Download Funciones Continuas y Discretas

FUNCIONES DISCRETAS
Una función discreta es una función matemática cuyo dominio y codominio están contenidos
en , es decir, es una función:
El dominio de estas funciones es un conjunto discreto (es decir, finito o numerable), y por
tratarse de una función (donde un elemento del dominio no puede estar asociado a más de
uno del codominio) su conjunto imagen también lo es.
Una función discreta no debe confundirse con una función discontinua, puesto que estas
últimas corresponden a funciones reales definidas por tramos.
Graficas:




Binomial
Poisson
Geometrica
Hipergéometrica
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Un experimento binomial consiste en repetir n ensayos independientes en iguales
circunstancias, cada ensayo sólo puede tener éxito o fracaso y la probabilidad de éxito se
mantiene constante en cada ensayo.
Es un experimento muy frecuente, por ejemplo:
Se pregunta a 100 personas si van a votar a un determinado candidato.
Se realizan 50 tiros a canasta y se contabilizan los aciertos.
Se pregunta a 300 personas si practican algún deporte.
Se pregunta a 100 personas si tienen conexión a Internet.
Llamaremos:
n , al número de ensayos.
p, a la probabilidad de éxito en cada ensayo.
q, a la probabilidad de fracaso, que será igual a 1-p.
Consideramos la variable aleatoria X " Número de éxitos" .
Se dice que X sigue una distribución binomial, B(n,p).
Recorrido de X  0, 1, 2, 3, ..., n
Función de probabilidad.
n
f (k )  P( X  k )     p k  q n k
k 
n
n!
donde   
es el número de formas en que se pueden tener k éxitos de n
 k  k!(n  k )!
intentos.
Parámetros.
  n p
  n pq
Nota: La Media estadística también se llama Esperanza Matemática porque indica el resultado
que te cabe esperar, en este caso el número de aciertos que podemos esperar son los que se
obtienen de media.
EJEMPLO DE BINOMIAL.
Tiramos 5 veces a canasta, la probabilidad de acertar cada tirada es 0,4.
Consideramos la variable X " Número de aciertos"
Recorrido de X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
5
k 
Función de probabilidad: f (k )     0,4 k  0,6 5 k
 5 
0
5
   0,4  0,6  0,0778
 0 
 5 
   0,41  0,6 4  0,2592
 1 

 5   0,4 2  0,63  0,3456
 

 2 
f ( x)  
 5   0,43  0,6 2  0,2304
 3 
 
 5 
4
1
   0,4  0,6  0,0768
 4 
 5 
   0,45  0,6 0  0,0102

 5 
si x  0
si x  1
si x  2
si x  3
si x  4
si x  5
Función de distribución:
 0


 0,0778


 0,3370



F ( x )   0,6826


 0,9130


 0,9898


 1
si x  0
si 0  x  1
si 1  x  2
si 2  x  3
si 3  x  4
si 4  x  5
si x  5
Parámetros:
  n  p  5  0,4  2
  n  p  q  5  0,4  0,6  1,2  1,10
Distribución de Poisson.
La distribución de Poisson es discreta (como la binomial) pues los valores que puede tomar la
variable aleatoria son números naturales. Aunque en la distribución de Poisson los casos
posibles en teoría son infinitos (numerable).
La distribución de Poisson se caracteriza por un solo parámetro landa. Su media es landa y su
varianza también es landa.
La media está representada por un triángulo y se puede interpretar como un punto de
equilibrio. Al arrastrarlo se modifica también el parámetro landa.
Se puede mostrar una curva normal que tiene la misma media y varianza que la distribución
de Poisson. Esta curva normal aproxima a la de Poisson en algunos casos.
Los puntos grises controlan la escala vertical y horizontal de la gráfica y pulsando el botón
derecho y arrastrando podemos moverla a derecha e izquierda
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.
Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por
primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la
fórmula de esta distribución, haremos uso de un ejemplo.
Ejemplo:
Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que
aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3,
Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.
Solución:
Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la
moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde
aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación:
SSSSSSSA
Sí denotamos;
x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por
primera y única vez = 8 lanzamientos
p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3
q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3
Entonces la probabilidad buscada sería;
P(aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =
=q*q*q*q*q*q*q*p =
Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;
Donde:
p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso
Resolviendo el problema de ejemplo;
x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila
p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila
q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello
p(x=8) =
Distribución Hipergeometrica.
Una variable tiene distribución hipergeométrica si procede de un experimento que cumple las
siguientes condiciones:
1) Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazamiento, de un conjunto finito de N
objetos.
2)
K de los N objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y N - K como fracasos.
X cuenta el número de ‚éxitos obtenidos en la muestra. El espacio muestral es el
conjunto de los números enteros de 0 a n, ó de 0 a K si K < n.
En este caso, la probabilidad del ‚éxito en pruebas sucesivas no es constante pues depende del
resultado de las pruebas anteriores. Por tanto, las pruebas no son independientes entre sí.
La función de probabilidad de la variable hipergeométrica es:
Los parámetros de la distribución son n, N y K.
Los valores de la media y la varianza se calculan según las ecuaciones:
Si n es pequeño, con relación a N (n << N), la probabilidad de un ‚éxito variar muy poco de una
prueba a otra, así pues, la variable, en este caso, es esencialmente binomial; en esta situación,
N suele ser muy grande y los números combinatorios se vuelven prácticamente inmanejables,
así pues, la probabilidades se calculan más cómodamente aproximando por las ecuaciones de
una binomial con p = K / N.
La media de la variable aproximada (μ = n p = n (K / N)) es la misma que la de la variable antes
de la aproximación; sin embargo, la varianza de la variable binomial es ligeramente superior a
la de la hipergeométrica.
el factor por el que difieren ser siempre menor que 1 y tan próximo a 1 como cierto sea que n
<< N.
FUNCIONES CONTINUAS
Distribución normal o de Gauss:
La distribución normal fue definida por De Moivre en 1733 y es la distribución de mayor
importancia en el campo de la estadística.
Una variable es normal cuando se ajusta a la ley de los grandes números, es decir, cuando sus
valores son el resultado de medir reiteradamente una magnitud sobre la que influyen infinitas
causas de efecto infinitesimal.
Las variables normales tienen una función de densidad con forma de campana a la que se
llama campana de Gauss.
Su función de densidad es la siguiente:
Los parámetros de la distribución son la media y la desviación típica, μ y σ, respectivamente.
Como consecuencia, en una variable normal, media y desviación típica no deben estar
correlacionadas en ningún caso (como desgraciadamente ocurre en la inmensa mayoría de las
variables aleatorias reales que se asemejan a la normal.
La curva normal cumple las siguientes propiedades:
1) El máximo de la curva coincide con la media.
2) Es perfectamente simétrica respecto a la media (g1 = 0).
3) La curva tiene dos puntos de inflexión situados a una desviación típica de la media. Es
convexa entre ambos puntos de inflexión y cóncava en ambas colas.
4) Sus colas son asintóticas al eje X.
Distribución Gamma (Γ)
La distribución gamma se define a partir de la función gamma, cuya ecuación es:
La función de densidad de la distribución gamma es:
α y β son los parámetros de la distribución.
La media y la varianza de la variable gamma son:
Distribución exponencial
Es un caso particular de la distribución gamma cuando α = 1. Su
función de densidad es:
Su parámetro es β.
La media y la varianza de la distribución exponencial son:
Distribución Chi-cuadrado 
Es otro caso particular de la distribución gamma para el caso β = 2 y α = n / 2, siendo n
un número natural.
Su función de densidad es:
El parámetro de la distribución  es  y su media y su varianza son, respectivamente:
Otra forma de definir la distribución  es la siguiente: Supongamos que tenemos n variables
aleatorias normales independientes, X1,..., Xn, con media μi y varianza
definida como
(i = 1 ... n), la variable
Tiene distribución  con n grados de libertad y se le denomina n.
Variables chi-cuadrado con valores de
asimétricas..
progresivamente mayores son cada vez menos
Distribución Uniforme
En estadística la distribución uniforme es una distribución de probabilidad cuyos
valores tienen la misma probabilidad.
Distribución uniforme (caso continuo).
Se dice que una variable aleatoria X continua tiene una distribución uniforme en el
intervalo [a,b] si la función de densidad de probabilidad (FDP) es
La función de distribucion en el caso continuo entre a y b es
Su media estadistica es (a + b) / 2 y su varianza (b − a)2 / 12.
Aplicando la formula anterior a una serie de valores aleatorios, se produce la siguiente
grafica:
Gráfica de distribución
Uniforme; Inferior=0; Superior=1
1,0
Densidad
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
X
0,8
1,0