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Teorema de Euclides
El teorema de Euclides sobre la infinitud de los números primos es el
siguiente:
El conjunto formado por los números primos es infinito. Euclides (~325 265 a.C
Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, se
verifica:
1°) Los triángulos rectángulos resultantes son semejantes entre sí y semejantes al
triángulo dado.
2°) La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los
segmentos que divide a ésta.
3°) La altura correspondiente a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la
hipotenusa y los catetos.
4°) Cada cateto es medio proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
Demostración de Euclides
Euclides formuló la primera demostración en la proposición 20 del libro IX
de su obra Elementos.1 Una adaptación común de esta demostración
original sigue así:
Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, ···, pn,
y se considera el producto de todos ellos más uno, q=p1p2 ··· pn+1. Este
número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la
lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un
número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es
compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que
p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q-p1p2
··· pn=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un
absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es
que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números
primos que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito
que se tome.
Existen numerosas demostraciones parecidas a ésta, que se formulan a
continuación
Demostración de Stieltjes
Supóngase que existe un número finito de números primos. Sea Q el
producto de todos los números primos, y sean m y n dos enteros positivos
con Q = mn.
Se tiene que todo número primo p divide, o bien a m, o bien a n, pero no a
ambos, es decir, m y n son primos entre sí. Entonces m+n no puede tener
ningún divisor primo, pero como es estrictamente mayor que 1, debe ser un
número primo que no divide a Q: contradicción.
[editar] Demostración de Goldbach (1730)
Esta demostración se basa en los números de Fermat, es decir, los números
de la forma :
.
Lema: Dos números de Fermat distintos Fm y Fn son primos entre sí.
(Goldbach, 1730)
Para cada número de Fermat Fn, escójase un divisor primo pn. Como los
números de Fermat son primos entre sí, sabemos que dos primos
cualesquiera pm y pn son distintos. Así, hay al menos un número primo pn
por cada número de Fermat Fn, es decir, al menos un número primo por
cada número entero n.
Esta demostración también es válida si se toma otra secuencia infinita de
números naturales que son primos entre sí, como la secuencia de Sylvester