Download distribuciones discretas a) distribución uniforme discreta

DISTRIBUCIONES DISCRETAS
A) DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA
Un experimento se dice que sigue una distribución uniforme si presenta n
resultados distintos, todos ellos equiprobables y tal que la probabilidad de cada
resultado viene dada mediante la siguiente función de probabilidad:
Propiedades. Toda variable aleatoria discreta que sigue una ley uniforme
tiene como características:

La media es

La varianza es
.
.
Ejemplos:

El lanzamiento de un dado.

El lanzamiento de un tetraedro regular.
B) DISTRIBUCIÓN DE BERNOUILLI
Un experimento se dice que sigue una distribución de Bernouilli cuando
presenta dos posiblidades: el éxito (suceso A) y el fracaso (suceso Ac). Si
llamamos X a la variable aleatoria «número de éxitos», la función o ley de
probabilidad viene dada por:
Propiedades. Toda variable aleatoria discreta que sigue una ley de Bernouilli
tiene como características:

La media es

La varianza es
Ejemplos:

En el lanzamiento de una moneda, obtener cara.

En el lanzamiento de un dado, obtener una cifra par.

En la fabricación de una pieza, si es correcta o defectuosa.

Al sacar bolas de una urna, comprobar si es negra o no.
C) DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Un experimento se dice que sigue una distribución binomial cuando:

Cada prueba del experimento es un experimento de Bernouilli.

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los
casos anteriores..
Cuando hablamos de una distribución binomial la denotaremos por B(n,p),
siendo n el número de veces que se realiza el experimento y p la probabilidad de
éxito. La función o ley de probabilidad viene dada por:
Propiedades. Toda variable aleatoria discreta que sigue una ley binomial
tiene como características:

La media es

La varianza es
NOTA: La distribución binomial es simétrica si p=1/2 y cuando n tiende a
infinito el coeficiente de apuntamiento se hace cero.
D) DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de Poisson se aplica en situaciones en que se tiene una
distribución binomial con p muy pequeño (p→0), n grande (n→∞) y n∙p se
mantiene constante e igual a λ (n∙p→ λ ). Suele recibir el nombre de ley de los
sucesos raros y se denota mediante P(λ). Se demuestra que la distribución de
probabilidad es:
Propiedades. Toda variable aleatoria discreta que sigue una ley de Poisson
tiene como características:

La media es

La varianza es
Ejemplos:

Número de radiaciones radiactivas.

Número de piezas defectuosas en una muestra suficientemente
grande donde la proporción de piezas defectuosas es pequeña.

Número de partos triples por año.
NOTAS
1.
La distribución de Poisson es simétrica y el coeficiente de
apuntamiento se hace cero si λ aumenta indefinidamente.
2.
La distribución de Poisson P(λ) se considera una buena
aproximación a la distribución Binomial B(n,p) en el caso de
que n·p<5 y p<0’1 o n>100 y p<0’05, siendo en ese caso
λ=n·p .
E) DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Consideremos una urna que contiene N piezas, siendo N 1 defectuosas y
N2=N-N1 aceptables. Se toman simultáneamente n piezas de modo que cada una
de las piezas tenga la misma probabilidad de ser extraída y se considera la
variable aleatoria X=”nº de piezas defectuosas en la muestra de tamaño n”, dicha
variable sigue una distribución hipergeométrica. La distribución de probabilidad de
dicha variable se denota por H(n,N1,N) y viene dada por:
Propiedades. Toda variable aleatoria discreta que sigue una ley de
distribución hipergeométrica tiene como características:

La media es

La varianza es
NOTAS:
1. En general, se denota a los cocientes
y
como p y
q.
2. La distribución hipergeométrica se aproxima por una binomial de
parámetros n y
proporción
cuando N tiende a infinito y la
se mantiene constante.
F) DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA O DE PASCAL
Consideremos un experimento dicotómico y la variable aleatoria X=”número
de fracasos acontecidos antes de aparecer por primera vez el suceso éxito”, dicha
variable sigue una distribución geométrica. Se comprueba que si llamamos p a la
probabilidad de éxito y q a la probabilidad de fracaso, la distribución de
probabilidad viene dada por:
G) DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
Dado un experimento dicotómico con probabilidad p de éxito y q de fracaso,
consideramos la variable aleatoria X=”número de fallos antes de producirse el
éxito n-ésimo”, dicha variable sigue una distribución binomial negativa. Se
comprueba que la distribución de probabilidad viene dada por:
6.3 DISTRIBUCIONES CONTINUAS
A) DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA
Se dice que una variable aleatoria sigue una distribución uniforme si la función
de densidad es constante en el intervalo en el que se encuentran todos los valores
de la variable. La función de densidad o ley de probabilidad viene dada por:
Propiedades. Toda variable aleatoria continua que sigue una ley de
distribución uniforme tiene como características:

La media es

La varianza es
B) DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Se utiliza como modelo para representar tiempo de funcionamiento o de
espera. La distribución exponencial expresa también el tiempo que transcurre
entre sucesos que se contabilizan mediante la distribución de Poisson. Por
ejemplo, tiempo de espera en la parada de autobús, tiempo transcurrido entre dos
llamadas telefónicas, número de vehículos que llegan a un semáforo…
La función de densidad o ley de probabilidad es:
siendo λ el parámetro de la distribución con λ>0.
Propiedades. Toda variable aleatoria continua que sigue una ley de
distribución exponencial tiene como características:

La media es

La varianza es
C) DISTRIBUCIÓN NORMAL
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de
media μ y desviación típica σ y se designa por N(μ, σ) si se cumplen las siguientes
condiciones:
a) La variable recorre roda la recta real
b) La función de densidad es:
ecuación matemática de la curva de Gauss, donde:
μ = media de X
σ = desviación típica de X
x = abscisa
e = base de los logaritmos neperianos
π = relación entre la longitud y el diámetro de una circunferencia
A la vista de la gráfica de la distribución normal, la función de densidad tiene
las siguientes propiedades:

La curva tiene forma de campana y es simétrica respecto a la
recta
.

El máximo se obtiene para

El área del recinto que determina la curva con el eje X es 1 por
.
ser una función de densidad y esta área queda dividida en 2
partes iguales por la recta

En
y
.
la curva tiene puntos de inflexión.

En caso de tener 2 distribuciones con igual desviación y
distintas medias, la única diferencia es que una será una
traslación respecto del eje X de la otra.

En caso de tener 2 distribuciones con iguales medias y
distintas desviaciones típicas, será más achatada aquella con
la desviación típica mayor.

Una distribución normal reducida es aquella en la que
, siendo la función de densidad
y
. Para
facilitar el cálculo de p[X<x] sin usar integrales, se han
elaborado unas tablas de muy fácil uso como veremos. A partir
de las tablas de la distribución N(0,1) podemos calcular
probabilidades para las distribuciones N(μ, σ) mediante la
tipificación de la variable. Basta hacer el cambio de variable
, de manera que si la variable Z sigue una
distribución N(0,1), la variable X sigue una distribución N(μ, σ).
D) APROXIMACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR UNA
NORMAL
De Moivre demostró que una distribución binomial B(n,p) se aproxima a una
distribución normal
cuando el valor de n es muy grande y no
aparece en las tablas. Algunos criterios para aceptar la aproximación son:

n·p≥5
y
n·q≥5

p<0’1
y
n·p>5

p>0’1
y
n·p<5

p≈0’5
y
n·p>3

Para obtener 2 decimales en la aproximación basta que n·p>37
Cuando aproximamos una variable aleatoria discreta por una variable
aleatoria continua tenemos que tener en cuenta que en las disctribuciones
discretas tiene sentido hablar de p[X=x], pero en las distribuciones continuas no.
Por tanto, si deseamos hallar p[X=x], al hacer la aproximación, calcularemos
p[r<X<s], donde (r,s) es un intervalo de centro x y amplitud suficientemente
pequeña. En la practica, haremos:
a) Para hallar p[X=2], calcularemos p[1’5<X<2’5].
b) Para hallar p[X≤5], calcularemos p[X≤5’5]
c) Para hallar p[X<3], calcularemos p[X≤2’5]
WEDGRAFIA
http://sapiens.ya.com/matagus/unidad6.htm