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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
SUPERFICIES CUÁDRICAS
SUPERFICIES
En el área de estudio del electromagnetismo nos encontramos con la siguiente
situación:
Dos superficies cilíndricas coaxiales cuyos radios son de 2 cm y de 3 cm
respectivamente, llevan cargas eléctricas iguales y opuestas por unidad de longitud de
3.10-8 coul/m. Un electrón gira en una trayectoria circular de radio r , colocada entre ellos
y concéntrica con la sección de ambos cilindros. Se necesita conocer su energía
?
cinética
En el enunciado del mismo se hace referencia a términos tales como superficie,
cilindro y circular. A partir de ellos nos surgen algunas dudas tales como: ¿Conocemos
realmente el significado matemático de estos términos y su alcance dentro del marco de
?
este problema?, ¿existirán otras superficies que no sean cilíndricas?, ¿qué significa
seccionar a una superficie, y con qué elementos se realiza?, ¿siempre será posible realizar
una sección?, ¿qué resultados geométricos y analíticos se obtienen?
Te invitamos a que juntos desde este material podamos despejar estos y otros
interrogantes que nos vayan surgiendo. Para esto retomemos el título que planteamos al
principio de la página.
SUPERFICIES
1. DEFINICIÓN
Se llama superficie al lugar geométrico de todos los puntos P (x ,y, z) pertenecientes
3
a R cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma:
f (x, y, z) = 0
¿Recuerdas alguna de las ecuaciones que ya hemos estudiado que corresponda a
esta clase de expresión?
↵
Sí, efectivamente: la ecuación del plano, ya que la misma es de la forma:
Ax + By +Cz + D = 0. Esta es la superficie más sencilla, pues es de grado uno.
Profesores:
Lic. Walter Bertoa - Lic. Norma del Puerto – Lic. María de los Ángeles Ferré
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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
SUPERFICIES CUÁDRICAS
Algunos ejemplos:
2x + y – 5 = 0 representa un plano paralelo al eje z
z = 4 representa un plano paralelo al plano x y
Otras superficies satisfacen ecuaciones de grado dos, como por ejemplo:
3x2 - y2 + 3z – 5 = 0 representa un hiperboloide de una hoja
x2 + 3 y2 + z2 –2 = 0 representa un elipsoide
z2 + 2xy –5xz –12y + 3z –1 = 0 representa un hiperboloide de dos hojas rotado
Se denominan cuádricas y cuyo estudio será el motivo del presente material.
También existen superficies de grado superior a dos, como por ejemplo:
2x3 – 3xy + 8z +3 = 0
Nota
Aunque estas ecuaciones contengan tres variables, la ecuación de una superficie puede
contener solamente una o dos.
Ejemplo: x 2+ y2 = 1 representa un cilindro circular recto.
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2. DISCUSION DE LA ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE
Para la construcción de una superficie, es ventajoso realizar previamente una
discusión de su ecuación Limitaremos dicha discusión a los siguientes pasos:
1) Intersección con los ejes coordenados.
2) Trazas sobre los planos coordenados.
3) Secciones por planos paralelos a los planos coordenados.
4) Simetría
5) Extensión de la superficie.
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Lic. Walter Bertoa - Lic. Norma del Puerto – Lic. María de los Ángeles Ferré
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SUPERFICIES CUÁDRICAS
Vamos ahora a aplicar esta secuencia a la siguiente ecuación:
Discutir la superficie definida por:
x2 +
y2
4
=1
1) Intersecciones con los ejes coordenados
Recordemos que un punto tiene tres coordenadas y que cuando pertenece a un eje, las
coordenadas correspondientes a los otros dos ejes valen cero.
↵
1.1. Con el eje x: la intersección de una superficie con el eje x, de existir, son
puntos de la superficie que están sobre el dicho eje.
haciendo y=z=0 en la ecuación y despejando x hallamos dicha intersección:
x2 = 1 ⇒
x = 1 ⇒ A(1,0,0) y A'(-1,0,0)
1.2. Con el eje y: análogamente debemos anular las variables x= z=0, luego:
y2 = 4
⇒ y =2
⇒ B(0,2,0) y B'(0,-2,0)
1.3. Con el eje z: debe cumplirse x= y =0, entonces:
0 = 2 ; lo cual es imposible, no hay intersección con este eje
2) Trazas con los planos coordenados
La traza de una superficie con un plano coordenado es la curva intersección de la superficie
con el plano coordenado.
2.1. Traza sobre el plano xy:
si z=0, x 2 +
y2
4
= 1es una elipse con centro (0,0,0) y eje focal coincidente con el eje y
2.2. Traza sobre el plano xz:
si y=0, x 2 = 1 ⇒ x = 1 ∨ x = -1 son dos rectas paralelas al eje z.
2.3. Traza sobre el plano yz:
si x=0,
y2
4
= 1 ⇒ y 2 = 4 ⇒ y = 1 ∨ y = -1 dos rectas paralelas al eje z.
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SUPERFICIES CUÁDRICAS
3) Secciones con planos paralelos a los planos coordenados.
3.1 Con plano // plano xy:
2
si z = k ; x +
y2
4
= 1 elipse C(0,0,0) y eje focal coincidente con el eje y.
3.2 Con plano // plano xz
⎧ k < 2dos rectas //al eje z
⎪
⇒ y = k, x = 1para ⎨ k = 2dos rectas coincidentes 3
si y = k, x 2 = 14
4
⎪
⎩ k > no existe lugar geométrico
k2
k2
3.3 Con plano // plano yz
⎧ k < 1dos rectas //al eje z
⎪
si x = k, y 2 = 4(1- k 2 ) ⇒ x = k, y = 4(1- k 2 ) para ⎨ k = 1dos rectas coincidentes
⎪
⎩ k > 1 no existe lugar geométrico
4) Simetrías
Estudiar la simetría de una superficie, implica analizar que sucede con su ecuación cuando
se cambia el signo de una, de dos o de las tres variables
4.1 Si la ecuación de una superficie no se altera cuando se cambia el signo de:
4.1.1 una de las variables,
La superficie es simétrica con respecto al plano coordenado a partir del cual se evalúa esa
variable
Es decir:
o
Si se cambia x por –x , es simétrica respecto al plano yz
o
Si se cambia y por –y , es simétrica respecto al plano xz
o
Si se cambia z por –z , es simétrica respecto al plano xz
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4.1.2 dos de las variables,
La superficie es simétrica respecto al eje coordenado a lo largo del cual no se evalúa esa
variable.
Es decir:
o
Si se cambia x, y por –x , -y , es simétrica respecto al eje z
o
Si se cambia x, z por –x , -z es simétrica respecto al eje y
o
Si se cambia y , z por –y , –z , es simétrica respecto al eje x
4.1.3 las tres variables,
La superficie es simétrica con respecto al origen de coordenadas.
o
En este caso, se cumplen todas las simetrías.
5) Extensión de la superficie
Consiste en determinar los intervalos de variación para los cuales los valores de x,y,z son
todos reales. Para ello es expresa cada variable en función de las otras dos.
En este caso, se ve que la variable z puede tomar cualquier valor real, la superficie se
extiende a lo largo del eje z.
Con todos los conceptos que estudiamos estamos ahora en condiciones de realizar la
gráfica de dicha superficie:
cilindro elíptico recto
A continuación vamos a estudiar algunas superficies cuádricas notables.
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