Download Métodos Deductivos de demostración.

Pontificia Universidad Católica del Ecuador
“Sede de Ibarra”
Francisco Aguilar
Paralelo “B”
ESCUELA: Arquitectura
METODOS DE DEMOSTRACIÓN
La demostración es un razonamiento o serie de razonamiento que prueba la
validez de un nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias
con otros conocimientos.
Cuando un conocimiento queda demostrado, entonces se le reconoce
como válido y es admitido dentro de la disciplina correspondiente.
La demostración es el enlace, entre los conocimientos recién adquiridos y
el conjunto de los conocimientos anteriores.
El enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los anteriores está
constituidos por una sucesión finita de proposiciones que o bien son
postulados o bien son conocimientos cuya validez se ha inferido de otras
proposiciones, mediante operaciones lógicas perfectamente coordinadas.
La demostración permite explicar unos conocimientos por otros y por
tanto es una prueba rigurosamente racional.
Sabemos que todas las proposiciones de una teoría matemática se
clasifican en dos tipos: las aceptadas sin demostración que son las
definiciones (donde no hay nada por demostrar) y los o
(que se toman como proposiciones de partida) y las deducidas,
llamadas (que son proposiciones cuya validez ha sido probada).
No siempre tenemos evidencia directa de la validez de un teorema. Eso
depende en parte su
grado de complejidad y de nuestra mayor o menor familiaridad con su
contenido.
Un teorema requiere demostración cuando no hay evidencia de su validez.
Estructura de la demostración
La demostración consta de tres partes:
a) El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposició
(teorema)cuya validez se trata de probar.
b) Los fundamentos empleados como base de la demostración.
c) El procedimiento usado para lograr que el conocimiento quede
demostrado.
Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión
lógica entre los fundamentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar
como conclusión final a la tesis que así se demuestra. Una tesis puede ser
demostrada mediante distintos procedimientos.
Tipos de demostración
Consideremos una demostración como un argumento que nos muestra
que una proposición condicional de la forma es lógicamente verdadera (es
decir, verdadera en todos los cosos posibles) donde es la o conjunción de
las premisas y es la conclusión del argumento.
Luego, si en el enunciado de un teorema se incluyen explícitamente las
proposiciones de partida, éste afirma que partiendo de cierta hipótesis se
puede demostrar otra proposición llamada.
Los procedimientos utilizados en la demostración están constituidos por
distintas formas de deducción o inferencia y se puede clasificar en varios
tipos los cuales serán estudiados
Métodos Deductivos de demostración.
Según el sistema aristotélico,el método deductivo es un proceso que parte
de un conocimiento general, y arriba a uno particular. La aplicación del
método deductivo nos lleva a un conocimiento con grado de certeza
absoluta, y esta cimentado en proposiciones llamadas SILOGISMOS.
He aquí un ejemplo:
“Todos las venezolanas son bellas” ,
(Este es el
conocimiento general)
“Marta Colomina es venezolana”
luego:
“Marta Colomina es bella”
Se puede observar que partiendo de dos premisas, una de las cuales es una
hipótesis general se llega a una conclusión particular. También es de hacer
notar que en este ejemplo las premisas pueden ser verdaderas o pueden
ser falsas, y por consiguiente la conclusión puede ser igualmente
verdadera o falsa.
En la lógica formal y sobre todo en el universo matemático, el proceso
deductivo tiene un significado un poco diferente, pues esta basado en
AXIOMAS, o proposiciones que son verdaderas por definición.
Por ejemplo, un axioma es:
“EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE”, otro axioma es
“DOS COSAS IGUALES A UNA TERCERA SON IGUALES ENTRE SI”.
El primer axioma define el concepto de MAYOR, y el segundo el concepto
de IGUAL.
El método deductivo nos permite partir de un conjunto de hipótesis y
llegara una conclusión, pudiendo ser esta inclusive que el conjunto de
hipótesis sea invalido.
Generalmente, en matemáticas, la deducción es un proceso concatenado
del tipo "si A entonces B, si B entonces C, si C entonces Al conjunto de
HIPOTESIS + DEMOSTRACION + CONCLUSIÖN se denomina TEOREMA.
La práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo
del pensamiento lógico matemático es muy importante. Constituye una
herramienta fundamental para el trabajo en la matemática y otras
ciencias..
Demostración por el método directo.
Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo:
P⇒ Q
Que podemos analizar como “ si se cumple P entonces se cumple
Q”.
Esto lo hacemos de forma natural sin complicarnos en hacer
análisis mas intensivos o mas extensivos pues lo hacemos de una forma
innata.
Si decimos: “El cielo esta encapotado, va a llover” estamos
realizando una asociación de causa y efecto. En la cual “el cielo esta
encapotado” es la causa y el efecto lógico es que, “va a llover”.
Desde el punto de vista de la lógica esta relación es irrevocable.
Así mismo en una relación matemática se puede verificar esta sencilla
relación en la cual si se cumple la premisa P entonces se puede decir que se
cumplira la consecuencia Q.
A este proceso formal se le denomina “demostración mediante el
método directo” es innecesario decir que si no se cumple o verifica P
entoces su consecuencia tampoco se verificará.
¬P ⇒ ¬Q
Supóngase que P⇒ Q es una tautología, en donde P y Q pueden ser
proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de
variables
propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p.
Supóngase una implicación de la forma.
(P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn)⇒ Q
Es una tautología.
Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad
de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se
desprende lógicamente de P1,P2,......,Pn. Se escribe.
El camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal
usando el método directo.
Significa que sí se sabe que P1 es verdadera, P2 es
verdadera,...... y Pn también es verdadera, entonces se sabe que Q es
verdadera.
La mayoría de los teoremas matemáticos cumplen con esta estructura
básica:
(P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn)⇒ Q
Donde las Pi condiciones son llamadas hipótesis o premisas, y Q es la
conclusión.
“Demostrar un teorema” es demostrar que la condicional es una
tautología.
Ojo, no se pide demostrar que la conclusión es verdadera, lo que se quiere
es demostrar que Q es verdadera siempre y cuando todas las Pi
condiciones son verdaderas.
En conclusión podemos decir que:
Cualquier demostración, sea de enunciados o matemática debe:
a. Comenzar con las hipótesis.
b. Debe seguir con las tautologías y reglas de inferencias necesarias para.
c. Llegar a la conclusión.
A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso
tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia
Sean
p: Trabajo
q: Ahorro.
r: Compraré una casa.
s: Podré guardar el automóvil en mi casa.
Analizar el siguiente argumento:
"Si trabajo y ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa,
entonces
podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar
el coche
en mi casa, entonces no ahorro".
El enunciado anterior se puede representar como:
p∧ q⇒ r;
y
r⇒ s; entonces
s'⇒ q'
Equivale también a probar el siguiente teorema:
[(p∧ q)⇒ r]∧ [r⇒ s]; [s'⇒ q']
Como se trata de probar un teorema de la forma general:
p1∧ p2∧...... ∧ pn entonces q
Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados
válidos.
A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus
pasos en
tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.
1.2.3.4.5.6.-
(p∧ q)⇒ r
r⇒ s
p⇒ q
q⇒ r
q⇒ s
¬s ⇒ ¬q
Hipótesis
Hipótesis
Silogismo Hipotético
Silogismo Hipotético
Conclusión