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TEMA 6 ESTADISTICAS. DAVID MARÍN Y MARÍA MACIAS. 1. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Se dice que una variable aleatoria es discreta si toma un numero finito o a lo más numerable de valores: En este caso la ley de la variable aleatoria los valores posibles de es la ley de probabilidad sobre el conjunto de que asocia la probabilidad al singleton . 2. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE DISCRETA Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función: F(x) = p(X ≤ x) La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor. 3.PARAMETROS DISTRIBUCIONES DISCRETAS: MEDIA Y VARIANZA MEDIA La media llamada también valor esperado, esperanza matemática o simplemente esperanza de una distribución de probabilidad discreta es la media aritmética ponderada de todos los resultados posibles en los cuales los pesos son las probabilidades respectivas de tales resultados. Se halla multiplicando cada resultado posible por su probabilidad y sumando los resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula: VARIANZA La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media. La varianza mide la dispersión de los resultados alrededor de la media y se halla calculando las diferencias entre cada uno de los resultados y su media, luego tales diferencias se elevan al cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades, y finalmente se suman los resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula: 4. variable aleatoria continua. funcion de densidad. La función que caracteriza las variables continuas es aquella función f positiva e integrable en los reales, tal que acumulada desde −∞ hasta un punto x, nos proporciona el valor de la función de distribución en x, F(x). Recibe el nombre de función de densidad de la variable aleatoria continua. Las funciones de densidad discreta y continua tienen, por tanto, un significado análogo, ambas son las funciones que acumuladas (en forma de sumatorio en el caso discreto o en forma de integral en el caso continuo) dan como resultado la función de distribución. La diferencia entre ambas, sin embargo, es notable. La función de densidad discreta toma valores positivos únicamente en los puntos del recorrido y se interpreta como la probabilidad de la que la variable tome ese valor f(x) = P(X = x). La función de densidad continua toma valores en el conjunto de números reales y no se interpreta como una probabilidad. No está acotada por 1, puede tomar cualquier valor positivo. Es más, en una variable continua se cumple que probabilidades definidas sobre puntos concretos siempre son nulas. 5.DISTIBUCION NORMAL La Normal es la distribución de probabilidad más importante. Multitud de variables aleatorias continuas siguen una distribución normal o aproximadamente normal. Una de sus características más importantes es que casi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones. La distribución de probabilidad normal y la curva normal que la representa, tienen las siguientes características: • La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto. • La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media. • La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones. 6.TIPIFICACIÓN DE UNA VARIABLE Si tenemos una distribución normal , llamamos tipificar la variable al proceso de convertirla en una Normal Estándar tablas. , lo cual nos permitirá poder consultarla en las Si entonces Veamos cómo se aplica en la práctica. Enunciado: Sabemos que sigue una distribución normal de media 20 y desviación típica 4. Calcula Solución: Sabemos que Nos piden Tipificamos: Como sigue una Por tanto el resultado es , podemos mirarlo en las tablas