Download TEMA 6 ESTADISTICAS. DAVID MARÍN Y MARÍA MACIAS

TEMA 6 ESTADISTICAS. DAVID MARÍN Y MARÍA MACIAS.
1. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Se dice que una variable aleatoria es discreta si toma un numero finito o a lo más numerable
de valores:
En este caso la ley de la variable aleatoria
los valores posibles de
es la ley de probabilidad sobre el conjunto de
que asocia la probabilidad
al singleton
.
2. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE DISCRETA
Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor.
Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función:
F(x) = p(X ≤ x)
La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad
acumulada hasta ese valor.
3.PARAMETROS DISTRIBUCIONES DISCRETAS: MEDIA Y VARIANZA
MEDIA
La media llamada también valor esperado, esperanza matemática o simplemente esperanza de
una distribución de probabilidad discreta es la media aritmética ponderada de todos los
resultados posibles en los cuales los pesos son las probabilidades respectivas de tales
resultados. Se halla multiplicando cada resultado posible por su probabilidad y sumando los
resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula:
VARIANZA
La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media.
La varianza mide la dispersión de los resultados alrededor de la media y se halla
calculando las diferencias entre cada uno de los resultados y su media, luego tales
diferencias se elevan al cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades,
y finalmente se suman los resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula:
4. variable aleatoria continua. funcion de densidad.
La función que caracteriza las variables continuas es aquella función f positiva e integrable en
los reales, tal que acumulada desde −∞ hasta un punto x, nos proporciona el valor de la
función de distribución en x, F(x). Recibe el nombre de función de densidad de la variable
aleatoria continua.
Las funciones de densidad discreta y continua tienen, por tanto, un significado análogo, ambas
son las funciones que acumuladas (en forma de sumatorio en el caso discreto o en forma de
integral en el caso continuo) dan como resultado la función de distribución.
La diferencia entre ambas, sin embargo, es notable.

La función de densidad discreta toma valores positivos únicamente en los puntos del
recorrido y se interpreta como la probabilidad de la que la variable tome ese valor f(x)
= P(X = x).

La función de densidad continua toma valores en el conjunto de números reales y no
se interpreta como una probabilidad. No está acotada por 1, puede tomar cualquier
valor positivo. Es más, en una variable continua se cumple que probabilidades
definidas sobre puntos concretos siempre son nulas.
5.DISTIBUCION NORMAL
La Normal es la distribución de probabilidad más importante. Multitud de variables aleatorias
continuas siguen una distribución normal o aproximadamente normal. Una de sus
características más importantes es que casi cualquier distribución de probabilidad, tanto
discreta como continua, se puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones. La
distribución de probabilidad normal y la curva normal que la representa, tienen las siguientes
características:
• La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución. De
esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se
localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto
central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.
• La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media.
• La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es
asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás llega a
tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas
direcciones.
6.TIPIFICACIÓN DE UNA VARIABLE
Si tenemos una distribución normal
, llamamos tipificar la variable al proceso de
convertirla en una Normal Estándar
tablas.
, lo cual nos permitirá poder consultarla en las
Si
entonces
Veamos cómo se aplica en la práctica.
Enunciado: Sabemos que
sigue una distribución normal de media 20 y desviación típica 4.
Calcula
Solución:
Sabemos que
Nos piden
Tipificamos:
Como
sigue una
Por tanto el resultado es
, podemos mirarlo en las tablas