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Funciones recíprocas de las funciones circulares. Funciones hiperbólicas y sus recíprocas. Situaciones en las que aparecen Título: Funciones recíprocas de las funciones circulares. Funciones hiperbólicas y sus recíprocas. Situaciones en las que aparecen. Target: Profesores de Matemáticas.. Asignatura: Matemáticas. Trigonometría.. Autor: Emiliana Oliván Calzada, Licenciada en Matemáticas, Profesora de Matemáticas en Educación Secundaria. 1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS. Las funciones trigonométricas no son biyectivas, por lo que hay que restringirlas a intervalos convenientes para que existan las recíprocas. A. La función arco seno f : , 1,1 La función es biyectiva. 2 2 x f x senx Entonces podemos definir la función recíproca f f 1 1 llamada arco seno, denotada arcsen como: arcsen : 1, 1 , . 2 2 x arcsen x arcsenx Su gráfica es simétrica de la gráfica senx respecto de la bisectriz del primer cuadrante. PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012 284 de 293 Su derivada es arcsenx 1 1 x2 . Demostración: f x senx f x cos x f 1 x arcsenx f f 1 x cosarcsenx . Ahora bien: sen 2 arcsenx cos 2 arcsenx 1 cos 2 arcsenx 1 x 2 cos arcsenx 1 x 2 f 1 creciente 1 x2 f f 1 x cosarcsenx 1 x 2 . 1 1 1 f 1 x f 1 x arcsenx 1 2 f f x 1 x 1 x2 Luego tenemos que Y como: B. La función arco coseno f : 0, 1, 1 es biyectiva. Así, podemos definir la función recíproca f x f x cos x arco coseno, denotada arc cos como: La función 1 llamada PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012 285 de 293 f 1 arc cos : 1, 1 0, x f 1 x arc cosx arc cos x . Su gráfica es: Su derivada es arccos x 1 1 x2 . Demostración: Análoga a la de la función anterior. C. La función arco tangente f : , R La función es biyectiva. 2 2 x f x tgx Así, podemos definir la función recíproca f f 1 1 llamada arco tangente y denotada arctg como: arctg : R , . Su gráfica es simétrica de la gráfica de la función tgx respecto de la 2 2 x arctg x arctgx bisectriz del primer cuadrante. PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012 286 de 293 Su derivada es: arctgx 1 . 1 x2 Demostración: f x tgx f x 1 tg 2 x f f 1 x f 1 x f f 1 1 x arctgx 1 tg 2 arctgx 1 x 2 f 1 x arctgx 1 1 x2 Nota: Análogamente podemos estudiar las funciones recíprocas del resto de funciones trigonométricas. 2. FUNCIONES HIPERBÓLICAS. La circunferencia goniométrica tiene como ecuación x 2 y 2 1 y sus ecuaciones paramétricas son x cos t . Por eso las funciones seno y coseno reciben el nombre de funciones circulares. y sent Análogamente, una hipérbola tiene como ecuación x2 y2 1 y sus ecuaciones paramétricas son a2 b2 x aCht , siendo Sht el seno hiperbólico de t y Cht el coseno hiperbólico de t. Estas funciones son y bSht funciones hiperbólicas. PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012 287 de 293 A. La función seno hiperbólico Definimos la función seno hiperbólico, denotada Sh , Shx f :RR como: x Shx e x ex . Notar que Shx Sh x luego es una función impar. Su gráfica es: 2 Su derivada es Shx e x ex Chx (lo definiremos a continuación). 2 B. La función coseno hiperbólico Definimos la función coseno hiperbólico, denotada Ch , como: Chx e x ex . 2 Es una función par, Ch x Ch x su gráfica es: PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012 288 de 293 Su derivada es: Chx e x ex Shx . 2 Propiedad: Ch 2 x Sh 2 x 1 . Demostración: Inmediata por definición. D. La función tangente hiperbólica Definimos la función tangente hiperbólica, f : R 1, 1 , denotada Th como: Thx Shx e x e x . Es una función impar, ya que, Th x Th x . Su gráfica es: Chx e x e x Ch 2 x Sh 2 x 1 Su derivada es: Thx . 2 Ch x Ch 2 x D. La función cosecante hiperbólica Definimos la función cosecante hiperbólica denotada Cosec h como: Co sec hx 1 . Shx Su gráfica es: PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012 289 de 293 Su derivada es: Co sec hx Chx . Sh 2 x E. La función secante hiperbólica: Definimos la función secante hiperbólica denotada Sech como: Sechx Su derivada es: Sechx 1 . Su gráfica es: Chx Shx . Ch 2 x E. La función cotangente hiperbólica Definimos la función cotangente hiperbólica denotada Cotgh x x como: Cotghx 1 e x e x Chx . Su Thx e e Shx gráfica es: PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012 290 de 293 Su derivada es: Cotghx 1 . Sh 2 x 3. FUNCIONES RECÍPROCAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS. A. La función argumento seno hiperbólico La función f :RR es biyectiva. Así, podemos definir su función recíproca f x f x Shx argumento seno hiperbólico denotada arg Sh como: f 1 arg Sh : R R x arg Sh ( x) arg Shx 1 llamada . Su gráfica viene dada por: Veamos otra forma de expresarla: y arg Shx x Shy e y ey e y e y e y 2x e 2 y 2 xe y 1 0 y 2 e 2x 4x 2 4 ey x x 2 1 e y x x 2 1 y ln x x 2 1 2 ey 0 1 derivada es: arg Shx x2 1 . Su x R PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012 291 de 293 Veámoslo: 1 2x 1 x x2 1 2 1 x2 arg Shx 1 x2 1 x 1 2 2 x 1 x x 1 1 x2 1 B. La función argumento coseno hiperbólico La función f : 0, 1, x f x Chx es biyectiva. Así podemos definir su función recíproca f argumento coseno hiperbólica, denotada arg Ch como: f 1 1 llamada arg Ch : 1, 0, arg Chx arg Chx x Su gráfica es: Análogamente al caso anterior vemos que arg Chx ln x x 2 1 f x Chx sea biyectiva hay que restringir el dominio a 0, . Tomando arg Chx ln x x 2 1 ,0 . Su derivada es: y y 1 x2 1 x 1 (porque para que x 1 obtenemos la otra rama, en este caso el dominio de f es x 1 . Veámoslo: 1 2x 1 x2 1 x 1 2 2 2 2 x x 1 2 x 1 x x 1 x 1 1 1 x2 1 C. La función argumento tangente hiperbólica f :RR es biyectiva. Así podemos definir la función recíproca f x f x Thx argumento de la tangente hiperbólica, denotada arg Th como: La función 1 llamada PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012 292 de 293 f 1 : arg Th : 1,1 R x arg Thx arg Thx . Su gráfica es: Veamos otra forma de expresarla: e y e y e2y 1 2y x e 2 y x e 2 y 1 e 2 y 1 x x 1 y y e e e 1 Su x 1 1 1 x 1 x 0 2 y ln y ln 1 x 1 1 x x1,1 2 1 x 1 x y arg Thx x Thy e2y derivada es: y 1 . Veámoslo: 1 x2 2 1 1 1 x 11 x 1 x 1 1 1 1 x 1 x 1 y arg Thx . 2 2 2 2 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 4. SITUACIONES REALES EN LAS QUE APARECEN. Aplicaciones de las funciones hiperbólicas 1.- Para resolver integrales de funciones irracionales. 2.- Para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. 3.- En el movimiento descendente de un cuerpo. NOTA: Las funciones circulares e hiperbólicas se utilizan en la mayoría de campos de otras ciencias. Gaudí utilizó las funciones hiperbólicas. Ejemplo: Casa Mila, La Pedrera. La función Chx se utiliza en la estructura arquitectónica del Arco Gateway en St Louis Missouri. PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012 293 de 293 5. ASPECTOS DIDÁCTICOS. Parte de los contenidos tratados en este tema aparecen en el programa de matemáticas I de 1º Bachillerato. Las funciones hiperbólicas no están incluidas en los programas de Bachillerato. El estudio de las recíprocas de las funciones circulares es útil para que los alumnos resuelvan ecuaciones trigonométricas y para que vean que sus gráficas son simétricas de las gráficas de las funciones circulares. ● Bibliografía Pisot-Zamansky. Matemáticas generales. Shervatov, V.G. Funciones hiperbólicas. Ayres,F. Cálculo diferencial. Spivak, M. Calculus. PublicacionesDidacticas.com | Nº 31 Noviembre 2012 294 de 293