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7
Capítulo 7
Trigonometría
del triángulo
rectángulo
Contenido breve
Módulo 17
Medición de ángulos
Módulo 18
Ángulos notables
Módulo 19
Resolución de triángulos
La trigonometría se utiliza para realizar medidas indirectas de posición y distancias.
Ejercicios
Capítulo 7, módulos 17 al 19
Presentación
La trigonometría del triángulo rectángulo pudo tener su origen en las mediciones
indirectas de los griegos de distancias y, también, de tierras inundadas por el río
Nilo en el antiguo Egipto.
Originalmente, las funciones trigonométricas se restringieron al dominio de los
ángulos internos de un triángulo rectángulo y sus aplicaciones tenían que ver con
la medición indirecta de ángulos y de distancias.
Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos internos es recto. Se estudiarán en estos módulos las diferentes formas de medir ángulos y se definirán las
funciones trigonométricas de estos ángulos interiores en términos de la hipotenusa
y los catetos del triángulo rectángulo.
Álgebra y trigonometría 193
194
17
Medición de ángulos
Introducción
Pitágoras (582-500 a. C.)
En este módulo se comienza el estudio de la trigonometría del triángulo rectángulo. Se inicia definiendo qué es un ángulo y cuáles son las formas más utilizadas
para medirlo. Se definen a continuación las seis funciones trigonométricas que
resultan de relacionar los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Se termina con unos sencillos ejemplos de aplicación.
Filósofo y matemático griego, fundador de un movimiento
religioso, político y filosófico conocido como pitagorismo.
Los pitagóricos realizaron amplios estudios sobre los
números pares e impares, los primos y los cuadrados,
esenciales en la «teoría de los números». En geometría se
les recuerda por el descubrimiento del conocido «teorema
de Pitágoras».
Objetivos
1. Definir las funciones trigonométricas.
2. Definir qué es un ángulo y las diferentes formas de medida de ángulos.
Preguntas básicas
1. ¿Cómo se definen las funciones trigonométricas?
2. ¿Qué es ángulo?
3. ¿Qué es un grado? ¿Qué es un radián?
4. ¿Cómo se convierten grados a radianes y radianes a grados?
Contenido
17.1 Introducción
17.2 Medición de ángulos
17.2.1 Definición de ángulo
17.2.2 Medida en grados
17.2.3 Medida en radianes
17.2.4 Conversión de radianes a grados y de grados a radianes
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programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Álgebra y trigonometría 195
Capítulo 7:Trigonometría del triángulo rectángulo
17.1 Introducción
Un triángulo se llama triángulo rectángulo si uno de sus ángulos mide 90 grados
(figura 17.1). Como consecuencia de lo anterior, los otros dos ángulos interiores son
agudos, o sea menores de 90 grados, ya que la suma de los ángulos interiores de
todo triángulo es 180 grados.
Sea el triángulo rectángulo siguiente:
Figura 17.1. Triángulo rectángulo de hipotenusa c
En el triángulo anterior, denotando por un ángulo agudo, a es el lado opuesto, b
es el lado adyacente y c es la hipotenusa.
En el triángulo anteriormente descrito, se introducen seis razones fundamentales de
la trigonometría, definidas así:
, que se denota por sen
1.
Seno de
2.
Coseno de
3.
Tangente de
4.
Cotangente de
5.
Secante de
6.
Cosecante de
y se define como sen
a
.
c
=
, que se denota por cos y se define como cos
b
! .
c
a
! .
b
, que se denota por tan y se define como tan
, que se denota por cot y se define como cot
, que se denota por sec y se define como sec
, que se denota por csc
b
! .
a
c
! .
b
y de define como csc
c
! .
a
Hay que notar que las dos primeras razones cumplen las siguientes desigualdades:
196
0 " sen
" 1,
0 " cos
" 1.
Módulo 17: Medición de ángulos
Lo anterior se debe a que en cualquier triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor
que cualquiera de los catetos.
En la siguiente sección se estudiarán diferentes formas de medidas de ángulos.
Ejemplo 1
Supóngase que se quiere medir el ancho de un río, sin mojarse los pies, como lo
muestra la figura 17.2.
C
x
A
B
Figura 17.2. Forma indirecta de medir el ancho de un río
Se procede así: se localiza un árbol en el punto C de la orilla opuesta y se pone en
B una piedra en frente de él en la orilla opuesta. Se pone otra piedra en A a 50 metros
de B y con un teodolito se mide el ángulo entre AB y AC.
En estas condiciones se tiene que:
tan
!
x
, o sea que x = 50 tan .
50
Para el trabajo con triángulos rectángulos, que involucran ángulos agudos, se
requiere solamente la noción de ángulo adquirida de la geometría euclidiana.
17.2 Medición de ángulos
Para obtener un desarrollo más extenso de la trigonometría se necesita una nueva
perspectiva porque no solamente se permiten ángulos arbitrariamente grandes,
sino también ángulos con medidas positivas y negativas.
Se definirán a continuación los conceptos de ángulo y los diferentes tipos de
medidas de éstos.
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trigonometría
Álgebra y trigonometría 197
Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo
17.2.1 Definición de ángulo
Un ángulo es el conjunto de puntos sobre dos rayos (o segmentos de recta) que
tienen un punto en común O. Los dos rayos que forman un ángulo se denominan
lados del ángulo y el punto común se denomina vértice. Se indicarán los ángulos
con letras griegas como , # , $ o con tres letras sobre el ángulo, como lo ilustran
los esquemas de la figura 17.3.
B
O
A
O
Figura 17.3. Formas de representar un ángulo
Para formar un ángulo se comienza con un lado denominado lado inicial en una
posición fija. Después se comienza con el segundo lado, denominado lado terminal
en la misma posición que el inicial y se rota el terminal en un plano alrededor de O
hasta encontrar la posición final. Una rotación en sentido contrario a las manecillas
del reloj produce un ángulo positivo; una rotación en el sentido de las manecillas
del reloj, un ángulo negativo (figura 17.4).
Lado terminal
Lado inicial
Lado inicial
Lado terminal
Figura 17.4. Ángulos positivos y negativos
En un sistema de coordenadas rectangulares se dice que un ángulo está en posición
estándar si su vértice está en el origen y el lado inicial está en el eje positivo x. El
ángulo se menciona con frecuencia en términos del cuadrante en el cual está el lado
terminal (figuras 17.5 y 17.6).
198
Módulo 17: Medición de ángulos
Figura 17.5. Ángulo en el tercer cuadrante
Figura 17.6. Ángulo en el segundo cuadrante
17.2.2 Medida en grados
Un ángulo generado por una rotación completa de un lado final sobre el vértice, se
dice que mide 360 grados y se escribe 360º. Un ángulo generado por 1/360 de una
rotación completa del lado terminal sobre el vértice, se dice que mide 1 grado y se
escribe 1º.
17.2.3 Medida en radianes
Si el vértice de un ángulo se pone en el centro de un círculo con radio r % 0 , y la
longitud del arco que subtiende sobre la circunferencia es S, entonces la medida en
radianes de
está dada por
!
S
(figura 17.7).
r
Figura 17.7. Medida de un ángulo en radianes
Si S ! r , entonces
! 1 radián.
Álgebra y trigonometría 199
Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo
Ejemplo 2
¿Cuál es la medida en radianes de un ángulo central subtendido por el arco de 24 m
en una circunferencia de 6 m de radio?
Solución
!
S 24 m
!
! 4 radianes.
r
6m
17.2.4 Conversión de radianes a grados y de grados a radianes
Si º representa una medida en grados y
entonces:
º!
!
180º
&
&
180º
representa una medida en radianes,
: conversión de radianes a grados.
º: conversión de grados a radianes.
Las fórmulas anteriores resultan de saber que una rotación completa son 360º o
2& radianes. La afirmación precedente la da el hecho de que
S 2& r
!
! 2& radianes.
r
r
!
Como consecuencia, se puede plantear la siguiente proporción:
º
º
! .
!
, o sea
180º &
360º 2&
Ejemplo 3
Encuentre exactamente:
a.
La medida en radianes de un ángulo de 240º.
b.
La medida en grados de un ángulo de
11
& radianes.
12
Solución
200
&
a.
!
b.
º!
180º
180º
&
º!
;
&
180º
º!
' 240º ;
180º
&
'
!
11
&;
12
4
&.
3
º ! 165º.
Módulo 17: Medición de ángulos
Ejemplo 4
Una correa de transmisión conecta una polea de radio de 2 cm con otra de radio 5
cm. Si la polea mayor gira 10 radianes, cuántos radianes girará la más pequeña.
Solución
Se dibuja la figura 17.8.
Figura 17.8
Cuando la polea mayor gira 10 radianes, el punto P sobre la circunferencia mayor se
moverá la misma distancia o longitud de arco que el punto ( que se mueve sobre la
circunferencia menor.
Para la polea mayor se tiene:
S S ! r ! 5 ' 10 ! 50
;
cm.
r
O sea que los puntos P y ( se mueven cada uno 50 cm.
!
Para la polea menor se tiene:
!
S 50
!
! 25 radianes.
r
2
Ejemplo 5
Encuentre la longitud del arco de un círculo con radio 10 m que subtiende un ángulo
central de 30º.
Solución
Como 30º equivale a
&
6
radianes, y como S = r ), se tiene que:
* & + 5&
S = 10 , - !
m.
3
.6/
Álgebra y trigonometría 201
Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo
Ejemplo 6
Un ángulo central ) en un círculo de radio igual a 4 m está subtendido por un arco
de longitud de 6 m. Halle la medida del ángulo ) en radianes.
Solución
Como ) !
6 3
S se tiene que
) ! ! radianes.
,
4 2
r
Ejemplo 7
Determine las seis razones trigonométricas del ángulo ) de la figura 17.9:
Figura 17.9
Solución
3
5
2
3
5
2
; tan ) !
; cot ) !
; csc ) ! .
sen ) ! ; cos ) !
; sec ) !
2
3
2
3
5
5
Ejemplo 8
3
, dibuje un triángulo rectángulo con un ángulo, ) , y determine las otras
4
cinco razones trigonométricas de ) .
Si cos ) !
Solución
En vista de que cos ) se define como la razón del cateto adyacente y la hipotenusa,
dibujamos un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 4 y un cateto de longitud
3 adyacente a ) . Si el cateto opuesto es x, entonces según el teorema de Pitágoras,
32 0 x 2 ! 42 , es decir x 2 ! 7, por lo que x ! 7.
202
Módulo 17: Medición de ángulos
Utilizamos, por tanto, el triángulo de la figura 17.10 para determinar las otras cinco
razones.
Figura 17.10
sen ) !
3
4
4
3
7
7
; sec ) ! ; csc ) !
.
; cot ) !
; cos ) ! ; tan ) !
3
4
7
7
3
4
Ejemplo 9
Cuantos giros dará una rueda de un automóvil de 1 m de diámetro al recorrer una
distancia de 100 m.
Solución
Como s ! r ) , entonces al dar una vuelta completa recorrerá una distancia
s ! 0.5 ' 2& ! & m.
Lo anterior es debido a que si el diámetro de la rueda es 1 m, su radio es de 0.5 m.
Para recorrer 100 m, la rueda debe realizar 100 vueltas debido a que en cada vuelta
&
recorre & m.
Ejemplo 10
Un pino gigante proyecta una sombra de 150 m de largo. Determine la altura del
árbol si el ángulo de elevación del sol es de 30º.
Solución
Supongamos en la figura 17.11 que h es la altura del árbol:
Álgebra y trigonometría 203
Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo
Figura 17.11
De la figura se observa que
h
! tan 30º .
150
Por tanto la altura del árbol será h = 150 tan 30º m.
En el módulo siguiente se verá que tan 30º !
204
3
.
3