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CAP ÍTULO XI
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INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA ESFÉ RICA
Conocimientos previos
Suponemos conocido que:
a ) Un plano divide al espacio en 2 regiones llamadas semiespacios. El
segmento que une dos puntos, uno en cada semiespacio, corta
necesariamente al plano en un punto.
b) Una recta que tenga dos puntos diferentes en un plano, está contenida
en él.
c ) Si una recta no tiene ningún punto común con un plano, es paralela a él.
d ) 3 Puntos diferentes no alineados determinan un plano.
2 rectas paralelas determinan un plano.
2 rectas que se cortan determinan un plano.
e ) 2 planos distintos que se cortan, lo hacen según una recta.
f)
Ángulo diedro: cada una de las 2 regiones en que queda dividido el
espacio por dos semiplanos con el borde común:
a l borde común se le llama arista y a los semiplanos, caras.
Diedro convexo: aquel que no es cortado por la prolongación de sus
caras.
Diedro cóncavo: es cortado por la prolongación de sus caras.
g ) Ángulo rectilíneo de un diedro: el formado por 2 semirrectas
perpendiculares a la arista en un punto de la misma, estando cada
semirrecta en una cara; y siendo los Puntos del ángulo, pun tos del
diedro:
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•
•
Todos los ángulos rectilíneos que se pueden trazar a un die dro, son iguales entre sí.
El ángulo rec tilíneo sirve para medir el diedro.
•
Diedros suplementarios: aquellos cuyos rectilíneos suman 180 0.
•
Diedros complementarios: aquellos cuyos rectilíneos suman
90 0.
•
Diedros adyacentes: los que tienen una cara y la arista comunes, y las otras 2 caras en prolo ngación.
h) Ángulo triedro (o simplemente triedro): cada una de las 2, partes de espacio
limitadas por 3 ángulos p lanos con vértice común y lados compartidos.
A los ángulos se les llama caras del triedro.
A los lados de los ángulos se les llama aristas .
Al diedro formado por 2 caras se le llama diedro opuesto a la 3a cara.
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•
•
Triedro convexo: no es cortado por la prolongación de sus caras.
Triedro cóncavo: es cortado por la prolongación de sus caras.
Admitiremos sin demostración que:
i ) Con 3 semirrect as concurrentes como aristas, siempre se puede obtener
un triedro convexo.
j)
0
Un triedro convexo tiene caras y diedros menores que 180 .
Ángulos de Rectas y Planos
Ángulo de 2 rectas que se cruzan . Es el formado por 2 paralelas a ellas
que se corten.
Recta perpendicular a un plano . Es aquella que es perpendicular a todas
las rectas contenidas en el plano.
Teorema X I- 1: Para que una recta sea perpendicular a un plano, es
suficiente que lo sea a 2 rectas del plano, no paralelas entre sí.
Dem.:
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Sea
r
perpendicular al plano
V . Tomamos P y P' sobre r
, en distintos
semiespacios, tales que OP = OP'.
Por hipótesis, r es perpendicular a
un punto B en
s
ya
u . Tomamos un punto A en u y
s.
El triángulo OPA y el OP'A son congruentes (por ser rectángu los y tener
catetos iguales). Por igual motivo son congruentes OPB y OP'B. Luego PA.=
P'A; PB = P'B. Y el triángulo PAB es congruente con el P'AB.
Una recta cualquiera
t
que pasa por O corta a AB en C. Se une C con P
y P'.
Los triángulos P'CB y PCB son congruentes. Luego P'C = PC. El
triángulo PP'C es isósceles; su mediana CO es también altura; luego
perpendicular a
r
t
es
.
Teorema X I- 2: (Teorema de las 3 perpendiculares).
Si por el pie de una recta
r
perpendicular a una recta cualquiera
perpendicular a un plano se traza la
s
del plano; la recta que pasa por el pie
de esta segunda perpendicular y un punto cualquiera de
r , es perpendicular a
s.
Dem.:
Trazamos OM perpendicular a
s . Tomamos A y A' tales que MA = MA'. Unimos
A, A' y M con N, un punto c ualquiera de
r
. Uni mos A y A' con O.
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Los triángulos OMA y OMA' son congruentes: los dos son rectángulos en
M, y tienen los catetos iguales. Luego OA = OA'.
Los triángulos NOA y NOA' so n congruentes (por ser rectángu los y tener
iguales catetos). Luego NA = NA'. El triángulo NAA' es isósceles, luego su
mediana NM es también altura y, por tanto, perpendicular a
s.
Teorema X I-3: Si por un punto P de la arista de un diedro convexo
trazamos 2 semirrectas perpendiculares a las caras y situa das en distinto
semiespacio que el diedro, el ángulo que forman es suplementario del diedro.
Dem.:
Trazamos por P el rectilíne o del diedro y las semirrectas
rectilíneo como
a
y
b
a
y
b . Tanto el
están en el plano perpendicular a la arista. Vistos
en este plano (fig. X I-6), se observa que
x + 90 0 + 90 0 + y = 3600 ;
x + y = 180 0.
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Triedro Polar o Suplementario
Dado un triedro convexo n , se llama triedro polar o suplementario de n a
otro triedro convexo n', cuyas aristas son 3 semirrec tas que:
a) arrancan del vértic e de n
b) son perpendiculares a las caras de n
c ) están en distinto semiespa cio que el ocupado por n respec to a sus
caras.
Teorema X I- 4 : Si un triedro convexo n' es polar de otro n , también n
es polar de n '.
Dem.: sean a, b y c las aristas de n; y a', b' y c' las de n'. a ' es
perpendicular a b y
c , y, por estar en distinto semiespacio que el triedro
respecto al plano bc está en distinto semiespacio que a : luego forma ángulo
obtuso con a:
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Resumamos estas condiciones
a'
perpendicular a b, c, ángulo obtuso con a
b'
perpendicular a a, c, ángulo obtuso con b
c'
perpendicular a a, b, ángulo obtuso con c
Si ahora construyéramos el triedro n ", polar de
n ', y con aristas
a ", b" y
c":
a" perpendicular a b', c', ángulo obtuso con a'
Vemos en el resumen anterior que
a es perpendicular a b' y c' y forma ángulo obtuso con a'; luego a "
coincide con a .
Lo mismo pasaría con b y
b ", c y c ", quedando demostrado el
teorema.
Teorema X I- 5: Dado un triedro convexo y su triedro polar, las caras de
uno de ellos son suplementarias de los diedros del otro.
Dem.: En virtud del teorema XI -3, las caras de n' serán suplementarias de
los diedros de n ; y a su vez las caras de n lo son de los diedros de n'.
Teorema X I-6: Una cara de un triedro convexo es menor que la suma de
las otras dos y mayor que su diferencia.
Dem.:
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Sea un triedro (fig. XI-9) en que suponemos que la cara mayor es ac. Si
demostramos que esa cara es menor que la suma de las otras dos, quedará
demostrado también para las caras más pequeñas. E n la cara ac trazamos d
tal que ad = ab.
Tomamos VB = VD arbitrario; tomamos A y lo unimos con B y D
obteniendo C.
Los triángulos VAB y VAD son congruentes: tienen VA común, VD = VB
por construcción; ángulo AVB = AVD por construcción. Luego AD = AB.
En el triángulo ABC: BC > AC - AB = AC - AD = DC. Los triángulos VBC
y VDC tienen lados: VC común; VD = VB; BC > DC.
Según el teorema VI - 5 de "Apuntes de Geometría", en 2 triángulos que
tienen dos lados respectivamente iguales y el tercer lado desigual, a mayor
lado se opone mayor ángulo:
bc > dc = ac - ab
ac < ab + bc
quedando demostrado la 1a parte del teorema (dejamos la conclusión a cargo
del lector).
Admitiremos, sin demostración, el siguiente teorema.
Teorema X I-7: En un triedro convexo, a mayor cara se opone mayor
diedro y recíprocamente. A caras iguales se oponen diedros iguales y
recíprocamente (triedro isósceles).
Teorema X I-8: La suma de las caras de un triedro convexo es menor
que 4 rectos.
Dem.: Sea un triedro convexo a b c, y prolongamos la arista a:
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Se forma el triedro convexo a' b c , en el que la cara bc es menor que
la suma de las otras dos:
bc < 180 0 - ab + 180 0 - ac
a b + bc + ac < 3600 = 4R.
Teorema X I- 9 : La suma de los diedros de un triedro convexo está
comprendida entre 2 y 6 rectos.
Dem.: Sea un triedro convexo de diedros d 1. , d 2 y d3 ; y su diedro polar,
de caras 180 - d1 , 180- d2 y 180 - d 3. La suma de las caras del triedro polar debe
ser mayor que cero y menor que 4 rec tos:
180 - d1 + 180 - d 2 + 180 - d3 > 0
180 - d1 + 180 - d 2 + 180 - d3 < 360 0
de donde, por transformación algebraica:
d 1 + d2 + d3 > 180 0 = 2R
d 1 + d2 + d3 < 540° = 6R.