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8
Capítulo 8
Trigonometría
del círculo
Contenido breve
Módulo 20
Funciones circulares
Módulo 21
Identidades fundamentales
Módulo 22
Gráficas de las funciones
trigonométricas
En un mapa del cielo están presentes algunas funciones trigonométricas.
Módulo 23
Fórmulas de adición y de ángulo
doble
Presentación
En este capitulo se dará una información más moderna de las funciones
trigonométricas. Después se mostrará cómo están relacionadas las definiciones
anteriores, en términos de triángulos rectángulos. Con este enfoque se tendrá la
situación que muestra la figura.
y
Se trata de un círculo de radio a
centrado en el origen de coordenadas. Un círculo, como el descrito
anteriormente, tiene como ecuación
2
2
Módulo 24
Verificación de identidades
trigonométricas
Ejercicios
Capítulo 8, módulos 20 al 24
P(x,y)
2
x
y ! a . El ángulo " está en
su forma estándar, es decir, con su
lado inicial coincidiendo con el eje
positivo de las x.
a
x
En el círculo x 2 y 2 ! a 2 , las funciones trigonométricas del ángulo
" se darán en términos de las coordenadas del punto P del lado terminal del ángulo. El eje positivo de
las x será el lado inicial.
Gráfica del círculo x2 + y2 = a 2
Álgebra y trigonometría 231
232
20
Funciones circulares
Introducción
Platón (428-347 a. C.)
En este módulo se definen las funciones circulares de números reales. Esta manera
de definir las funciones trigonométricas se presta a aplicaciones que abarcan procesos dinámicos como el movimiento armónico simple, la descripción de ondas
sonoras y otros enfoques periódicos.
Platón estudió primeramente filosofía con su gran maestro
Sócrates. Después estudió matemáticas con Arquitas de
Tarento y con Teodoro de Cirene. Viajó por Egipto, Sicilia e
Italia en compañía del matemático Eudoxio y a su regreso
fundó en Atenas su famosa escuela filosófica La Academia.
Objetivo
1. Estudiar funciones trigonométricas de números reales.
Preguntas básicas
1. ¿En qué consiste el punto terminal de un ángulo en posición estándar?
2. ¿Cómo es un ángulo en posición estándar?
3. ¿Cómo se definen las seis razones circulares?
Contenido
20.1 Funciones circulares
20.2 Signos de las funciones circulares
Sin lugar a dudas Platón es mejor conocido por su obra
filosófica. Sin embargo, su influencia en las matemáticas
helénicas es bastante considerable. Creía que era imposible
estudiar la filosofía sin el conocimiento previo de las
matemáticas. Tal vez sea éste el motivo por el cual hizo
poner, a la entrada de la Academia, su célebre y significativa
frase: “No entres aquí si no eres geómetra”. Esta y otras
proposiciones, como “los números gobiernan al mundo”, nos
hacen ver que estaba directamente influenciado por las
teorías pitagóricas.
Primeramente se deben a Platón algunas reglas
metodológicas, dogmatizando en la geometría el uso
exclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiempos
posteriores y aun en nuestros días. Pensaba que los
geómetras se rebajaban cuando usaban otros instrumentos
que no fueran los mencionados.
Se deben también a este filósofo las directivas que debían
darse en la enseñanza de la geometría; es decir, la
organización de la exposición geométrica desde el punto de
vista lógico, cómo debe enseñarse y qué camino debe
seguirse. Según Platón, el estudio de la geometría debía
hacerse en el orden siguiente:
1. Definiciones
2. Axiomas
3. Postulados
4. Teoremas
A esta directiva de Platón se adaptaron los matemáticos posteriores
a él, principalmente Euclides.
Vea el módulo 20 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Álgebra y trigonometría 233
Capítulo 8: Trigonometría del círculo
20.1 Funciones circulares
Si en un sistema de coordenadas rectangulares " es un ángulo en posición estándar,
P(x, y) es un punto que está situado sobre el lado terminal del ángulo y en el círculo
x 2 y 2 ! a 2 ; se pueden definir, entonces, seis razones que contienen las coordenadas (x, y) del punto P y el radio a.
Las figuras 20.1 y 20.2 ilustran la situación descrita anteriormente.
y
y
P ( x, y )
P ( x, y )
"
"
x
x
Figura 20.2. Ángulo en el segundo cuadrante
Figura 20.1. Ángulo en el primer cuadrante
En las gráficas anteriores el lado terminal del ángulo " se encuentra en el primero y
segundo cuadrantes, respectivamente. Hay que hacer notar que en el segundo
cuadrante la abscisa x es negativa. Análisis similares se hacen para ángulos en el
tercero y cuarto cuadrantes (figuras 20.3 y 20.4).
y
y
"
"
x
x
P ( x, y )
Figura 20.3. Ángulo en el tercer cuadrante
234
P ( x, y )
Figura 20.4. Ángulo en el cuarto cuadrante
Módulo 20: Funciones circulares
En las gráficas anteriores, cualquiera sea el cuadrante donde se encuentre P(x, y),
se definen las siguientes funciones:
y
,
a
x
cos " ! ,
a
y
tan " ! ,
x
a
sec " ! ,
x
x
,
y
a
csc " ! .
y
sen " !
cot " !
En las anteriores funciones, los dominios serán los conjuntos de todos los ángulos
posibles para los cuales las funciones están definidas. Los rangos son subconjuntos
de los números reales.
Ejemplo 1
Encuentre el valor de cada uno de las seis funciones trigonométricas, si el punto P( #3, #4 )
pertenece al lado terminal del ángulo " ilustrado a continuación (figura 20.5).
y
"
Q
O
x
P ( # 3, # 4)
Fígura 20.5
Solución
En la gráfica anterior, el triángulo rectángulo formado por la perpendicular trazada
desde P (#3, #4) al eje horizontal, el eje horizontal y el radio a, se llama triángulo
de referencia asociado al ángulo " .
Este tipo de triángulos se citará a menudo cuando se trate de hallar funciones
trigonométricas de ángulos situados en cualquier cuadrante. En general, el triángulo rectángulo formado por la perpendicular de P(x , y) al eje horizontal, el eje horizontal y el radio a, se llama triángulo de referencia asociado con el ángulo " .
En el triángulo OQP, que es de referencia, la hipotenusa a es
a ! x2
y 2 ! (#3) 2
(#4) 2 ! 5.
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AlgebraTrigonometria/
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multimedia de Àlgebra y
trigonometría
Álgebra y trigonometría 235
Capítulo 8: Trigonometría del círculo
Por tanto:
sen " !
#4
,
5
3
cos" ! # ,
5
4
tan " ! ,
3
sec" !
3
cot " ! ,
4
#5
,
3
csc " !
#5
.
4
Hay que hacer notar que el radio a siempre se tomará como positivo.
20.2 Signos de las funciones circulares
Las funciones definidas en una sección anterior permiten establecer el signo de las
funciones trigonométricas, de acuerdo con la posición del lado terminal del ángulo,
ya que este signo depende de los signos de las coordenadas del punto elegido
sobre el lado terminal. La tabla 20.1 nos da el signo de las funciones, de acuerdo con
el criterio anterior:
Tabla 20.1. Signos de las funciones
Funciones
1.er cuadrante
2.° cuadrante 3.er cuadrante 4.° cuadrante
sen "
+
+
#
#
cos "
+
#
#
+
tan "
cot "
sec "
csc "
+
#
+
+
+
+
+
#
#
#
#
+
#
#
+
#
Ejemplo 2
Si cos " ! 4 / 5 y " tiene el lado terminal en el cuarto cuadrante, encuentre las
restantes funciones trigonométricas.
Solución
Como las funciones trigonométricas no dependen del radio del círculo en el cual
fueron definidas, y como cos " ! x / a, se puede tomar a ! 5 y x ! 4.
x2
y 2 ! a 2 , o sea que y ! $3.
Como el lado terminal del ángulo está en el cuarto cuadrante, la ordenada del punto
sobre el lado terminal es negativa, o sea y ! #3 . De las anteriores consideraciones,
se tiene que:
sen " !
236
#3
,
5
4
cos " ! ,
5
Módulo 20: Funciones circulares
tan " !
#3
,
4
5
sec" ! ,
4
cot " !
#4
,
3
csc " !
#5
.
3
Ejemplo 3
Si csc " ! #2 y tan " % 0 , encuentre el valor de sen " y tan " .
Solución
Como csc " ! #2 , el lado terminal de " está en el tercero o en el cuarto cuadrante.
Como tan " % 0, entonces " debe estar en el primero o tercer cuadrante. Para que
se cumplan simultáneamente ambas condiciones, " debe tener su lado terminal en
el tercer cuadrante.
Por consiguiente: csc " ! #2 !
#2
2
a
!
! .
1
#1
y
Puesto que los valores de las funciones trigonométricas no dependen del radio del
círculo, se puede tomar a ! 2 , y ! #1.
En el círculo x 2
y 2 ! a 2 se tiene que x ! $ a 2 # y 2 ! $ 4 # 1 ! $ 3, se debe
tomar x ! # 3 porque la abcisa de un punto situado en el tercer cuadrante es
negativa.
Por tanto: sen " !
3
1
y
.
! # ; tan " !
3
a
2
Ejemplo 4
Para cada uno de los puntos siguientes, halle el valor de las seis funciones
trigonométricas si el punto pertenece al lado terminal del ángulo " en su posición
estándar.
a.
P ( #5, #12 ).
Solución
El radio de la circunferencia es a ! x 2 y 2 ! (#5) 2 (#12)2 ! 13. Utilizando las
expresiones para las funciones circulares tenemos:
y
!
a
y
tan " !
!
x
a
sec " !
!
x
sen " !
12
,
13
12
,
5
13
# ,
5
#
x
5
! # ,
a
13
x
5
cot " !
! ,
y 12
a
13
csc " !
! # .
12
y
cos " !
Álgebra y trigonometría 237
Capítulo 8: Trigonometría del círculo
b.
P (6, 10).
Solución
El radio de la circunferencia es a
x2 ! y 2
62 ! 102
136
zando las expresiones para las funciones circulares, tenemos:
sen "
10
2 34
cot "
6
10
5
,
34
3
,
5
cos "
6
2 34
sec "
2 34
6
3
,
34
34
,
3
2 34. Utili-
10
6
tan "
5
,
3
2 34
6
csc "
34
.
3
Ejemplo 5
2
y " está en el segundo cuadrante, halle las restantes funciones
3
trigonométricas.
Si sen "
Solución
Como sen "
2
, podemos asumir que 3 es el radio de la circunferencia y que y = 2.
3
Entonces,
a2 # y2
x
$ 5.
Como " es un ángulo del segundo cuadrante, entonces la abscisa es negativa; por
tanto, x
# 5.
Aplicando ahora las fórmulas para las restantes funciones circulares, tenemos:
cos "
#
5
, tan "
3
#
2
, cot "
5
#
5
, sec "
2
#
3
, csc "
5
Ejemplo 6
Si tan " 3 y cos " < 0, halle las restantes funciones trigonométricas.
238
3
.
2
Módulo 20: Funciones circulares
Solución
Como cos " < 0, entonces el ángulo " está en el segundo o en el tercer cuadrante.
y
Como tan " ! x ! 3 > 0, entonces la abscisa x y la ordenada y tienen el mismo
signo, por tanto el ángulo está en el tercer cuadrante y tanto x como y son negativos. Podemos asumir entonces que y = #3 y que x = #1, de donde
a ! x2
mos:
y 2 ! 10. Aplicando las fórmulas de las funciones circulares, obtene-
sen " ! #
3
1
1
10
, cos " ! #
, cot " ! , sec " ! # 10 , csc " ! #
.
3
3
10
10
Álgebra y trigonometría 239