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UNIVERSIDAD DEL CAUCA Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación Departamento de Matemáticas CÁLCULO I Ejercicios Derivadas (III) Derivadas de orden superior 1. Sea 2 1− Utilice el método de demostración por inducción matemática para demostrar que la fórmula 2 (!) () () = (1 − )+1 () = es válida para todo ≥ 1. 2. Sea () = sen Utilice el método de demostración por inducción matemática para demostrar que la fórmula ³ ´ () () = sen + 2 es válida para todo ≥ 1. 3. Demuestre que si () = 1 − + 2 −2 (1 y 2 son constantes reales) entonces 00 () + 3 0 () + 2 () = 0 4. Sean () = sen () = cos Demuestre que 00 () = 2 () 00 () = −2 () Ejercicios 5. Sea () = sen ( arcsen ) donde es una constante real. [Cuidado, la “identidad” sen ( arcsen ) = sen (arcsen ) ¡es falsa! de modo que ni lo piense.] Demuestre que ¡ ¢ 1 − 2 00 () − 0 () + 2 () = 0 6. El polinomio () = 3 + 2 + + satisface las tres condiciones siguientes: (a) (0) = (1) = −2 (b) 0 (0) = −1 (c) 00 (0) = 10 Calcule los valores de las constantes , , y . 7. Demuestre la fórmula [ () ()](2) = (2) () (0) () + 2 (1) () (1) () + (0) () (2) () 8. Demuestre la fórmula [ () ()](3) = (3) () (0) () + 3 (2) () (1) () + 3 (1) () (2) () + (0) () (3) () 9. Si observa con cuidado las fórmulas de los dos ejercicios anteriores, notará que tienen un gran parecido con fórmulas muy conocidas del álgebra elemental. En efecto, estas fórmulas traen a la mente dos casos particulares de la fórmula del Binomio de Newton: ( + )2 = 2 + 2 + 2 ( + )3 = 3 + 32 + 3 2 + 2 Obviamente, estas dos fórmulas pueden escribirse en la forma ( + )2 = 2 0 +21 1 +0 2 ( + )3 = 3 0 +32 1 +31 2 +0 3 De hecho es posible demostrar (no lo intente, no es fácil) que la siguiente generalización, conocida como la fórmula de Leibniz, es válida para todo ≥ 0: µ ¶ X (−) () [ () ()] = () () () =0 donde el símbolo ¡¢ representa el número combinatorio definido por µ ¶ ! = ! ( − )! Página 2 de 6 Derivadas (III) 10. Sea () = . Aplique la fórmula de Leibniz para calcular () () donde es un entero ≥ 1 arbitrario. Derivación implícita 1. Sea la curva de ecuación implícita + log − = 0 La siguiente figura muestra la parte de la gráfica de en la ventana de visualización 0≤≤3 0≤≤2 y 2 (1,1) 1 0 0 1 2 3 x Compruebe analíticamente que pasa por el punto (1 1). Encuentre fórmulas “explícitas” para y 2 2 . Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente a en (1 1). 2. Sea la curva de ecuación implícita log − − 1 = 0 La figura siguiente muestra la parte de la gráfica de en la ventana de visualización −2 ≤ ≤ 2 Página 3 de 6 0≤≤4 Ejercicios y 4 3 (0,e) 2 1 x -2 -1 0 1 2 Compruebe analíticamente que pasa por el punto (0 ). Encuentre fórmulas “explícitas” para y 2 2 . Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente a en el punto (0 ). 3. Sea la curva de ecuación implícita (−1) − arctan ( + ) + =0 4 La figura siguiente muestra la parte de la gráfica de la ecuación en la ventana de visualización 0≤≤2 −1≤ ≤1 Página 4 de 6 Derivadas (III) y 1 0 1 2 x -1 Compruebe analíticamente que pasa por el punto (1 0). Encuentre una fórmula “explícita” para . Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente a en (1 0). Página 5 de 6 Ejercicios Respuestas Derivadas de orden superior 6. = −4, = 5, = −1, = −2 10. ( + ) Derivación implícita 1. =− ( + log ) 2 [(2 − + ) + (2 + 2 + log ) log ] = 2 2 ( + log )3 + − − 1 = 0 2. 2 = 1 − 2 3 (3 − 2) = 2 (1 − )3 − 2 − = 0 £ ¤ 2 + ( − 1) 1 + ( + )2 (−1) £ ¤ ª 3. = © − + ( + ) 1 + ( + )2 (−1) Página 6 de 6 (2 − ) − + = 0