Download Derivadas (III)

Document related concepts

Logaritmo wikipedia, lookup

Fórmula de Euler wikipedia, lookup

Folium de Descartes wikipedia, lookup

Función hiperbólica wikipedia, lookup

Pendiente (matemáticas) wikipedia, lookup

Transcript
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación
Departamento de Matemáticas
CÁLCULO I
Ejercicios
Derivadas (III)
Derivadas de orden superior
1. Sea
2
1−
Utilice el método de demostración por inducción matemática para demostrar que la
fórmula
2 (!)
 () () =
(1 − )+1
 () =
es válida para todo  ≥ 1.
2. Sea
 () = sen 
Utilice el método de demostración por inducción matemática para demostrar que la
fórmula
³
 ´
()
 () = sen  +
2
es válida para todo  ≥ 1.
3. Demuestre que si
 () = 1 − + 2 −2
(1 y 2 son constantes reales) entonces
 00 () + 3 0 () + 2 () = 0
4. Sean
 () =  sen 
 () =  cos 
Demuestre que
 00 () = 2 ()
00 () = −2 ()
Ejercicios
5. Sea
 () = sen ( arcsen )
donde  es una constante real. [Cuidado, la “identidad”
sen ( arcsen ) =  sen (arcsen )
¡es falsa! de modo que ni lo piense.] Demuestre que
¡
¢
1 − 2  00 () −  0 () + 2  () = 0
6. El polinomio  () = 3 + 2 +  +  satisface las tres condiciones siguientes:
(a)  (0) =  (1) = −2
(b)  0 (0) = −1
(c)  00 (0) = 10
Calcule los valores de las constantes , ,  y .
7. Demuestre la fórmula
[ ()  ()](2) =  (2) ()  (0) () + 2 (1) ()  (1) () +  (0) () (2) ()
8. Demuestre la fórmula
[ ()  ()](3) =  (3) ()  (0) () + 3 (2) ()  (1) () + 3 (1) ()  (2) () +  (0) () (3) ()
9. Si observa con cuidado las fórmulas de los dos ejercicios anteriores, notará que tienen
un gran parecido con fórmulas muy conocidas del álgebra elemental. En efecto, estas
fórmulas traen a la mente dos casos particulares de la fórmula del Binomio de Newton:
( + )2 = 2 + 2 +  2
( + )3 = 3 + 32  + 3 2 +  2
Obviamente, estas dos fórmulas pueden escribirse en la forma
( + )2 = 2  0 +21  1 +0  2
( + )3 = 3  0 +32  1 +31  2 +0  3
De hecho es posible demostrar (no lo intente, no es fácil) que la siguiente generalización, conocida como la fórmula de Leibniz, es válida para todo  ≥ 0:
 µ ¶
X
 (−)
()
[ ()  ()] =

()  () ()

=0
donde el símbolo
¡¢

representa el número combinatorio definido por
µ ¶

!
=
! ( − )!

Página 2 de 6
Derivadas (III)
10. Sea  () =  . Aplique la fórmula de Leibniz para calcular  () () donde  es un
entero ≥ 1 arbitrario.
Derivación implícita
1. Sea  la curva de ecuación implícita
 +  log  −  = 0
La siguiente figura muestra la parte de la gráfica de  en la ventana de visualización
0≤≤3
0≤≤2
y
2
(1,1)
1
0
0
1
2
3
x
Compruebe analíticamente que  pasa por el punto (1 1). Encuentre fórmulas “explícitas” para  y 2 2 . Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente
a  en (1 1).
2. Sea  la curva de ecuación implícita
log  −  − 1 = 0
La figura siguiente muestra la parte de la gráfica de  en la ventana de visualización
−2 ≤  ≤ 2
Página 3 de 6
0≤≤4
Ejercicios
y
4
3
(0,e)
2
1
x
-2
-1
0
1
2
Compruebe analíticamente que  pasa por el punto (0 ). Encuentre fórmulas “explícitas” para  y 2 2 . Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente
a  en el punto (0 ).
3. Sea  la curva de ecuación implícita
(−1) − arctan ( + ) +

=0
4
La figura siguiente muestra la parte de la gráfica de la ecuación en la ventana de
visualización
0≤≤2
−1≤ ≤1
Página 4 de 6
Derivadas (III)
y
1
0
1
2
x
-1
Compruebe analíticamente que  pasa por el punto (1 0). Encuentre una fórmula
“explícita” para . Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente a  en
(1 0).
Página 5 de 6
Ejercicios
Respuestas
Derivadas de orden superior
6.  = −4,  = 5,  = −1,  = −2
10. ( + ) 
Derivación implícita
1.


=−


 ( + log )
2 
 [(2 −  +  )  + (2 + 2 + log ) log ]
=
2
2 ( + log )3
 +  −  − 1 = 0
2.
2

=
 1 − 
2 
 3 (3 − 2)
=
2
(1 − )3
 − 2  −  = 0
£
¤
2 +  ( − 1) 1 + ( + )2 (−1)

£
¤
ª
3.
= ©
  − + ( + ) 1 + ( + )2 (−1)
Página 6 de 6
(2 − )  −  +  = 0