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Estudios Pedagógicos XXXIII, Nº 2: 81-100, 2007
Estudios Pedagógicos XXXIII, Nº 2: 81-100, 2007
RENOVACION DE LA ENSEÑANZA DEL ALGEBRA ELEMENTAL
INVESTIGACIONES
RENOVACION DE LA ENSEÑANZA DEL ALGEBRA ELEMENTAL:
UN APORTE DESDE LA DIDACTICA*
Elementary algebra teaching renovation: a contribution from the didactic
Raimundo Olfos Ayarza1, Daniela Soto Soto2 y Héctor Silva Crocci3
Instituto de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Av. Blanco Viel 596, Cerro Barón,
Valparaíso, Chile. E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
Resumen
Abstract
Este escrito destaca la baja calidad de la enseñanza actual del álgebra elemental y muestra
la factibilidad de su renovación sustentada en
la didáctica como disciplina de base. En ese
contexto, describe el apoyo otorgado a dos
profesoras en la preparación y conducción
de actividades de clases que favorecen en sus
alumnos el funcionamiento de un pensamiento
de orden superior y una comprensión profunda
del álgebra elemental, conforme a las metas de
los programas de estudio. El escrito finaliza con
la caracterización del efecto de la estrategia de
apoyo en el aprendizaje de los alumnos y la
descripción del efecto de la experiencia en la
percepción de las profesoras sobre el mejoramiento de sus habilidades y conocimientos en
la didáctica del álgebra elemental.
This paper emphasizes low quality of the
present elementary algebra education and shows
the feasibility of its renovation sustained in the
Didactics as base discipline. In this context, it
describes the support offered to two teachers
on the lessons preparation and management
that favor their students higher order thinking
and deep understanding of elementary algebra,
according to curricular goals. The paper ends
with the characterization of the effect of the
strategy to support students learning, and the
description of the effect of the experience in the
teachers perception about the improvement of
their abilities and knowledge in the Didactics
of elementary algebra.
Palabras clave: didáctica de las matemáticas, álgebra elemental, innovación curricular,
formación continua, prácticas de enseñanza,
base de conocimientos para enseñar.
*
Key words: didactic of mathematics, elementary algebra, curricular innovation, continuing
education, teaching practices, knowledge base
for teaching.
Artículo elaborado en el marco de investigación financiada por la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso,
Código 124.707/2006. El informe fue postulado para su presentación en el “XIX Encuentro Nacional de
Investigadores en educación”, 14-16 de noviembre de 2007, Santiago, Chile.
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DIAGNOSTICO Y PROBLEMATIZACION
Más allá de las iniciativas públicas y privadas implementadas en los últimos 20 años,
la enseñanza de la matemática continúa con graves deficiencias en Chile. En particular,
los profesores enseñan el álgebra inicial siguiendo una tradición centrada en la manipulación mecánica de símbolos (Olfos 2005). Típicamente los alumnos aprenden a operar
expresiones algebraicas y resolver ecuaciones de primer grado, sin que estas tareas tengan
significación para ellos o las vinculen a problemas de contexto real, o las relacionen con
procesos de modelación o sirvan de acercamiento a formas de pensamiento matemático
de tipo inductivo, argumentativo, conjetural o demostrativo. El aprendizaje tradicional
del álgebra elemental no se ajusta a las necesidades de una sociedad moderna en la cual
las máquinas hacen los procesos rutinarios y las personas toman decisiones, analizan
fallos y se preparan para las innovaciones.
Este fenómeno de una enseñanza de baja calidad también se da en ciencias. Pasmanik
y Cerón (2005) muestran que las demandas intelectuales de las tareas de aprendizaje
contempladas en las clases de química en primero medio son bajas. Las tareas demandan una aplicación restringida y no una reflexión que trascienda el contexto. Las clases
corresponden a una Instrucción Tradicional, según la denominación de Arievitch y
Stetsenko (2000), en la que el profesor presenta y explica la tarea, presenta y explica
las reglas generales para la solución del problema, apoyándose en un ejemplo tipo, y el
alumnado después debe memorizarlas y practicarlas en la resolución de problemas típicos.
Pasmanik y Cerón (2005) infieren que las bajas demandas a los alumnos podrían estar
influidas por las creencias de la profesora acerca de los alumnos y por la gran cantidad
de alumnos en la sala de clases. Señalan, por ejemplo, que el trabajo cooperativo demanda de espacio físico y que las actividades de debate tampoco son posibles en grupos
numerosos, citando a autores como De Corte (2000) y Doherty et al. (2002).
En general la enseñanza de las ciencias y de las matemáticas son de bajo nivel
cognitivo en nuestro país. Usualmente se ponen en juego pensamientos reproductivos y
no de orden superior, como, por ejemplo, sugiere Fisher (2005) desafiando a los niños
con actividades que los lleven al análisis de información, a razonar, a investigar a pensar
creativamente o a evaluar.
El programa de estudio en Matemáticas de primero medio (MINEDUC 1998b) presenta dos unidades referidas al álgebra, “lenguaje algebraico” y “factores y productos”.
Ambas unidades fueron diseñadas proveyendo ideas modernistas. La unidad “lenguaje
algebraico” plantea cuatro núcleos temáticos, de los cuales, los dos primeros muestran
el álgebra como un lenguaje, con su dominio semántico y sintáctico. Las letras son presentadas como incógnitas, como números generalizados, como magnitudes arbitrarias y
finalmente como variables. El programa sugiere que las letras no sólo hagan referencia
a cantidades discretas sino también a magnitudes en fórmulas como en el caso del área
de una región rectangular, poniendo de manifiesto la conveniencia de que el profesor
incorpore la visualización para facilitar al alumno la comprensión y ofrecerle un contexto
significativo con respecto al lenguaje algebraico. El tercer núcleo presenta las ecuaciones de primer grado, no en el marco del anillo entero Z, sino a partir de situaciones en
contexto, como los problemas que dieron origen a las ecuaciones en la antigüedad. Este
enfoque deja en claro que se trata de la enseñanza de una matemática útil para todo
el mundo y que cumple una función en la sociedad. El programa propone partir de las
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situaciones problemas a las ecuaciones y no de las ecuaciones a los problemas verbales como es propuesto en los textos tradicionales y lo siguen haciendo los profesores
según se observa en distintos registros: videos de clases, cuadernos de alumnos, guías
de ejercicios preparadas por los profesores y textos escolares elegidos por los docentes
para usarlos en sus clases (Olfos 2004). El cuarto y último núcleo sobre demostraciones
muestra la esencia de la matemática como ciencia formal y no ciencia empírica. Da al
profesor la posibilidad de mostrar que la validez en matemáticas reside en los procesos
deductivos basados en datos o bien axiomas.
Pese a que el Marco Curricular (MINEDUC 1998a) y los Programas de estudio (MINEDUC 1998b) requieren de los profesores de matemáticas una enseñanza “modernista”,
ellos insisten en una “tradicional”, como la organizada en el texto de álgebra de Aurelio
Baldor (1999) de la década de 1940. Cabe la interrogante, ¿por qué los profesores no se
apropian del espíritu de la Reforma y no implementan las clases conforme a la misma?
¿En qué ha fallado la implementación de la Reforma, los cursos de apropiación curricular
y el Programa de Perfeccionamiento Fundamental a los docentes?
En parte la respuesta a estas interrogantes obedece a que los profesores están sujetos a un entramado de condiciones que limitan sus actuaciones; condiciones como la
reacción de sus alumnos frente a su actuación en el aula, el éxito de sus alumnos en
pruebas estandarizadas, la aceptación de su trabajo por parte de la comunidad, esto es,
sus pares, los apoderados, los directivos y sostenedores. Un condicionamiento fuerte,
por ejemplo, proviene de la forma en que se administra y financia la educación en
nuestro país: con el objeto de masificar la educación en los años 60 a 80 se contrató a
los profesores para atender cursos masivos y asumir un gran número de horas de clases
frente a curso. A partir de los años 90 el foco fue la inversión, el gasto en educación
en el país pasó del 3,8% del PIB en 1990 al 7,1% en el 2003 (Marcel y Tokman 2005),
los profesores mejoraron su poder adquisitivo pero no cambiaron sus condiciones de
trabajo, y persisten las evidencias de un estancamiento de la calidad de la educación
expresada en términos de los aprendizajes que alcanzan los alumnos. La realidad chilena
muestra que los profesores no cambian sus formas de trabajo en el contexto de la tradición imperante y las formas contractuales actuales. El mejoramiento de la calidad de la
enseñanza, como queda de manifiesto en experiencias exitosas en otros países (Isoda et
al., en prensa), requiere de profesores reflexivos, que evalúen y modifiquen sus prácticas
y, en consecuencia, dediquen tiempo para preparar sus clases.
Ferrada y Villena (2005), en un estudio de casos, identifican en los profesores de
matemáticas una autonomía profesional declarativa, a nivel de discurso en contextos
libres de coerciones, ejemplificándola con un profesor que en reunión de departamento
dice “...somos los especialistas y determinamos el priorizar y profundizar un contenido
sobre los otros; somos nosotros los que decidimos, no el jefe de UTP o la reforma”. Sin
embargo, muestran cómo esta seguridad avalada en su saber disciplinar se pierde a nivel
operativo cuando reconoce la sujeción a los reglamentos: “Hay un ensayo del SIMCE y
estamos solicitando a los que tienen clase en la tarde que se queden. Los reglamentos
vienen del Ministerio, nosotros sólo tenemos que llevarlo a cabo ...”. Ferrada y Villena
(2005) concluyen que las disciplinas como matemática, al ser la cara visible de la “calidad de los aprendizajes” institucionales, reciben constantes presiones de las pruebas
SIMCE y PSU, que determinan ranking y estatus, y de los padres y apoderados, que
exigen rendimiento en ese tipo de pruebas que determinan el futuro profesional de los
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estudiantes. Esta situación fortalece actitudes de dependencia del profesor a un sistema
jerarquizado de carácter técnico y a un quehacer docente centrado en preguntas sobre
qué enseñar y en qué momentos hacerlo y no en el mejoramiento de los procesos de
enseñanza y aprendizaje al interior de la disciplina; desperfilándose su rol de profesional
autónomo.
FASE DE PLANEAMIENTO
Revisiones en la literatura: Ya hace un cuarto de siglo, Shön (1983) afirmaba que la
formación de profesores basada en la práctica reflexiva abriría camino ante el agotado
sistema de cursos que han intentado mejorar la formación continua de los profesores
con muchos años de docencia. La opción formativa de la práctica reflexiva se basa en el
trabajo en grupo de docentes dirigidos por un experto que promueve la reflexión a partir
de la experiencia docente. En el mundo real de la práctica docente, los profesores deben
identificar los problemas, conceptuarlos y en este proceso reflexivo sobre la práctica han
de participar para buscar soluciones. El profesor como investigador en el aula, según la
visión de Stenhouse (1988), ha de planear y tomar decisiones en la misma clase sobre
los procesos de enseñanza. La adecuación de estos postulados queda en evidencia, por
ejemplo, con el exitoso estilo de clase de matemática desarrollado en Japón (Isoda et al.,
en prensa). En la actualidad se reconoce internacionalmente que el profesor, además de
poseer un buen dominio de la disciplina que enseña, requiere desarrollar un conocimiento
epistemológico o didáctico de la misma. Esto es, un saber acerca de los conocimientos que
ponen en juego los alumnos, un saber acerca de los obstáculos y errores que enfrentan los
alumnos, y un saber del profesor acerca de los aspectos del conocimiento disciplinario que
afectan la gestión de su clase. Estos saberes que han emergido a partir de estudio de la
enseñanza, atendiendo tanto a la realidad del profesor en su institución como al alumno y
al conocimiento a enseñar fue denominado por Brousseau (1986) como didáctica. En la
literatura anglosajona este conocimiento didáctico se identifica como “pedagogical content
knowledge” (Shulman 1987), diferenciándolo del “content knowledge” y del “pedagogical
knowledge”. Ya hace dos décadas, Shulman (1987) hacía notar que el estudio de la comprensión de los contenidos a enseñar por parte de los profesores y la relación entre tal
comprensión y su práctica instruccional era un paradigma faltante en la investigación sobre
la enseñanza. Middleton y Blumenfeld (2000) recogieron evidencias de que las capacidades
necesarias para enseñar bien ciencias y para el desarrollo profesional de los profesores son
más bien dependientes de los contenidos específicos que genéricas.
Para investigar y producir cambios en torno a las prácticas instruccionales concretas de los profesores y en torno al conocimiento teórico de la problemática se muestra
propicia la investigación-acción, la cual se inicia con el problema contextualizado, la
constitución de un equipo de investigadores y la delimitación de marco teórico, Luego,
se establece contacto con los actores, en este caso profesores, con quienes se comparte
la mirada al problema. Teniendo como antecedente un diagnósico global, se establece
el plan de acción para atender las necesidades locales de los profesores participantes, se
ejecuta el plan, se reflexiona sobre ese quehacer y se evalúa el impacto. La investigaciónacción, articula la dimensión teórica con la práctica, atendiendo la problemática desde
esa perspectiva bidimensional.
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Figura 1
Organización práctica y teórica de la investigación-acción,
esquema tomado de Colas (1994: 297)
Diagnóstico
Plan de Acción
Acción
Observación
Evaluación o
Reflexión
Formulación del problema
Recogida de datos y Trabajo de campo
Interpretación de nuevos datos y Discusión de resultados
Especificaciones de la Investigación: En esta ocasión se constituyó un grupo de investigación en la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso en torno a la problemática de
la didáctica del álgebra escolar, conformado por un doctor en educación experimentado
en formación de profesores de matemáticas y tres ayudantes de investigación, siendo
dos de ellos además profesores de aula. El grupo asumió la existencia de conocimientos
didácticos situados, que al ponerlos en juego el profesor, llevan al alumno a involucrarse
en una actividad cognitiva que disminuiría la distancia entre los aprendizajes establecidos en los programas de estudio que favorecen el pensamiento de orden superiores
y los aprendizajes que usualmente abordan los profesores en las aulas centrados en el
pensamiento reproductivo.
Objetivos: Consecuente con el marco de referencia, el grupo postuló como hipótesis
que los profesores renovarían sus prácticas de enseñanza a partir de la reflexión y el
apoyo ofrecido por los especialistas en posesión del saber didáctico de la disciplina. El
apoyo afectaría la comprensión y por ende implementación de sus prácticas de enseñanza
y los logros de aprendizaje de sus alumnos. Así, el objetivo práctico de la investigaciónacción fue el robustecimiento del saber didáctico de los profesores para así mejorar la
enseñanza y los aprendizajes en la iniciación al álgebra escolar, y el objetivo teórico fue
la construcción de ese conocimiento didáctico en torno a la iniciación al álgebra escolar.
Planteándose los siguientes objetivos específicos:
a. Favorecer la construcción de conocimientos didácticos situados en dos profesoras
en torno a la iniciación al álgebra, recogiendo evidencias de ello, y
b. Desarrollar en los alumnos un pensamiento algebraico de nivel superior en la iniciación al álgebra, recogiendo evidencias de ello.
Sujetos: Cuatro profesoras de matemática participaron en la experiencia. Sólo dos fueron
consideradas para los análisis que siguen en este reporte. Las dos profesoras realizaban
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clases en primero medio en colegios urbanos, uno particular pagado y otro particular
subvencionado, de la Comuna de Viña del Mar. Ambas participaron de manera voluntaria
en la experiencia y contaron con el apoyo de sus instituciones, las que formalizaron su
adhesión al proyecto con un pequeño aporte económico.
Figura 2
Esquema de las etapas de la investigación-acción emprendida
Marco metodológico: El centro de la investigación-acción lo constituyó la construcción
de secuencias de enseñanza utilizando nociones de didáctica acordadas en un taller con
profesores de aula. Una vez diseñado el taller se invitó a que profesores de la cercanía
participaran en él. Combinando práctica y teoría, se trabajó en el taller bajo el supuesto de que el conocimiento didáctico del profesor es situado. Tras delimitar con los
profesores participantes los temas a tratar en el aula, fueron construidos los criterios e
instrumentos para valorar el éxito de la experiencia. Así, de manera traslapada, se procedió a especificar los saberes didácticos a poner en juego en el aula y los aprendizajes
a desarrollar en los alumnos.
Criterios para la elaboración de instrumentos: Se utilizaron técnicas cualitativas para
recoger evidencias de los logros del estudio. Estas técnicas se limitaron a identificar
la autopercepción de las profesoras con respecto a sus aprendizajes en didáctica y a
caracterizar los aprendizajes de orden superior de los alumnos.
a. La delimitación del conocimiento didáctico a desarrollar en las profesoras se
plasmó en una tabla que iluminó las actividades de reflexión con ellas, las hojas
para el trabajo en aula con los alumnos y la evaluación de los aprendizajes en
didáctica de las profesoras realizada. La tabla consideró tres categorías, a saber:
habilidades metamatemáticas, habilidades que favorecen la conceptualización y
actitud didáctica.
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Tabla 1
Especificación de los conocimientos y habilidades didácticas consideradas
para la preparación y gestión de las clases o lecciones propuestas
Habilidades y Conocimientos Didácticos
Habilidades metamatemáticas:
No dependen de un
concepto matemático
específico.
1. Facilitar adquisición de destrezas de resolución de problemas y la
capacidad para razonar.
2. Atender a preguntas de alumnos relativas a los contenidos matemáticos.
3. Incentivar la formulación de conjeturas y validaciones de los alumnos.
4. Favorecer la conversión y/o tratamiento de las representaciones de
los objetos matemáticos.
5. Incentivar la reflexión sobre procedimientos de pensamientos propios
y de los pares, y crear instancias para compartir.
Habilidades que
favorecen la conceptualización:
1. Tener conciencia de los errores de concepto usuales y las maneras
de enfrentarlos.
2. Responder perceptivamente y con flexibilidad a las diferentes dificultades en matemática de alumnos.
3. Flexibilizar la enseñanza al visualizar formas alternativas de entrar
Dependen de los
en una misma idea o problema.
conceptos específicos.
4. Representar ideas importantes en una forma que las haga entendible.
a. Generar analogías para explicar ideas.
b. Generar representaciones.
c. Ofrecer problemas verbales.
5. Bosquejar las conexiones entre las ideas matemáticas.
6. Distribuir los tiempos para actividades de aprendizaje y de ejercitación.
7. Crear actividades que lleven a diferentes tratamientos, con el fin de
crear conflicto entre los alumnos y llamar a la discusión.
8. Realizar actividades que provoquen conflicto intelectual.
Actitud didáctica:
Valoración de lo que
deben aprender sus
alumnos.
1. Privilegiar rol del profesor en la conexión de saberes y descubrimiento, sobre la transmisión.
2. Favorecer la construcción de las ideas matemáticas; la modelación de
destrezas y actitudes de investigación y el desarrollo de herramientas
de inquisición.
b. La delimitación de los aprendizajes algebraicos y de orden superior a desarrollar en
los alumnos se plasmó en una tabla con estándares de contenido y de desempeño
elaborados por los investigadores a partir de los objetivos fundamentales, contenidos
mínimos y los aprendizajes esperados estipulados en el programa de matemática de
primero medio (MINEDUC 1998).
Los estándares referidos al uso de las letras en la iniciación al álgebra y al uso del
álgebra para demostrar propiedades de los números aparecen en la tabla 2.
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Tabla 2
Estándares de contenido y de desempeño considerados en la preparación de los materiales de
instrucción y en la organización de las clases correspondientes
Estándares de contenidos:
Estándares de desempeños:
Qué debe saber y saber hacer Grados de dominio o niveles de logro
(Conocimientos y destrezas). (Qué nivel de logros es satisfactorio)
Usa lenguaje algebraico para
expresar fórmulas, frases
o esquemas de situaciones
cuantitativas con números
conocidos, desconocidos y
variables.
(básico) Usa letras para expresar números generalizados y
expresar algebraicamente procesos aritméticos básicos.
(normal) Muestra facilidad y confianza en el uso de formas
simbólicas.
(alto) Escribe fórmulas, aclara y hace conciso aseveraciones
matemáticas. Utiliza variable.
Usa lenguaje algebraico para
generalizar situaciones, expresar conjeturas y establecer
patrones numéricos.
(básico) Reconoce y en casos simples y formula reglas para
generar modelos o sucesiones.
(alto) Representa y describe fenómenos de variación y cambio.
Interpreta la valoración de
expresiones.
(básico) Interpreta el significado de sustituir letras por números en fórmulas y expresiones simples.
Indicadores
Demuestra propiedades numé- (alto) Utiliza adecuadamente la lógica, las definiciones de los
ricas simples usando lenguaje objetos y de las relaciones matemáticas, las hipótesis y tesis
algebraico.
para demostrar propiedades de los números pares, impares, la
suma y otros.
(alto) Demuestra propiedades de divisibilidad, múltiplos y
divisores comunes, usando el lenguaje algebraico, hipótesis,
propiedades asumidas y la tesis.
Estos fueron los estándares tenidos en cuenta al analizar las respuestas de los alumnos
en las entrevistas y decidir el nivel de logros de aprendizaje alcanzados tras las actividades
basadas en las hojas de trabajo propuestas por el grupo de investigación.
Instrumentos de mediciOn:
a. Para valorar los aprendizajes en didáctica el Grupo de investigadores elaboró un
cuestionario con 4 ítemes conforme a una escala tipo Likert y un ítem abierto para
su aplicación a las profesoras al finalizar la experiencia.
b. Para medir el impacto de la experiencia en el saber de los alumnos acerca del álgebra elemental y del desarrollo de un pensamiento algebraico de orden superior
se utilizaron entrevistas y cuestionarios que variaron según los grupos cursos y los
temas tratados. En el caso de los alumnos del colegio particular subvencionado fue
posible aplicar un test estandarizado a todo el grupo curso, la versión en español
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del test de Orleans Hanna (Villagrán 1996). Lo que permitió apreciar los resultados desde una perspectiva más estandarizada. También se aplicaron entrevistas y
un cuestionario a un grupo focal. En el caso de los alumnos del colegio particular
pagado, donde fueron tratadas demostraciones de las propiedades de los números
utilizando lenguaje algebraico, sólo fue posible aplicar entrevistas en profundidad
en un grupo focal. El grupo focal de cinco alumnos fue elegido por la profesora,
barriendo el espectro de habilidades para la matemática según su apreciación.
FASE DE ACCION
Antes de intervenir en el aula, el plan de acción contempló un trabajo de taller
con las profesoras y un trabajo de preparación de materiales tanto para el taller como
para el aula por parte del grupo de investigación. Ambas actividades son descritas a
continuación:
Trabajo previo a la intervención en el aula: Los investigadores, además de preparar el
taller con profesores, prepararon material de enseñanza para los alumnos de las profesoras que participaron en el taller. En efecto, una vez que las profesoras expusieron los
temas de álgebra que trabajarían en las semanas siguientes con sus alumnos de primero
medio, el grupo de investigación preparó una intervención situada, esto es, acorde a la
realidad de cada curso. Los investigadores, en coordinación con las profesoras, elaboraron
materiales para los alumnos e instrucciones para la gestión de las clases.
Para el curso del colegio subvencionado se diseñaron actividades que introducen
el uso de letras como incógnita y como variable, y que introducen el lenguaje algebraico con su dimensión sintáctica y semántica. De modo que el lenguje algebraico
tuvo sentido para los alumnos, situación que no había considerado la profesora en
la enseñanza del álgebra los años anteriores. La bibliografía consultada incluyó los
trabajos de Villagrán y Olfos (2001), Mac Gregor y Price (1999), Nathan y Koedinger
(2000) y de Hart (1981).
Para el colegio particular pagado se diseñaron actividades acerca de las demostraciones. La profesora reconoció que el tema de las demostraciones, si bien aparece en los
programas, nunca había sido tratado por ella en clases. El grupo de investigación preparó
el material correspondiente usando como base el trabajo de Healy y Hoyles (2000).
El grupo de investigación implementó un sitio web para facilitar la comunicación
y cooperación entre los investigadores y profesoras participantes. Todo este trabajo en
colaboración con las profesoras, más allá de favorecer el aprendizaje de los alumnos,
fue diseñado para favorecer la construcción de conceptos y habilidades didácticas en
las mismas profesoras.
El taller con profesores: El grupo de investigación preparó un taller: decidió los objetivos,
preparó los temas y materiales, estableció la convocatoria y la modalidad de participación de los docentes: número de sesiones, periodicidad y fechas de trabajo. En el taller
participaron las dos profesoras, favoreciendo en ellas la comprensión de la didáctica del
álgebra elemental. El taller constó de tres sesiones realizadas a intervalos de 15 días, las
cuales involucraron tareas compartidas a través de una plataforma virtual.
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Primera sesión: Al inicio se informó el objetivo de la investigación-acción y la metodología del taller. Luego fueron explicados algunos aspectos críticos de la iniciación
al álgebra escolar presentes en la literatura actual. Finalmente hubo una reflexión
entre pares con respecto a las prácticas de enseñanza usuales y a las posibilidades
de enriquecer la enseñanza del álgebra con nuevos enfoques, teniendo presente las
recomendaciones de la literatura. La reflexión tuvo una orientación práctica y discutió
cómo podrían hacerse innovaciones en las aulas propias atendiendo a las sugerencias
de la literatura con respecto al desarrollo del pensamiento matemático de nivel superior en sus alumnos.
Segunda sesión: Las profesoras identificaron los temas que tratan con sus alumnos y
aquellos que no los tratan a pesar de estar establecidos en los programas de estudio. Los
investigadores propusieron los temas a innovar en el aula y la forma de hacerlo. Las
profesoras expresaron sus preferencias y se establecieron acuerdos para las distintas aulas.
En el establecimiento particular subvencionado se acordó integrar aspectos sintácticos
como semánticos en el estudio del lenguaje algebraico; en uno de los establecimientos
particular pagado se decidió incluir actividades de demostración de propiedades numéricas usando lenguaje algebraico. Los investigadores establecieron los saberes didácticos
situados que se considerarían para enriquecer la actividad en el aula, a saber: el reconocimiento de los conceptos y destrezas del álgebra elemental que son difíciles de aprender
por los alumnos, el reconocimiento de obstáculos didácticos asociados al aprendizaje de
saberes específicos del álgebra elemental y la identificación de los saberes que requiere
poner en juego un alumno para la adquisición de aprendizajes referidos a la iniciación
al álgebra escolar.
Tercera sesión: Las profesoras y los investigadores conversaron sobre los materiales de
enseñanza que estaban utilizando con los alumnos y sobre su impacto en los aprendizajes de los alumnos.
El trabajo de las profesoras en el aula: La intervención en el aula varió en cada colegio en cuanto a su duración y a la temática tratada. El trabajo en el colegio particular
subvencionado se extendió por 6 horas de clases durante las cuales se implementaron
4 fichas de trabajo. Una de ellas se refiere al uso de letras en el proceso de generalización, la cual se muestra, a modo de ejemplo, con las instrucciones para el alumno y
para el docente. Las otras fichas se refirieron al uso de letra para representar números,
a situaciones en que las letras no representan números sino abreviaciones, objetos o
unidades de mediada entre otros usos y a los distintos significados que pueden tomar
las expresiones algebraicas.
El trabajo en el colegio particular pagado se restringió a 2 horas de clases durante las
cuales se implementaron 2 fichas de trabajo. Considerando la complejidad de aprender
a demostrar, se plantearon objetivos restringidos; a saber, que los alumnos diferenciaran
entre los datos dados y la proposición a demostrar, que diferenciaran entre una verificación y una demostración general, que reconocieran que una demostración puede ser
formulada en distintos registros y utilizando distintas propiedades de base, y que una
demostración es un proceso deductivo que parte de datos que se asumen válidos o ya
conocidos y que lleva a nuevas relaciones o propiedades.
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Cuadro 1
Esquema con los elementos que describen una clase referida
al uso de letras para representar números y categorías de números
Marco para la Clase
Núcleo temático: Traducir al lenguaje algebraico relaciones cuantitativas.
Contenido: Uso de las letras.
Aprendizajes esperados:
• Usan letras para representar números. Evalúan expresiones.
• Representan categorías de números por medio de expresiones algebraicas.
Tiempo Determinado: Una hora pedagógica.
Instrucciones:
Se entrega ficha individual al alumno, la cual plantea la siguiente actividad e instrucciones:
• Resuelvan las letras a), b) y c) de manera individual.
• Al cabo de unos 15 minutos júntense en grupos para comparar sus respuestas. Esto debe
ocurrir sin desorden, de modo que no interrumpa el trabajo de sus compañeros.
• Resuelvan la letra d) de manera grupal.
• Tras unos 10 minutos, escojan un representante del grupo para que explique a qué expresión
llegaron.
• El profesor preguntará qué estrategias utilizaron para llegar a una expresión algebraica.
Actividad:
I. Aquí tienes una sucesión de figuras:
n=1
n=2
n=3
a) Dibuja la figura siguiente.
b) Describe con tus palabras las figuras de manera que cualquier persona sin verlas pueda
dibujar la sucesión.
c) ¿Cuántos cuadrados en total serán necesarios para formar la figura que ocupa el lugar
número 4? ¿Cuántos para el lugar número 39?
d) Encuentra una expresión que sirva para calcular el número total de cuadrados necesarios
para obtener una “T” cualquiera de la sucesión.
Rol del profesor
En la primera etapa, donde los alumnos trabajan de manera individual el profesor:
• Velar porque los alumnos trabajen de manera individual, como en una prueba.
• Contesta preguntas de los alumnos, sin darles pistas de un camino de solución.
• Devuelve las preguntas, poniendo al alumno en una situación problema interesante de
resolver.
Cuando los alumnos se agrupan es importante que el profesor:
• Evite el desorden en la sala. Procure que los alumnos se agrupen con los compañeros
cercanos.
• Plantee la última actividad para que los alumnos discutan sus formas propias de resolución.
Para la exposición de los alumnos el profesor:
• Se fijará con anticipación en los grupos que resolvieron la actividad de manera distinta
para que en las exposiciones se reflexione ante distintas estrategias utilizadas.
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Cuadro 2
Hoja de trabajo para uso de los alumnos en el estudio de las demostraciones
de propiedades numéricas usando lenguaje algebraico
Actividad 1. Arturo, Karen, Angel y Sergio intentaron probar si la afirmación siguiente era o no verdadera. “Si sumas 3 números consecutivos
cualquiera, siempre obtienes un número múltiplo de tres”
Respuesta de Arturo:
“a” es cualquier número entero.
“b” es a+1, consecutivo con a.
“c” es b+1 consecutivo con b.
La suma a + b + c es a+b+(b+1)
Es decir, a + (a+1) + (a+1 + 1)
Sumando, es 3·a + 3, esto es, un múltiplo de
3 más 3. Lo que también es múltiplo de 3.
Así Arturo dice “esto es cierto”.
Respuesta de Karen:
Los múltiplos de 3 son números que se
escriben como “3 por algún número”.
Cuando tú sumas un número natural
cualquiera con su antecesor y su sucesor,
tienes tres veces el número, menos 1 y
más 1. Así que es 3 veces el número, lo
que es un múltiplo de 3.
Así Karen dice “esto es cierto”.
Respuesta de Angel
Sean a con b números consecutivos. Sean
n con m consecutivos. Y sean x con y
consecutivos.
Entoncesb = a+1
m = n+1
y = x+1
Luego b+m+y = a+n+x+3
Así (b+m+y) – (a+n+x) =3
Así Angel dice “esto es cierto”.
Respuesta de Sergio
• • • • • • • • • • • • • • •
+ +
• • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • •
=
•••••••••••••••••••••
Así, Sergio dice “esto es cierto”.
– En relación a las respuestas anteriores, elije la más cercana a la que tú hubieses hecho si
te hubiesen pedido responder a esta interrogante. La respuesta de: ______________
– En relación a las respuestas anteriores, elije aquella que tu profesor le pondría mejor
nota.
La respuesta de: ______________
– Comparte y discute tus respuestas con tu compañero y luego con el curso
FASE DE EVALUACION Y REFLEXION
Mientras las profesoras llevaron adelante las secuencias de enseñanza utilizando
los materiales construidos por los investigadores conforme a los acuerdos del taller, el
grupo de investigadores preparó entrevistas y cuestionarios para evaluar el impacto de
la experiencia en las profesoras y en los aprendizajes de los alumnos.
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Estudios Pedagógicos XXXIII, Nº 2: 81-100, 2007
RENOVACION DE LA ENSEÑANZA DEL ALGEBRA ELEMENTAL
Figura 3
Focos de la evaluación en los aprendizajes de los alumnos y
en los conocimientos didácticos de las profesoras
Actividades previas en el taller:
discusión y construcción
de guías de trabajo para el aula
Puesta en juego de saberes
didácticos en el aula y vivencias
de aprendizaje de los alumnos
Evidencias de construcción de
conocimientos didácticos por
parte de las profesoras
Evidencias de aprendizaje por
parte de los alumnos
Evidencias de aprendizaje en los alumnos: Las evidencias de aprendizaje fueron
captadas de manera distinta en cada grupo curso. En el colegio subvencionado fue
posible aplicar la versión en español del test estandarizado “Orleans Hanna Prognosis
Test” (Villagrán 1996), que predice el éxito de un alumno en un curso de álgebra.
Ello proveyó un dato del nivel de aprendizaje alcanzado en álgebra por los alumnos,
en comparación a otros grupos. En un estudio realizado en La Serena, se obtuvo una
puntuación promedio de 25,1 puntos en establecimientos subvencionados y 45,7 en
colegios particulares (Villagrán 1996). En esta experiencia, el curso obtuvo una media
de 37,6, significativamente mayor que los resultados de sus pares. También se valoró
el aprendizaje de los alumnos a partir de una entrevista y un cuestionario aplicado a
dos alumnas. Frente a la pregunta ¿qué es una incógnita? Soledad responde “Algo que
no se conoce. Por ejemplo, tenemos cierta cantidad de tarros, pero no sabemos cuánto
es. Entonces la letra representa la cantidad no conocida”. Frente a la pregunta: “Si el
lado de un cuadrado mide A centímetros, ¿cuál es su perímetro?”. Trini responde “4
A”. El investigador preguntó ¿Qué representa la letra A?. Trini: “A representa al lado”.
Soledad responde: “A es la medida del lado”. Investigador: ¿A es un número fijo o
uno variable? Soledad responde con inseguridad “Es variable, la profesora nos enseñó
que podía ser cualquier número”. La entrevista muestra que las niñas entienden. Las
respuestas al cuestionario también fueron acertadas. Ante la pregunta ¿cuántas baldosas blancas necesitas para rodear n baldosas negras? (ver figura 4). Trini responde
acertadamente “2n+6”.
¿Cuántas baldosas blancas necesitas para rodear n baldosas negras?
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Figura 4
Pregunta del cuestionario a dos alumnas del colegio subvencionado.
¿Cuántas baldosas blancas necesitas para rodear n baldosas negras?
Los siguientes párrafos se refieren a las evidencias de aprendizaje sobre las demostraciones en los alumnos del colegio particular, aprendizajes que si bien están contemplados
en los programas de estudio, no forman parte de la enseñanza tradicional del álgebra
elemental. La evaluación se realizó a partir de un grupo focal. La profesora dio a los
investigadores la posibilidad de entrevistar individualmente a cinco alumnos. Los alumnos
fueron seleccionados por ella a partir de la solicitud de los investigadores en cuanto a
considerar un espectro entre alumnos del curso que les ha sido fácil aprender matemáticas
y alumnos que les ha sido difícil. Las entrevistas se centraron en tres temas. El primer
tema de la evaluación se refirió al concepto de demostración. El segundo tema se focalizó
en la valoración de distintas demostraciones frente al enunciado de una proposición. La
labor del entrevistador fue garantizar que los alumnos entendieran las preguntas, animar
a los alumnos a responderlas y vigilar que el sentido de las respuestas fuera claro para
el entendimiento de los investigadores en el momento del análisis posterior. El tercer y
último tema de la entrevista se refirió a la elaboración de demostraciones por parte de
los entrevistados, frente a dos enunciados de propiedades de los números.
Las respuestas de los alumnos frente a la pregunta inicial “¿Qué puedes decir de las
demostraciones?” deja ver que para los alumnos una demostración, más que constituir una
deducción de propiedades a partir de datos conocidos es un fundamento que da al enunciado
un estatus de validez, lo cual expresan con términos como verificación, afirmación de la
afirmación, propiedades que ayudan a entender y explicación de una propiedad, lo cual consideramos de un nivel conceptual aceptable, puesto que intencionalmente los investigadores
optaron por no introducir la idea de teoría formal en el proceso de enseñanza.
Tabla 3
Respuestas de los alumnos a parte de la evaluación de sus aprendizajes
Parte 1 de la Evauluación (Tema: Demostraciones. Colegio: Particular pagado)
Pregunta planteada a los alumnos: “¿Qué puedes decir de las demostraciones?”
Respuestas de los cinco alumnos entrevistados:
• Rodrigo: “Una demostración es verificar una teoría u oración. Esto en realidad NO lo
aplico mucho cotidianamente, pero me sirve más que nada en las pruebas de matemática
cuando algo no me queda muy claro, para poder entender mejor”.
• David: “Una demostración sirve para afirmar una afirmación para saber si es verdadera o
falsa, siempre y cuando tenga argumento. No puedo decir que es falso sin saber por qué”.
• Nilsson: “Son las propiedades matemáticas que nos ayudan a entender los distintos problemas y ecuaciones que se nos presentan”.
• Javier: “Explicar una propiedad matemática a través de números, letras o ambas. Sirve
para aplicar las fórmulas aprendidas anteriormente”.
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Las respuestas de los alumnos a la segunda parte de la evaluación dan evidencias
de que son capaces de comprender una demostración, darse cuenta cuándo es correcta
y cuándo es incorrecta o sólo se trata de una verificación.
Cuadro 3
Esquema de parte de la evaluación aplicada a los alumnos sobre demostraciones
de propiedades numéricas usando lenguaje algebraico
Parte 2 de la Evauluación (Tema: Demostraciones. Colegio: Particular pagado)
Tres alumnos de distintos colegios trataron de probar la siguiente afirmación:
“Cuando elevas un número impar al cuadrado, el resultado es siempre un número impar”
Las respuestas de los alumnos fueron las siguientes:
Respuesta de alumno uno:
12 = 1
32 = 9
52 = 25
72 = 49
Así sucesivamente se cumple que
el cuadrado de un número impar
es un número impar.
Respuesta de alumno dos:
Sea (2n + 1) un número impar, donde n es
algún número entero.
(2n + 1)2= 4n2 + 4n + 1
= 2 (2n2 + 2n) + 1 Donde (2n2 + 2n)
es algún numero entero k
=2k + 1
Entonces (2n + 1)2 es un número impar
Respuesta de alumno tres:
Los números impares terminan en 1, 3, 5, 7, 9. Cuando tú elevas al cuadrado
cualquier número de este tipo, el resultado seguirá terminando en 1, 3, 5, 7, 9
Tabla 4
Respuestas de los alumnos a parte de la evaluación de sus aprendizajes
“Cuál(es) de las respuestas es (son) la(s) más “Elige la(s) respuestas más cercana(s) al
cercana(s) al concepto que tienes de demosconcepto que tienes de verificación”
tración”
Los investigadores consideran correctas las
respuestas de los alumnos 2 y 3. Las respuestas de los alumnos entrevistados fueron:
Los investigadores consideran correcta la
respuesta del alumno 1. Las respuestas de
los alumnos entrevistados fueron:
• Rodrigo y David consideran la respuesta
del alumno 2
• Camila considera la respuesta del alumno 1
• Nilsson considera las respuestas de los
alumnos 2 y 3
• Javier considera las respuestas de los
alumnos 1 y 3
• Rodrigo, Camila y Javier eligieron la
respuesta del alumno 1
• David eligió la respuesta del alumno 2
• Nilsson eligió las respuestas de los alumnos 1 y 3
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Las respuestas de los alumnos a la tercera parte de la evaluación dan evidencias de
las dificultades que tienen los alumnos para demostrar. En esta tercera parte los alumnos
debían demostrar dos propiedades de los números. La primera pregunta aparece en el
cuadro 4.
Cuadro 4
Un enunciado de la parte 3 de la evaluación aplicada a los alumnos sobre demostraciones de
propiedades numéricas usando lenguaje algebraico
Parte 3 de la Evauluación (Tema: Demostraciones. Colegio: Particular pagado)
Demuestra la siguiente propiedad utilizando los datos dados:
“Si sumas tres números pares consecutivos, el resultado es siempre múltiplo de 6”
Datos: 2n, (2n + 2), (2n + 4) son números pares consecutivos.
Los alumnos entrevistados dejaron ver falencias en sus intentos de demostración.
David abordó mal el problema, pues multiplicó en vez de sumar las expresiones. Luego
escribió “no sé dar el paso que sigue”. Nilsson también quizo dar una verificación de
la propiedad usando números, pero se equivocó en la prioridad de las operaciones aritméticas. Estas respuestas dejan en evidencia que incluso en este colegio particular de
alto rendimiento en la PSU los alumnos no son capaces de usar bien las propiedades
aritméticas ni algebraicas en contextos en que las letras tienen significados.
Las respuestas de Rodrigo y Javier son más acertadas. Sin embargo en ambas se
constata que no saben usar el “dato implícito” o definición “un número es múltiplo de
6 si se puede escribir de la forma 6*k, donde k representa a un número natural”.
En efecto, Rodrigo sumó los tres números. 2n+2n+2+2n+4 = 6+6n. Pero continuó
con una verificación, escribiendo: “2·6 = 12+6 = 18 es múltiplo de 6 y 5·6 = 30+6
= 36 es múltiplo de 6”. Concluyendo: “al sumar tres números pares consecutivos, el
resultado será múltiplo de 6”.
Javier sumó los tres números consecutivos 2n+(2n+2) + (2n+4) expresando en factores cada uno de ellos 2n+(2(n+1)) + (2(n+4))). Luego anuló su trabajo rayándolo. En
un costado de la hoja unió con una flecha los tres números consecutivos y escribió:
“Todos son números pares (al sumarlo voy a seguir con un número par), y si tengo que sumar
tres números pares consecutivos, el resultado va a ser un número divisible por 3 también,
por ejemplo: 2+4+6=12. 2·6 = 12 y 12 es divisible por 2. 3·4 = 12 y 12 es divisible por 3.
Todo número divisible por 6 es divisible por 2 y 3 a la vez”.
En síntesis, los alumnos entienden qué se espera de ellos cuando se les pide una
demostración y reconocen que la verificación es insuficiente como demostración. Sin
embargo, tienden a recurrir a la verificación como mecanismo de prueba cuando encuentran dificultades. Esto último probablemente está asociado al hecho de que en la
vida y en las ciencias experimentales la verificación es el método de prueba estándar,
enfrentándose los alumnos a un problema epistemológico no menor.
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Las dificultades encontradas por los alumnos fueron de distinta naturaleza, según
se aprecia en las evidencias precedentes. El análisis de ellas da cuenta de la falta de
comprensión de los alumnos en el uso de las letras, y da pie para que la profesora retroalimente ese aspecto en la enseñanza del álgebra, cuestión que los investigadores en
didáctica ya han señalado necesario hacer.
Evidencias de la construcción del saber didáctico de las profesoras: La construcción de
conocimientos y habilidades didácticas en las profesoras fue un propósito central de la
investigación. A partir de la revisión de literatura, los investigadores identificaron tres
categorías del saber didáctico sobre las cuales construyeron el listado de conocimientos y
habilidades didácticas puesto en juego en este estudio. La investigación favoreció que las
profesoras pusieran en juego los principios, habilidades y conocimientos que los investigadores privilegiaron como “saberes didácticos que garantizan el logro de aprendizajes
de calidad en los alumnos con respecto a la iniciación del álgebra”. En tal sentido, la
investigación-acción se adhirió a un modelo de “inmersión”, que privilegió el “aprender
haciendo” de las profesoras en el seno de sus prácticas instruccionales cotidianas.
El criterio usado para validar estos supuestos fue la opinión de las profesoras participantes, quienes teniendo como antecedente el éxito de sus propias prácticas apoyadas
en los principios mencionados, respondieron a un instrumento como el presentado en
el cuadro 5.
La aplicación del instrumento dio un resultado muy favorable. Las dos profesoras
estuvieron Totalmente de Acuerdo (TA) o De Acuerdo (A) en todos los ítemes. Sólo
en el tercer ítem (ver cuadro 5) la profesora que trabajó el tema de las demostraciones
eligió la alternativa “De acuerdo”. Con respecto a las preguntas del recuadro de abajo,
sus respuestas fueron “no”, “sí”, “no” y “sí”, respectivamente.
Las profesoras quedaron satisfechas con los aprendizajes logrados, y pese a que se
les insistió de que no era necesario que sus evaluaciones fueran tan positivas y que sus
opiniones ayudarían a mejorar el trabajo futuro, mantuvieron sus respuestas.
Perspectivas hacia el futuro: Si bien la experiencia fue exitosa tanto desde la perspectiva de los aprendizajes de los alumnos como de los saberes didácticos de las profesoras,
existen limitaciones en cuanto a la reproducibilidad y persistencia de los efectos en el
tiempo. Las condiciones de trabajo de los profesores son adversas para la reflexión y
la preparación de sus clases. Los profesores requieren tiempo, apoyo entre pares y un
acercamiento a los resultados de la investigación en didáctica que es incipiente.
La experiencia permitió la construcción de instrumentos que en una investigación
futura pueden ser expuestos a la validación con más casos a desarrollar en contextos y
condiciones similares. Paralelamente parece apropiado poner a prueba los materiales y
principios puestos en juego en este estudio con actores distintos a los investigadores,
con el objeto de despersonalizar el éxito de la experiencia y recoger evidencias de su
alcance.
Otra recomendación es tener presente el carácter situado o local de las propuestas
didácticas, las cuales están muy ligadas a las caraterísticas particulares del contenido
matemático en juego. Esto es, existen características propias del contenido matemático
que pareciera no permitir desarrollar por ejemplo una habilidad genérica para “demostrar”. Independiente del área en cuestión. Frente a lo cual, es de relevancia disponer
de un sitio web amigable que facilite a los profesores acceder a este conocimiento tan
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Cuadro 5
Instrumento utilizado para recoger la opinión de la profesora
con respecto al efecto de la experiencia en sus saberes didácticos
Mejoramiento de las habilidades didácticas
Procedimiento para responder el instrumento
El instrumento consta de dos partes, en los casos donde deba responder a un conjunto de
proposiciones, marque su opción con una cruz de acuerdo a la escala:
Escala
TA:
Totalmente de Acuerdo
A:
De Acuerdo
I:
Indiferente
D:
En Desacuerdo
TD:
Totalmente en Desacuerdo
Tras su participación en el proyecto:
Proposiciones
TA A
Adquirió mayor habilidad para generar actividades que incentiven la
formulación de conjeturas por parte de los alumnos.
I
D TD
Sí
No
Adquirió habilidad para incentivar la validación de conjeturas por
parte de los alumnos.
El material entregado a sus alumnos y la forma en que se trabajó
en clases favoreció su habilidad para hacer adquirir en sus alumnos
destrezas para demostrar.
El material trabajado en clases favoreció su comprensión de los errores conceptuales de los alumnos y de los obstáculos presentes en las
tareas relativas a demostraciones.
El material entregado le enseña a usted a flexibilizar la enseñanza,
visualizando formas alternativas de estudiar el concepto de demostración.
Mostrar al alumno demostraciones correctas e incorrectas es útil para
iniciar el estudio de las demostraciones; no lo había hecho antes, y
es muy probable que lo haga en el futuro.
Proposiciones
En años anteriores trabajo el tema de demostraciones
El próximo año trabajará el tema de demostraciones
¿Tuvo efectos negativos el trabajo con demostraciones?
¿Tuvo efectos positivos el trabajo con demostraciones?
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local y poco desarrollado que existe en la actualidad con respecto a la didáctica del
álgebra elemental.
Es reconocido que el conocimiento didáctico es altamente demandado por los profesores
en los cursos de perfeccionamiento docente. El conocimiento didáctico es el saber más
próximo al quehacer profesional cotidiano de los docentes, pero paradójicamente existe
escaso desarrollo teórico del mismo y ha sido tangencialmente tratado en la formación
inicial docente, en virtud de lo cual la difusión de esta experiencia es de gran valor.
Si bien no podemos saber si en el futuro la profesora incluirá demostraciones en las
iniciación al álgebra, ella puede afirmar que la experiencia le permitió confirmar que el
tratamiento es posible con perspectivas exitosas. Posiblemente la exigencia por “tratar
contenidos y habilidades” que son medidas en pruebas estandarizadas como el SIMCE
lleve a la profesora a desechar el tratamiento de las demostraciones de propiedades
numéricas usando lenguaje algebraico, lo que está asociado a factores estructurales del
sistema educativo, el cual irá transformándose en la medida que se vislumbren mejores
formas de articular el quehacer docente en el país. Independiente de las circunstancias,
la experiencia proveyó a la profesora de un conocimiento didáctico acerca de las demostraciones, una actitud y una visión que se muestra favorable a la implementación de un
currículo más completo, más complejo, de nivel cognitivo superior y en concordancia
con los programas de estudio.
La literatura internacional muestra escasos trabajos en relación al conocimiento
didáctico y el disponible sólo se ha trabajado de manera local sin que existan instrumentos validados que permitan medir la evolución de este conocimiento en los profesores.
Atendiendo a este nivel de desarrollo teórico del tema en cuestión, este estudio se centró
en la identificación de varios saberes didácticos locales o situados que han sido caracterizados por los teóricos de la “didáctica fundamental” francesa en los últimos 30 años
y de otros saberes de naturaleza similar que constituyen los principios más recurrentes
de los teóricos del “pedagogical content knowledge”.
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