Download Descargar Archivo

www.ecyd.com.mx :: CURSOS CENEVAL TOLUCA
Geometría
La geometría es la matemática que estudia idealizaciones del espacio: los puntos, las rectas, los
planos y otros elementos conceptos derivados de ellos, como polígonos o poliedros.
Origen y desarrollo de la geometría:
Todo comenzó en Egipto
El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió las operaciones;
hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas.
Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver
las situaciones problemáticas surgidas a diario.
Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para
satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando
conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática
que designamos con el nombre de geometría.
El río Nilo
La palabra geometría está formada por las raíces griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo
tanto, su significado es "medida de la tierra".
Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la
naturaleza nacieron -en forma práctica- a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto.
Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir
diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las
inundaciones periódicas.
El aporte griego
Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones
en base a razonamientos.
Tales de Mileto (600 a.d.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes
principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes.
Euclides (200 a.d.C.) le dio su máximo esplendor a esta corriente científica. Recogió los
fundamentos de la geometría y de la matemática griega en su tratado Elementos.
Representemos los conceptos
Hay conceptos geométricos que no pueden definirse. Son ideas formadas en nuestra mente a
través de la observación del entorno y solamente podemos hacer representaciones concretas de
ellas.
Las llamaremos términos primitivos o conceptos primarios y son: espacio, punto, recta y plano.
Espacio
Es el conjunto universo de la geometría. En él se encuentran todos los demás elementos. Dentro
de él determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas, esferas, etcétera.
Su símbolo es: E
Punto
El punto tiene posición en el espacio. Su representación más cercana es el orificio que deja un
alfiler en una hoja de papel o en un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tiene
grosor.
En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayúscula y para
reconocerlos usaremos
o x.
www.ecyd.com.mx :: CURSOS CENEVAL TOLUCA
Por ejemplo:
A se lee punto A, x M se lee punto M.
Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas o
poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan la
misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos
de rectas.
Plano y Recta:Infinitos puntos
La unión de infinitos puntos da origen a los otros dos principios básicos de la geometría: plano y
recta.
La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lápiz en un
papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.
La identificaremos con el dibujo
Una recta puede tener dirección:
Horizontal:
Vertical:
Oblicua:
como la línea del horizonte.
como el hilo a plomo.
cuando es distinta a las dos anteriores.
Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su símbolo. Por ejemplo:
AB, se lee recta AB.
También se usa una L ó una R, especialmente en los casos en que deban distinguirse varias
rectas.
Veamos:
DE es una recta oblicua.
L es una recta vertical.
www.ecyd.com.mx :: CURSOS CENEVAL TOLUCA
Plano
Lo más parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo diferencia con ésta, el
hecho que es ilimitado y no tiene grosor.
El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección, es
decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella.
El símbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompañado de, por lo menos, tres puntos.
Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de una laguna, son
representaciones de planos.
Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas, y obtener figuras
geométricas.
Hay planos horizontales, verticales y oblicuos.
Cuando en una superficie no quedan rectas totalmente incluidas en ella, decimos que es curva.
Una representación de esto sería una bandera flameando
• Cálculo de perímetros, áreas y volúmenes
El perímetro de una figura bidimensional es la distancia que hay alrededor de ella.
El perímetro de un polígono es igual a la suma de todos sus lados. El perímetro de un polígono
regular es igual a la la longitud de uno de los lados multiplicada por el número de lados.
La longitud de una circunferencia, o su perímetro, es igual a 2×π×r, donde r es el radio y π es una
constante que tiene un valor aproximadamente igual a 3,1416.
Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. Recordemos que la
región interior es la parte del plano que queda encerrada por los lados del polígono. Observa:
Este polígono de 9 lados, es decir, un eneágono, tiene pintada de azul su región interior.
Los puntos de la región interior no se intersectan con la región exterior, porque tienen una frontera:
los lados que forman el polígono.
Una necesidad y un problema
www.ecyd.com.mx :: CURSOS CENEVAL TOLUCA
El hombre tuvo necesidad de medir la superficie de los terrenos que sembraba. Para hacerlo, ideó
un sistema utilizando los elementos que tenía a su alcance. El método consistió en colocar cada
elemento sobre la tierra para ver cuántas veces cabía en la superficie que quería medir, como si
pusiera baldosas sobre ella.
Pero se le presentó una dificultad, debido a que las medidas que usaba eran arbitrarias. Es decir,
cada persona tenía una base diferente, y media de acuerdo a su propio parecer, sin ponerse de
acuerdo con los demás.
Por ejemplo...
Para que entiendas mejor lo anterior, lo veremos graficado con un ejemplo.
Vamos a medir el área de una figura, utilizando elementos diferentes.
Esta es nuestra figura:
Primero mediremos el área de este rectángulo, tomando como medida base una baldosa roja.
La baldosa roja cabe 9 veces en nuestro rectángulo, entonces su área es de 9 baldosas rojas.
Ahora, mediremos con una baldosa diferente, la que identificaremos con el color verde. Así:
La baldosa verde cabe 16 veces en el rectángulo. El área corresponde a 16 baldosas verdes.
El rectángulo es el mismo, pero las baldosas son diferentes. Por lo tanto, los resultados de la
medición también fueron distintos.
Cuadrados y rectángulos
Dibujaremos un cuadrado de 3 cm. y colocaremos sobre él centímetros cuadrados.
Obtuvimos 9 cm2, lo mismo que si multiplicamos lado por lado, de este modo:
3 cm · 3 cm = 9 cm2
Si llamamos a al lado del cuadrado, podemos concluir que:
el área de un cuadrado es a · a = a2
El área de un rectángulo se calcula de forma semejante; lo único que cambia es que las medidas
de los lados son distintas. Al largo, lo denominaremos a, y al ancho, b. Calcularemos el área del
siguiente rectángulo con centímetros cuadrados.
www.ecyd.com.mx :: CURSOS CENEVAL TOLUCA
El área equivale a 8 cm2.
Matemáticamente se puede obtener multiplicando largo por ancho.
En fórmula, el área de un rectángulo es a · b
Rombos y romboides
Estos paralelógramos no tienen ángulos rectos, por lo que en ellos no se puede aplicar la misma
fórmula. Para calcular su área, recurriremos a un elemento secundario: la altura, un segmento
perpendicular (forma ángulos de 90°) que une un lado con su vértice opuesto.
En el rombo y romboide dibujados, DE corresponde a la altura.
¿Por qué necesitamos la altura para calcular el área?
Trazaremos una paralela a la altura desde C y prolongaremos el lado AB hasta obtener F.
Se formó un BFC, congruente con AED y nos quedó el rectángulo EFCD
El rectángulo formado tiene como largo el lado del rombo o romboide, y su ancho es la altura
dibujada. Entonces, concluimos que:
El área del rombo o romboide = b · h ---> b= base, y h = altura
En resumen, cualquier paralelógramo tiene una sola fórmula para calcular su área, ya que en el
cuadrado y en el rectángulo un lado es la base y el otro, la altura. Entonces:
Área de un paralelógramo = b · h
Calcularemos el área de un rombo que tiene 4,6 cm. por lado y su altura es de 3 cm. Aplicamos la
fórmula:
Área rombo = b · h
Área rombo = 4,6 cm · 3 cm.
Área rombo = 13,8 cm2
Trapecios
www.ecyd.com.mx :: CURSOS CENEVAL TOLUCA
Sabemos que los trapecios son cuadriláteros que tienen un par de lados paralelos llamados bases.
Sus lados, es decir, los no paralelos, no son perpendiculares a las bases, salvo el trapecio
rectángulo que tiene perpendicular uno de ellos. Para el cálculo de su área también necesitamos
considerar la altura.
Para formar un rectángulo trazamos la paralela a DE desde B y prolongamos DC hasta formar F.
Nos queda el
AED
CFB y nuestro rectángulo es EBFD
El rectángulo tiene como largo la mitad de la suma de las bases del trapecio y su ancho es la altura
que trazamos. El área del trapecio se puede calcular aplicando la fórmula:
Área del trapecio = base mayor + base menor · h
_______________________________
2
Calcularemos el área de nuestro trapecio.
Área del trapecio =
8 cm +
4 cm ·
3,6
___________________
2
Área del trapecio =
12 cm ·
3,6
_______________
2
Área del trapecio =
21,6 cm2
El área de los triángulos
El cálculo de área de un triángulo cualquiera, se relaciona con el área de un romboide, cuya
fórmula era base · altura
¿Cómo podemos relacionar triángulo y romboide?
Lo haremos a través del siguiente dibujo
www.ecyd.com.mx :: CURSOS CENEVAL TOLUCA
A nuestro
de C.
ABC, le trazaremos una paralela al lado AC a partir de B, y una paralela a AB a partir
Se ha formado un romboide donde el
ABC es la mitad de él.
Para calcular el área del romboide necesitábamos la altura, porque su fórmula es b · h.
Como el
es la mitad del romboide obtenemos que el área del
romboide.
es igual a la mitad del área del
Su fórmula es:
Área del triángulo = b · h
_______
2
AB= 5 cm AC= 3,2 cm
BC= 4 cm CD= 3 cm
Calculemos el área de este triángulo. Comenzamos, aplicando la fórmula.
Triángulo rectángulo
Si el es rectángulo, su área se puede calcular por medio de sus catetos, que son los lados
perpendiculares, porque un cateto es la altura del otro. Entonces, la fórmula para su cálculo sería:
Área del triángulo =
cateto · cateto
_____________________
2
Aplicaremos esta fórmula en el siguiente triángulo rectángulo.
www.ecyd.com.mx :: CURSOS CENEVAL TOLUCA
AB= 4 cm
BC= 5 cm
AC= 3 cm
Los catetos miden 3 y 4 cm
En el círculo
El círculo es la región interior de una circunferencia.
El área de un círculo se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
Área del O =
· r2
= 3,14 r = radio de la circunferencia
Recordemos que
ó 3.
es un número decimal infinito que, para efectos de cálculo, lo dejamos en 3,14
Aplicaremos la fórmula para calcular el área de un círculo de 3 cm. de radio.
Apliquemos el teorema de Pitágoras
El gran matemático griego Pitágoras descubrió una situación muy especial que se produce en el
triángulo rectángulo y que se relaciona con sus lados.
Su teorema dice: "El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, equivale
a la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos"
Demostraremos este teorema a través de un dibujo.
www.ecyd.com.mx :: CURSOS CENEVAL TOLUCA
Hemos construido un cuadrado sobre cada lado del triángulo rectángulo.
Pitágoras dice que el cuadrado 1 tiene su área igual a la suma de los cuadrados 2 y 3.
De acuerdo al cuadriculado, el cuadrado 1 tiene un área de 25 cuadros. Al sumar los 9 cuadros del
cuadrado 2 y los 16 cuadros del 3 obtenemos 25. Entonces, se cumple:
Este teorema nos sirve para calcular la medida desconocida de un lado de un triángulo rectángulo,
puede ser un cateto o su hipotenusa.
Por ejemplo: si la hipotenusa mide 5 cm y uno de sus catetos es 4 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?
Aplicamos la fórmula.
Áreas achuradas
Son una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes figuras que están relacionadas
entre sí. Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a achurarla,
es decir, se pinta o raya imitando texturas.
Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo tanto, hay
que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el
área total.
Veamos el siguiente ejemplo:
www.ecyd.com.mx :: CURSOS CENEVAL TOLUCA
Esta figura se descompone en medio círculo y un rectángulo. Primero, tendremos que calcular el
área del círculo; luego, dividirla por 2. Buscaremos, también el área del rectángulo y después
sumaremos ambos resultados para obtener el área total.
Hay ejercicios, que tienen unas figuras dentro de otras y la parte achurada se relaciona con un
sector formado por la intersección de ellas. En estos casos, la solución se encuentra buscando la
diferencia entre las figuras que forman la intersección. Por ejemplo:
Nuestra figura está formada por un cuadrado con un círculo en su interior. La parte achurada
corresponde a la diferencia entre el área del cuadrado y la del círculo
Volumen