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Física 1
IIIIII11.
Industriales
Ejercicios resueltos y comentados de los boletines correspondiente a la asignatura de Física 1
para todos los grados de ingeniería industrial
Juan Leyva
Boletín 5
Boletines /Industriales/ Universidad Vigo
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Juan Leyva
Boletín 5 Física I Industriales
1. Una bola de acero tiene una masa m y se mueve en línea recta con una velocidad
de módulo v = 14 m/s. La bola impacta en el bloque de masa M, inicialmente en
reposo en una superficie sin rozamiento, quedando incrustada en él. Tras el
choque el conjunto se desplaza por el plano de la figura, donde el tramo
inclinado AB es un tramo con rozamiento. a) Calcular la velocidad del sistema
bola-bloque después de la colisión. b) Determinar el coeficiente de rozamiento
en el tramo AB si el conjunto separa al llegar al punto B.
a) Como las masas m y M salen juntas, el choque es totalmente inelástico. Se conserva el
momento lineal del sistema, pero no la energía cinética.
𝑃⃗𝑖 = 𝑃⃗𝑓
b) 𝑊𝑟𝑜𝑧 = ∆𝐸𝑚 → 𝑊𝑟𝑜𝑧 + 𝐸𝐴 = 𝐸𝐵 → −𝐹𝑟
−𝐹𝑟
ℎ
1
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
−𝜇𝑘 (𝑁)
𝑃𝑓 = (𝑚 + 𝑀)𝑉
𝑃𝑖 = 𝑚𝑣
ℎ
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑉=
𝑚𝑣
(𝑚 + 𝑀)
+ (𝑈𝐴 + 𝐾𝐴 ) = (𝑈𝐵 + 𝐾𝐵 )
(𝑚𝑣)2
+ [0 + (𝑚 + 𝑀) (𝑚+𝑀)2 ] = [(𝑚 + 𝑀)𝑔ℎ + 0] ;
2
ℎ
1 (𝑚𝑣)2
+[
] = (𝑚 + 𝑀)𝑔ℎ ;
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
2 (𝑚 + 𝑀)
−𝜇𝑘 (𝑚 + 𝑀)𝑔𝑐𝑜𝑠(𝛼)
−𝜇𝑘 (𝑚 + 𝑀)𝑔
ℎ
1 (𝑚𝑣)2
= (𝑚 + 𝑀)𝑔ℎ − [
]
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
2 (𝑚 + 𝑀)
ℎ
1 (𝑚𝑣)2
= (𝑚 + 𝑀)𝑔ℎ − [
]
tan(𝛼)
2 (𝑚 + 𝑀)
−𝜇𝑘 = tan(𝛼) − [
1
𝑚2
𝑣2
1
𝑚2
𝑣2
tan(𝛼)]
;
𝜇
=
tan(𝛼)] − tan(𝛼)
[
𝑘
2 (𝑚 + 𝑀)2 𝑔ℎ
2 (𝑚 + 𝑀)2 𝑔ℎ
𝜇𝑘 = tan(𝛼) [
1
𝑚2
𝑣2
− 1]
2 (𝑚 + 𝑀)2 𝑔ℎ
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Boletín 5 Física I Industriales
2. El disco de hockey B descansa sobre una superficie de hielo liso y es golpeado por
otro disco A de la misma masa. A viaja inicialmente a 15,0 m/s y es desviado 25,0°
con respecto a su dirección original. Suponga un choque perfectamente elástico.
Calcule la rapidez final de cada disco y la dirección de la velocidad de B después
del choque.
Como en el plano (XY) la resultante de las fuerzas externas sobre el sistema es:
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 0 → 𝑃⃗𝑖 = 𝑃⃗𝑓 → 𝑚𝐴 𝑣𝐴1 = 𝑚𝐴 𝑣𝐴2 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵2
Como
𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 → 𝑣𝐴1 = 𝑣𝐴2 + 𝑣𝐵2 (1)
Por ser un choque perfectamente elástico: 𝑘𝑖 = 𝑘𝑓
1
2
1
1
2
2
2
2
2
𝑚𝐴 𝑣𝐴1
= 𝑚𝐴 𝑣𝐴2
+ 𝑚𝐵 𝑣𝐵2
2
2
2
𝑣𝐴1
= 𝑣𝐴2
+ 𝑣𝐵2
(2)
De las ecuaciones (1) y (2) se concluye que las velocidades 𝑣𝐴2 𝑦 𝑣𝐵2 forman un ángulo de 900 entre sí; por
tanto 𝑣𝐵2 forma un ángulo de 𝜃 = 65,00 con la horizontal (cuarto cuadrante).
𝑃⃗𝑖 = 𝑃⃗𝑓 → 𝑃𝑥𝑖 = 𝑃𝑥𝑓
𝑃𝑦𝑖 = 𝑃𝑦𝑓
𝑚𝐴 𝑣𝐴1 = 𝑚𝐴 𝑣𝐴2 cos(𝛼) + 𝑚𝐵 𝑣𝐵2 cos(𝜃) → 𝑣𝐴1 = 𝑣𝐴2 cos(𝛼) + 𝑣𝐵2 cos(𝜃) (3)
0 = 𝑚𝐴 𝑣𝐴2 𝑠𝑒𝑛(𝛼) − 𝑚𝐵 𝑣𝐵2 𝑠𝑒𝑛(𝜃) → 𝑣𝐴2 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑣𝐵2 𝑠𝑒𝑛(𝜃) (4)
De (3) y (4):
𝑣𝐴1 = 𝑣𝐴2 cos(𝛼) + 𝑣𝐴2 (
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑚
cos(𝜃)) → 𝑣𝐴1 = 1,103𝑣𝐴2 → 𝑣𝐴2 = 13,6 →
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑠
→ 𝑣𝐵2 = 6,34
𝑚
𝑠
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Boletín 5 Física I Industriales
3. Imagine que está de pie en una plancha de cemento que descansa sobre un lago
congelado. Suponga que no hay fricción entre la plancha y el hielo. La plancha pesa
cinco veces más que usted. Si usted comienza a caminar a 2,00 m/s en relación con
el hielo, ¿con qué rapidez relativa al hielo se moverá la plancha?
La resultante de las fuerzas externas sobre el sistema (persona – Plancha) en la dirección horizontal es nula,
por tanto, el momento lineal del sistema se conserva en esa dirección:
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝑃⃗
𝑑𝑡
= 0 ⇒ 𝑃⃗ = 𝑀 𝑣𝑐𝑀 = 𝑐𝑡𝑒. ⇒ 𝑣𝑐𝑀 = 𝑐𝑡𝑒.
𝑀 𝑣𝑐𝑀 = 𝑚𝑝 𝑣𝑝 + 𝑚𝑝𝑐 𝑣𝑝𝑐 = 0 𝑣𝑝𝑐 = −
𝑣𝑝𝑐
𝑚𝑝 𝑣𝑝
𝑚𝑝 𝑣𝑝
𝑣𝑝
= −
= −
𝑚𝑝𝑐
5𝑚𝑝
5
𝑚
2,00 𝑠
𝑣𝑝
=−
=−
= −0,400 𝑚/𝑠
5
5
En el sentido opuesto al de la persona
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Boletín 5 Física I Industriales
4. Un cohete de fuegos artificiales se dispara verticalmente hacia arriba. En su altura
máxima de 80,0 m, estalla y se divide en dos fragmentos, uno con masa de 1,40 kg
y otro con masa de 0,28 kg. En la explosión, 860 J de energía química se convierte
en energía cinética de los dos fragmentos. a) ¿Qué rapidez tiene cada fragmento
inmediatamente después de la explosión? b) Se observa que los dos fragmentos
caen al suelo al mismo tiempo. ¿Qué distancia hay entre los puntos en los que
caen? Suponga que el suelo es horizontal y que la resistencia del aire es
despreciable.
a) Como la trayectoria del cohete es vertical, justo antes de la explosión está en su altura
máxima (velocidad nula) y su energía cinética es nula, por lo que la energía cinética que
adquieren los fragmentos proviene de la energía química de la explosión.
b)
1
1
2
2
860𝐽 = 𝑚1 𝑣12 + 𝑚2 𝑣22 (1)
Como los dos fragmentos caen al suelo al mismo tiempo, la velocidad que adquieren
justo después de choque debe ser horizontal. Como en la dirección horizontal la
resultante de las fuerzas externas sobre el sistema es nula, el momento lineal en esa
dirección se conserva:
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝑃⃗
= 0 → 𝑃⃗ = 𝑐𝑡𝑒. → 𝑃⃗𝑖 = 𝑃⃗𝑓 = 0 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 (2)
𝑑𝑡
1
1
2
2
De (1) y (2): 860 J = 𝑚1 𝑣12 + 𝑚2 (−
𝑚1 𝑣1 2
)
𝑚2
1
𝑚1
2
𝑚2
→ 860𝐽 = 𝑚1 𝑣12 (1 +
) → 𝑣1 = 14,3 𝑚⁄𝑠
𝑣2 = 71,6 𝑚⁄𝑠
c) Para calcular el tiempo que tardan en alcanzar el suelo:
1
Y = 𝑌0 + 𝑣0𝑦 𝑡 + 𝑔𝑡 2
2
1
80,0 = 𝑔𝑡 2
2
𝑡 = 4,04𝑠
Durante este tiempo los dos fragmentos se mueven horizontalmente en sentidos
opuestos, por lo que su distancia de separación al llegar al suelo es:
𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2
𝑋 = 𝑣1 𝑡 + 𝑣2 𝑡
𝑋 = 346,9𝑚
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5. Se tiene un sistema de partículas formado por tres masas puntuales de valores
𝒎𝟏 =m, 𝒎𝟐 =3m y 𝒎𝟑 =2m. La posición de las masas en el instante inicial y las
fuerzas externas a las que se ven sometidas (de módulo constante F) son las que
se muestran en la figura. El centro de masas (CM) se está trasladando con una
⃗ 𝑪𝑴 = (𝟑𝒎⁄𝒔 )𝒊̂ con respecto a O. a) ¿Puede el CM describir una
velocidad 𝒗
trayectoria curva? Calcular el momento lineal del sistema con respecto a O, ¿es
constante?, ¿Se conserva el momento angular del sistema con respecto a O? b) Si
en un instante dado las velocidades de las masas 𝒎𝟏 𝒚 𝒎𝟐 son respectivamente
⃗ 𝟏 = −𝟏𝟐𝒋̂ 𝒚 𝒗
⃗ 𝟐 = 𝟔𝒊̂ + 𝟖𝒋̂ (en m), calcular la energía cinética interna del sistema
𝒗
en ese instante. c) Calcular el vector posición del CM en función del tiempo. d) Si
además actuase sobre 𝒎𝟐 otra fuerza externa de valor ⃗𝑭 = −𝟐𝑭𝒊, calcular la
aceleración del CM. Razonar si se conserva entonces el momento lineal y el
momento angular del sistema.
a)
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑀𝑎𝐶𝑀
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐹𝑗̂ − 𝐹𝑗̂ = 0 → 𝑎𝐶𝑀 = 0
Al ser la aceleración del CM nula, la componente normal de la
aceleración normal es nula y por tanto el CM no puede
describir una trayectoria curva.
𝑃⃗ = 𝑀𝑣𝐶𝑀
𝑃⃗ = (𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 )𝑣𝐶𝑀
𝑃⃗ = (6𝑚)(3
⃗⃗⃗𝑃 = (18𝑚)
𝑚
𝑖̂ ; ∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 0 → 𝑎𝐶𝑀 = 0 → 𝑃⃗ = 𝑐𝑡𝑒.
𝑠
⃗⃗ 𝑒𝑥𝑡 =
∑𝑀
⃗0
𝑑𝐿
⃗⃗ 𝑒𝑥𝑡⁄ = 4𝐹𝑘̂ ≠ 0
→ ∑ 𝑀𝑒𝑥𝑡 = (4𝑖̂ 𝑥 𝐹𝑗̂) + (3𝑗̂ 𝑥 − 𝐹𝑗̂) → ∑ 𝑀
𝑂
𝑑𝑡
𝑂
𝑂
𝑚
)𝑖̂
𝑠
Como el momento resultante de las fuerzas externas respecto al punto O no es nulo, el
momento angular del sistema respecto al mismo punto O no se conserva.
b) 𝐾 = 𝐾𝐶𝑀 + 𝐾𝑖𝑛𝑐
𝑣𝐶𝑀 = 3
Para hallar
𝑚
𝑠
1
2
𝐾𝐶𝑀 = 𝑀𝑣𝐶𝑀
2
𝑣1 = 12
𝑚
𝑠
1
1
1
2
2
2
𝐾 = 𝑚1 𝑣12 + 𝑚2 𝑣22 + 𝑚3 𝑣32
𝑣2 = 10
𝑚
𝑠
𝑣3 =?
𝑣3 : 𝑀𝑣𝐶𝑀 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 + 𝑚3 𝑣3
𝑚3 𝑣3 = 𝑀𝑣𝐶𝑀 − (𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 )
(18𝑚)
𝑣3 =
𝑣3 =
𝑀𝑣𝐶𝑀 − (𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 )
𝑚3
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
𝑖̂ − [(−12𝑚) 𝑗̂ + (18𝑚) 𝑖̂ + (24𝑚) 𝑗̂]
𝑠
𝑠
𝑠
𝑠
𝑚3
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𝑚
(−12𝑚) 𝑠 𝑗̂
⃗⃗⃗𝑣3 =
;
2𝑚
𝑣3 = −6
𝑚
𝑗̂ ;
𝑠
𝑚
𝑠
𝑣3 = 6
1
1
1
1
2
𝐾 = 𝑀𝑣𝐶𝑀
+ ( 𝑚1 𝑣12 + 𝑚2 𝑣22 + 𝑚3 𝑣32 )
2
2
2
2
𝐾𝐶𝑀 = 27𝑚
𝑚2
𝑠2
𝐾 = (72𝑚 + 150𝑚 + 36𝑚)
𝐾𝑖𝑛𝑡 = 𝐾 − 𝐾𝐶𝑀 = (231𝑚)
c)
𝑚2
𝑠2
𝑟0 = 𝑟𝐶𝑀 (𝑡 = 0)
𝑟𝐶𝑀 = ∫ 𝑣𝐶𝑀 𝑑𝑡 = 𝑣𝐶𝑀 𝑡 + 𝑟0 ;
𝑟0 =
𝑚1 𝑟01 + 𝑚2 𝑟02 + 𝑚3 𝑟03 𝑚(3𝑗̂) + 3𝑚(−2𝑗̂) + 2𝑚(4𝑖̂)
=
𝑚
𝑀
6𝑚
4
1
𝑟0 = ( 𝑖̂ − 𝑗̂) 𝑚
3
2
d)
𝑚2
𝑚2
(258𝑚)
=
𝑠2
𝑠2
∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑀𝑎𝐶𝑀 → 𝑎𝐶𝑀 =
−2𝐹𝑖̂
6𝑚
4
1
𝑟𝐶𝑀 = [(3𝑡 + ) 𝑖̂ − 𝑗̂] 𝑚
3
2
=
−𝐹𝑖̂
3𝑚
→ ∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝑃⃗
𝑑𝑡
≠0
Por lo que el momento lineal no se conserva.
⃗⃗ 𝑒𝑥𝑡 =
∑𝑀
𝑂
⃗0
𝑑𝐿
𝑑𝑡
⃗⃗ 𝑒𝑥𝑡⁄ = (4𝑖̂ 𝑥 𝐹𝑗̂) + (3𝑗̂ 𝑥 − 𝐹𝑗̂) + (−2𝑗̂ 𝑥 − 2𝐹𝑖̂) = 0
∑𝑀
𝑂
⃗⃗ 𝑒𝑥𝑡⁄ = 0 → 𝐿
⃗ 0 = 𝑐𝑡𝑒.
∑𝑀
𝑂
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6. Un patinador de masa M y una patinadora de masa m (con m<M) están de pie sobre
una superficie helada sin fricción. Inicialmente están separados una distancia d y
agarran fuertemente una cuerda de masa despreciable. La patinadora tira de la
cuerda con una fuerza constante de modo que ambos acaban chocando. ¿Cuáles de las
siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) La patinadora se mueve con respecto al hielo; el patinador no.
b) El módulo de la aceleración del patinador es menor que el módulo de la
aceleración de la patinadora.
c) Antes de chocar, la rapidez de la patinadora es mayor que la del patinador.
d) Mientras se están moviendo, el vector cantidad de movimiento del patinador es
igual al vector cantidad de movimiento de la patinadora.
e) Mientras se están moviendo, el módulo de la cantidad de movimiento del
patinador es igual al módulo de la cantidad de movimiento de la
patinadora.
a) Falsa. La fuerza que la esquiadora ejerce sobre el esquiador (a través de la
cuerda) es la misma que el esquiador ejerce sobre la esquiadora. Esto se muestra
en la figura 1, donde se ve que FA = F'A y FB = F'B por la tercera ley de Newton. La
segunda ley aplicada a la cuerda nos da que FA = FB pues la masa de la cuerda es
despreciable. Así, ambos esquiadores se ven sometidos a la misma fuerza neta y,
por tanto, ambos deben moverse.
b) Verdadera. Ambos están sometidos a la misma fuerza neta, pero la masa del
esquiador es mayor, por lo que su aceleración debe ser menor.
c) Verdadera. La aceleración de la patinadora es mayor que la del patinador; como
ambos parten del reposo, la rapidez final de ella será mayor que la de él.
d) Falsa. La cantidad de movimiento es una cantidad vectorial. La cantidad de
movimiento del esquiador y de la esquiadora tienen la misma magnitud, pero
sentidos opuestos.
e) Verdadera
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7. Dos masas m1 y m2 se sueltan del reposo en un tazón hemisférico liso de radio R
desde las posiciones mostradas en la figura. Se puede despreciar la fricción entre las
masas y la superficie del tazón. Si se pegan cuando chocan, ¿qué altura h, medida
desde el fondo del tazón, alcanzarán las masas después de chocar? Si las masas son
idénticas, ¿cuánto valdrá h?
Podemos distinguir tres momentos bien diferenciados:
a)
Movimiento de 𝑚1 hasta justo antes de chocar con 𝑚2 .
No hay fricción, conservación de la energía mecánica.
b)
Choque. No actúan fuerzas en X. Aparte de la fuerza
de intersección entre 𝑚1 y 𝑚2 , que es interna al sistema
formado por ambas masas. Se conserva la cantidad del movimiento.
c) Momento de 𝑚1 y 𝑚2 hasta la altura h. No hay fricción. Conservación de la Energía
mecánica.
a)
𝐾𝑖𝑛𝑖 + 𝑈𝑖𝑛𝑖 = 𝐾𝑖𝑛𝑖 + 𝑈𝑓𝑖𝑛 para masa 𝑚1
1
𝑚1 𝑔𝑅 = 𝑚1 𝑣12 → 𝑣1 = √2𝑔𝑅
2
b)
DIBUJO
⃗⃗⃗𝑃1,𝑖𝑛𝑖 + 𝑃⃗2,𝑖𝑛𝑖 = 𝑃⃗1,𝑓𝑖𝑛 + 𝑃⃗2,𝑓𝑖𝑛 ; 𝑚1 𝑣1 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑣′1
𝑣′1 =
𝑚1
𝑚1
𝑣1 =
√2𝑔𝑅
𝑚1 + 𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
c) 𝐾𝑖𝑛𝑖 + 𝑈𝑖𝑛𝑖 = 𝐾𝑓𝑖𝑛 + 𝑈𝑓𝑖𝑛 para 𝑚1 + 𝑚2
1
1
𝑚12
(𝑚1 + 𝑚2 )(𝑣 ′1 )2 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑔ℎ ; (𝑚1 + 𝑚2 ) [
2𝑔𝑅] = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑔ℎ
2
2
(𝑚1 + 𝑚2 )2
ℎ=
𝑚12
(𝑚1 +𝑚2
)2
𝑅=(
𝑚1
𝑚1 +𝑚2
)2 𝑅 = (
1
𝑚
1+𝑚2
)2 𝑅
si 𝑚2 ≫ 𝑚1 → ℎ = 0
1
𝑚2 ≪ 𝑚1 → ℎ = 𝑅
𝑅
𝑚2 = 𝑚1 → ℎ =
4
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8. En un instante determinado dos partículas de masa m1 = 1 kg y m2 = 2 kg se
desplazan por la misma recta alejándose en sentidos opuestos con el mismo módulo
del momento lineal. Se aplican sobre ellas sendas fuerzas con sentidos opuestos y el
mismo módulo para frenarlas completamente. Señale la/s afirmación/es
verdadera/s:
a) El trabajo realizado por la fuerza de frenado sobre cada partícula es el mismo.
b) El trabajo realizado por la fuerza de frenado sobre la partícula 1 es mayor
que sobre la 2.
c) El tiempo empleado para frenar la partícula 2 es mayor que la 1.
d) Antes de aplicar las fuerzas de frenado el centro de masas del sistema formado
por ambas partículas no se mueve.
e) Durante el tiempo de frenado el centro de masas del sistema formado por
ambas partículas no se mueve.
Del enunciado sabemos que 𝑝1 = −𝑝2 , donde 𝑝1 = 𝑚1 𝑣1 y m 𝑝2 = 𝑚2 𝑣2 .
El teorema trabajo-energía cinética nos dice que W=∆𝐾. Ambas partículas tienen la
misma energía cinética final, que es cero, pero distintas energías cinéticas iniciales,
que podemos comparar a partir del dato de que las partículas tienen el mismo módulo
de la cantidad de movimiento:
𝑚1 𝑣1 = 𝑚2 𝑣2 → 𝑣1 =
𝑚2
𝑚1
𝑣2 → 𝑣1 = 2𝑣2.
Entonces, las energías cinéticas iniciales de las partículas cumplen la relación:
1
1
𝑚2
𝑚2 1
𝑚2
𝐾1 = 𝑚1 𝑣12 = 𝑚1 ( 𝑣2 )2 =
𝑚2 𝑣22 =
𝐾 = 2𝐾2 .
2
2
𝑚1
𝑚1 2
𝑚1 2
La fuerza que frena a la partícula 𝑚1 tiene que realizar el doble de trabajo que la que
frena a la partícula 𝑚2 , de modo que a) es falsa y b) es verdadera.
La c) es falsa. Lo podemos argumentar recordando que el impulso lineal sobre una
partícula es igual al cambio de su cantidad de movimiento ∆𝑝. Ambas partículas
experimentan, en módulo, el mismo cambio de cantidad de movimiento (de 𝑝1 = 𝑝2 𝑎 0),
de modo que el impulso lineal que han experimentado ha tenido que ser el mismo.
Como las fuerzas son constantes, podemos escribir I=F∆𝑡 y, como las fuerzas tienen el
mismo módulo, se deduce que ∆𝑡 tiene que ser el mismo para que el impulso sea el
mismo.
De la definición de centro de masas de un sistema de puntos sabemos que
𝑣𝐶𝑀 =
∑ 𝑚𝑖 𝑣
⃗𝑖
∑ 𝑚𝑖
∑ 𝑝𝑖
=∑
𝑚𝑖
.
Las partículas tienen, antes de frenar, cantidades de movimiento de igual módulo y
sentidos opuestos, de
modo que ∑ 𝑝𝑖 = 0 y 𝑣𝐶𝑀 = 0, por lo que d) es verdadera.
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Las fuerzas de frenado tienen el mismo módulo y sentidos opuestos, por lo que la fuerza
neta externa que actúa sobre ambas partículas es cero→
de movimiento del sistema en todo momento → 𝑃⃗ = 𝑃⃗𝑖𝑛𝑖
𝑑𝑃⃗
𝑑𝑡
=0 → se conserva la cantidad
→ ∑ 𝑝𝑖 = ∑ 𝑝𝑖,𝑖𝑛𝑖 = 0 → 𝑣𝐶𝑀 = 0 en todo momento durante el frenado, por lo que e) es
verdadera.
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9. Dos alumnos de masas 𝒎𝟏 = 𝟕𝟓, 𝟎 𝒌𝒈 y 𝒎𝟐 = 𝟒𝟓, 𝒌𝒈 están de pie en una
plataforma montada sobre raíles rectos sin fricción, de mas 𝒎𝒑 = 𝟏𝟓𝒌𝒈. Cada uno
de ellos salta horizontalmente de la plataforma con una rapidez u=4,00 𝒎⁄𝒔
relativa a la plataforma. ¿Con qué rapidez (medido con respecto a un sistema de
referencia inercial fijo al suelo) retrocede la plataforma si a) ambos alumnos
saltan simultáneamente en el mismo sentido; b) salta primero el alumno de masa
𝒎𝟏 y unos segundos después el de masa 𝒎𝟐 , ambos en el mismo sentido; c) salta
primero el de masa 𝒎𝟐 y unos segundos después el de masa 𝒎𝟏 , ambos en el
mismo sentido?
Planteamos que se conserva la cantidad de movimiento en la dirección x.
Sea 𝑣𝑎/𝑠 la velocidad del alumno que salta, medida con respecto a un sistema de referencia
inercial fijo al suelo, 𝑢
⃗ la velocidad del alumno con respecto a la plataforma y 𝑣𝑝/𝑠 la
velocidad de la plataforma con respecto al suelo. Se cumple que 𝑣𝑎/𝑠 = 𝑢
⃗ + 𝑣𝑝/𝑠 .
a. Ambos alumnos saltan a la vez. Estado inicial: el sistema alumnos + plataforma
está en reposo. Estado final: los alumnos han saltado hacia adelante (sentido +x)
con rapidez 𝑢
⃗ relativa a la plataforma mientras que la plataforma se mueve hacia
atrás (sentido −x) con rapidez 𝑣𝑝/𝑠 . La cantidad de movimiento inicial del sistema
es cero, de modo que
⃗⃗⃗𝑝𝑖𝑛𝑖 = 𝑝𝑓𝑖𝑛
0 = (𝑚1 + 𝑚2 ) 𝑣𝑎/𝑠 + 𝑚𝑝 𝑣𝑝/𝑠
0 = (𝑚1 + 𝑚2 ) (𝑢
⃗ − 𝑣𝑝/𝑠 ) + 𝑚𝑝 (− 𝑣𝑝/𝑠 )
que finalmente da
𝑣𝑝/𝑠 =
𝑣𝑝/𝑠 =
𝑚1 + 𝑚2
𝑢
⃗ (1)
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚𝑝
75 + 45
𝑚
𝑚
4 = 3,56
75 + 45 + 15
𝑠
𝑠
𝑣𝑝/𝑠 = 3,56
𝑚
𝑚
= −3,56 𝑖
𝑠
𝑠
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b. Primero salta el alumno de masa m1. Estado inicial: el sistema plataforma +
alumnos está en reposo. Estado final: el alumno de masa m1 ha saltado hacia
adelante (sentido +x) con rapidez u relativa a la plataforma mientras que la
plataforma y el alumno de masa m2 se mueven hacia atrás (sentido −x) con rapidez
vp/s. La cantidad de movimiento inicial del sistema es cero, de modo que
⃗⃗⃗𝑝𝑖𝑛𝑖 = 𝑝𝑓𝑖𝑛
0 = 𝑚1 𝑣𝑎/𝑠 + (𝑚2 + 𝑚𝑝 ) 𝑣𝑝/𝑠
0 = 𝑚1 (𝑢
⃗ − 𝑣𝑝/𝑠 ) + (𝑚2 + 𝑚𝑝 )(− 𝑣𝑝/𝑠 )
Que da
𝑣𝑝/𝑠 =
𝑣𝑝/𝑠 =
𝑚1
𝑢
⃗ (2)
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚𝑝
75
𝑚
𝑚
4 = 2,22
75 + 45 + 15
𝑠
𝑠
𝑣𝑝/𝑠 = 2,22
𝑚
𝑚
= −2,22 𝑖
𝑠
𝑠
Después salta el alumno de masa m2. Estado inicial: el sistema plataforma +
alumno de masa m2 se mueven hacia atrás con rapidez vp/s. Estado final: el alumno
de masa m2 ha saltado hacia adelante con rapidez u relativa a la plataforma y la
′
plataforma se mueve hacia atrás con rapidez 𝑣𝑝/𝑠
⃗⃗⃗𝑝𝑖𝑛𝑖 = 𝑝𝑓𝑖𝑛
(𝑚2 + 𝑚𝑝 ) 𝑣𝑝/𝑆 = 𝑚2 𝑣𝑎/𝑠 + 𝑚𝑝 𝑣𝑝/𝑠 ;
′
′
(𝑚2 + 𝑚𝑝 )(− 𝑣𝑝/𝑠 ) = 𝑚2 (𝑢
⃗ − 𝑣𝑝/𝑠
) + 𝑚𝑝 (−𝑣𝑝/𝑠
)
Sustituyendo 𝑣𝑝/𝑠 por la expresión calculada antes se obtiene
−(𝑚2 + 𝑚𝑝 )
𝑚1
′
′
𝑢
⃗ = 𝑚2 (𝑢
⃗ − 𝑣𝑝/𝑠
) + 𝑚𝑝 (−𝑣𝑝/𝑠
)
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚𝑝
Reordenando términos
′
(𝑚2 + 𝑚𝑝 )𝑣𝑝/𝑠
= 𝑚2 𝑢
⃗ +
𝑚1 (𝑚2 + 𝑚𝑝 )
𝑢
⃗
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚𝑝
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Que finalmente da
′
𝑣𝑝/𝑠
=(
𝑚2
𝑚1
+
)𝑢
⃗ = (3)
𝑚2 + 𝑚𝑝 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚𝑝
′
𝑣𝑝/𝑠
=(
45
75
+
) 4𝑚/𝑠
45 + 15 75 + 45 + 15
𝑣𝑝/𝑠 = 5,22
𝑚
𝑚
= −5,22 𝑖
𝑠
𝑠
c. Usamos la ecuación 3 intercambiando los valores de m1 y m2, o sea, con m1= 45,0
kg y m2=75 kg. Se obtiene
𝑣𝑝/𝑠 = 4,67
𝑚
𝑚
= −4,67 𝑖
𝑠
𝑠
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Juan Leyva
Boletín 5 Física I Industriales
10. Se
lanza una pelota contra una pared vertical perfectamente lisa.
Inmediatamente antes de tocar la pared la pelota tiene una velocidad de 10 𝒎⁄𝒔
en una dirección que forma un ángulo de 𝟑𝟎𝟎 con la horizontal, hacia arriba.
Determine la velocidad de la pelota cuando rebota en la pared suponiendo un
choque perfectamente elástico.
Se trata de un choque elástico oblicuo.
Las componentes de la velocidad inicial son:
𝑣1𝑥 = 𝑣1 cos 30º = 8,66 𝑚/𝑠
{
𝑣1𝑦 = 𝑣1 𝑠𝑒𝑛 30º = 5,00 𝑚/𝑠
Como la pared es lisa, el impulso que ejerce la reacción de la pared sobre la pelota es
normal a la pared, por tanto, sólo tiene la componente horizontal. En consecuencia, se
conserva la componente vertical de la velocidad:
𝑣1𝑦 = 𝑣1𝑦 = 5 𝑚/𝑠
Si llamamos mp a la masa de la pelota, la conservación del momento lineal en la
componente x nos da:
𝑚𝑝 𝑣1𝑥 = 𝑚𝑝 𝑣2𝑥 ⇒ 𝑣2𝑥 = 𝑣1𝑥 = 8,66 𝑚/𝑠
Como la pared está en reposo y no se desplaza con el impacto no interviene en la ecuación
de conservación del momento lineal, por lo que la componente x de la velocidad de la
pelota también se conserva. La pelota rebota con la misma velocidad y formando el mismo
ángulo 𝜃 = 30° con la horizontal.
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Juan Leyva
Boletín 5 Física I Industriales
11. Considere dos objetos A y B de masas 𝒎𝑨 𝒚 𝒎𝑩 que se desplazan en el plano XY
⃗ 𝑨𝒚𝒗
⃗ 𝑩 . Demuestre que si se produce un
en direcciones oblicuas con velocidades 𝒗
choque perfectamente inelástico entre ellas la pérdida de energía cinética es:
⃗ 𝑨−𝒗
⃗ 𝑩 )𝟐
𝒎𝑨 𝒎𝑩 (𝒗
∆𝑬𝒄 =
𝟐(𝒎𝑨 + 𝒎𝑩 )
Este resultado es independiente del material o estructura del que están hechos
los objetos que colisionan entre sí, por tanto, podemos afirmar que la energía
necesaria para producir la deformación plástica en el choque es independiente
del material del que están hechos, ¿por qué?
Si llamamos VCM a la velocidad del centro de masas del conjunto de los dos objetos pegados
después del choque, la ecuación de conservación del momento lineal para un choque
perfectamente inelástico nos queda:
𝑚𝐴 𝑣𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵 = ( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑣𝐶𝑀
Si descomponemos esta ecuación vectorial en sendas ecuaciones escalares para las
componentes x e y podemos despejar las componentes de la velocidad final de los dos objetos
pegados:
𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑥 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑥 = ( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑣𝐶𝑀𝑥 ⇒ 𝑣𝐶𝑀𝑥 =
𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑥 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑥
𝑚𝐴 + 𝑚𝐵
𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑦 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑦 = ( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑣𝐶𝑀𝑦 ⇒ 𝑣𝐶𝑀𝑦 =
𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑦 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑦
𝑚𝐴 + 𝑚𝐵
Entonces la velocidad final del conjunto es:
𝑣𝐶𝑀 =
(𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑥 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑥 )𝑖 + (𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑦 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑦 )𝑗
𝑚𝐴 + 𝑚𝐵
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Juan Leyva
Boletín 5 Física I Industriales
La energía cinética del sistema antes del choque es:
𝐸𝑐1 =
1
1
1
1
2
2
2
𝑚𝐴 𝑣𝐴2 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵2 = 𝑚𝐴 (𝑣𝐴𝑥
+ 𝑣𝐴𝑦
)+
𝑚 (𝑣 2 + 𝑣𝐵𝑦
)
2
2
2
2 𝐵 𝐵𝑥
La energía cinética del sistema después del choque es:
𝐸𝑐2 =
(𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑥 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑥 )2 + (𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑦 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑦 )2
1
1
2
(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 ) 𝑣𝐶𝑀
= (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
2
2
( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )2
𝐸𝑐2 =
(𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑥 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑥 )2 + (𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑦 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑦 )2
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
Calculamos la pérdida de energía cinética como la energía inicial menos la final. (Fíjese que
la notación ∆𝐸𝑐 se utiliza normalmente para la variación de energía cinética, es decir, energía
final menos inicial. En este caso particular
la utilizamos para denotar la pérdida de energía que tiene signo contrario):
∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐1 − 𝐸𝑐2
2
(𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑥 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑥 )2 + (𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑦 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑦 )
1
1
2
2
2
2
∆𝐸𝑐 = 𝑚𝐴 (𝑣𝐴𝑥 + 𝑣𝐴𝑦 ) +
𝑚 (𝑣 + 𝑣𝐵𝑦 ) −
=
2
2 𝐵 𝐵𝑥
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
2
2
2
2
( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑚𝐴 (𝑣𝐴𝑥
+ 𝑣𝐴𝑦
) + ( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )𝑚𝐵 (𝑣𝐵𝑥
+ 𝑣𝐵𝑦
) (𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑥 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑥 )2 + (𝑚𝐴 𝑣𝐴𝑦 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑦 )
−
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑚𝐴 2 (𝑣𝐴𝑥
+ 𝑣𝐴𝑦
) + 𝑚𝐴 𝑚𝐵 (𝑣𝐴𝑥
+ 𝑣𝐴𝑦
) + 𝑚𝐴 𝑚𝐵 (𝑣𝐵𝑥
+ 𝑣𝐵𝑦
) + 𝑚𝐵 2 (𝑣𝐵𝑥
+ 𝑣𝐵𝑦
)
–
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
−
2
2
2
2
𝑚𝐴2 𝑣𝐴𝑥
+ 𝑚𝐵2 𝑣𝐵𝑥
+ 2𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑥 𝑣𝐴𝑥 + 𝑚𝐴2 𝑣𝐴𝑦
+ 𝑚𝐵2 𝑣𝐵𝑦
+ 2𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑦 𝑣𝐴𝑦
=
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
2
2
2
2
𝑚𝐴 𝑚𝐵 (𝑣𝐴𝑥
+ 𝑣𝐴𝑦
) + 𝑚𝐴 𝑚𝐵 (𝑣𝐵𝑥
+ 𝑣𝐵𝑦
)
2𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑥 𝑣𝐴𝑥 + 2𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑣𝐵𝑦 𝑣𝐴𝑦
=
−
=
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
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𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑣𝐴2 + 𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑣𝐵2
2𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑣𝐵 𝑣𝐴
𝑚𝐴 𝑚𝐵 (𝑣𝐴2 + 𝑣𝐵2 − 2𝑣𝐵 𝑣𝐴 )
=
−
=
=
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
𝑚𝐴 𝑚𝐵 ( 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 )2
∆𝐸𝑐 =
2( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 )
Como se quería demostrar.
Efectivamente, se comprueba que la energía cinética perdida en la colisión perfectamente
inelástica sólo depende de las masas y velocidades iniciales de los objetos que colisionan. No
depende de su estructura o del material del que están hechos.
Si consideramos que la energía cinética perdida se ha transformado en el trabajo de
deformación plástica necesario para que los dos objetos se
deformen y queden unidos, el resultado obtenido puede ser inesperado. Podríamos pensar que,
dado que es más fácil deformar un objeto blando que uno duro, sería mayor la pérdida de
energía cinética al colisionar dos objetos duros que dos blandos. Por el contrario, no es esta
propiedad de los objetos la que determina el trabajo de deformación plástica realizado, sino
que son sus masas y velocidades iniciales, junto con la condición impuesta para una colisión
inelástica (que ambos queden unidos tras la colisión), las que determinan el trabajo de
deformación realizado.
Entonces, ¿se deforman igual en una colisión inelástica dos objetos duros que otros dos objetos
más blandos con las mismas masas y velocidades iniciales? La respuesta es obviamente no: lo
que nos indica el resultado obtenido en este ejercicio es que los trabajos de deformación
plástica son iguales en ambos casos. La diferencia es que los objetos blandos se deformarán
más que los duros. La condición de deformación inelástica impuesta en ambos casos es la que
determina como se van a deformar: se deforman de manera diferente los duros que los
blandos, pero en ambos casos se consume el mismo trabajo, pues éste es el resultado impuesto
por la condición de colisión inelásticas
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