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VICERRECTORADO ACADÉMICO
DIRECCIÓN DE GESTIÓN, DESARROLLO E INNOVACIÓN CURRICULAR
FACULTAD: INGENIERÍA
ESCUELAS: COMPUTACIÓN Y SISTEMAS
UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO DIFERENCIAL
FECHA DE REVISIÓN: OCTUBRE, 2013
CÁLCULO DIFERENCIAL
CODIGO
HORAS TEÓRICAS
HORAS PRÁCTICAS
UNIDADES DE CRÉDITO
SEMESTRE
PRE REQUISITO
212154
222154
03
02
04
II
MATEMÁTICA
GENERAL
ELABORADO POR
REVISADO POR
APROBADO POR
Ing. Waldo Urribarrí Ing.
Inés K. Sánchez O., MSc, MGS
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UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO DIFERENCIAL
FECHA DE REVISIÓN: OCTUBRE, 2013
JUSTIFICACIÓN
El Cálculo Diferencial es una herramienta muy poderosa y eficaz para estudiar diversos fenómenos. Sus conceptos básicos se utilizan y tienen aplicaciones en muchos
campos y ramas del conocimiento, en los que las razones de cambio permiten la descripción de fenómenos variacionales. Por lo tanto es indispensable que el estudiante
desarrolle competencias en el manejo y aplicación de los conceptos del cálculo de una variable. La comprensión de los modelos generales para la variación y la destreza
en hacer cómputos usando las herramientas del cálculo diferencial, le facilitarán a los estudiantes abordar los problemas de su área de formación específica e integra el
pensamiento analítico con el comportamiento real de los sistemas físicos.
El cálculo diferencial parte de la búsqueda de la tangente a una curva en un punto, lo que implica que estos resultados permiten aproximar funciones para sus rectas
tangentes localmente, pudiéndose estudiarse así el problema con más comodidad. Este espacio de análisis y reflexión, se emplea en matemática, en teorías de curvas,
superficies, teorías de funciones, y a través de estos campos en los problemas físicos, técnicos y tecnológicos, además se cimientan las bases de los futuros cálculos a los
que deben enfrentarse los estudiantes en su vida universitaria; organizando el conocimiento matemático, retomando algunos conceptos básicos y fundamentales de la
matemática, que se han estructurado, atendiendo a los aspectos propuestos en el plan de estudio de las carreras de Computación y Sistemas.
El presente programa está estructurado en cuatro unidades:
UNIDAD I :
UNIDAD II :
UNIDAD III:
UNIDAD IV:
“LÍMITES Y CONTINUIDAD”
“DERIVADA Y RAZÓN DE CAMBIO”
“ LÍMITES Y ASÍNTOTAS”
“TRAZADO DE CURVAS Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS”
OBJETIVOS GENERALES
Conceptual
Procedimental
Actitudinal
 Analizar las bases conceptuales que sustentan el cálculo diferencial como razón de cambio de variables para la explicación y solución científica
de fenómenos y problemas de optimización en las diferentes áreas del conocimiento.
 Aplicar el concepto de la derivada en los diferentes problemas asociados a fenómenos naturales inclusive los de optimización, utilizando los
teoremas de derivadas inmediatas y la definición analítica sobre la base de los límites comprobando la relación entre la derivabilidad y la
continuidad de los modelos matemáticos, como mecanismo de resolución eficaz de problemas.
 Interiorizar la importancia del cálculo diferencial en la solución de problemas propios de las áreas de conocimiento en las carreras de
Computación y Sistemas que involucren la razón de cambio de variables.
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UNIDAD I: LÍMITES Y CONTINUIDAD
OBJETIVO TERMINAL: INTERPRETAR LA DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Y LA CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES COMO BASE PARA EL ESTUDIO
DE LA DERIVADA, PERMITIENDO LA IDENTIFICACION DE SITUACIONES DE LA VIDA COTIDIANA DEL ÁMBITO DE LA INGENIERÍA, ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO,
NATURAL Y SOCIAL QUE SE PUEDAN REPRESENTAR POR MEDIO DE UNA FUNCIÓN CONTINUA.
OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
1.1. Interpretar el concepto de límite
para asociarlo como el valor
aproximado de un modelo
matemático (función)
1.


1.2. Aplicar la definición y los
teoremas en el cálculo de
límites algebraicos y
trigonométricos, mediante las
propiedades de los números
reales y ajustándolos a
situaciones cotidianas.
1.3. Aplicar la definición de límites
infinitos, para determinar las
asíntotas verticales y
horizontales que limitan el
trazado de una función,
permitiendo asociarlas al
comportamiento de fenómenos.
ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
DEFINICIÓN LIMITE Y SUS  Planteamientos de
PROPIEDADES
interrogantes
Definición geométrica y analítica
de límite.
 Exposición Demostrativa
Teorema de la existencia del
 Discusión dirigida
límite
Límites laterales
 Ejercicios de Aplicación
Propiedades y teoremas sobre
los límites algebraicos (suma,
diferencia, producto, división,
raíz,
potencia,
constante,
exponenciales).
Propiedades y teoremas sobre
límites trigonométricos (funciones
trigonométricas e inversas)
Límites infinitos
Asíntotas
verticales
y
horizontales
CONTENIDO





RECURSOS
INSTRUCCIONALES
 Pizarra acrílica
ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
 Participación activa
 Marcadores
 Resolución de
 Guía de estudio
%
5%
ejercicios
 Material bibliográfico
 Taller
 Medios audiovisuales
 Pruebas escritas
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OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
2.1. Definir las estrategias de
2. LÍMITES INDETERMINADOS
solución de límites
 Límites indeterminados de
indeterminados, que permita
conocer el comportamiento de
una función en un punto.
2.2. Aplicar las estrategias de
solución de límites
CONTENIDO
forma 0/0, ∞/∞,
 Límites
ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
 Planteamientos de
la

indeterminados
interrogantes
 Exposición Demostrativa
de  Discusión dirigida
funciones
trigonométricas,  Ejercicios de Aplicación
exponenciales y logarítmicas.
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
%
 Pizarra acrílica
 Participación activa
5%
 Marcadores
 Resolución de
 Guía de estudio
ejercicios
 Material bibliográfico
 Taller
 Medios audiovisuales
 Pruebas escritas
 Definición de continuidad en un
intervalo cerrado
indeterminados de las
diferentes funciones, a fin de
determinar el comportamiento
del modelo.
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OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
3.1. Definir la continuidad de
funciones en un punto y en un
intervalo abierto, asociándolo al
lenguaje cotidiano como
proceso continuo que tiene
lugar gradualmente, sin pasar
por los intermedios.
3.2. Identificar las propiedades que
rigen matemáticamente el
concepto de continuidad para
lograr la operación entre las
funciones.
3.3. Determinar la continuidad o
discontinuidad de una función
como herramienta que permite
determinar si el modelo
contextualizado (la función)
representa la continuidad del
fenómeno estudiado.
CONTENIDO
3. CONTINUIDAD DE FUNCIONES
 Definición de la continuidad de una
función en un punto.
 Definición de la continuidad de una
función en un intervalo abierto.
 Propiedades de la continuidad
 Tipos de discontinuidad: esencial y
removible
 Teorema del valor intermedio
ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
 Planteamiento de
interrogantes
 Exposición Demostrativa
 Ejercicios de Aplicación
 Trazado de gráficas
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
 Pizarra acrílica

Participación Activa
 Marcadores

Resolución de
10%
Ejercicios
 Guía de estudio
 Material bibliográfico
%

 Medios audiovisuales 

Talleres
Pruebas escritas
Actividades
programadas
conforme a las
indicaciones dadas.
3.4. Aplicar el teorema del valor
intermedio y asociarlo, en
términos geométricos, al cálculo
de las raíces de una ecuación.
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UNIDAD II: DERIVADA Y RAZÓN DE CAMBIO
OBJETIVO TERMINAL: APLICAR LA DEFINICIÓN Y TEOREMAS DE DERIVACIÓN EN LA BÚSQUEDA DE SOLUCIONES EFICACES ANTE PROBLEMAS DE
DIFERENTES ÁREAS DE CONOCIMIENTO MOSTRADOS A TRAVÉS DE SUS DIFERENTES MODELOS MATEMÁTICOS.
OBJETIVOS
ESPECIFICOS
1.1. Analizar cualitativa y
cuantitativamente
el
concepto de la derivada
como razón de cambio, a
partir de situaciones de
cambio de la vida diaria.
1.2. Definir la derivada a
partir de argumentos
geométricos, lo que
permitirá dar soluciones
a problemas del contexto
real.
1.3. Definir los teoremas de
derivación de funciones
elementales, a objeto de
ser utilizados en el
cálculo de la rectan
tangentes en un punto o
en otras aplicaciones
cotidianas.
1.4. Determinar la derivada
en situaciones de la vida
cotidiana, mediante la
definición y los teoremas
de derivación.
ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
DEFINICIÓN Y TEOREMAS DE  Planteamiento de
DERIVACIÓN
interrogantes
Definición de la derivada como
razón de cambio
Definición de la derivada como  Exposición Demostrativa
pendiente de la recta tangente.
Teoremas de derivación de  Ejercicios de Aplicación
funciones elementales: Función
Constante, Lineal, Potencia
(positivas,
negativas
y
fraccionarias), Suma algebraica,
Producto,
Cociente,
Trigonométricas (Seno, Coseno,
Tangente),
Trigonométricas
recíprocas (Secante, Cosecante
y Cotangente)
Velocidades de cambio de dos o
más variables relacionadas que
varían con respecto al tiempo,
rapidez con que cambia la
inflación y las tasas de interés,
Ángulos de elevación, sombra en
movimiento, movimiento de un
proyectil, movimiento vertical y
horizontal, velocidad lineal y
angular
CONTENIDO
1.




RECURSOS
INSTRUCCIONALES
 Pizarra acrílica

ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
Participación Activa
 Marcadores

Resolución de Ejercicios
 Guía de estudio

Talleres
 Material bibliográfico

Pruebas Prácticas
%
 Medios audiovisuales
5%
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OBJETIVOS
ESPECIFICOS
2.1. Reconocer las funciones
compuestas como modelos
matemáticos ajustados a
diversos fenómenos
sociales y de ingeniería.
2.2. Definir la Regla de la cadena
para funciones compuestas,
que conlleve a la obtención
de su derivada.
2.3 Distinguir entre funciones
explicitas implícitas
2.4. Determinar la derivada de
funciones compuestas e
implícitas mediante la Regla
de la cadena, para resolver
problemas de razón de
cambio.
3.1 Definir derivadas de orden
superior aplicándolas a
diferentes disciplinas.
3.2 Calcular derivadas de orden
superior, aplicándolas a
diferentes disciplinas.
CONTENIDO
2. DERIVADA DE FUNCIONES
COMPUESTAS E IMPLÍCITAS
 Definición de funciones
compuestas.
 Definición de la regla de la cadena.
 Definición de funciones explicitas e
implícitas.
 Definición de derivación implícita.
 Derivación de funciones implícitas
y compuestas: aplicación de la
regla general de las potencias,
funciones radicales, cocientes de
funciones, cocientes con
numeradores constantes, funciones
trigonométrica.
ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
 Planteamiento de
interrogantes
 Exposición Demostrativa
 Ejercicios de Aplicación
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
 Pizarra acrílica

ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
Participación Activa
 Marcadores

Resolución de
%
Ejercicios
 Guía de estudio
 Material bibliográfico

 Medios audiovisuales
.
Talleres
 Trazado de gráficas
10%
3. DERIVADA DE ORDEN N
 Planteamiento de
 Definición de derivadas de orden
interrogantes
superior.
 Aplicaciones de las derivadas de  Exposición Demostrativa
orden superior
 Ejercicios de Aplicación





Pizarra acrílica
Marcadores
Guía de estudio
Material bibliográfico
Medios audiovisuales




Participación Activa
Resolución de
Ejercicios
Talleres
Pruebas escritas
5%
 Trazado de gráficas
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UNIDAD III: LÍMITES Y ASÍNTOTAS
OBJETIVO TERMINAL: APLICAR LA DERIVADA A PARTIR DE SITUACIONES COTIDIANAS Y SU REPRESENTACIÓN A TRAVÉS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS
BIEN SEAN DE TIPO FINANCIERO, ECONÓMICO, QUÍMICO, ECOLÓGICO, FÍSICO, GEOMÉTRICO U OTRO, EN LA OBTENCIÓN DE LA RAZÓN DE CAMBIO COMO
HERRAMIENTA PARA SU VALORACIÓN EN LOS PROCESOS DE OPTIMIZACIÓN, FOMENTANDO EL MANEJO ADECUADO DE LOS RECURSOS.
OBJETIVOS
ESPECIFICOS
1.1. Definir el teorema del valor
medio reforzando la compresión
de la necesidad de restricción la
función del denominador.
1.2. Definir la regla de L´Hopital para
funciones derivables excepto en
un valor específico de x.
1.3
2.3
1.



REGLA DE L'HOPITAL.
Teorema del valor medio
La regla de L´Hopital
La regla de L´Hopital y limites
indeterminados de la forma 0/0,
∞/∞,   
 Aplicaciones
ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
 Planteamiento de
interrogantes
 Exposición Demostrativa
 Ejercicios de Aplicación
RECURSOS
INSTRUCCIONALES
 Pizarra acrílica
 Marcadores
 Guía de estudio
 Material bibliográfico
 Medios audiovisuales




ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
Participación Activa
Resolución de
Ejercicios
Talleres
Pruebas escritas
%
5
 Trazado de gráficas
Evaluar límites indeterminados,
aplicando la regla de L´Hopital y
los teoremas de derivación de
las funciones para aproximar el
valor de la función, a partir de
situaciones contextualizadas.
2.1. Definir límites al infinito, bien
sea de forma creciente o
decreciente.
2.2
CONTENIDO
Determinar límites al infinito o
cuando la variable se aproxima
a un número real muy grande o
muy pequeño.
Analizar el comportamiento
asintótico de una función
(modelo matemático real) en un
intervalo infinito entre rectas.
2. LÍMITES AL INFINITO
 Definición de límites al infinito
 Definición del limite de f(x)
cuando x crece o decrece sin
límites
 Asíntotas Horizontales
 Asíntotas Oblicuas
 Planteamiento de
interrogantes
 Exposición Demostrativa
 Ejercicios de Aplicación





Pizarra acrílica
Marcadores
Guía de estudio
Material bibliográfico
Medios audiovisuales




Participación Activa
Resolución de
Ejercicios
Talleres
Pruebas escritas
5
 Trazado de gráficas
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UNIDAD IV: TRAZADO DE CURVAS Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS
OBJETIVO TERMINAL: APLICAR LA DERIVADA COMO HERRAMIENTA DEL TRAZADO DE MODELOS MATEMÁTICOS, PRECISANDO SUS PUNTOS MÁXIMO Y
MÍNIMOS, PARA LA DETERMINACION DE LA OPTIMIZACIÓN DE PROCESO DE LA VIDA DIARIA.
OBJETIVOS
ESPECIFICOS
1.1. Determinar los extremos
relativos (máximos y mínimos)
en un intervalo cerrado de una
función mediante la aplicación
de la derivada.
1.2. Aplicar el teorema de Rolle y del
valor medio en la determinación
de los extremos en un intervalo
cerrado de una función.
1.3. Determinar los intervalos sobre
los cuales una función es
creciente y decreciente.
ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
1. TRAZADO DE CURVAS
 Planteamiento de
 Extremos relativos o puntos
interrogantes
críticos en un intervalo
 Exposición Demostrativa
cerrado.
CONTENIDO
 Teorema de Rolle y teorema  Ejercicios de Aplicación
del valor medio.
 Funciones crecientes y  Trazado de gráficas
decrecientes y el criterio de
la primera derivada
 Concavidad y el criterio de
la segunda derivada.
 Puntos de inflexión





RECURSOS
INSTRUCCIONALES
Pizarra acrílica
Marcadores
Guía de estudio
Material bibliográfico
Medios audiovisuales




ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
Participación Activa
Resolución de Ejercicios
Talleres
Pruebas escritas
%
20
1.4 Establecer la concavidad de
una función a través del criterio
de la segunda derivada así
como también sus puntos de
inflexión.
1.5 Analizar el comportamiento de
un proceso real a partir de la
representación gráfica del
modelo matemático
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OBJETIVOS
ESPECIFICOS
2.1. Asociar los criterios de la
primera y de la segunda
derivada a situaciones
cotidianas donde se requiera
de la optimización de un
proceso.
2.2. Analizar el comportamiento de
un proceso utilizando las
derivadas
2. OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS
 Volumen máximo
ESTRATEGIAS
INSTRUCCIONALES
 Planteamiento de
interrogantes
 Distancia mínima
 Exposición Demostrativa
 Área mínima o máxima
 Ejercicios de Aplicación
 Longitud mínima
 Trazado de gráficas
CONTENIDO





RECURSOS
INSTRUCCIONALES
Pizarra acrílica
Marcadores
Guía de estudio
Material bibliográfico
Medios audiovisuales




ESTRATEGIAS DE
EVALUACIÓN
Participación Activa
Resolución de
Ejercicios
Talleres
Pruebas escritas
%
20
 Tiempo mínimo o máximo
 Costo mínimo
 Fuerza mínima
2.3. Resolver problemas de
optimización utilizando los
criterios de primera y segunda
derivada.
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BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
1
LARSON, RONALD; HOSTETLER, ROBERT Y EDWARDS, BRUCE. “Cálculo I”. McGraw-Hill Latinoamericana Editores. 2006. p. 404
2
LEITHOLD, LOUIS. “El Cálculo 7”. Editorial Harla. México. 2004. p. 1360
3
LARSON, HOSTETLER Y EDWARDS. Cálculo I. McGraw-Hill Latinoamericana Editores. México. 2006. p.780
4
PURCELL, VARBERG DALE; EDWIN J. Y RIGDON, STEVEN. Cálculo. Pearson Prentice Hall. México. 2007. p. 872
5
STEWART, JAMES. “Cálculo: Trascendentes Tempranas”. Thomson Editores 2002. p. 639
11