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COLEGIO SANTA SABINA - CONCEPCION
“EDUCACION DE CALIDAD CON PROYECCION DE FUTURO”
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1983 –2016
Guía N° 4: “Cantidad de Movimiento, Impulso”
2° Medio
Prof. Ingrid Fuentes N.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS - II Semestre 2016
NOMBRE: _______________________________________________________CURSO: 2° Medio_____
FECHA: _________________ UNIDAD: N° 1 “Fuerza y Movimiento”
A.E. 4: Utilizar las nociones cuantitativas básicas de: Trabajo mecánico, Potencia desarrollada, Energía cinética, Energía potencial
gravitatoria, Energía mecánica total para describir actitudes de la vida cotidiana.
A.E. 5: Aplicar las leyes de conservación del momentum lineal y de la energía mecánica para explicar diversos fenómenos y sus aplicaciones
en la resolución de problemas
I.
¿De qué depende la variación en el movimiento de un cuerpo?
Para producir un cambio en el estado del movimiento de un cuerpo, es necesario aplicar sobre él una fuerza
externa. La magnitud de la fuerza aplicada dependerá de la masa del objeto, ya que mientras mayor sea su
masa, mayor es la fuerza que hay que aplicar. La intensidad de la fuerza aplicada dependerá también del
cambio de velocidad que se quiera lograr.
Pero, ¿el cambio en el movimiento depende solo de la intensidad de la fuerza aplicada?, por ejemplo, si
quieres mover un cajón, ¿es lo mismo aplicar la fuerza durante 1 segundo que aplicarla durante 10 segundos?,
ciertamente no, al aplicar sobre un cuerpo una fuerza durante un tiempo mayor, la variación de movimiento en
dicho cuerpo será mayor. Por lo tanto, la variación total de movimiento dependerá directamente tanto de la fuerza
aplicada como del tiempo de acción de la fuerza.
II. Impulso
Cuando actúan fuerzas similares sobre dos cuerpos de masa también similar, por ejemplo sobre los dos
autitos de la imagen. Si la fuerza aplicada sobre ambos autos es igual, los desplazamientos producidos serán
iguales. Sin embargo, cuando se varía el tiempo de aplicación de una fuerza también varían los efectos que dicha
fuerza puede producir. De la segunda ley de Newton sabemos que:
𝑭= 𝒎∙𝒂
Como
𝒂=
∆𝒗
∆𝒕
, entonces:
𝑭=𝒎∙
∆𝒗
∆𝒕
𝑭 ∙ ∆𝒕 = 𝒎 ∙ ∆𝒗
La variación del movimiento depende de la fuerza aplicada y del tiempo de aplicación. A mayor variación de
movimiento, mayor es la fuerza aplicada y/o mayor tiempo de aplicación de dicha fuerza.
A esta relación de fuerza y tiempo es lo que llamaremos impulso y lo
representaremos con la letra “I”. Se define impulso como una magnitud vectorial que se
puede calcular mediante el producto entre la fuerza aplicada y el tiempo que dura dicha
interacción, según la fórmula:
𝑰⃗ = ⃗𝑭⃗ ∙ ∆𝒕 [𝑵 ∙ 𝒔]
Donde:
∆𝒕 : es el intervalo de tiempo en segundos (s)
F : es la fuerza aplicada medida en newton (N)
I : es el impulso medido en [𝑁 ∙ 𝑠]
Luego la variación del movimiento dependerá del impulso que actúe sobre el cuerpo. En otras palabras: La
variación de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual al impulso aplicado sobre él.
𝑰⃗ = ⃗𝑭⃗ ∙ ∆𝒕 [𝑵 ∙ 𝒔]
(Ecuación 1)
⃗⃗ = 𝑰⃗
∆𝒑
1
III.
Cantidad de movimiento o momentum lineal
Cuando describimos el movimiento de un cuerpo, nos basta con saber su velocidad, ya que ella da cuenta de
la variación de la posición de este en el tiempo. Pero, si queremos hacernos una idea de la dificultad para poner
dicho cuerpo en movimiento, o de la fuerza que se requiere para detenerlo, debemos conocer también su masa.
El impulso en términos de velocidad y de la masa se deduce de la ecuación 1:
𝑰⃗ = ⃗𝑭⃗ ∙ ∆𝒕 = 𝒎 ∙ (𝒗𝒇 − 𝒗𝒊 )
𝑰⃗ = 𝒎 ∙ 𝒗𝒇 − 𝒎 ∙ 𝒗𝒊
𝑰⃗ = ∆(𝒎 ∙ 𝒗)
En la ecuación, podemos ver que el impulso sobre el cuerpo produce una variación del producto entre masa
y velocidad. Llamaremos a esta variación, cantidad de movimiento lineal o momentum lineal, y es una
magnitud vectorial que se calcula como el producto de la masa y la velocidad del cuerpo.
⃗⃗ = 𝒎 ∙ 𝒗
⃗⃗
𝒑
Donde:
m: es la masa del cuerpo medida en kg
v: es la velocidad del cuerpo en m/s y
p: es la cantidad de movimiento lineal medido en 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠
Mientras mayor sea el momentum de un cuerpo mayor es la fuerza necesaria para variar su estado de
movimiento. Si queremos representar la cantidad de movimiento total de un sistema de cuerpos, esta
corresponde a la suma vectorial de los momentum de cada uno de ellos:
⃗⃗𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒑
⃗⃗𝟏 + 𝒑
⃗⃗𝟐 … … 𝒑
⃗⃗𝒏
𝒑
El momentum lineal será positivo cuando la velocidad lo sea y será negativo cuando el desplazamiento se
haga en el sentido opuesto al anterior. Por lo tanto, conviene establecer los sentidos positivo y negativo de la
velocidad según los ejes x e y del plano cartesiano.
Si la cantidad de movimiento de un cuerpo no es constante, se puede calcular su variación según la fórmula:
⃗⃗ = 𝒑
⃗⃗𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝒑
⃗⃗𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
∆𝒑
Donde el símbolo ∆ significa variación.
IV. Principio de conservación del momentum lineal
El principio de conservación de la cantidad de movimiento dice que si no hay fuerzas externas que afecten
un cuerpo o un sistema de cuerpos, su cantidad de movimiento permanece constante y el impulso es
nulo, a menos que se aplique un impulso neto sobre él.
Es decir, si
𝑚
⃗⃗ = 0 [𝑘𝑔 ∙ ] → 𝒑
⃗⃗𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝒑
⃗⃗𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
𝑰⃗ = 0 [𝑁 ∙ 𝑠] → ∆𝒑
𝑠
Utilizaremos el ejemplo del choque entre las bolas de pool para explicar la conservación del momentum lineal.
a) Colisiones:
Cuando dos cuerpos chocan, se dice que existe una colisión entre ellos. En estos casos, rara vez existe
conservación de la energía mecánica, puesto que hay disipación de ella en otros tipos de energía menos útiles,
como por ejemplo, el calor. Además, se produce deformación de ambos cuerpos, lo que utiliza también una parte
de la energía. Sin embargo, hay una cantidad que permanece constante aunque la energía se disipe. Esta es la
cantidad de movimiento del sistema de cuerpos que colisionan.
Por supuesto que cuando dos cuerpos chocan, cada uno de ellos ejerce un impulso sobre el otro, sin embargo,
se trata de impulsos de igual módulo y sentido opuesto que se contrarrestan entre sí, de manera que el sistema
formado por ambos cuerpos conserva el momentum lineal que tenía antes de la colisión.
En todos los choques aislados entre dos objetos de masas m A y mB se pueden distinguir tres etapas:
2
1) Antes de la colisión: En este momento, cada objeto tiene una cantidad de movimiento, por lo tanto, la
cantidad de movimiento total del sistema antes de la colisión es la suma vectorial.
𝑚𝐴 ∙ 𝑣⃗𝐴 + 𝑚𝐵 ∙ 𝑣⃗𝐵
2) Durante la colisión: Donde los dos objetos se aplican fuerzas mutuamente y en
sentido opuesto, durante el mismo intervalo de tiempo. Por tanto, dicha transferencia
de impulso es:
𝐹⃗𝐵𝐴 ∙ ∆𝑡 = −𝐹⃗𝐴𝐵 ∙ ∆𝑡
3) Después de la colisión: En que los objetos, debido a los impulsos
tienen una cantidad de movimiento diferente, por lo tanto, la cantidad de
movimiento total del sistema después de la colisión es la suma vectorial.
𝑚𝐴 ∙ 𝑣⃗′𝐴 + 𝑚𝐵 ∙ 𝑣⃗′𝐵
Considerando que 𝐹𝐵𝐴 ∙ ∆𝑡 = −𝐹𝐴𝐵 ∙ ∆𝑡 (durante la colisión), al ser el impulso igual a la variación de
momentum, dicha expresión puede escribirse como:
∆(𝑚𝐴 ∙ 𝑣⃗𝐴 ) = −∆(𝑚𝐵 ∙ 𝑣⃗𝐵 )
𝑚𝐴 ∙ 𝑣⃗′𝐴 − 𝑚𝐴 ∙ 𝑣⃗𝐴 = −(𝑚𝐵 ∙ 𝑣⃗′𝐵 − 𝑚𝐵 ∙ 𝑣⃗𝐵 )
Reordenando se cumple que:
⃗⃗𝑨 + 𝒎𝑩 ∙ 𝒗
⃗⃗𝑩 = 𝒎𝑨 ∙ 𝒗
⃗⃗′𝑨 + 𝒎𝑩 ∙ 𝒗
⃗⃗′𝑩
𝒎𝑨 ∙ 𝒗
A partir de esta expresión, podemos decir que se cumple el principio de conservación de la cantidad de
movimiento que establece que: “la cantidad de movimiento total del sistema antes de la colisión es igual
a la cantidad de movimiento total del sistema después de la colisión”.
Notas:
Se debe tener en cuenta que: un conjunto de objetos pueden interactuar unos con otros y que han sido
elegidos para ser estudiados, corresponde a un sistema.
Un sistema estará aislado si las únicas fuerzas presentes son las que existen entre los objetos en el sistema.
Estas fuerzas se consideran internas y su suma dentro del sistema es cero.
Si existen fuerzas externas, es decir, las que aplican los objetos que están fuera del sistema, y estas no suman
cero, entonces, la cantidad de movimiento total del sistema no se conserva.
b) Colisiones elásticas:
Una colisión elástica es aquella en que se conserva tanto la cantidad de
movimiento como la energía cinética. Esto se debe a que la transferencia de
momentum es integral y no deja deformaciones permanentes en los cuerpos.
Estos tipos de choques se conocen como colisiones perfectamente
elástica y son bastante infrecuentes. Por ejemplo, se produce entre
partículas atómicas y subatómicas, en el caso de objetos macroscópicos,
tenemos el ejemplo de las bolas de billar o pool.
Para una colisión elástica se tiene un sistema conformado por dos
ecuaciones que deben resolverse simultáneamente:
⃗⃗𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝒑
⃗⃗𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 →
1) 𝒑
⃗⃗𝑨 + 𝒎𝑩 ∙ 𝒗
⃗⃗𝑩 = 𝒎𝑨 ∙ 𝒗
⃗⃗′𝑨 + 𝒎𝑩 ∙ 𝒗
⃗⃗′𝑩
𝒎𝑨 ∙ 𝒗
2) 𝑬𝑪 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝑬𝑪 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
→ 𝒎𝑨 ∙ 𝒗𝟐𝑨 +
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
⃗⃗′𝟐𝑨 + 𝒎𝑩 ∙ 𝒗
⃗⃗′𝟐𝑩
𝒎𝑩 ∙ 𝒗𝟐𝑩 = 𝒎𝑨 ∙ 𝒗
3
Mediante reemplazos y simplificaciones matemáticas en el trabajo simultáneo de las dos ecuaciones, se
⃗⃗𝑨 − 𝒗
⃗⃗𝑩 = 𝒗
⃗⃗′𝑩 − 𝒗
⃗⃗′𝑨 .
puede reducir la ecuación 2 a una forma más sencilla: 𝒗
Esta ecuación se puede usar en reemplazo de la ecuación de conservación de la energía en cualquier
colisión elástica frontal e indica que el módulo de la velocidad relativa de ambos cuerpos es constante e
independiente de las masas de ellos. Las colisiones frontales son aquellas que se pueden modelar en solo una
dimensión.
c) Colisiones inelásticas:
Una colisión inelástica es aquella en que se conserva la cantidad de movimiento pero no la energía cinética
total del sistema.
La energía cinética que se pierde debido a las deformaciones que experimentan los objetos se transforma en
otros tipos de energía, por ejemplo, en energía térmica. La energía total igualmente se conserva.
d) Colisiones perfectamente inelásticas:
Es otro tipo de colisión inelástica en que los objetos después de chocar permanecen unidos y continúan
viajando juntos como un solo cuerpo, sus velocidades finales son iguales, conservándose la cantidad de
⃗⃗𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝒑
⃗⃗𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍
movimiento del sistema, 𝒑
En este caso se tiene:
⃗⃗𝑨 + 𝒎𝑩 ∙ 𝒗
⃗⃗𝑩 = (𝒎𝑨 + 𝒎𝑩 ) ∙ 𝑣⃗′
𝒎𝑨 ∙ 𝒗
Luego, la velocidad con que ambos cuerpos continúan su viaje juntos es:
𝑣⃗ ′ =
⃗⃗𝑨 + 𝒎𝑩 ∙ 𝒗
⃗⃗𝑩
𝒎𝑨 ∙ 𝒗
𝒎𝑨 + 𝒎𝑩
Donde:
mA y mB: son las masas de ambos cuerpos y
𝑣⃗𝐴 𝑦 𝑣⃗𝐵 : son sus velocidades iniciales respectivas.
V. Desarrolle los siguientes ejercicios
1.
Un carnero de 100 kg corre a 10 m/s cuando es impactado por otro carnero, que detiene su movimiento. Determine:
¿Qué impulso debió propinar el segundo carnero?
2.
Dos cuerpos cuyas masas son 8 y 4 kg se mueven a lo largo del eje x en sentidos opuestos con velocidades de 11 m/s
en dirección x positiva y 7 m/s en dirección x negativa respectivamente. Después de chocar, los cuerpos se mantienen
unidos. Encontrar su velocidad después del choque.
3.
Una pelota de 250 g con una velocidad de 10 m/s es golpeada por un jugador y sale en la misma dirección pero en
sentido contrario con una velocidad de 15 m/s. Sabiendo que al duración del golpe es de 0,01 s, hallar la fuerza media
ejercida por el jugador sobre la pelota.
4.
La cabeza de un mazo de 3 kg se mueve a una velocidad de 14 m/s en el momento que golpea un perno de acero. Se
detiene a los 0.02 s. Determine la fuerza media sobre el perno.
5.
Una bola de béisbol de 145 g se lanza de modo que adquiere una rapidez de 25 m/s. a) ¿Cuál es su energía cinética?,
b) ¿Cuál fue el trabajo realizado sobre la bola para hacerla alcanzar esta rapidez, si partió desde el reposo?
6.
Un carro de 20 kg viaja a 5 m/s cuando choca frontalmente con un carro de 30 kg que se acercaba a 4 m/s. Producto
de la colisión, el carro de 20 kg invierte su sentido de movimiento y adquiere una rapidez de 3 m/s. ¿Con qué velocidad
se mueve el otro carro después del choque?
7.
Un automóvil de 500 kg de masa se mueve a 90 km/h, cuando es chocado en su parte posterior por una camioneta de
masa 1000 kg que se movía a 150 km/h. Si la camioneta luego del choque se mueve a 100 km/h, ¿a qué velocidad se
moverá el auto?
8.
Una pelota de beisbol de 0,15 kg que se mueve hacia el bateador a una velocidad de 30 m/s es golpeada con un bat, lo
cual causa que se mueva en dirección contraria a una velocidad de 42 m/s. Determine: El impulso y la fuerza media
ejercida sobre la pelota si el bat está en contacto con la pelota durante 0,002 s. Trace un esquema indicando las
direcciones y los signos de velocidad.
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