Download Derivadas (III)

UNIVERSIDAD DEL CAUCA
Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación
Departamento de Matemáticas
CÁLCULO I
Ejercicios
Derivadas (III)
Derivadas de orden superior
1. Sea
2
1−
Utilice el método de demostración por inducción matemática para demostrar que la
fórmula
2 (!)
 () () =
(1 − )+1
 () =
es válida para todo  ≥ 1.
2. Sea
 () = sen 
Utilice el método de demostración por inducción matemática para demostrar que la
fórmula
³
 ´
()
 () = sen  +
2
es válida para todo  ≥ 1.
3. Demuestre que si
 () = 1 − + 2 −2
(1 y 2 son constantes reales) entonces
 00 () + 3 0 () + 2 () = 0
4. Sean
 () =  sen 
 () =  cos 
Demuestre que
 00 () = 2 ()
00 () = −2 ()
Ejercicios
5. Sea
 () = sen ( arcsen )
donde  es una constante real. [Cuidado, la “identidad”
sen ( arcsen ) =  sen (arcsen )
¡es falsa! de modo que ni lo piense.] Demuestre que
¡
¢
1 − 2  00 () −  0 () + 2  () = 0
6. El polinomio  () = 3 + 2 +  +  satisface las tres condiciones siguientes:
(a)  (0) =  (1) = −2
(b)  0 (0) = −1
(c)  00 (0) = 10
Calcule los valores de las constantes , ,  y .
7. Demuestre la fórmula
[ ()  ()](2) =  (2) ()  (0) () + 2 (1) ()  (1) () +  (0) () (2) ()
8. Demuestre la fórmula
[ ()  ()](3) =  (3) ()  (0) () + 3 (2) ()  (1) () + 3 (1) ()  (2) () +  (0) () (3) ()
9. Si observa con cuidado las fórmulas de los dos ejercicios anteriores, notará que tienen
un gran parecido con fórmulas muy conocidas del álgebra elemental. En efecto, estas
fórmulas traen a la mente dos casos particulares de la fórmula del Binomio de Newton:
( + )2 = 2 + 2 +  2
( + )3 = 3 + 32  + 3 2 +  2
Obviamente, estas dos fórmulas pueden escribirse en la forma
( + )2 = 2  0 +21  1 +0  2
( + )3 = 3  0 +32  1 +31  2 +0  3
De hecho es posible demostrar (no lo intente, no es fácil) que la siguiente generalización, conocida como la fórmula de Leibniz, es válida para todo  ≥ 0:
 µ ¶
X
 (−)
()
[ ()  ()] =

()  () ()

=0
donde el símbolo
¡¢

representa el número combinatorio definido por
µ ¶

!
=
! ( − )!

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Derivadas (III)
10. Sea  () =  . Aplique la fórmula de Leibniz para calcular  () () donde  es un
entero ≥ 1 arbitrario.
Derivación implícita
1. Sea  la curva de ecuación implícita
 +  log  −  = 0
La siguiente figura muestra la parte de la gráfica de  en la ventana de visualización
0≤≤3
0≤≤2
y
2
(1,1)
1
0
0
1
2
3
x
Compruebe analíticamente que  pasa por el punto (1 1). Encuentre fórmulas “explícitas” para  y 2 2 . Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente
a  en (1 1).
2. Sea  la curva de ecuación implícita
log  −  − 1 = 0
La figura siguiente muestra la parte de la gráfica de  en la ventana de visualización
−2 ≤  ≤ 2
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0≤≤4
Ejercicios
y
4
3
(0,e)
2
1
x
-2
-1
0
1
2
Compruebe analíticamente que  pasa por el punto (0 ). Encuentre fórmulas “explícitas” para  y 2 2 . Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente
a  en el punto (0 ).
3. Sea  la curva de ecuación implícita
(−1) − arctan ( + ) +

=0
4
La figura siguiente muestra la parte de la gráfica de la ecuación en la ventana de
visualización
0≤≤2
−1≤ ≤1
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Derivadas (III)
y
1
0
1
2
x
-1
Compruebe analíticamente que  pasa por el punto (1 0). Encuentre una fórmula
“explícita” para . Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente a  en
(1 0).
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Ejercicios
Respuestas
Derivadas de orden superior
6.  = −4,  = 5,  = −1,  = −2
10. ( + ) 
Derivación implícita
1.


=−


 ( + log )
2 
 [(2 −  +  )  + (2 + 2 + log ) log ]
=
2
2 ( + log )3
 +  −  − 1 = 0
2.
2

=
 1 − 
2 
 3 (3 − 2)
=
2
(1 − )3
 − 2  −  = 0
£
¤
2 +  ( − 1) 1 + ( + )2 (−1)

£
¤
ª
3.
= ©
  − + ( + ) 1 + ( + )2 (−1)
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(2 − )  −  +  = 0