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7 Capítulo 7 Trigonometría del triángulo rectángulo Contenido breve Módulo 17 Medición de ángulos Módulo 18 Ángulos notables Módulo 19 Resolución de triángulos La trigonometría se utiliza para realizar medidas indirectas de posición y distancias. Ejercicios Capítulo 7, módulos 17 al 19 Presentación La trigonometría del triángulo rectángulo pudo tener su origen en las mediciones indirectas de los griegos de distancias y, también, de tierras inundadas por el río Nilo en el antiguo Egipto. Originalmente, las funciones trigonométricas se restringieron al dominio de los ángulos internos de un triángulo rectángulo y sus aplicaciones tenían que ver con la medición indirecta de ángulos y de distancias. Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos internos es recto. Se estudiarán en estos módulos las diferentes formas de medir ángulos y se definirán las funciones trigonométricas de estos ángulos interiores en términos de la hipotenusa y los catetos del triángulo rectángulo. Álgebra y trigonometría 193 194 17 Medición de ángulos Introducción Pitágoras (582-500 a. C.) En este módulo se comienza el estudio de la trigonometría del triángulo rectángulo. Se inicia definiendo qué es un ángulo y cuáles son las formas más utilizadas para medirlo. Se definen a continuación las seis funciones trigonométricas que resultan de relacionar los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Se termina con unos sencillos ejemplos de aplicación. Filósofo y matemático griego, fundador de un movimiento religioso, político y filosófico conocido como pitagorismo. Los pitagóricos realizaron amplios estudios sobre los números pares e impares, los primos y los cuadrados, esenciales en la «teoría de los números». En geometría se les recuerda por el descubrimiento del conocido «teorema de Pitágoras». Objetivos 1. Definir las funciones trigonométricas. 2. Definir qué es un ángulo y las diferentes formas de medida de ángulos. Preguntas básicas 1. ¿Cómo se definen las funciones trigonométricas? 2. ¿Qué es ángulo? 3. ¿Qué es un grado? ¿Qué es un radián? 4. ¿Cómo se convierten grados a radianes y radianes a grados? Contenido 17.1 Introducción 17.2 Medición de ángulos 17.2.1 Definición de ángulo 17.2.2 Medida en grados 17.2.3 Medida en radianes 17.2.4 Conversión de radianes a grados y de grados a radianes Visite el sitio http://docencia.udea.edu.co/cen/ AlgebraTrigonometria/ Vea el módulo 17 del programa de televisión Álgebra y trigonometría Álgebra y trigonometría 195 Capítulo 7:Trigonometría del triángulo rectángulo 17.1 Introducción Un triángulo se llama triángulo rectángulo si uno de sus ángulos mide 90 grados (figura 17.1). Como consecuencia de lo anterior, los otros dos ángulos interiores son agudos, o sea menores de 90 grados, ya que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180 grados. Sea el triángulo rectángulo siguiente: Figura 17.1. Triángulo rectángulo de hipotenusa c En el triángulo anterior, denotando por un ángulo agudo, a es el lado opuesto, b es el lado adyacente y c es la hipotenusa. En el triángulo anteriormente descrito, se introducen seis razones fundamentales de la trigonometría, definidas así: , que se denota por sen 1. Seno de 2. Coseno de 3. Tangente de 4. Cotangente de 5. Secante de 6. Cosecante de y se define como sen a . c = , que se denota por cos y se define como cos b ! . c a ! . b , que se denota por tan y se define como tan , que se denota por cot y se define como cot , que se denota por sec y se define como sec , que se denota por csc b ! . a c ! . b y de define como csc c ! . a Hay que notar que las dos primeras razones cumplen las siguientes desigualdades: 196 0 " sen " 1, 0 " cos " 1. Módulo 17: Medición de ángulos Lo anterior se debe a que en cualquier triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos. En la siguiente sección se estudiarán diferentes formas de medidas de ángulos. Ejemplo 1 Supóngase que se quiere medir el ancho de un río, sin mojarse los pies, como lo muestra la figura 17.2. C x A B Figura 17.2. Forma indirecta de medir el ancho de un río Se procede así: se localiza un árbol en el punto C de la orilla opuesta y se pone en B una piedra en frente de él en la orilla opuesta. Se pone otra piedra en A a 50 metros de B y con un teodolito se mide el ángulo entre AB y AC. En estas condiciones se tiene que: tan ! x , o sea que x = 50 tan . 50 Para el trabajo con triángulos rectángulos, que involucran ángulos agudos, se requiere solamente la noción de ángulo adquirida de la geometría euclidiana. 17.2 Medición de ángulos Para obtener un desarrollo más extenso de la trigonometría se necesita una nueva perspectiva porque no solamente se permiten ángulos arbitrariamente grandes, sino también ángulos con medidas positivas y negativas. Se definirán a continuación los conceptos de ángulo y los diferentes tipos de medidas de éstos. Escuche Historia de Pitágoras en su multimedia de Álgebra y trigonometría Álgebra y trigonometría 197 Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo 17.2.1 Definición de ángulo Un ángulo es el conjunto de puntos sobre dos rayos (o segmentos de recta) que tienen un punto en común O. Los dos rayos que forman un ángulo se denominan lados del ángulo y el punto común se denomina vértice. Se indicarán los ángulos con letras griegas como , # , $ o con tres letras sobre el ángulo, como lo ilustran los esquemas de la figura 17.3. B O A O Figura 17.3. Formas de representar un ángulo Para formar un ángulo se comienza con un lado denominado lado inicial en una posición fija. Después se comienza con el segundo lado, denominado lado terminal en la misma posición que el inicial y se rota el terminal en un plano alrededor de O hasta encontrar la posición final. Una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo; una rotación en el sentido de las manecillas del reloj, un ángulo negativo (figura 17.4). Lado terminal Lado inicial Lado inicial Lado terminal Figura 17.4. Ángulos positivos y negativos En un sistema de coordenadas rectangulares se dice que un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen y el lado inicial está en el eje positivo x. El ángulo se menciona con frecuencia en términos del cuadrante en el cual está el lado terminal (figuras 17.5 y 17.6). 198 Módulo 17: Medición de ángulos Figura 17.5. Ángulo en el tercer cuadrante Figura 17.6. Ángulo en el segundo cuadrante 17.2.2 Medida en grados Un ángulo generado por una rotación completa de un lado final sobre el vértice, se dice que mide 360 grados y se escribe 360º. Un ángulo generado por 1/360 de una rotación completa del lado terminal sobre el vértice, se dice que mide 1 grado y se escribe 1º. 17.2.3 Medida en radianes Si el vértice de un ángulo se pone en el centro de un círculo con radio r % 0 , y la longitud del arco que subtiende sobre la circunferencia es S, entonces la medida en radianes de está dada por ! S (figura 17.7). r Figura 17.7. Medida de un ángulo en radianes Si S ! r , entonces ! 1 radián. Álgebra y trigonometría 199 Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo Ejemplo 2 ¿Cuál es la medida en radianes de un ángulo central subtendido por el arco de 24 m en una circunferencia de 6 m de radio? Solución ! S 24 m ! ! 4 radianes. r 6m 17.2.4 Conversión de radianes a grados y de grados a radianes Si º representa una medida en grados y entonces: º! ! 180º & & 180º representa una medida en radianes, : conversión de radianes a grados. º: conversión de grados a radianes. Las fórmulas anteriores resultan de saber que una rotación completa son 360º o 2& radianes. La afirmación precedente la da el hecho de que S 2& r ! ! 2& radianes. r r ! Como consecuencia, se puede plantear la siguiente proporción: º º ! . ! , o sea 180º & 360º 2& Ejemplo 3 Encuentre exactamente: a. La medida en radianes de un ángulo de 240º. b. La medida en grados de un ángulo de 11 & radianes. 12 Solución 200 & a. ! b. º! 180º 180º & º! ; & 180º º! ' 240º ; 180º & ' ! 11 &; 12 4 &. 3 º ! 165º. Módulo 17: Medición de ángulos Ejemplo 4 Una correa de transmisión conecta una polea de radio de 2 cm con otra de radio 5 cm. Si la polea mayor gira 10 radianes, cuántos radianes girará la más pequeña. Solución Se dibuja la figura 17.8. Figura 17.8 Cuando la polea mayor gira 10 radianes, el punto P sobre la circunferencia mayor se moverá la misma distancia o longitud de arco que el punto ( que se mueve sobre la circunferencia menor. Para la polea mayor se tiene: S S ! r ! 5 ' 10 ! 50 ; cm. r O sea que los puntos P y ( se mueven cada uno 50 cm. ! Para la polea menor se tiene: ! S 50 ! ! 25 radianes. r 2 Ejemplo 5 Encuentre la longitud del arco de un círculo con radio 10 m que subtiende un ángulo central de 30º. Solución Como 30º equivale a & 6 radianes, y como S = r ), se tiene que: * & + 5& S = 10 , - ! m. 3 .6/ Álgebra y trigonometría 201 Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo Ejemplo 6 Un ángulo central ) en un círculo de radio igual a 4 m está subtendido por un arco de longitud de 6 m. Halle la medida del ángulo ) en radianes. Solución Como ) ! 6 3 S se tiene que ) ! ! radianes. , 4 2 r Ejemplo 7 Determine las seis razones trigonométricas del ángulo ) de la figura 17.9: Figura 17.9 Solución 3 5 2 3 5 2 ; tan ) ! ; cot ) ! ; csc ) ! . sen ) ! ; cos ) ! ; sec ) ! 2 3 2 3 5 5 Ejemplo 8 3 , dibuje un triángulo rectángulo con un ángulo, ) , y determine las otras 4 cinco razones trigonométricas de ) . Si cos ) ! Solución En vista de que cos ) se define como la razón del cateto adyacente y la hipotenusa, dibujamos un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 4 y un cateto de longitud 3 adyacente a ) . Si el cateto opuesto es x, entonces según el teorema de Pitágoras, 32 0 x 2 ! 42 , es decir x 2 ! 7, por lo que x ! 7. 202 Módulo 17: Medición de ángulos Utilizamos, por tanto, el triángulo de la figura 17.10 para determinar las otras cinco razones. Figura 17.10 sen ) ! 3 4 4 3 7 7 ; sec ) ! ; csc ) ! . ; cot ) ! ; cos ) ! ; tan ) ! 3 4 7 7 3 4 Ejemplo 9 Cuantos giros dará una rueda de un automóvil de 1 m de diámetro al recorrer una distancia de 100 m. Solución Como s ! r ) , entonces al dar una vuelta completa recorrerá una distancia s ! 0.5 ' 2& ! & m. Lo anterior es debido a que si el diámetro de la rueda es 1 m, su radio es de 0.5 m. Para recorrer 100 m, la rueda debe realizar 100 vueltas debido a que en cada vuelta & recorre & m. Ejemplo 10 Un pino gigante proyecta una sombra de 150 m de largo. Determine la altura del árbol si el ángulo de elevación del sol es de 30º. Solución Supongamos en la figura 17.11 que h es la altura del árbol: Álgebra y trigonometría 203 Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo Figura 17.11 De la figura se observa que h ! tan 30º . 150 Por tanto la altura del árbol será h = 150 tan 30º m. En el módulo siguiente se verá que tan 30º ! 204 3 . 3