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ALGEBRA Y GEOMETRIA
ANALITICA
PROGRAMA ANALITICO
AÑO 2009
Unidad I: Números Complejos
(A dictar como última Unidad Temática de la materia)
Objetivos
Esperamos que el estudiante:
 Comprenda la necesidad de ampliar los conjuntos numéricos con los que habitualmente
trabaja, a fin de resolver problemas concretos que se presentan
 Resuelva operaciones en el conjunto de números complejos y diferencie las condiciones de
existencia de las mismas respecto del conjunto de números reales.
 Analice su aplicación para las diferentes especialidades de las carreras de ingeniería que
se dictan en la Facultad Regional Avellaneda.
Contenidos
Conjuntos numéricos: introducción a los números complejos. La necesidad de su existencia.
Definición del número complejo como par ordenado de números reales. Relación entre los
números complejos y las coordenadas de los puntos del plano. Álgebra de los números
complejos: concepto de igualdad; operaciones básicas: suma; producto de un complejo por un
escalar, producto entre complejos. La unidad imaginaria. El cuadrado de la unidad imaginaria
como número entero negativo. Conjugado de un número complejo. Propiedades.
Forma binómica de los números complejos. Operaciones: suma, diferencia, producto, cociente.
Forma polar. Definición desde el sistema de referencia polar en R2. Comparación con el sistema
cartesiano que define la forma de par ordenado. Cálculo del módulo y argumento de un
complejo en la forma polar. Propiedades del módulo aplicando ejercicios de la Guía de Trabajos
Prácticos. Obtención del argumento en los cuatro cuadrantes. Forma trigonométrica.
Operaciones: producto, cociente, potenciación (fórmula de De Moivre: extensión de su
aplicación a exponentes enteros), radicación (demostración). Con un ejemplo numérico probar
que la raíz enésima tiene n resultados diferentes. Diferencias de fase (angulares) entre complejos
sucesivos en una raíz: visualizar a través de ejemplos.
Forma exponencial: indicar como se llega a la misma a partir del desarrollo en serie de potencias
de la expresión trigonométrica (sin demostración) Su aplicación en las operaciones básicas:
producto, cociente, potenciación, radicación; empleando propiedades de las funciones
exponenciales. Demostración a partir de éstas del producto y del cociente. Logaritmo de un
complejo: definición. Demostración. Probar con un ejemplo la existencia de infinitos logaritmos
para un número complejo. Valor principal. Exponencial compleja: su cálculo mediante ejemplos.
Relaciones entre las distintas notaciones. Operaciones aplicables en cada una de ellas. Campos
de aplicación.
Duración: 1,5 clases
Unidad II: Álgebra vectorial
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Amplíe y profundice conocimientos adquiridos sobre los vectores físicos y geométricos,
extendiéndolos a Rn.

Utilice a los vectores como herramienta básica en el cálculo algebraico.

Identifique aplicaciones concretas en el campo de la física, geometría e ingeniería.
Contenidos
Sistemas coordenados en R1, R2 y R3. Noción de distancia en cada espacio. Extensión del
Teorema de Pitágoras para su cálculo.
Definición del vector como segmento orientado. Vectores en R2 y R3. Operaciones: adición,
producto de un escalar por un vector. Propiedades de cada operación. Introducción al concepto
de espacio vectorial.
Concepto de módulo o norma. Propiedades del módulo (enunciado)
Forma canónica y cartesiana de un vector. Definición del vector como n – upla ordenada de
números reales. Extensión a Rn. Operaciones.
Ángulos y Cosenos Directores. Definiciones. Propiedades. Versor asociado. Demostración
utilizando un ejemplo numérico. Obtención del versor asociado a partir de los cosenos directores.
Condiciones de paralelismo entre vectores.
Producto escalar: definición. Aplicaciones en la física: concepto de trabajo de una fuerza en un
desplazamiento. Propiedades del producto escalar: enunciado. Condición de ortogonalidad
(demostración) Producto escalar de los versores canónicos. Deducción de la expresión del
producto escalar en función de las componentes (para R3) Extensión a Rn. Interpretación
geométrica: proyección de un vector sobre otro y componente ortogonal de un vector respecto de
otro. Demostraciones. Noción de producto interior. Vinculación del mismo con la métrica.
Producto vectorial: definición. Propiedades. Aplicaciones en la física (momento) Producto
vectorial de los versores canónicos. Expresión del producto vectorial para los vectores dados en
forma canónica (demostración optativa o bien aplicación utilizando ejemplos numéricos) Cálculo
empleando determinantes. Breve introducción a los determinantes: procedimiento de Sarrus para
cálculo de determinantes asociados a matrices cuadradas de 3 x 3 (optativo). Regla de Laplace.
Interpretación geométrica del producto vectorial (demostración).
Producto mixto: definición. Propiedades. Interpretación geométrica. Noción de coplanareidad.
Cálculo aplicando determinantes. Breve mención a las propiedades de los determinantes que
intervienen en el cálculo del producto mixto.
Combinación lineal de vectores. Independencia y dependencia lineal de un conjunto de vectores.
Propiedades de los conjuntos linealmente independientes y dependientes. Estudio mediante el
uso de sistemas de ecuaciones lineales. Breve referencia al método de Gauss (triangulación y
Gauss – Jordan) para la resolución de los problemas vinculados con estos temas. Breve mención
a los sistemas homogéneos.
Introducción al concepto de coordenadas de un vector cuando se trabaje con el tema de
combinaciones lineales.
Duración: 4 clases
Unidad III: Recta en R2, Plano y Recta en R3
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Aplique los conceptos del álgebra vectorial en la resolución de temas geométricos concretos.

Identifique dichos elementos geométricos y los relaciones con sus expresiones algebraicas.

Adquiera destreza en el manejo de problemas geométricos relativos al plano y al espacio.
Contenidos
1. Recta en R2
Deducción de su ecuación aplicando vectores. Deducción de las formas simétrica, implícita,
segmentaria y explícita. Definiciones. Relaciones entre ellas. Características. Representación
gráfica usando los elementos distintivos que aparecen en cada forma de la ecuación de la recta.
Posiciones relativas de dos rectas en R2. Su estudio mediante sistemas de ecuaciones lineales.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Geometría métrica: ángulo; distancia.
(demostraciones) Aplicaciones.
2. Plano
Deducción de la ecuación general del plano utilizando vectores. Distintos casos: un punto y un
vector normal (demostración), dos vectores no paralelos y un punto (utilizando el caso anterior),
tres puntos no alineados (ídem) Ecuación paramétrica vectorial de un plano como consecuencia
del concepto de producto mixto y de la combinación lineal de vectores.
Situaciones particulares de la ecuación del plano: paralelo a los ejes coordenados y a los planos
coordenados. Demostración. Forma segmentaria. Trazas de un plano.
Posición relativa de dos planos en el espacio. Su estudio mediante sistemas de ecuaciones
lineales utilizando los ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Deducción utilizando ejemplos de la Guía de
Trabajos Prácticos.
Geometría métrica: ángulo; distancias (de punto a plano y entre planos paralelos).
Demostraciones. Aplicaciones.
3. Recta en R3
Deducción de las ecuaciones de la recta: vectorial, cartesiana paramétrica y simétricas de la
recta aplicando vectores. Recta como intersección de dos planos: demostración a partir de las
ecuaciones simétricas. Cálculo y representaciones gráficas (resolviendo el sistema de ecuaciones
planteado y también por consideraciones geométricas, obteniendo el vector director como
producto vectorial de los normales de cada plano y calculando un punto). Análisis de casos
especiales: recta con uno y dos componentes de su vector director nulas (mostrar situaciones
gráficas).
Planos proyectantes. Deducción a través de un ejemplo de cómo se obtienen desde las
ecuaciones simétricas de la recta.
Posición relativa entre dos rectas en el espacio. Estudio mediante la utilización de sistemas de
ecuaciones lineales y de aplicaciones geométricas y vectoriales. Aplicaciones de los diferentes
casos utilizando ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos.
Posición relativa entre una recta y un plano. Estudio mediante la utilización de sistemas de
ecuaciones lineales y de aplicaciones geométricas y vectoriales. Aplicaciones de los diferentes
casos utilizando ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos. Relación entre el vector director de
la recta y el normal del plano para cada caso.
Proyecciones de un punto sobre un plano, de un punto sobre una recta, de una recta sobre un
plano.
Geometría métrica. Ángulo entre rectas y entre recta y plano. Deducción de las fórmulas.
Distancias: entre rectas alabeadas (demostración), de punto a recta (demostración), entre rectas
paralelas (aplicación de la expresión de cálculo a partir del concepto anterior de distancia de
punto a recta), entre recta y plano paralelos (utilizar ejemplos de la Guía de Trabajos Prácticos).
Aplicaciones.
Duración: 5 clases
Unidad IV: Álgebra Matricial
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Adquiera la noción de matriz como una colección ordenada de datos y reconozca a las
matrices como un operador básico en el Álgebra Superior.

Aprenda a trabajar con matrices y adquiera habilidad en su manejo como herramienta de
cálculo.
Contenidos
Definición. Clasificación. Propiedades. Operaciones: adición de matrices y producto de una
matriz por un escalar. El conjunto de las matrices de orden Rn x m como espacio vectorial (breve
comentario). Análisis comparativo con los vectores. Partición de matrices en vectores fila y
columna. Introducción a las matrices como conjuntos ordenados de vectores. Notación sintética
como conjunto de vectores fila o columna.
Producto de matrices. Definición. Multiplicación de matrices por bloques de vectores.
Propiedades. Matriz Identidad como neutro para el producto.
Matriz traspuesta. Enunciado de las propiedades de la trasposición. Breve mención a los
procedimientos de demostración de estas propiedades.
Definición de matrices particulares (ejemplificar con matrices en R3 x 3):
 Matriz diagonal. (Verificación utilizando un ejemplo numérico de la propiedad que
expresa que el producto de matrices diagonales es conmutativo), Matriz escalar (incluir
la Matriz Identidad), Matriz triangular inferior y superior.
 Matrices simétricas y antisimétricas. Propiedades (enunciado y deducción de la
descomposición de una matriz cuadrada en la suma de una simétrica y una antisimétrica,
En los demás casos, análisis utilizando ejemplos numéricos)
 Matriz inversa. Propiedades. Concepto de matrices regulares y singulares. Aplicando la
ejercitación de la Guía de Trabajos Prácticos, deducir que ocurre con la inversa del
producto de dos matrices cuadradas.
 Matriz ortogonal. Propiedades. Demostración mediante un ejemplo o con una matriz de
2x2: la matriz asociada a una rotación es ortogonal.
 Matriz idempotente. Matriz involutiva
 Matrices complejas. Matriz hermítica.
Concepto de rango de una matriz. Comprobación con un ejemplo sencillo de la igualdad entre el
rango fila y el rango columna y su extensión como rango de una matriz. Aplicación de los
conceptos de independencia lineal en el cálculo del rango. Operaciones elementales sobre una
matriz. Enunciado y verificaciones con ejemplos de cada una de ellas. Método de Gauss –
Jordan. Explicación y deducción a partir de la aplicación sistemática de las operaciones
elementales.
Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss – Jordan. Deducción de la aplicación de
dicho método a partir de la resolución del sistema de ecuaciones lineales resultante (Utilizar un
sistema de 2x2)
Optativo: descripción y utilización de matrices utilizadas en aplicaciones en las ciencias (matriz
de Leontieff, matriz de probabilidad, empleo de las matrices en las cadenas de Markov, etc.)
Duración: 1,5 clases
Unidad V: Determinantes
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Reconozca a los determinantes como una aplicación de las matrices cuadradas en los
números reales.

Conozca sus propiedades y las aplique en el cálculo.

Vincule las aplicaciones de los determinantes utilizadas en la Unidad Temática: Álgebra
vectorial de manera elemental (producto vectorial, producto mixto)
Contenidos
Breve introducción a la historia de los determinantes. Definición de determinante como
aplicación de las matrices cuadradas en los números reales. Obtención del determinante a partir
del concepto de permutación (ejemplificar con la obtención del determinante de matrices de R2x2
y de R3x3, luego extender a Rnxn). Definición de menor complementario y adjunto o cofactor de
un elemento de una matriz. Matriz adjunta o cofactor. Ejemplos
Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. Deducción del método de
Laplace a partir de la expresión del determinante de una matriz de R3x3 calculada mediante la
definición convencional. Utilidad del método de Laplace para reducir el orden de los
determinantes.
Propiedades de los determinantes. Enunciado. Deducción a través de aplicaciones prácticas
utilizando matrices de R3x3. Ejemplos. Aplicación de las propiedades para el cálculo de un
determinante. Procedimiento de cálculo aplicando las propiedades. Aplicación de Gauss y de
Laplace para el cálculo de los determinantes (Regla de Chío)
Enunciado y deducción de las propiedades vinculadas con las matrices y con las operaciones con
matrices (determinante de un producto de matrices, determinante de la inversa de una matriz,
determinante de una matriz ortogonal, de una matriz diagonal, de una matriz triangular, de una
idempotente, de una involutiva, etc.)
Cálculo de la inversa de una matriz usando determinantes (enunciado) Relación del valor del
determinante con el concepto de regularidad o singularidad de una matriz. Relación del valor del
determinante con el concepto de regularidad o singularidad de una matriz y con su rango.
Aplicaciones.
Duración: 1,5 clases
Unidad VI: Sistemas de ecuaciones lineales
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Resuelva eligiendo el método analítico adecuado sistemas de ecuaciones lineales.

Utilice sistemas de ecuaciones lineales para modelar la solución de problemas
asociados a la física, geometría e ingeniería.

Aplique en su resolución los conocimientos adquiridos en el estudio de vectores, matrices
y determinantes.

Interprete geométricamente sistemas asociados a problemas derivados de los temas de
Geometría Analítica tratados en la Unidad Temática n° 2: Rectas en R2 y planos y
rectas en R3.

Relacione, en lo que corresponda, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones
lineales con los conceptos de espacios vectoriales que se han tratado en las unidades
temáticas previas.
Contenidos
Definición de un sistema de ecuaciones lineales. Clasificación (por la cantidad de incógnitas y
ecuaciones, por el valor de los términos independientes) Forma matricial. Sistemas equivalentes:
propiedades. Deducción a partir del concepto de sistemas equivalente del cálculo de un sistema
de ecuaciones por el método de Gauss. Concepto de solución. Concepto y determinación del
conjunto solución. Clasificación de un sistema según su conjunto solución.
Análisis de la compatibilidad de un sistema. Teorema de Roché – Frobenius: enunciado,
demostración y aplicaciones.
Distintas formas de resolución: enunciado de los métodos de triangulación de Gauss,
procedimiento de Gauss – Jordan, método de Cramer, método de la matriz inversa. Campos de
aplicación de cada uno de ellos. Interpretación geométrica de sistemas. Aplicaciones a
problemas de ingeniería.
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos: descripción. Propiedades. Análisis de su
compatibilidad aplicando el Teorema de Roché – Frobenius y el de Cramer.
Análisis de sistemas de ecuaciones lineales paramétricos homogéneos y no homogéneos.
Optativo: Breves nociones de programación lineal. Aplicaciones.
Duración: 1,5 clases
Unidad VII: Espacios Vectoriales
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Conozca y domine la estructura de espacio vectorial.

Compruebe que a través de la misma existen elementos comunes entre diferentes conjuntos
algebraicos.

Relacione los temas vistos de Geometría Analítica con el concepto de subespacios.

Relacione conceptos físicos o geométricos conocidos con sus equivalentes algebraicos
abstractos (por ejemplo, la definición de sistemas de referencia con las bases de un espacio
vectorial)
Contenidos
Definición de espacio vectorial real. Axiomas. Espacio vectorial de: vectores, matrices,
polinomios, números complejos, funciones continuas. Definición de subespacio vectorial.
Condición necesaria y suficiente para la existencia de un subespacio. Aplicaciones. Subespacios
triviales.
Sistema de generadores de un espacio vectorial. Explicación del concepto. Ejemplos.
Vincularlos al concepto físico de sistemas de referencia o de coordenadas. Concepto de Base y
de Dimensión de un Espacio Vectorial. Aplicaciones. Relaciones con la dependencia e
independencia lineal. Bases ortonormales.
Subespacio generado. Deducción. Aplicaciones.
Operaciones con subespacios (intersección, suma, suma directa) Complemento ortogonal de un
subespacio. Enunciado de los teoremas de la dimensión en la suma y en el complemento
ortogonal de un subespacio. Aplicaciones a la geometría. Aplicaciones con polinomios, vectores
y matrices.
Duración: 3,5 clases
Unidad VIII: Transformaciones lineales
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Identifique las transformaciones lineales como aplicaciones de los espacios vectoriales y las
asocie con el álgebra de matrices y con los conocimientos previamente aprendidos.

Reconozca su utilización en aplicaciones relacionadas con la física y la geometría y
adquiera habilidad en el planteo y la resolución de problemas vinculados con estos temas.
Contenidos
Concepto de transformación lineal. Operadores lineales. Propiedades generales: enunciado y
demostración.
Matriz asociada a una transformación lineal. Deducción que la transformación matricial es una
transformación lineal y con un ejemplo calcular la matriz asociada a una transformación lineal en
las bases canónicas. Aplicaciones.
Teorema fundamental de las transformaciones lineales. Demostración. Su aplicación a los
problemas de la ingeniería.
Núcleo e imagen de una transformación lineal. Concepto. Deducción de los mismos como
subespacios. Teorema de la dimensión del núcleo y la imagen.
Clasificación de las transformaciones lineales: monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo,
endomorfismo y automorfismo. Mención de los espacios vectoriales isomorfos. Propiedades.
Mención de las condiciones para que una transformación lineal sea un monomorfismo,
epimorfismo e isomorfismo. Aplicaciones. Inversa de una transformación lineal.
Geometría de las transformaciones lineales en R2: identidad, reflexión o simetría, dilatación y
contracción, cizallamiento, rotación (vincular la rotación con el concepto de matriz ortogonal).
Deducción de la matriz asociada en todos los casos. Aplicaciones. Composición de
transformaciones geométricas como caso de aplicación de la composición de transformaciones
lineales. Obtención de la matriz asociada para un conjunto de transformaciones geométricas.
Deducir la traslación como transformación afín.
Cambio de base. Coordenadas. Matriz de cambio de base: deducción. Aplicaciones.
Matrices asociadas a una transformación lineal en bases distintas. Relación con las matrices de
cambio de base.
Concepto de matrices semejantes. Enunciado de las relaciones existentes entre matrices
semejantes. Introducción al concepto de diagonalización.
Duración: 4,5 clases
Unidad IX: Autovalores y Autovectores
Diagonalización
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Expresar las coordenadas de un punto y elementos geométricos en distintos sistemas de
referencia.

Identifique en el proceso de cambio de sistemas de referencias los distintos conocimientos
adquiridos y los aplique.

Comprenda la conveniencia del proceso de diagonalización de matrices en la solución de
problemas concretos.
Contenidos
Autovalores y Autovectores. Concepto. Aplicación en las transformaciones lineales.
Interpretación geométrica. Deducción del cálculo de los autovalores y de los autovectores.
Definición de polinomio característico de una matriz. Mención al Teorema de Cayley Hamilton. Ejemplos.
Diagonalización de matrices. Definición. Diagonalización ortogonal de matrices simétricas.
Enunciado de las propiedades que vinculan la diagonalización con los valores y vectores
propios.
Breve introducción a la aplicación de los autovalores y autovectores en algunos problemas de
ingeniería.
Duración: 2 clases
Unidad X: Cónicas y Superficies
Objetivos
Esperamos que el estudiante:

Describa analíticamente los conjuntos de puntos del plano y del espacio que se denominan
cónicas y superficies, respectivamente.

Reconozca y realice representaciones gráficas de cónicas y superficies.

Aplique en su estudio y resolución conocimientos y técnicas adquiridas previamente.

Resuelva situaciones problemáticas referidas a la física e ingeniería que involucran estudio
de cónicas o superficies.

Aplique los conceptos relativos a la diagonalización de matrices para efectuar la rotación de
una cónica.
Contenidos
1. Cónicas
Introducción geométrica: definición de la superficie cónica indefinida a partir de la rotación de
una recta. Obtención de las cónicas (verdaderas y reducibles) como intersección de aquélla con
distintos planos. Representaciones gráficas de cada caso.
Clasificación de las cónicas: verdaderas y reducibles. Ecuación general de segundo grado con
dos variables. Expresión matricial de una cónica (aquella que identifica la forma cuadrática y la
lineal, que luego se va a diagonalizar) Análisis y aplicación.
Definición de cónica como lugar geométrico. Definición del concepto de excentricidad.
Estudio detallado de las cónicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Ecuación canónica.
Deducción (demostrar al menos para la circunferencia y para la parábola). Propiedades.
Elementos.
Traslación de ejes: aplicación a las curvas estudiadas con centro o vértice en un punto de
coordenadas (h, k) pero que mantienen sus ejes de simetría paralelos a los coordenados.
Deducción. Utilización del concepto de traslación y del procedimiento de completar cuadrados.
Breve introducción al estudio de las ecuaciones paramétricas. Mención de las expresiones
paramétricas para las distintas cónicas.
Aplicación de los autovalores y autovectores para la rotación de una cónica. Diagonalización de
la forma cuadrática. Ejemplos para cónicas verdaderas y cónicas reducibles.
Tema opcional de acuerdo al tiempo disponible: problemas de la Guía de Trabajos Prácticos
sobre intersección entre rectas y cónicas, rectas tangentes a una cónica e intersecciones entre
cónicas.
2. Superficies
Definición. Clasificación: verdaderas y reducibles.
Ecuación general de segundo grado con tres variables. Expresión matricial.
Definición de superficies regladas. Tipos. Definición de superficies de revolución. Fórmula para
la obtención de una superficie de revolución (sin demostración)
Cuádricas. Ecuación canónica y general de las cuádricas. Representación gráfica. Estudio
comparativo de las cuádricas con centro y sin centro de acuerdo a los valores que tomen los
coeficientes y el término independiente. Representación gráfica.
Análisis de las superficies: intersección con los ejes coordenados, con los planos coordenados,
con planos paralelos a los coordenados, simetría. Aplicaciones.
Duración: 5 clases