Download TRIGONOMETRÍA Expresar en radianes

TRIGONOMETRÍA
1. Expresar en radianes -300º , 150º y 315º.
2. Expresar en grados sexagesimales
5 2
,
3
9
y

11
.
3. Hallar las razones trigonométricas de 1035º, 2820º, -120º,
5
7
radianes y 
4
2
radianes.
4. Un ángulo que mide 1,5 radianes ¿Es menor, igual o mayor que un ángulo recto?
5. En una circunferencia de 10 cm de radio, un arco mide 6 cm. ¿Cuánto mide (en
grados y en radianes) el ángulo central correspondiente?.
5
6. Sea 90º    180º y sen  
. Hallar las demás razones trigonométricas del
13
ángulo  .
3
7. Sea 90º    180º y tg  
. Hallar las razones trigonométricas de
4
 y de 180   .
3
12
y cot g 
8. Sea    
. Hallar las demás razones trigonométricas de
2
5

 y las de   .
2
3
   2 y tg  3 . Hallar las razones trigonométricas de
9. Sea
2
 y de 2 .

3
y tg (   )  2 . Hallar las razones trigonométricas de  .
10. Sea   
2
2
5
11. Sea 90º    180º y cos ec 
. Hallar las razones trigonométricas de
4
 , de    y de   .
12. Calcular todos los ángulos x cuyo coseno valga -1/2.
13. De un triángulo rectángulo se sabe que un ángulo mide 30º, y uno de sus catetos,
5cm. Calcular el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo agudo.
14. Calcular la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13m cuando los
rayos del Sol forman un ángulo de 60º con el suelo.
15. Si la sombra de un poste es la mitad de su altura ¿Qué ángulo forman los rayos
del Sol con el horizonte?
1
16. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 10cm y los ángulos iguales
miden 70º. Calcular su área y su perímetro.
17. Una escalera de 4m está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su
base dista 2m de la pared?
18. ¿A que distancia de la pared se ha de colocar el pié de una escalera de 6m de
larga para que forme un ángulo de 60º con el suelo?
19. Un árbol de 50m de alto proyecta un a sombra de 60m de larga. Hallar el ángulo
de elevación del Sol.
20. Un observador situado en la orilla de un río ve un árbol que está en la otra orilla
bajo un ángulo de 60º. Alejándose 20m, lo ve bajo un ángulo de 30º. Hallar la
altura del árbol y la anchura del río.
21. Resolver las ecuaciones:
a) cos x – 2sen x = 2
;
h) cos x – sen x +
b) sen x + cos x =
;
i) cos 2x = 3sen x – 1
c) sen x – cos x = 1
;
j) cos2 x – cos x .sen 2x = 0
d) cos 2x = sen x
;
k) cos x + sen x/2 = 1
e) cos 2x + cos x = 0
;
l) cos 2x + 2 = -5 sen x
f) tg 2x = cotg x
;
m) sen 2x = 1/2 cos x
2
2 =0
g) 2 cos x + 4 sen x/2 = 3
22. Resolver los sistemas:
sen 2 x  y  2
a)  2
cos x  y  1
 x  y  150º
c) 
senx  cos y  1
 x  y  120º

e) 
1
senx  seny  2
 x  y  210º
b) 
cos x  seny  0
;
;
d)
;
1  senx  y


2
1  senx 
2

 x  y  150º
f) 
senx  cos y  1
2

3 1
senx  seny 

2
g) 
senx  seny  3  1

2
i)
senx  seny  1

 2 x  2 y  180º
k)
2senx  1  cos y

2 cos x  1  cos y
23. Sea

2
;
x  y  120º

j) 
senx cos y  cos xseny  1 / 2
;
    tal que sen 
sen (   ) , cos(   ) y tg

2 2
cos x  cos y 

2
h) 
cos x  cos y  2  2

2
3
5

2
y
  
3
12
tal que tg  
. Hallar
2
5
.
24. Resolver los siguientes triángulos:
a) Aˆ  40º , a = 10cm , b = 12cm
b) Aˆ  30º , Bˆ  50º , a = 10cm
c) Aˆ  50º , b=10cm , c = 12cm
25. Los lados de un paralelogramo miden 8 y 12cm , y forman un ángulo de 45º.
Hallar las diagonales.
26. Las diagonales de un paralelogramo miden 12cm y 20cm, y forman un ángulo
de 30º. Hallar los lados y los ángulos del paralelogramo.
27. Desde un cierto lugar del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un
ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75m hacia el pié de la torre,
este ángulo se hace de 45º. Calcular la altura de la torre y la distancia a la torre
en el momento inicial.
28. Calcular los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 13cm y 9cm .
29. En una circunferencia de 12cm de radio se toma una cuerda de 13cm. Averiguar
el ángulo central que abarca dicha cuerda.
30. Calcular los ángulos de un trapecio isósceles cuyas bases miden 83m y 51m y la
altura 61m.
31. Un avión vuela en línea horizontal hacia el Este. Desde un punto situado en el
suelo, al Sur del avión, se ve a éste bajo un ángulo de 45º. Cuando el avión ha
volado 1000m, desde ese mismo punto se le ve con un ángulo de elevación de
30º ¿Cuál es la altura del vuelo?
32. Calcular los ángulos de un rombo de perímetro 20m y de diagonal mayor 8m.
3
33. Desde un punto A se trazan las dos tangentes a una circunferencia de centro O y
radio 10cm. Se sabe que OA = 25cm. Hallar el ángulo que forman las tangentes.
34. Las bases de un trapecio miden 15cm y 8cm. Uno de sus lados no paralelos mide
6cm, y el ángulo que forman los lados no paralelos es de 20º. Hallar el área de
ese trapecio.
35. El lado desigual de un triángulo isósceles mide 50cm y los ángulos iguales
miden, cada uno, 40º. Determinar el perímetro, el tercer ángulo y el área de ese
triángulo.
36. Un triángulo equilátero tiene de perímetro 30cm, Calcular su altura y su área.
37. Al Este y al Sur de un globo cautivo se observa a éste bajo ángulos de 45º y 60º,
respectivamente. Sabiendo que entre los dos puntos de observación hay 1km,
calcula la altura a que está ese globo.
38. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6cm, respectivamente. Se cortan
bajo un ángulo de 50º10’. Hallar el perímetro del paralelogramo.
39. Dos circunferencias secantes tienen de radios 6cm y 8cm. El ángulo que forman
sus dos tangentes comunes es de 30º. Calcula la distancia que hay entre los dos
centros de las dos circunferencias.
40. Para localizar una emisora clandestina, dos receptores A y B, que distan entre si
10km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas
direcciones forman con AB ángulos de 40º y 65º ¿A que distancia de A y B se
encuentra la emisora?
4
Soluciones (Trigonometría)
1. 
5
 5,236
3
2. 300º
;
40º
3. sen1035º = 
sec1035º =
5
 2,618
6
;
;
16º 21’ 49’’
2
2
; cos1035º 
2
2
; tg1035  1
2 ; cos ec1035º   2
sen2820º = 
3
1
; cos 2820º 
;
2
2
sec2820º = 2 ; cosec2820º = -
sen(-120º) = 
7
 5,498
4
;
;
cot g1035º  1
tg 2820º   3
2 3
3
; cot g 2820º  
3
3
3
1
; cos( 120º )  
; tg (120º )  3
2
2
sec(-120º) = -2 ;
cosec(-120º) = 
2
 5 
 5 
sen    cos   
2
 2 
 2 
;
2 3
;
3
cot g (120º )  
3
3
 5 
 5 
tg   cot g    1
 2 
 2 
 5 
 5 
sec   cos ec    2
 2 
 2 
2
 7 
 7 
 7 
 7 
sen  
; tg 
  cos 

  cot g  
 1
2
 4 
 4 
 4 
 4 
 7 
 7 
sec 
  cos ec 
 2
 4 
 4 
4. Es menor
5. 0,6 radianes = 34º 22’ 38’’
6. cos   12 13 ; tg  5 12 ; sec   13 12 ; cos ec  13 5 ; cot g  12 5
5
7. sen  3 5 ; cos    4 5 ; sec    5 4 ; cos ec  5 3 ; cot g   4 3
8. sen   5 13 ; cos   12 13 ; tg  5 12 ; sec   13 12 ; cos ec  13 5
9. sen    3 10 10
;
cos   10 10
sec   10 ; cos ec   10 3 ; cot g  
1
3
10. sen  2 5 5 ; cos    5 5 ; tg  2
sec    5 ; cos ec  5 2 ; cot g  1 2
11. sen   4 5 ; cos    3 5 ; tg   4 3 ; sec    5 3 ; cot g   3 4
12. x = 120º + 360º k
;
x = 240º + 360º k
13. Cateto = 5 3 cm  8,66 cm ; hipotenusa = 10 cm ;
ángulo = 60º
14. h = 13 13 m  22,52 m
15. 63º 26’ 6’’
16. Área = 68,7cm2 ;
perímetro = 39,34cm
17. 60º
18. 3 m
19. 39º 48’ 20’’
20. Altura = 10 3  17,32 m
;
anchura = 10m
21. a) x = 323º 7’ 49’’ + 360ºk ; x = 270º + 360ºk
b) x = 135º + 360ºk
c) x = 90º + 360ºk
; x = 180º + 360ºk
d) x = 270º + 360ºk ; x = 30º + 360ºk ; x = 150º + 360ºk
e) x = 60º + 360ºk ; x = 300º + 360ºk
; x = 180º + 360ºk
f) x = 30º + 180ºk ; x = 150º + 180ºk
g) x = 60º + 360ºk ; x = 300º + 360ºk
h) x = 135º + 360ºk
i) x = 30º + 360ºk
; x = 150º + 360ºk
j) x = 90º + 180ºk ; x = 30º + 360ºk
; x = 150º + 360ºk
k) x = 360ºk
; x = 60º + 360ºk
; x = 300º + 360ºk
l) x = 210º + 360ºk ; x = 330º + 360ºk
m) x = 90º + 180ºk ; x = 14º 28’ 39’’ + 360ºk ; x = 165º 31’ 21’’ + 360ºk
6
22. a) x = 90º + 360ºk ; y = 1
b) x = 150º, y = 60º ; x = 90º, y = 120º ; x=270º, y=-60º ; x=330º, y=-120º
c) x = 90º, y = 60º ; x = 30º, y = 120º
4 2
4 2
d) x = 197º 1’ 52’’ + 360ºk, y =
; x = 342º 58’ 8’’ + 360ºk, y =
2
2
e) x = 30º , y = 90º ; x=-150º, y=270º
f) x = 210º , y = 60º ; x = 270º, y = 120º
g) x = 60º + 360ºk o x = 120º + 360ºk , y = 30º + 360ºk o y = 150º + 360ºk
h) x = 0º + 360ºk ; y = 45º + 360ºk o y = 315º + 360ºk
i) x = 90º , y = 0º ; x = 270º , y = -180º ; x=0º, y=90º
j) x = 75º , y = 45º ; x = 135º , y =-15º ; x=255º, y=-135º ; x=315º, y=-195º
k) x = 90º + 180ºk , y = 180º + 360ºk ; x = 180º + 360ºk , y = 0º + 360ºk
23. sen    
33
65
cos     
;
16
65
;
tg

2
3


24. a) c = 15,56cm , B  50º 28' 29' ' , C  89º 31' 31' '

b) b = 15,32cm , c = 19,7cm
, C  100º


, C  76º
c) a = 9,47cm , B  54º
25. D = 18,54cm , d = 8,5cm
26. a = 15,49cm
, b = 5,66cm ,   43º 7 ' 36' ' ,
  136º 52' 24' '
27. h = d = 102,45m
28.   69º 23' 25' ' ,
  110º 36 ' 35' '
29.   65º 35 ' 39 ' '
30.   75º 18 '10 ' ' ,
  104º 41' 50 ' '
31. h = 1366m
32.   73º 44 ' 23 ' ' ,
  106º 15 ' 37 ' '
33.   47 º 9 ' 22 ' '
34. Área = 23,598cm2
35. p = 115,28cm

, A  100º ,
36. h = 5 3  8,66cm
,
Área = 524,5cm2
Área = 25 3  43,3 cm2
37. h = 0,634km = 634m
7
38. p = 14,74cm
39. d = 7,73cm
40. d(E,A) = 9,38 km
; d(E,B) = 6,65 km
8