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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Una de las ideas fundamentales de la matemática es la de número, que en sus formas más
simples, pudo ocurrírsele a hombres muy primitivos.
La teoría de números, como disciplina independiente de la Matemática fue establecida por
FERMAT. Por su profesión, era jurista y parlamentario. Su diversión era la matemática, a la
que se acercó como aficionado, pero que desarrollo como maestro de maestros.
Si bien fue uno de los fundadores de la geometría y del cálculo analítico, en realidad se lo
recuerda principalmente por su trabajo en la teoría de los números. Fue, sin lugar a dudas, el
aritmético nato y su aguda percepción de las propiedades intrínsecas de los números naturales,
no ha sido superada desde entonces. Algunos de sus descubrimientos más profundos fueron
razonados sin ningún o escasos símbolos.
NOTA: Pierre FERMAT (1601 – 1665) fue matemático francés, conocido por su teorema: “ la
ecuación x n  y n  z n , donde “ n” es un número entero superior a dos, no tiene solución en el
campo de los enteros”. Hoy se discute una demostración incompleta presentada por Andrew
WILES.
LOS NÚMEROS REALES:
El conjunto de los números reales, (que designamos con  ), está formado por todos los
números que habitualmente usamos, excepto los números COMPLEJOS.
Ejemplo de números reales:

27
10
0 ; 28; ; 2 ; 0,5 ; 0,05 ;  2 ;  ;   ;1  2 ; 2  3 ; 0,01001000100001.....
4
5
Se los agrupa en los siguientes subconjuntos:
NÚMEROS NATURALES: (los designamos con N)
N ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ,…….}
NÚMEROS ENTEROS: (los designamos con Z )
Z = {….., -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,…..}
Observación: los números naturales están incluidos en los números enteros.
NÚMEROS RACIONALES: (los designamos con Q)
n

Q   / n  Z ; b Z  b  0 
b

NOTA: A partir del comienzo de los símbolos numéricos, al hombre le llevó cerca de 5000
años, para concebir un símbolo que representara la nada.
No se sabe con exactitud quien lo creó. Se sospecha que fue un hindú que vivió en el siglo X.
los hindúes denominaron a este símbolo zuñía, que quiere decir “vacío”.
Este símbolo de la nada fue recogido por los árabes, quienes lo denominaron céfer, palabra
que dio origen en el idioma ingles a cipher y zero.
1
3 2 1
9
0
7
1 7 8
; ;

;
9 ; 0 ;
;
;
; 1
4
8 4 2
1
3
 36 10 3 8
OBSERVACIONES: Si n pertenecen a Z y n pertenece a Q : Z está incluido en Q
a) los números decimales son racionales
b) las expresiones decimales periódicas puras son racionales
c) las expresiones decimales periódicas mixtas son racionales
Ejemplo de números racionales:
d) entre dos números racionales cualesquiera, existe al menos un
número racional.
Si representáramos a todos los números racionales sobre la recta numérica, observaríamos que
existen puntos que no corresponden a ningún número racional.
Por lo tanto existen infinitos números que no son racionales y que constituyen un nuevo conjunto
y son los NÚMEROS IRRACIONALES.
1
Ejemplos de números irracionales:  ; 2 ; e ; 3 ;  5 ;   7
2
Resumiendo: podemos construir, considerando las inclusiones, el siguiente cuadro para los
diferentes conjuntos numéricos:


 N (naturales )

Z (enteros) 
Q (racionales ) 
enteros negativos
 (reales ) 
 fraccionarios (irreducibl es )


 I (irracional es

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES.
Repasemos algunas propiedades para la resolución de operaciones con números reales:
1- Supresión de signos de agrupación:
- Si un signo de agrupación está precedido por un signo positivo (+) se debe suprimir
respetando el signo de los números afectados por dicho signo de agrupación.
- Si un signo de agrupación está precedido por un signo positivo (-) se debe suprimir cambiando
el signo de los números afectados por dicho signo de agrupación.
Ejemplo:
(−2 + 3) − {−[−3. (−5)]} =
−2 + 3 − {−[15]} =
−2 + 3 − {−15} =
−2 + 3 + 15 = 16
2- Propiedades de la suma algebraica:
- Conmutativa: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
(𝑎. +𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
- Asociativa:
- Elemento neutro: 0
- Ley de cierre: 𝑠𝑖 𝑎 ∈ 𝑍 𝑦 𝑏 ∈ 𝑍 → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑍
3- Propiedad distributiva de la multiplicación:
- Si un número está multiplicando un signo de agrupación, se distribuye dicho número para
cada término afectado por el signo de agrupación.
Ejemplo:
3. (2 + 𝑥 − 𝑦) =
=3.2 + 3. 𝑥 − 3. 𝑦
4- Propiedad distributiva de la división:
- Si un número está dividiendo a derecha un signo de agrupación, se distribuye dicho número
para cada término afectado por el signo de agrupación.
Ejemplo:
(6𝑥 + 4𝑦 − 5): 3 =
4
5
= 2𝑥 + 3 𝑦 − 3
5-
Cancelativa de la suma algebraica:
- Si en una expresión aparecen sumandos opuestos, éstos pueden cancelarse, ya que su suma
es cero.
6- Propiedades de la multiplicación:
- Conmutativa: 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎
(𝑎. 𝑏). 𝑐 = 𝑎. (𝑏. 𝑐)
- Asociativa:
- Distributiva: 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
- Elemento neutro: 1
- Ley de cierre: 𝑠𝑖 𝑎 ∈ 𝑍 𝑦 𝑏 ∈ 𝑍 → (𝑎. 𝑏) ∈ 𝑍
7- Propiedades de la división:
- NO es conmutativa: 𝑎: 𝑏 ≠ 𝑏: 𝑎
- NO es asociativa: (𝑎: 𝑏): 𝑐 ≠ 𝑎: (𝑏: 𝑐)
- NO distributiva a izquierda : 𝑎: (𝑏 + 𝑐) ≠ 𝑎: 𝑏 + 𝑎: 𝑐
- SI distributiva a derecha: (𝑎 + 𝑏): 𝑐 = 𝑎: 𝑐 + 𝑏: 𝑐
8- Propiedades de la potencia:
- NO distributiva respecto a la suma algebraica: (𝑎 ± 𝑏)𝑛 ≠ 𝑎𝑛 ± 𝑏 𝑛
- SI distributiva respecto al producto y división : (𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏 𝑛
(𝑎: 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 : 𝑏 𝑛
- Potencias de igual base: ∗) 𝑎𝑛 . 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
∗∗) 𝑎𝑛 : 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
∗∗∗) (𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛.𝑚
-
Todo número elevado a la cero da 1
Todo número elevado a la 1 es el mismo número
ECUACIONES
Definición: Una ecuación es una igualdad que se verifica para ciertos y determinados valores de
una variable llamada incógnita.
Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que satisface la ecuación, es decir que
hace verdadera la igualdad dada.
Ejemplo:
3  x  12
Vemos que x es la incógnita, dicha expresión constituye lo que se denomina un enunciado
abierto, ya que la incógnita puede adoptar infinitos valores.
Asignemos distintos valores a x:
Siguiendo el ejemplo anterior, decimos:
3  x  12
Cuando:
x=1
x = -4
x=6
x=9
No verifica la igualdad
No verifica la igualdad
No verifica la igualdad
VERIFICA
El número 9 es el elemento que hace verdadero el enunciado, entonces es el resultado de la
ecuación.
A las ecuaciones podemos clasificarlas por:
a) la cantidad de incógnitas:
Dentro de esta sub clasificación lo que tomamos en cuenta es el número de variables:
1 incógnita
x  8  14
3x  4 y  25
2 incógnitas
5 x  3 y  4 z  5
3 incógnitas
b) por el grado:
Dentro de esta sub clasificación tomamos en cuenta cuál es el exponente al que está
elevada alguna de las variables que integran dicha ecuación.
2x  5  4
primer grado
3x 2  4  2
segundo grado
5x 2  3 y  2 z 4  6
cuarto grado
ECUACIONES EQUIVALENTES:
Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando admitan el mismo conjunto solución, en otras
palabras, el resolver una ecuación obtenemos un valor, dicho valor será el mismo que el que se
obtenga al resolver otra ecuación, la cual decimos equivalente a la anterior.
Ejemplo: Ecuación 1
2x  1  3
Solución x = 2
1 3
Ecuación 2
Solución x = 2
x 
2 2
La ecuación 1 es equivalente a la ecuación 2
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.
Buscamos la ecuación equivalente a la dada para resolverla:
Ejemplo:
8 x  3  x  10
8 x  3   x  3  x  10   x  3
Ecuación equivalente a la anterior.
Eliminando paréntesis
8x  3  x  3  x  10  x  3
Agrupando términos semejantes y aplicando la propiedad cancelativa
7x  7
De donde, multiplicamos ambas expresiones por
1
nos queda:
7
1
1
 7x   7
7
7
Efectuando las operaciones:
Solución del enunciado abierto.
x 1
Los pasos realizados son los conocidos como pasajes de términos.
Reglas para resolver ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita:
1- Se eliminan denominadores; multiplicando a ambos miembros de la ecuación por el
producto de los denominadores o por su mínimo común múltiplo
2- Se efectúan las operaciones indicadas.
3- Se agrupan en un miembro las incógnitas y en el otro todos los términos independientes (
los que no tienen incógnita)
4- Se efectúan las operaciones indicadas en cada miembro.
5- Se despeja el valor de la incógnita de la ecuación dada.
6- Se verifica la solución obtenida, desechándola si no satisface la ecuación dada.
DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN:
Discutir una ecuación, significa analizar la naturaleza de los resultados numéricos e interpretar
correctamente los mismos.
a x  b
Sea
1er caso: Ecuaciones determinadas
a  b
con
ab  0
Ejemplo numérico:
3x  6  x 
6
x  2
3
2do caso: Ecuaciones imposibles
a  0 b  0
0 x  b
 x
b
0
 no existe
Ejemplo numérico:
3x  x  3  2 x  4  3x  x  2 x  7  0  x  7  x 
3er caso: Ecuaciones de solución nula
7
 no existe
0
b0  a0
ax  0  x 
0
a
 x0
Ejemplo numérico:
5 x  0  x 
0
 x0
5
4to caso: Ecuaciones indeterminadas
ab0
a  x  b  0  x  0  x  n cualquier número verifica la igualdad
Ejemplo numérico:
3x  7  x  3  2 x  4  3x  x  2 x  3  4  7  0 x  0 x  
INTERVALOS
Un subconjunto de números reales, es una porción de los mismos, por lo tanto estará formado
por infinitos números.
Para poder expresarlos, necesitamos un nuevo concepto, el de intervalos.
Según las particularidades podemos clasificarlos en :
a) INTERVALO CERRADO: es el conjunto de todo número real comprendidos entre “a” y
“b”, incluidos los extremos.
En símbolos:  a ; b   x   / a  x  b
Gráficamente:
a
Ejemplo:   2 ; 3  x   /  2  x  3
b
-2
0
3
b) INTERVALO ABIERTO: contiene a todos los números comprendidos entre “a” y “b”, y
no incluye a ninguno de los extremos.
En símbolos:  a ; b  x   / a  x  b
Gráficamente:
Ejemplo:  5 ; 2  x   /  5 x 2
a
b
-5
0
2
c) INTERVALO SEMIABIERTO A DERECHA o bien semicerrado a izquierda: es el
conjunto de todos los números reales comprendidos entre “ a” y “b” , que incluye al
extremo “a” pero no incluye al extremo “b”
En símbolos:  a ; b)  x   / a  x b
Gráficamente:
a
b
d) INTERVALO SEMIABIERTO A IZQUIERDA o bien semicerrado a DERECHA: es el
conjunto de todos los números reales comprendidos entre “ a” y “b” , que NO incluye al
extremo “a” pero incluye al extremo “b”
En símbolos: a ; b  x   / a  x  b
Gráficamente:
INECUACIONES REALES
Teniendo en cuenta las propiedades de la relación de orden de los números reales.
Mediante ejemplos mostraremos como determinamos los subconjuntos de reales que verifican
cada una de las siguientes desigualdades.
a)
3x  6  0
3x
 6
x  2
S    ;  2 

-2
0
b)
4x  2  0
4x
2

x
1

S   ;  
2

1
2
0
1
2

c)
 2x  8  4
 2x
x
x
 48
4
2
 2

S
 2 ;  
0
axb  0
2
con a  0

Generalizando: una inecuación de primer
grado en reales es una expresión de la forma:
El caso de c  x  b  0 , lo incluimos en el anterior, ya que al multiplicar por (-1), se obtiene :
 c  x  d  0 que es de la primera forma.
El conjunto solución está formado por los números reales de “ x” que sastifacen la inecuación.
Solución:
a) para a  0, es:
x 
a  x  b  0 ; con a  0
b) para a  0, es :
b
a
b

S  x   / x   
a


b
a
x
b
a
b

S   x  / x   
a


b
a
d)
1
3
x0
x
En todos estos casos, conviene efectuar operaciones algebraicas previas, hasta lograr una
expresión donde uno de los miembros de la inecuación sea igual a cero.
1
 3
x
1
3 0
x
1  3x
0
x
Para que el cociente resulte un número menor que cero, el numerador y el denominador deben
tener signos distintos, lo cual deberá analizarse.
GUIA DE EJERCITACION
OPERACIONES COMBINADAS: Resolvé las siguientes operaciones. Tené en cuenta las
propiedades
a)
b)
c)
d)
e)
(−12 + 15 + 19)— (−32 + 47 − 54) + (17 − 12 + 36)— (−1 + 15) =
46— (−96 + 34) + (−17 − 21 + 32) + (−95 + 87) − (−101) =
−{34: [125: (−25) − 6: (−2)]} − [16: (−4) + 32— 46): (−23) − 3 =
−{−[−(−60: 3) + (−25): 5] − (−8): (−2)} + (−9): (−3) − (−3) =
(4 − 3 + 2)3 + (49: 7)2 − (100: 20)3 + [(−4)2 + (70: 2)1 ] =
f)
3 3
125  16   3  2   5  10 2  3 27  6   1 
3
1
g)   1  3  : 3  1  1   15  3  1  7 

2
4
125
3
8
2 (−25) 15 6 23
2 4
2 2
: . 2 . + (− ) : (− )
5 √9
18 3 √9
3
3
h) √− .
3
i)
√√− 1 . 4 +
2 5
1
11 1 3
+ : ( ) . √4
10
20 2
+
22
√9
1
81
−√
=
=
j) (−0,5 − 0,15): 1,3 + [−1 + 2. (−0,8)]. 2,3 =
k) 0,35: (−0,5 − 0,2)— (−1 + 2. (−0,5)): (−0,4) =
3
8
10
4 3 343
2
l)
{√27 . √0,36 − [ 3 . (−0,5 + 2 5 : √1000) + 3−1 ] + 15 5}
m)
3
1
1
[− 9 : 3−1 . (0,5 + √− 125)
−1
ECUACIONES:
4
]+3−
10
9
1 −1
3
+ 0,5. ( )
+
22
+
9
2
9
(− ) =
Hallá el valor de la incógnita en cada caso.
a ) x  5  13
b) 3 x  2  5
x
4
2
d ) 5 x  1  2 x  15
c) 6 
e) 1  x  x  3
6
5
x 1
2x  3
g)
 3
x4
6
h)  1  5
x
2x 1 4x  3
i)

1
3
2
j ) x  3x  x 2  3x  2
f)
k ) 2  3  4  3  2 x  1  5  16 x  24  : 4  6   3
l )  4  3   2   4 x  1  9  30  12 x  : 6  4 11
ll ) 1  16  2  6  2 x 3   3  4  3  5  4  3  5 2  2 3
2

2

m) 1  2 x 2  5  7   2    4  : 2  3  27  9  7  2  3  144
3
2
3
n) 2   5  2  100  4  x   1  5 2  3 2  3  2  6 
2
6
o) 3  2 2  5  3 x  12 : 3 27  64 :  2   3  4 
2
p )2 x  6  
2
16  5 : 7 
13 2
2
INECUACIONES
1)
3 x  6
2)
5x  2x  9
3)
1 y  3
4)
x  10  11
5)
 15 x  21  51
6)
 2x  4  0
7)
2  6x  8
8)
9)
10)
5
x

 0
4
2
14 x  3  14  3 x
 5  4x  5  4x
5
4
x
x 

 10
4
5
4
23  3 x
34  12 x
12)

3
6
11)