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LA DERIVADA
EN EL
ANALISIS DE
FUNCIONES
1
TEOREMA
Si c es un punto de extremo local de f,
entonces
f ’(c) = 0
2
PUNTOS CRITICOS
Definición:
Un número c del dominio de f se
llama número crítico o punto crítico
de f si f ’(c) = 0.
Ejemplo: Determinar el
punto crítico de:
f ( x)  x  3 x  1
3
2
3
Procedimiento para determinar los máximos o
mínimos de una función continua f en [a, b]
1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]
2. Hallar f(c) para cada punto crítico c
3. Calcular f(a) y f(b)
4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el
máximo absoluto de f en [a,b] y el menor el
mínimo absoluto.
Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo
absolutos de:
 1 
f ( x)  x  3x  1 en  ;4
 2 
3
2
4
TEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivable en
(a, b), entonces:
Si f ’(x) > 0 en (a, b) entonces
f es estrictamente CRECIENTE en [a, b]
5
TEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivable en
(a, b), entonces:
Si f ’(x)  0 en (a, b) entonces
f es estrictamente DECRECIENTE en
[a, b]
6
Ejemplo:
Determinar los intervalos de crecimiento
y decrecimiento de:
f ( x)  x  6 x  9 x  1
3
2
7
Criterio de la primera derivada
Si c es un punto crítico de f y f es
derivable alrededor de c, entonces:
i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c,
entonces c es un punto de MÁXIMO local
de f
ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c,
entonces c es un punto de MÍNIMO local
de f
8
Ejemplo:
Determinar los valores extremos locales de:
f ( x)  x  6 x  9 x  1
3
2
9
TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b),
que contiene a c, tal que existe f ’’(c),
entonces:
Si f ’’(c) > 0
+
la gráfica de f es
cóncava hacia
arriba en x = c
10
TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b),
que contiene a c, tal que existe f ’’(c),
entonces:
Si f ’’(c) < 0
-
la gráfica de f es
cóncava hacia
abajo en x = c
11
Punto de inflexión
La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c))
un punto de inflexión si:
1 f es continua en c
2 La gráfica tiene tangente en el punto
3 La concavidad cambia de sentido en c
12
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR
LOS PUNTOS DE INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f ’’ es
cero
ii) Verificar si cada uno de estos
puntos es de inflexión. Esto es:
• Si f es continua
• Si f ’’ cambia de signo
13
Ejemplo:
Determinar:
a) Intervalos de concavidad.
b) Puntos de inflexión
c) Trazar la gráfica de f
Para:
f ( x)  x  6 x  9 x  1
3
2
14
Criterio de la segunda derivada
Sea c un punto crítico de f en el cual:
f ’(c) = 0, entonces,
Si f ’’(c) > 0, c es un punto de
mínimo local
Si f ’’(c) < 0, c es un punto de
máximo local15