.
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En 1.930, Kurt Gödel demostró sus famosos teoremas
de incompletitud de la Lógica. En principio, estos
teoremas supusieron un jarro de agua fría al logicismo
de Hilbert.
El primer teorema de incompletud nos dice que
cualquier Teoría Matemática en la que se pueda
definir la Aritmética es incompleta. Es decir, que
siempre habrá sentencias matemáticas que no sean
demostrables ni la propia sentencia ni su negación.
Esto implica que en toda Teoría siempre habrá
afirmaciones que no serán ni verdaderas ni falsas.
La independencia de resultados.
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En 1.963, Paul J. Cohen consiguió la primera
demostración de independencia, mediante una
técnica metamatemática muy potente que inventó,
llamada Forcing.
Cohen demostró que la Hipótesis del Continuo es
independiente. Esta era una cuestión a la que se
habían enfrentado infructuosamente Cantor y otros
muchos matemáticos.
Por el teorema de incompletitud de Gödel sabíamos
que tenían que existir casos así, pero este era el
primero que se encontraba.
La Hipótesis del Continuo.
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La Hipótesis del Continuo afirma que no existe
ningún infinito entre el del conjunto de los
números naturales (N) y el del conjunto de los
números reales (R). Es decir, que todo
subconjunto de R es biyectable o bien con el
propio R o con N.
Pues bien, Cohen demostró que esto no es ni
verdadero ni falso, sino todo lo contrario.
Formalismo vs Platonismo
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El Formalismo es una visión de las Matemáticas
desde el punto de vista de la Lógica. Al final, los
teoremas no son otra cosa que una cadena de
símbolos.
Sin embargo, el Platonismo como corriente de
pensamiento matemático es la concepción de que
los objetos matemáticos tienen una existencia
real, aunque sea una existencia abstracta.
Significado de los resultados
independientes para formalistas y
platonistas.
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Para un formalista, la Hipótesis del Continuo no es
verdadera ni falsa, ni tiene sentido preguntarse por
ello una vez demostrada su independencia.
Para un platonista a pesar de su independencia de los
axiomas de la Teoría de Conjuntos, tiene sentido
preguntarse todavía por su veracidad o falsedad.
Para un platonista, los conjuntos existen como
objetos abstractos y debemos ampliar nuestros
axiomas todo lo que hagan falta para captar su
esencia.
Otras corrientes matemáticas:
finitistas, intuicionistas
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Probablemente, el infinito como tal no exista en el
universo. El infinito es, básicamente, una creación de
la mente humana.
Por ello, han surgido algunas corrientes que en
mayor o menor medida eliminan el uso del infinito
en el desarrollo de las Matemáticas. Las principales
son el Finitismo y el Intuicionismo.
Pero en las Matemáticas actuales el uso del infinito
está en todas partes y es esencial en casi todas las
Teorías Matemáticas. Por ello, estas corrientes se
han vuelto bastante marginales en la actualidad.
Matemáticas teóricas y aplicadas.
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A pesar de lo abstracto de las Matemáticas
actuales y de lo alejadas de la realidad que parecen
algunas de sus teorías, al final la motivación
principal de las Matemáticas es su aplicación en el
estudio del mundo real.
Lo que ocurre es que para poder tener la potencia
que han alcanzado en la actualidad ha sido
imprescindible llegar a ese nivel de abstracción.
Por eso, no existe ni existirá una frontera clara
entre Matemáticas aplicadas y no aplicadas.
Aplicaciones de las Matemáticas
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Hoy en día, más que nunca, las aplicaciones de las
Matemáticas están por todas partes.
Sin Matemáticas no tendríamos Arquitectura, ni por
supuesto tendríamos ordenadores, ni Aviación
comercial.
Pero, además, ahora más que nunca estamos viendo
como se aplican cotidianamente resultados
matemáticos muy avanzados, como en la
codificación de las comunicaciones móviles, en los
GPS, en la encriptación para compras seguras en
Internet, etc.