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Colegio de Huérfanos de la Armada
Cálculo de la
Gravedad en el
CHA
Física
Camino García Moreno
Javier Martínez Salazar
Juan Hermida Benítez
Juan A. Rodríguez Palomar
Ramón Molero Quesada
2012
Introducción
La gravedad es un fenómeno, y la fuerza de gravedad significa la fuerza con la cual la
Tierra atrae a un cuerpo, conocida también como peso del cuerpo: La letra g representa
la aceleración producida por la fuerza resultante del fenómeno de la gravedad.
Dicha fuerza no es privativa de nuestro planeta, sino que es la fuerza de atracción mutua
que se ejerce entre dos masas cualesquiera en todo el
Universo. Newton fue quien determinó la ley de la gravitación
universal, según la cual la fuerza con la que se atraen dos
2
masas es directamente proporcional al producto de sus masas
e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
las separa.
F G
Mm
d
La gravitación actúa en los alrededores de una masa mediante un campo de fuerzas o
campo gravitatorio. La Tierra atrae, como cuerpo más pesado, a cualquier otro cuerpo.
La aceleración de la gravedad disminuye al aumentar la distancia al centro de la Tierra.
Es decir, la aceleración debe ser menor al aumentar la altura. La Tierra no es una esfera
perfecta, sino un esferoide, ligeramente aplastado en los polos. Por tanto, la distancia
desde el nivel del mar al centro de la Tierra disminuye ligeramente cuando marchamos
desde el ecuador hacia los polos, y g al nivel del mar debe crecer al aumentar la latitud
norte
o
sur.
Por su parte, los depósitos de minerales, petróleo u otras sustancias cuya densidad es
mayor o menor que la densidad media de la Tierra producen variaciones locales de g si
comparamos
puntos
de
la
misma
latitud
y
altura.
A causa de la disminución de g con la altura, es sólo aproximadamente cierto que los
cuerpos caen hacia la Tierra con aceleración constante: En realidad, la aceleración
aumenta continuamente cuando el cuerpo se aproxima a la Tierra, si despreciamos la
resistencia del aire. Sin embargo en la mayor parte de los problemas pueden
despreciarse estas variaciones.
Combinando la Ley de Gravitación con la Ley de Newton (F = m a), podemos deducir
cuál será la aceleración con que se mueve un cuerpo situado en la superficie de un
planeta sometido a la acción de la fuerza gravitatoria:
M m

F  m a ;; F  G
2
d

Mm
ma G
d2
;
 
M
a  g G 2
d
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¿De qué depende la fuerza de la gravedad en la Tierra?
La fuerza de la gravedad de la tierra varía con latitud, altitud, y
local topografía y geología. Para la mayoría de los propósitos
la fuerza gravitacional se asume para actuar en una línea
directamente hacia un punto en el centro de la tierra, pero para
el trabajo muy exacto la dirección puede también variar
levemente porque la tierra no es una esfera perfectamente
uniforme.
Latitud
La gravedad es más débil en latitudes más bajas (más cerca el ecuador), por dos
razones. La primera es que al igual que el caso en la superficie de la tierra, el vector de
la velocidad de un objeto será perpendicular al eje de la rotación. La fuerza
gravitacional en un cuerpo es compensada parcialmente por esta fuerza que resulta
(conocida como la pseudo-fuerza fuerza centrífuga), reduciendo su peso. Este efecto es
el más pequeño en los postes, donde están la fuerza gravitacional y la fuerza centrífuga
ortogonal, y el más grande en el ecuador. Este efecto sobre sus el propio daría lugar a
una gama de valores de g a partir de 9.789 m/s2 en el ecuador a 9.832 m/s2 en los polos.
La segunda razón es que la tierra presenta una protuberancia ecuatorial ( también
causada por la fuerza centrífuga) hace objetos en el ecuador ser más lejanos del centro
del planeta que objetos en los ejes. Porque la fuerza causada por la atracción
gravitacional entre dos cuerpos (la tierra y el objeto que son pesados) varía inverso con
el cuadrado de la distancia entre ellos, los objetos en el ecuador experimentan una
gravitación más débil que objetos en los ejes.
En la combinación, el bombeo ecuatorial y los efectos del medio de la fuerza centrífuga
que la aceleración gravitacional del nivel del mar aumenta de cerca de 9.780 m/s2 en el
ecuador a cerca de 9.832 m/s2 en los polos, así que un objeto pesará cerca de 0.5% más
en los polos que en el ecuador.
Altitud
La gravedad disminuye con altitud, puesto que la mayor altitud significa mayor
distancia del centro de la tierra. En igualdad de circunstancias, un aumento en altitud del
nivel del mar a la tapa de Monte Everest (8.850 metros) causa una disminución del
peso de cerca de 0.28%. (Un factor adicional que afecta el peso evidente es la
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disminución de la densidad del aire en la altitud, que disminuye la flotabilidad de un
objeto.) Es una idea falsa común que los astronautas en órbita son ingrávidos porque
han volado arriba bastante al “escape” la gravedad de la tierra. De hecho, en una altitud
de 400 kilómetros (250 millas), equivalente a una órbita típica del Lanzadera de
espacio, la gravedad sigue siendo el casi 90% tan fuerte como en la superficie de la
tierra, y la ingravidez ocurre realmente porque los objetos en órbita están en caída libre.
Si la tierra estuviera de composición perfectamente uniforme, durante una pendiente al
centro de la tierra, la gravedad disminuiría lineal con la distancia, alcanzando cero en el
centro. En realidad, el campo gravitacional enarbola dentro de la tierra en base-capa
límite donde tiene un valor de 10,7 m/s2, debido al aumento marcado en densidad en
ese límite.
Topografía y geología locales
Variaciones locales en topografía (por ejemplo la presencia de montañas) y geología
(por ejemplo la densidad de rocas) debido a las fluctuaciones en el campo gravitacional
de la tierra, conocido como anomalías gravitacionales. Algunas de estas anomalías
pueden ser muy extensas, dando por resultado bombeos adentro nivel del mar.
Otros factores
En aire, los objetos experimentan una fuerza rozamiento que reduce la fuerza evidente
de la gravedad (según lo medido por el peso de un objeto). La magnitud del efecto
depende de la densidad del aire (y por lo tanto de la presión de aire). Los efectos
gravitacionales de la Luna y Sol (también la causa de mareas) tienen un efecto muy
pequeño en la fuerza evidente de la gravedad de la tierra, dependiendo de sus posiciones
relativas; las variaciones típicas son el ² de 2 µm/s (0.2 mGal) sobre el curso de un día.
Gravedades comparativas en varía ciudades alrededor del mundo
La tabla abajo demuestra la aceleración gravitacional en varias ciudades alrededor del
mundo; entre estas ciudades, es el más bajo de Ciudad de México (² de 9.779 m/s) y el
más alto de Oslo y de Helsinki (² de 9.819 m/s).
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Rango de valores
Ámsterdam
9.813 m/s² Estambul
9.808 m/s² París
9.809
m/s²
Atenas
9.807 m/s² La Habana
9.788 m/s² Río de Janeiro
9.788
m/s²
Auckland, NZ
9.799 m/s² Helsinki
9.819 m/s² Roma
9.803
m/s²
Bangkok
9.783 m/s² Kuwait
9.793 m/s² San Francisco
9.800
m/s²
9.801 m/s² Singapur
9.781
m/s²
Bruselas
9.811
m/s²
Lisboa
9.812
m/s²
Estocolmo
9.818
m/s²
Buenos Aires
9.797 m/s² Londres
Calcutta
9.788 m/s² Los Ángeles
9.796 m/s² Sydney
9.797
m/s²
Ciudad del
Cabo
9.796 m/s² Madrid
9.800 m/s² Taipei
9.790
m/s²
Chicago
9.803 m/s² Manila
9.784 m/s² Tokio
9.798
m/s²
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Ciudad de
México
Copenhague
9.815 m/s²
9.779 m/s² Vancouver, A.C.
Nicosia
9.797 m/s² Nueva York
9.802 m/s²
Jakarta
9.781 m/s² Oslo
9.819 m/s² Wellington, NZ
Francfort
9.810 m/s² Ottawa
9.806 m/s² Zurich
Washington,
C.C.
9.809
m/s²
9.801
m/s²
9.803 m/²
9.807
m/s²
Ley de Newton: referencias históricas:
Isaac Newton
Isaac Newton (1642-1727) fue un científico y matemático inglés. En su libro Principia
Mathematica recopiló los hallazgos de Galileo en tres leyes del movimiento.
* La primera enuncia el principio de inercia: un cuerpo en reposo permanece en
reposo y un cuerpo en movimiento permanece en movimiento y a una velocidad
constante siempre que no intervengan fuerzas externas.
* La segunda define una fuerza en función de su masa y de su aceleración, y esto
constituye la primera distinción clara entre la masa de un cuerpo (representada por su
resistencia a la aceleración; con otras palabras: la cantidad de inercia que poseía) y su
peso (representado por la cantidad de fuerza gravitatoria que existe entre el mismo y
otro cuerpo, que generalmente era la Tierra).
* La tercera ley establece que para cada acción existe una reacción igual y de sentido
contrario. Dicha ley está hoy de actualidad, ya que rige el comportamiento de los
cohetes.
Aristóteles
Aristóteles: El filósofo Aristóteles al analizar las relaciones entre las fuerzas y el
movimiento, creía que un cuerpo solo podría mantenerse en movimiento cuando
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existiera una fuerza que actuase sobre él continuamente. De este modo que si un cuerpo
estuviera en reposo y sin ninguna fuerza que actuara sobre él, permanecería en reposo,
cuando una fuerza se ejerciera sobre el cuerpo se pondría en movimiento solo entonces,
pero al cesar la acción, el cuerpo volvería al reposo. Estas afirmaciones parecerían
correctas a primera vista, pues en nuestra vida diaria observamos que los objetos en
general solo se encuentran en movimiento cuando están siendo jalados o empujados.
Durante toda la edad media las ideas de Aristóteles fueron aceptadas sin que se les
hiciera un minucioso análisis. Las críticas a estas teorías de Aristóteles solo surgieron
en el momento en que Galileo, otro importante pensador, propuso, dentro del siglo
XVII, ideas más acertadas de lo que hoy conocemos como la fuerza y sus principios.
Galileo
Galileo: Con la introducción del método científico experimental el estudio de los
fenómenos físicos Galileo realizó una serie de experimentos que lo llevaron a
conclusiones más acertadas que las del mismo Aristóteles.
Estando en reposo una esfera sobre una superficie horizontal, Galileo observo que al
empujarla con cierta fuerza se ponía en movimiento, por otra parte, y a diferencia de
Aristóteles, observó que la esfera seguía moviéndose y recorriendo cierta distancia aún
después que dejaba de empujarla. Así Galileo comprobó que un cuerpo podía estar en
movimiento sin la acción permanente de una fuerza constante o que la empujara.
Cuando repitió el experimento usando una superficie horizontal más lisa observó que el
cuerpo luego de cesar la acción de fuerza, recorría una distancia mayor que el
experimento anterior. Basándose en una serie de experimentos semejantes, Galileo
concluyó; que un cuerpo se detenía después de haber dejado de impulsarlo por el efecto
de la fricción entre la superficie y el cuerpo la cual siempre actúa para retardar y detener
su movimiento de modo que si fuese posible eliminar totalmente la fricción el cuerpo
continuaría moviéndose en forma indefinida, esto es lo que se llama Movimiento
Rectilíneo Uniforme.
¿Cómo calcular la gravedad?
Utilizando la ecuación del período del péndulo y, usando un péndulo, vamos a
hallar el valor de la gravedad. Sabiendo que el periodo es:
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𝒍
𝑻 = 𝟐𝝅 √
𝒈
Ahora, para calcular el valor de g, despejamos en la fórmula del período del
péndulo y la hallamos a partir de:
𝑔=
4𝜋 2 𝑙
𝑇2
Para calcular la gravedad sabiendo la latitud y la altura usamos esta formula:
𝑔=𝐺
𝑀
− 𝜔2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑
(𝑅 + ℎ)2
Donde:
𝜑 = es la latitud
h = la altura
𝜔 = la velocidad angular de la tierra.
Aquí aparece una dependencia de phi debido al movimiento de rotación de la tierra.
Pero si suponemos que la tierra no se mueve, la dependencia que posee g de phi, se debe
a que la tierra no es una esfera. Así que esta dependencia se puede hallar si consideras
como es el "radio" de la tierra en función de phi.
𝑀
𝑅 + ℎ + (𝑎 𝑠𝑒𝑛2 𝜑)
Siendo:
𝑔=𝐺
R = radio ecuatorial
h = altura
a = achatamiento (diferencia de radio polar y ecuatorial sobre radio ecuatorial)
ф = latitud
DOSIER: ARTÍCULO TENDENCIAS TECNOLÓGICAS
Ya se puede medir la gravedad exacta de cualquier lugar del
mundo desde casa.
Ahora ya es más fácil conseguir que un kilo de azúcar pese lo mismo en Berlín que en
Madrid así se comunicaba en un artículo publicado por Vanessa Marsh
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El PTB (Instituto de Metrología de Alemania) ha desarrollado un novedoso
sistema que, desde una página web, permite a científicos e investigadores conocer
la aceleración gravitacional local en cualquier punto del globo. El sistema,
bautizado como SIS (Schwere-Informationssystem), proporciona una cifra de
aceleración gravitacional local con seis decimales, información crucial para
regular correctamente los instrumentos de medición en función del lugar en el que
vayan a ser usados. Ahora ya es más fácil conseguir que un kilo de azúcar pese lo
mismo en Berlín que en Madrid
El Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB, Instituto de Metrología de Alemania,
ha desarrollado un novedoso sistema de información sobre gravedad (el SchwereInformationssystem o SIS, disponible en Internet para todo tipo de usuarios (desde
industriales e investigadores a público privado), que proporciona la aceleración
gravitacional local de cualquier parte del mundo, informa IDW.
Su importancia radica en un hecho comprobado: un kilo de azúcar no pesa lo mismo en
Berlín que en Madrid porque en ambas capitales la aceleración gravitacional es
diferente, ya que depende de las coordenadas geográficas. Para calibrar adecuadamente
una balanza, es preciso por tanto conocer la zona geográfica de utilización.
La aceleración gravitacional es un término que se refiere a la alteración de la velocidad
de un cuerpo debido a la acción sobre él de la fuerza de la gravedad. El valor de esta
aceleración se determina por los valores de la masa del cuerpo (de la Tierra en este
caso); la distancia hasta el cuerpo que origina la fuerza de gravedad (es decir, hasta la
Tierra) y una constante de gravitación universal, “G” cuyo valor es muy pequeño, de
6.67x10-11 Nm2/kg2.
Mayor precisión
Tal y como explica el PTB, numerosas aplicaciones de la física mecánica dependen
directa o indirectamente de la influencia del campo gravitatorio terrestre, por lo que la
aceleración gravitacional no es exactamente igual en todos los puntos del globo.
Aunque en general se defina como 9.80665 m/s2, este valor estándar de la
gravedad corresponde a un punto ubicado justo sobre el nivel del mar y con una latitud
de 45°. La aceleración gravitacional varía dependiendo de la latitud y la elevación
debido a la forma y rotación de la tierra. La aceleración de la gravedad en los polos es
por tanto aproximadamente 9.83 m/s2 y en el ecuador, también aproximadamente, 9.78
m/s2.
Para precisar estas diferencias, el sistema SIS calcula la gravedad local en cualquier
punto del planeta, con gran exactitud, en función de coordenadas geográficas (latitud,
longitud y altitud). Esta información resulta crucial para regular correctamente los
instrumentos de medición, puesto que condiciones como la cercanía a los polos (la
gravitación es más fuerte donde la tierra se aplana) o la altitud (a mayor altura, menor
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gravedad) resultan de gran importancia para regular correctamente los instrumentos de
medición en función del lugar en el que vayan a ser utilizados.
Basado en algoritmos
El sistema SIS proporciona una cifra de aceleración gravitacional local con seis
decimales (así, en Berlín es de 9,812669 m/s2, mientras que en Barcelona es de
exactamente 9,803057). A modo de ejemplo, la web de proyecto facilita un listado de
las diferencias de cifras de aceleración gravitacional en 50 ciudades europeas distintas.
La información sobre el campo gravitacional en un lugar concreto viene delimitada por
la distribución heterogénea de las masas interiores y de la topografía terrestres.
El sistema SIS permite realizar los cálculos gracias a un algoritmo basado en un modelo
matemático, a partir de la latitud y la altura sobre el nivel del mar. Asimismo, los
científicos han desarrollado procedimientos numéricos basados en modelos geodésicos
de campos de gravedad.
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