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CAMPOS ELECTRICOS
CAPITULO 23 FISICA TOMO 2
Quinta edición
Raymond A. Serway
23.1 Propiedades de las cargas eléctricas
23.2 Aislantes y conductores
23.3 La ley de Coulomb
23.4 El campo eléctrico
23.5 Campo eléctrico de una distribución de carga continua
23.6 Líneas de campo eléctrico
23.7 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme
Erving Quintero Gil
Ing. Electromecánico
Bucaramanga – Colombia
2010
[email protected]
[email protected]
[email protected]
1
Ejemplo 23.1 El átomo de hidrogeno
El electrón y el protón de un átomo de hidrogeno están separados (en promedio) por una distancia de
aproximadamente 5,3 x 10 -11 m. Encuentre las magnitudes de la fuerza eléctrica y la fuerza
gravitacional entre las dos partículas.
Fuerza electrica = K e
q q
1
2
electrón
r2
protón
r = 5,3 * 10- 11 m
m2
K e = 8,9875 x 109 N
C2
q1 = carga del electrón = - 1,6021917 X 10-19 Coulombios
q2 = carga del protón = 1,6021917 X 10-19 Coulombios
r = es la distancia que los separa = 5,3 x 10 -11 m.
⎛⎜1,6021917 * 10 -19 C ⎞⎟ * ⎛⎜1,6021917 * 10 −19 C ⎞⎟
q1 q 2
m2 ⎝
⎠ ⎝
⎠
9
*
= 8,9875 * 10 N
Fuerza electrica = K e
2
2
2
C
r
⎛⎜ 5,3 * 10 -11 m ⎞⎟
⎝
⎠
m 2 2,567018 * 10 − 38 C 2
*
Fuerza electrica = 8,9875 * 10 9 N
= 8,9875 * 10 9 N * 0,0913854 * 10 -16
22
2
2
−
28,09 * 10
m
C
Fuerza = 0,8213 *10-7 Newton
la fuerza gravitacional entre las dos partículas, se halla con la ley gravitacional de newton.
m mp
Fuerza gravitacional = G e
r2
G = 6,7 x 10 -11 N
m2
Kg 2
me = masa del electrón = 9,1095 X 10-31 Kg
mp = masa del protón = 1,67261 X 10-27 Kg
r = es la distancia que los separa = 5,3 x 10 -11 m.
⎛⎜ 9,1095 * 10 - 31 Kg ⎞⎟ * ⎛⎜1,67261 * 10 − 27 Kg ⎞⎟
m2 ⎝
⎠ ⎝
⎠
11
Fuerza gravitacional = G
N
*
= 6,7 * 10
2
2
2
r
Kg
⎛⎜ 5,3 * 10 -11 m ⎞⎟
⎝
⎠
⎛⎜15,2366 * 10 - 58 Kg 2 ⎞⎟
m2 ⎝
⎠ = 6,7 * 10 -11 N * 0,5424 * 10 - 36
11
*
Fuerza gravitacional = 6,7 * 10
N
22
2
2
28,09 *10
m
Kg
me m
p
Fuerza gravitacional = 3,6342 *10-47 Newton
Ejemplo 23.2 Encuentre la fuerza resultante
Considere tres cargas puntuales localizadas en las esquinas de un triangulo recto, como se muestra en
al figura 23.7, donde q1 = q3 = 5 µc, q2 = -2 µc, a 0 0,1 m. Encuentre la fuerza resultante ejercida sobre
q3
q1 = q3 = 5 µc = 5*10-6 C
q2 = -2 µc = -2*10-6 C
2
La fuerza F23 ejercida por q2 sobre q3 es de atracción por tener cargas de diferente polaridad.
La fuerza F13 ejercida por q1 sobre q3 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad.
F3
F13Y = F13 sen 45
F13X = F13 cos 45
450
450
⎛⎜ 2 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 5 * 10 − 6 C ⎞⎟
m2 ⎝
⎠ ⎝
⎠
9
F23 = K e
*
= 8,9875 * 10 N
2
2
2
(0,1 m )
a
C
⎛⎜10 * 10 -12 ⎞⎟
⎠=
9
F23 = 8,9875 * 10 N * ⎝
8,9875 * 10 9 N * 10 3 * 10 -12 = 8,9875 Newton
0,01
F23 = 9 Newton
q
2
q3
⎛⎜ 5 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 5 * 10 − 6 C ⎞⎟
m2 ⎝
⎠ ⎝
⎠
9
F13 = K e
*
= 8,9875 * 10 N
2
2
2
C
2a
2 * 0,1 m
⎛⎜ 25 * 10 -12 ⎞⎟
⎠ = 8,9875 * 10 9 N * 1250 * 10 -12
9
F13 = 8,9875 * 10 N * ⎝
2 * 0,01
F13 = 11,23 Newton
q 1 q3
(
)
(
)
La fuerza F13 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad y forma un ángulo de 45 grados con el
eje de las x.
F13X = F13 cos 45 = 11,23* cos 45 = 11,23 *0,7071 = 7,94 Newton
F13Y = F13 sen 45 = 11,23* sen 45 = 11,23 *0,7071 = 7,94 Newton
La fuerza F23 esta en el eje negativo de las x.
La fuerza resultante F3 que actúa sobre la carga q3 es:
F3X = F13X - F23 = 7,94 Newton - 9 Newton
F3X = -1,06 Newton
F3Y = F13Y = 7,94 Newton
También se puede expresar la fuerza resultante que actúa sobre q3 en forma de vector unitario como:
F3 = (-1,06 i + 7,9 j) Newton
3
Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza resultante F3 ?
F3 =
(F3X )2 + (F3Y )2
=
(- 1,06)2 + (7,94)2
= 1,1236 + 63,0436 = 64,16 = 8 Newton
Ejemplo 23.3 ¿Dónde es cero la fuerza resultante?
Tres cargas puntuales se encuentran a lo largo del eje x, como se muestra en la fig. 23.8. La carga
positiva q1 = 15μC. Esta en x = 2 m, la carga positiva q2 = 6 μC esta en el origen y la fuerza resultante
que actua sobre q3 es cero. ¿Cuál es la coordenada x de q3 ?
Figura 23.8 Tres cargas puntuales se colocan a lo largo del eje x. Si la fuerza neta que actúa sobre q3
es cero, entonces la fuerza F13 ejercida por q1 sobre q3 debe ser igual en magnitud y opuesta en
dirección a la fuerza F23 ejercida por q2 sobre q3
Solucion: Puesto que q3 y q1 = 15μC., q2 = 6 μC son positivas, las fuerzas F13 y F23 son de atracción.
Según se indica en la figura 23.8. A partir de la ley de coulomb F13 y F23 tienen magnitudes.
F13 = K e
q1 q3
(2 - x )2
F23 = K e
q
2
q3
x2
Para que la fuerza resultante sobre q3 sea cero, F23 debe ser igual en magnitud y puesta en dirección a
F13. Por lo anterior se igualan las ecuaciones.
F13 = F23
Ke
q1 q3
q q
= Ke 2 3
2
(2 - x )
x2
Se cancelan los términos semejantes como Ke , q3
q
1
(2 - x )2
=
q2
x2
Despejando
X2 q1 = (2-x)2 q2
X2 q1 = (4 - 4x +x2 )q2
pero: q1 = 15 μC., q2 = 6 μC
X2 * 15 * 10
-6
= (4 - 4x +x2 ) * 6 * 10
-6
4
CANCELANDO 10
-6
a ambos lados
X2 * 15 = (4 - 4x +x2 ) * 6
15 X2 = 24 - 24x + 6x2
Ordenando y simplificando la ecuación de segundo grado
15 X2 – 24 + 24x - 6x2 = 0
9 X2 + 24x - 24 = 0
3 X2 + 8x - 8 = 0
a=3
b=8
c=-8
2
- b ± b 2 - 4 a c - (8) ± (8) - 4 * 3 * (- 8) - 8 ± 64 + 96
=
=
2a
2*3
6
- 8 ± 160 - 8 ± 12,649
x=
=
6
6
4,649
x=
= 0,775
6
x =
Ejemplo 23.4 ¿Encuentre la carga sobre las esferas?
Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con 3*10-2 kg. De masa, cuelgan en equilibrio como
se indica en la figura 23.9 a. La longitud de cada cuerda es e 0,15 m y el ángulo θ = 5 grados. Encuentre
la magnitud de la carga sobre cada esfera.
Figura 23.9 a) Dos esferas idénticas., cada una conduciendo la misma carga q, suspendidas en
equilibrio. b) Diagrama de cuerpo libre para la esfera a la izquierda.
a
por
Solución: de acuerdo con el triangulo recto que se muestra en la figura 23.9 a, se ve que sen θ =
l
consiguiente, a = l sen θ = 0,15 * sen 5 = 0,15 * 0,087 = 0,013 metros. La separación de las dos esferas
es 2 * a = 2 * 0,013 = 0,026 metros
Las fuerzas que actúan sobre la esfera izquierda se muestran en la figura 23.9 b. Ya que la esfera esta
en equilibrio, las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical deben sumar cero por separado.
Σ Fx = T sen θ - Fe = 0
5
Σ FY = T cos θ - m g = 0
Dividiendo las 2 ecuaciones y simplificando los términos semejantes
T sen θ Fe
=
T cos θ m g
sen θ Fe
=
cos θ m g
F
tgθ = e
mg
Fe = m g tg θ
Fe = 3*10-2 kg.* 9,8 m/seg2 tg 5 = 2,572 *10-2 Newton
A partir de la ley de coulomb, la magnitud de la fuerza electrica es:
Fe = K e
qq
q2
= 8,9875 * 10 9 *
(2a )2
(0,026 )2
2,572 * 10 - 2 = 8,9875 * 10 9 *
q2
(0,026 )2
2,572 * 10 - 2 ⎛⎜ 6,76 * 10 - 4 ⎞⎟ = 8,9875 * 10 9 * q 2
⎝
⎠
1,7386 * 10 - 3 * 10 − 2
q=
= 1,9345 * 10 - 4 * 10 − 2 * 10 − 9
9
8,9875 * 10
q = 19,345 * 10 - 16 = 4,39 * 10 − 8 coulombios
Ejercicio si la carga sobre las esferas fuera negativa, cuantos electrones tendrían que añadirsen a ellas
para producir una carga neta de – 4,4 * 10- 8 C.
Ejemplo 23.5 Campo eléctrico debido a dos cargas
Una carga q1 = 7 μC se ubica en el origen y una segunda carga q2 = -5 μC se ubica en el eje x a 0,3 m
del origen (Fig 23.13). Encuentre el campo eléctrico en el punto P, el cual tiene coordenadas (0, 0.4) m
Solución. Comience por encontrar la magnitud del campo eléctrico en P producido por cada carga.
Los campos E1 producidos por la carga de q1 = 7 μC
Los campos E2 producidos por la carga de q2 = - 5 μC se muestran en la figura 23.13.
⎛⎜ 7 * 10 - 6 ⎞⎟
-6
q1
⎠ = 8,99 * 109 * 7 * 10 = 8,99 * 10 9 * 43,75 * 10 − 6
9
E1 = K e
= 8,99 * 10 * ⎝
0,16
(r1 )2
(0,4 m )2
E1 = 393,31* 103 N/C
6
E2X = E2 cos θ
θ0
E2Y = E2 sen θ
E2
0,4
= 0,8
0,5
θ = arc sen 0,8
sen θ =
E
θ = 53,130
EY = E sen Φ
Φ0
EX = EX cos Φ
Figura 23.13 El campo eléctrico total E en P es igual al vector suma E1 + E2, donde E1 es el campo
debido a la carga positiva q1 y E2 es el campo debido a la carga negativa q2
⎛⎜ 5 * 10 - 6 ⎞⎟
-6
q1
⎠ = 8,99 * 10 9 * 5 * 10 = 8,99 * 10 9 * 20 * 10 − 6
E1 = K e
= 8,99 * 10 9 * ⎝
0,25
(r1 )2
(0,5 m )2
E1 = 179,8* 103 N/C
El vector E1 solo tiene componente en el eje Y.
El vector E2 tiene componente en el eje Y y en el eje X.
La fuerza E1 se descompone en E1Y (Ver las graficas)
E1Y = 393,31* 103 Newton
La fuerza E2 se descompone en E2X y en E2Y (Ver las graficas)
E2X = E2 cos 53,13 = 179,8 * 103 * 0,6 = 107,88 * 103 Newton
E2Y = - E2 sen 53,13 = 179,8* 103 *0,8 = -143,84 * 103 Newton
E es la fuerza resultante entre las fuerzas E1 y la fuerza E2 (Ver las graficas)
La fuerza E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas)
EX = E2X = 107,88 * 103 Newton
EY = E1Y - E2Y = 393,31* 103 Newton - 143,84 * 103 Newton = 249,47* 103
EY = 249,47* 103 Newton
Newton
7
E=
(E X )2
+ (E Y )2 =
(107,88*10 ) + (249,47 *10 )
3 2
3 2
= 11639,82 *10 6 + 62235,28 *10 6 = 73875,1*10 6
F = 271,79*103 Newton
E Y 249,47 * 10 3 249,47
=
=
= 2,312476
E X 107,88 * 10 3 107,88
Φ = arc tg(2,312476)
tg φ =
Φ = 66,610 RESPECTO AL EJE X POSITIVO
Ejemplo 23.6 Campo eléctrico de un dipolo
Un dipolo eléctrico se define como una carga positiva q y una carga negativa –q separadas por alguna
distancia. Para el dipolo mostrado en la figura 23.14 determine el campo eléctrico E en P debido a estas
E1
E1Y = E1 sen θ
θ
0
E1X = E1 cos θ
E2X = E2 cos θ
θ
y
r
a
cos θ =
r
E2Y = E2 sen θ
E2
sen θ =
cargas, donde P esta a una distancia y >>a desde el origen.
Figura 23.14 El campo electrico total E en P debido a dos cargas de igual magnitud y signo opuesto (un
dipolo electrico) es igual al vector suma E1 + E2.
El campo E1 se debe a la carga positiva q
El campo E2 se debe a la carga negativa -q
Solucion: En el punto P los campos E1 y E2 son iguales en magnitud, debido a que las carga q y –q son
iguales, el punto P es equidistante de las cargas.
E1 = K e
q
(r )2
E2 = Ke
q
(r )2
E1 = E2
8
La distancia r se halla por el teorema de Pitágoras, ver grafica
r2 = y2 + a2
q
q
E1 = E 2 = K e
= Ke
2
2
(r )
y + a2
La fuerza E1 se descompone en E1X y en E1Y (Ver las graficas)
E1X = E1 cos θ
E1Y = E1 sen θ
La fuerza E2 se descompone en E2X y en E2Y (Ver las graficas)
E2X = E2 cos θ
E2Y = - E2 sen θ
E es la fuerza resultante entre las fuerzas E1 y la fuerza E2 (Ver las graficas)
La fuerza E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas)
EX = E1X + E2X = E1 cos θ + E2 cos θ = 2 E1 cos θ (no olvide que E1 = E2)
EX = 2 E1 cos θ
a
cos θ =
r
La distancia r se halla por el teorema de Pitágoras, ver grafica
r2 = y2 + a2
Reemplazando
E x = 2 E1
a
= 2 E1
r
a
y2 + a 2
EY = E1Y + E2Y = E1 sen θ - E2 sen θ = 0 (no olvide que E1 = E2)
EY = 0
E=
(E X )2
E = 2 E1
E = 2 E1
+ (E Y )2 =
a
y2 + a 2
a
y2 + a 2
⎛
⎜
⎜ 2 E1
⎜
⎝
2
⎞
⎟
2
⎟ + (0 ) = 2 E1
y 2 + a 2 ⎟⎠
a
pero: E1 = K e
= 2 Ke
q
*
(r )2
a
y2 + a 2
q
(r )2
a
y2 + a 2
q
a
*
2
2
y +a
y2 + a 2
simplificando
qa
E = 2 Ke
32
⎛⎜ y 2 + a 2 ⎞⎟
⎠
⎝
E = 2 Ke
9
Si observamos en la grafica y >>a, se puede ignorar el valor de a
qa
qa
E = 2 Ke
= 2 Ke
32
y3
⎛⎜ y 2 ⎞⎟
⎝ ⎠
qa
E ≅ 2 Ke
y3
Problema 1 Serway quinta edición. a) Calcule el número de electrones en un pequeño alfiler de plata,
eléctricamente neutro, que tiene una masa de 10 g. La plata tiene 47 electrones por átomo, y su masa
molar es de 107.87 g/mol. b) Se añaden electrones al alfiler hasta que la carga negativa neta sea de 1
mC (1*10-3 Coulomb). ¿Cuántos electrones se añaden por cada 109 electrones ya presentes?
Masa molar de la plata es de 107.87 g/mol.
La plata tiene 47 electrones por átomo.
1 mol de plata
107,8 gr
X
10 gr. Plata
1 mol de plata *10 gr
x=
= 0,0927 mol de plata
107,8 gr
6,02 * 1023 átomos
x átomos
23
0,0927 mol de plata * 6,02 * 10 atomos
x=
= 0,558 * 10 23 atomos de plata
1 mol de plata
1 mol plata
0,0927 mol de plata
1 átomo de plata
47 electrones
0,558*1023 átomos de plata
x electrones
23
0,558 * 10 atomos de plata * 47 electrones
x=
= 26,2285 * 10 23 electrones
1 atomo de plata
1 electrón (carga)
1,6*10- 19 Coulomb
-3
x
1* 10 Coulomb
1 * 10 - 3 Coulomb * 1 electron
x=
= 0,625 * 1016 electrones
1,6 * 10 - 19 Coulomb
Problema 2 Serway quinta edición. a) Dos protones en una molécula están separados por una
distancia de 3.8 x 10-10 m. Encuentre la fuerza eléctrica ejercida por un protón sobre el otro. b) ¿Cómo
se compara la magnitud de esta fuerza con la magnitud de la fuerza gravitacional entre los dos
protones? c) ¿Cuál debe ser la relación carga a masa de una partícula si la magnitud de la fuerza
gravitacional entre dos de estas partículas es igual a la magnitud de la fuerza eléctrica entre ellas?
protón
protón
r = 3,8 *10- 10 m
Fuerza electrica = K e
q q
1
r2
2
K e = 8,9875 x 10 9 N
m2
C2
10
q = carga del protón = 1,6021917 X 10-19 Coulombios
r = es la distancia que los separa = 3,8 x 10 -10 m.
−19 C ⎞ * ⎛1,6021917 * 10 −19 C ⎞
⎛
⎟ ⎜
⎟
2 ⎜1,6021917 * 10
q*q
m
⎝
⎠ ⎝
⎠
*
Fuerza electrica = K e
= 8,9875 * 10 9 N
2
C2
r2
⎛⎜ 3,8 * 10 -10 m ⎞⎟
⎝
⎠
m 2 2,567018 * 10 − 38 C 2
*
Fuerza electrica = 8,9875 * 10 9 N
= 8,9875 * 10 9 * 0,17728 * 10 -18 Newton
20
2
2
−
14,44 * 10
m
C
-9
Fuerza eléctrica = 1,59 *10 Newton, es de repulsión por que los protones tienen la misma
polaridad (positiva).
b) ¿Cómo se compara la magnitud de esta fuerza con la magnitud de la fuerza gravitacional entre los
dos protones?
la fuerza gravitacional entre las dos partículas, se halla con la ley gravitacional de newton.
m mp
m2
Fuerza gravitacional = G e
G = 6,67 x 10 -11 N
Kg 2
r2
mp = masa del protón = 1,67261 X 10-27 Kg
r = es la distancia que los separa =3,8 x 10 -10 m.
⎛⎜1,67261 * 10 - 27 Kg ⎞⎟ * ⎛⎜1,67261 * 10 − 27 Kg ⎞⎟
mp m p
m2 ⎝
⎠ ⎝
⎠
11
= 6,67 * 10
Fuerza gravitacional = G
N
*
2
r2
Kg 2
⎛⎜ 3,8 * 10 -10 m ⎞⎟
⎝
⎠
⎛⎜ 2,7889 * 10 - 54 Kg 2 ⎞⎟
m2 ⎝
⎠ = 6,67 * 10 -11 * 0,1931 * 10 - 34 Newton
11
Fuerza gravitacional = 6,67 * 10
N
*
2
20
2
Kg
14,44 * 10
m
Fuerza gravitacional = 1,28 *10
-45
Newton
Fe 1,59 * 10 - 9
=
= 1,24 * 10 36 la fuerza eléctrica es mas grande 1,24 *1036 veces que la fuerza
Fg 1,28 * 10 - 45
gravitacional
¿Cuál debe ser la relación carga a masa de una partícula si la magnitud de la fuerza gravitacional entre
dos de estas partículas es igual a la magnitud de la fuerza eléctrica entre ellas?
Fuerza eléctrica = Fuerza gravitacional
Fuerza electrica = K e
q q
1
2
r2
Fuerza gravitacional = G
m
e
mp
r2
q2
m2
=G
r2
r2
Cancelando términos semejantes
Ke q2 = G m2
Ke
11
q2
G
=
2
K
e
m
q
G
=
Ke
m
q2
G
=
2
K
e
m
q
G
6,67 * 10 -11
=
=
=
m
Ke
8,99 * 10 9
0,7419 * 10 - 20
q
C
= 0,861 * 10 -10
Kg
m
Problema 7 Serway quinta edición. Tres cargas puntuales se colocan en las esquinas de un triángulo
equilátero, como se muestra en la figura P23. 7. Calcule la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7 µC.
F2X = F2 cos 60
F1
F1Y = F1 sen 60
F1
600
F2Y = F2 sen 60
600
+
F
F1X = F1 cos 60
F2
F2
F1
FX
600
FY
300
F
600
-6
q1 = 7 µc = 7 *10 C
-6
q2 = 2 µc = 2*10 C
-6
q3 = - 4 µc = -4 *10 C
F
F2
La fuerza F1 ejercida por q2 sobre q1 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad (positivas)
La fuerza F2 ejercida por q3 sobre q1 es de ATRACCION por tener cargas de diferente polaridad.
a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m.
−6 ⎞
-6 ⎞ ⎛
⎛
2 ⎜ 7 * 10 C ⎟ * ⎜ 2 * 10 C ⎟
q 2 q1
m
⎝
⎠
⎝
⎠
F1 = K e
= 8,99 * 10 9 N
*
(0,5 m )2
a2
C2
⎛⎜14 * 10 -12 ⎞⎟
⎠ Newton = 8,99 * 10 9 * 56 * 10 -12 = 0,5034 Newton
9
F1 = 8,99 * 10 * ⎝
0,25
F1 = 0,5034 Newton
12
⎛⎜ 4 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 7 * 10 − 6 C ⎞⎟
q 3 q1
m2 ⎝
⎠ ⎝
⎠
9
F2 = K e
= 8,99 * 10 N
*
2
2
2
(0,5 m )
a
C
⎛⎜ 28 * 10 -12 ⎞⎟
⎠ Newton = 8,99 * 10 9 * 112 * 10 -12 = 1,0068 Newton
9
F2 = 8,99 * 10 * ⎝
0,25
F1 = 1,0068 Newton
La fuerza F1 se descompone en F1X y en F1Y (Ver las graficas)
F1X = F1 cos 60 = 0,5034 * 0,5 = 0,2517 Newton
F1Y = F1 sen 60 = 0,5034 * 0,866 = 0,4359 Newton
La fuerza F2 se descompone en F2X y en F2Y (Ver las graficas)
F2X = F2 cos 60 = 1,0068 * 0,5 = 0,5034 Newton
F2Y = F2 sen 60 = 1,0068 *0,866 = 0,8719 Newton
F es la fuerza resultante entre las fuerzas F1 y la fuerza F2 (Ver las graficas)
La fuerza F se descompone en FX y en FY (Ver las graficas)
FX = F1X + F2X = 0,2517 Newton + 0,5034 Newton = 0,7551 Newton
FX =0,7551 Newton
FY = F1Y + F2Y = 0,4359 Newton - 0,8719 Newton = - 0,436 Newton
FY = - 0,436 Newton
F=
(F3X )2
+ (F3Y )2 =
(0,7551)2 + (- 0,436)2
= 0,57 + 0,19 = 0,76
F = 0,871 Newton
F
- 0,436
tg θ = Y =
= - 0,577406
FX 0,7551
θ = arc tg(-0,577406)
θ = - 300
Problema 8 Serway quinta edición. Dos pequeñas cuentas que tienen cargas positivas 3q y q están
fijas en los extremos opuestos de una barra aislante horizontal que se extiende desde el origen al punto
x = d Como se muestra en la figura P23.8, una tercera cuenta pequeña cargada es libre de deslizarse
sobre la barra. ¿En qué posición está en equilibrio la tercera cuenta? ¿Puede estar en equilibrio
estable?
Qq
F1 = K e
(d - X )2
F2 = K e
Q 3q
(X )2
13
F2
X
Q
F1
d -X
Para estar en equilibrio se igualan las dos fuerzas y se halla en que posición esta la carga Q.
F1 = F2
Ke
Qq
(d - X )2
= Ke
Q 3q
(X )2
Se cancelan términos semejantes
1
3
=
(d - X )2 (X )2
(X )2 = 3 (d - X )2
X 2 = 3 (d - X )2
X = 3 (d - X )
X= 3 d- 3X
Despejando X
X + 3X = 3d
X + 1,732 X = 1,732 d
2,732 X = 1,732 d
1,732 d
X =
= 0,6339 d
2,732
X = 0,6339 d
Problema 9 Serway quinta edición. n la teoría de Bohr del átomo de hidrógeno, un electrón se mueve
en una órbita circular en torno a un protón, donde el radio de la órbita es 0.529 x 10-10 m. a) Encuentre la
fuerza eléctrica entre los dos. b) Si esta fuerza provoca la aceleración centrípeta del electrón, ¿cuál es la
rapidez del electrón?
q q
electrón
protón
Fuerza electrica = K e 1 2
2
r
r = 5,3 * 10- 11 m
m2
9
K e = 8,9875 x 10 N
C2
14
q1 = carga del electrón = - 1,6021917 X 10-19 Coulombios
q2 = carga del protón = 1,6021917 X 10-19 Coulombios
r = es la distancia que los separa = 0,529 x 10 -10 m.
-19 C ⎞ * ⎛1,6021917 * 10 −19 C ⎞
⎛
⎟
⎟ ⎜
2 ⎜1,6021917 * 10
q1 q 2
m
⎠
⎠ ⎝
Fuerza electrica = K e
*⎝
= 8,9875 * 10 9 N
2
2
2
r
C
⎛⎜ 0,529 * 10 -10 m ⎞⎟
⎝
⎠
38
2
2
−
2,567018 * 10
C
m
*
Fuerza electrica = 8,9875 * 10 9 N
= 8,9875 * 10 9 * 9,17447 * 10 -18 Newton
20
2
2
−
0,2798 * 10
m
C
-9
Fuerza = 82,45 *10 Newton
b) Si esta fuerza provoca la aceleración centrípeta del electrón, ¿cuál es la rapidez del electrón?
F=ma
v2
a=
r
v2
F= m*
r
Despejando la velocidad.
Fr
= V2
m
m
43,616 * 10 -19 Kg
*m
9
10
seg 2
m2
F*r
82,45 * 10 Newton 0,529 * 10
m
V=
=
=
= 4,787711 * 1012
m
seg 2
9,11 * 10 - 31 Kg
9,11 * 10 - 31 Kg
V = 2,188*106 m/seg
Problema 11 Serway quinta edición.¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico que
equilibrará el peso de a) un electrón y b) un protón? (Use los datos de la tabla 23.1.)
E = campo eléctrico
Fe = fuerza eléctrica = q * E (Ecuación 1)
Fe = m * g (fuerza de la gravedad) (Ecuación 1)
Igualando las ecuaciones
qE=mg
Despejando E para hallar el campo eléctrico del electrón y del protón
⎛⎜ 9,1095 * 10 - 31 ⎞⎟ kg * 9,8 m
⎠
m g ⎝
seg 2 89,2731 * 10 - 31 Newton
Newton
E electron = e =
=
= - 55,71 * 10 - 12
19
19
qe
Coulombios
C
C
- 1,6021917 * 10
- 1,6021917 * 10
15
E proton =
mp g
qp
=
⎛⎜1,67261 * 10 - 27 ⎞⎟ kg * 9,8 m
⎝
⎠
seg 2
1,6021917 * 10 - 19 C
=
16,3915 * 10 - 31 Newton
Newton
= 10,23 * 10 - 12
19
Coulombios
C
1,6021917 * 10
Problema 12 Serway quinta edición. Un objeto que tiene una carga neta de 24 μC se coloca en un
campo eléctrico uniforme de 610 N/C que está dirigido verticalmente. ¿Cuál es la masa de este objeto si
"flota" en el campo?
E = campo eléctrico
Fe = fuerza eléctrica = q * E (Ecuación 1)
Fe = m * g (fuerza de la gravedad) (Ecuación 1)
Igualando las ecuaciones
qE=mg
q = 24 μC = 24 * 10- 6 C
Despejando m para hallar la masa
- 6 kg * m
⎛⎜ 24 * 10 - 6 ⎞⎟ C * 610 N 14640 * 10 *
seg 2
q*E ⎝
⎠
C =
=
m=
= 1493,87 * 10 - 6 kg
m
m
g
9,8
9,8
seg 2
seg 2
Problema 13 Serway quinta edición. En la figura P23.13 determine el punto (distinto del infinito) en el
cual el campo eléctrico es cero. q1 = - 2,5 μ C q2= 6 μ C
d +1
d
P
E2
E1
Los campos E1 producidos por la carga de q1 = - 2,5 μC
Los campos E2 producidos por la carga de q2 = 6 μC se muestran en la figura
16
⎛⎜ 2,5 * 10 - 6 ⎞⎟
3
q1
⎠ = 22,475 * 10
9
E1 = K e
= 8,99 * 10 * ⎝
(d )2
(d )2
d2
⎛⎜ 6 * 10 - 6 ⎞⎟
3
⎠ = 53,94 * 10
9
E2 = Ke
= 8,99 * 10 * ⎝
(d + 1)2
(d + 1)2
(d + 1)2
Igualando las ecuaciones
E1 = E2
q2
22,475 * 10 3 53,94 * 10 6
=
(d + 1)2
d2
22,475
53,94
=
(d + 1)2
d2
53,94 d2 = 22,475 (d+1)2
53,94 d2 = 22,475 (d2 +2d +1)
53,94 d2 = 22,475 d2 + 44,95 d + 22,475
53,94 d2 - 22,475 d2 - 44,95 d - 22,475 = 0
31,465 d2 - 44,95 d - 22,475 = 0
a = 31,465
b = - 44,95
c = - 22,475
d =
2
- b ± b 2 - 4 a c - (-44,95) ± (- 44,95) - 4 * 31,465 * (- 22,475) 44,95 ± 2020,5 + 2828,7
=
=
2a
2 * 31,465
62,93
d =
44,95 ± 4849,2 44,95 + 69,63 114,58
=
=
= 1,82 metros
62,93
62,93
62,93
Problema 15 Serway quinta edición. En la figura P23.7 se muestran tres cargas colocadas en las
esquinas de un triángulo equilátero. a) Calcule el campo eléctrico en la posición de la carga de 2 µC
debido a las cargas de 7 µC y -4 µC. b) Utilice su respuesta a la parte a) para determinar la fuerza sobre
la carga de 2 µC.
a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m.
-6
q1 = 7 µc = 7 *10 C
-6
q2 = 2 µc = 2*10 C
17
q3 = - 4 µc = -4 *10
-6
C
q1 = 7*10-6 C
600
E1X
E2 = E2X
600
a = 0,5 cm
E1
E1Y
E1X
600
600
600
θ0
E2 = E2X
q2 = 2 *10-6 C
E2
q3 = - 7 *10-6 C
E1
E
E1
El campo eléctrico E1 ejercida por q1 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad
(positivas)
El campo eléctrico E2 ejercida por q3 sobre q1 es de ATRACCION por tener cargas de diferente
polaridad.
a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m.
-6 ⎞
⎛
2 ⎜ 7 * 10 C ⎟
2
−6
q1
m
⎠ = 8,99 * 10 9 N m * 7 * 10 C = 8,99 * 10 9 N * 28 * 10 − 6
*⎝
E1 = K e
= 8,99 * 10 9 N
C
(0,5 m )2
a2
C2
C2
0,25 m 2
N
E1 = 251,72 * 10 3
C
E1 = 251,72 * 103 N/C
⎛⎜ 4 * 10 - 6 C ⎞⎟
2
−6
q3
m2 ⎝
⎠ = 8,99 * 10 9 N m * 4 * 10 C = 8,99 * 10 9 N * 16 * 10 − 6
9
*
E2 = Ke
= 8,99 * 10 N
C
(0,5 m )2
a2
C2
C2
0,25 m 2
N
E 2 = 143,84 * 103
C
E2 = 143,84 * 103 N/C
E1 se descompone en E1X y en E1Y (Ver las graficas)
E1X = - E1 cos 60 = - 251,72 * 103 * 0,5 = -125,86 N/C
E1X = - 125,86* 103 N/C
E1Y = - E1 sen 60 = - 251,72 * 103 * 0,866 = - 217,99* 103 N/C
E1Y = - 217,99* 103 N/C
E2 = E2X (Ver las graficas). no tiene componentes en el eje Y.
E2X = 143,84*103 N/C
18
E es la resultante entre E1 y E2 (Ver las graficas)
E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas)
EX = - E1X + E2X = - 125,86* 103 N/C + 143,84*103 N/C = 17,99 N/C
EX = 17,99* 103 N/C
EY = - E1Y = - 217,99* 103 N/C
EY = - 217,99* 103 N/C
E=
(E X )2
+ (E Y )2 =
2
2
⎛⎜18 * 10 3 ⎞⎟ + ⎛⎜ - 218 * 10 3 ⎞⎟ = 324 * 10 6 + 47524 * 10 6 = 47848 * 10 6
⎝
⎠
⎝
⎠
E = 218,74*103 N/C.
b) Utilice su respuesta a la parte a) para determinar la fuerza sobre la carga de 2 µC.
-6
q2 = 2 µc = 2*10 C
F = q2 * E
F = 2*10-6 C* 218,74*103 N/C
F = 437,48*10- 3 NEWTON
PROBLEMAS VARIOS
Problema 1. Suponga que se tiene tres cargas puntuales localizadas en los vértices de un triangulo
recto,
-6
q1 = - 80 µC = - 80 *10 C
-6
q2 = 50 µC = 50 *10 C
-6
q3 = 70 µC = 70 *10 C
F32
F32
F
F
q3 = 70 μC
r = 0,3 2 + 0,4 2
F31
α
θ
F31
a = 0,3 m
θ
q1 = - 80 μC
b = 0,4 m
q2 = 50 μC
Calcular la fuerza sobre la carga q3 debido a las cargas q1 y q2
La fuerza que ejerce q2 sobre q3 es de repulsión, por que q2 y q3 tiene cargas positivas. Se le denomina
F32 . ver grafica.
19
⎛⎜ 70 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 50 * 10 − 6 C ⎞⎟
m2 ⎝
⎠
⎠ ⎝
9
F32 = K e
*
= 9 * 10 N
2
2
2
(0,3 m )
a
C
⎛⎜ 3500 * 10 - 12 ⎞⎟ C 2
m2 ⎝
⎠
9
F32 = 9 * 10 N
*
= 9 * 10 9 * 38888,888 * 10 - 12 Newton
2
2
C
0,09 m
q3 q2
F32 = 350000 * 10- 3 Newton
F32 = 350 Newton
La fuerza que ejerce q1 sobre q3 es de atracción, por que q1 tiene carga negativa y q3 tiene carga
positiva. Se le denomina F31 . ver grafica.
La distancia entre la carga q1 y la carga q3 se puede hallar por el teorema de Pitágoras.
r = 0,32 + 0,4 2 = 0,09 + 0,16 = 0,5 metros
⎛⎜ 70 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ − 80 * 10 − 6 C ⎞⎟
m2 ⎝
⎠
⎠ ⎝
9
*
F31 = K e
= 9 * 10 N
2
2
2
(0,5 m )
C
r
⎛⎜ - 5600 * 10 - 12 ⎞⎟ C 2
m2 ⎝
⎠
9
F31 = 9 * 10 N
*
= - 9 * 10 9 * 22400 * 10 - 12 Newton
2
2
0,25 m
C
q 3 q1
F31 = - 201600 * 10- 3 Newton
F31 = - 201,6 Newton
tg θ =
0,3
0,4
⎛ 0,3 ⎞
⎟⎟
⎝ 0,4 ⎠
θ = 36,860
θ = arc tg ⎜⎜
La fuerza F31 se descompone en F31X y en F31Y (Ver las graficas)
F31X = F31 cos θ = 201,6 * cos 36,86 = 201,6 * 0,8 = 161,3 Newton
F31X = 161,3 Newton
F31Y = F31 sen θ = - 201,6 * sen 36,86 = - 201,6 * 0,6 = -120,93 Newton
F31Y = -120,93 Newton
La fuerza F32 se descompone en F32Y y no tiene componente en el eje x. (Ver las graficas), es decir
F32 = F32Y = 350 Newton
F es la fuerza resultante entre las fuerzas F31 y la fuerza F32 (Ver las graficas)
La fuerza F se descompone en Fx y en Fy (Ver las graficas)
FX = F31X = 161,3 Newton
20
FY = F31Y + F32Y = -120,93 Newton + 350 Newton = 229,06 Newton
FY = 229,06 Newton
F
229,06
tg α = Y =
= 1,42
FX 161,3
α = arc tg 1,42
α = 54,840
F=
(FX )2
+ (FY )2 =
(161,3)2 + (229,06)2
=
78486,17
F = 280 Newton
Problema 2. Calcular la fuerza de interacción eléctrica en el vacío entre las cargas de la figura
r=2m
q1 = + 2,5 * 10 - 6C
Fuerza electrica = K e
q2 = + 1,5 * 10 - 5C
q1 q 2
r2
⎛⎜ 2,5 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜1,5 * 10 − 5 C ⎞⎟
m2 ⎝
⎠
⎠ ⎝
9
*
= 9 * 10 N
2
2
(2 m )
C
3,75 * 10 - 11
Newton
4
33,75 * 10 - 2
Fuerza electrica =
= 8,4375 * 10 - 2 Newton
4
Fuerza electrica = 9 * 10 9 *
Problema 3. Calcular la fuerza neta debido a la interacción eléctrica en el vacío que actúa sobre la
carga q2.
a=2m
b=1m
F23
q1 = + 2,5 * 10 - 6C
F21
q2 = + 1 * 10 - 6C
q3 = + 2 * 10 - 6C
La fuerza que ejerce q1 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le
denomina F21. VER GRAFICA
⎛⎜ 2,5 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜1 * 10 − 6 C ⎞⎟
q1 q 2
m2 ⎝
⎠
⎠ ⎝
9
*
F21 = K e
= 9 * 10 N
2
2
2
(2 m )
a
C
2,5 * 10 - 12
Newton
4
22,5 * 10 - 3
F21 =
= 5,625 * 10 - 3 Newton
4
F21 = 9 * 10 9 *
21
La fuerza que ejerce q3 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le
denomina F23. VER GRAFICA
-6 ⎞ ⎛
−6 ⎞
⎛
2 ⎜ 2 * 10 C ⎟ * ⎜1 * 10 C ⎟
q3 q2
m
⎠
⎝
⎠
⎝
F23 = K e
*
= 9 * 10 9 N
(1 m )2
a2
C2
F23 = 9 * 10 9 * 2 * 10 - 12 Newton
F23 = 18 *10 - 3 Newton
Sea F la fuerza resultante, entre F21 que esta dirigida hacia la derecha y F23 que esta dirigida hacia la
izquierda en el eje de las X.
F = F21 - F23 = 5,625 * 10- 3 - 18*10-3 = -12,375 * 10- 3 Newton
F = -12,375 * 10- 3 Newton
Problema 4. Tres cargas puntuales se hallan en los vértices de un triangulo equilátero de lado a = 10
cm. Calcular la fuerza resultante sobre la partícula 3.
-6
q1 = 2 *10 C
-6
-6
q3 = 4 *10 C
q2 = 2 *10 C
F
F32
F
F32
F31
30
0
q3 = + 4 * 10 - 6C
60
0
60
F32
0
0
60
q1 = + 2 * 10 - 6C
60
F32Y
0
60
q2 = + 2 * 10 - 6C
F31
0
0
30
F32X
F31
0
F31Y
60
F31X
la distancia entre cada carga por ser un triangulo equilátero a = 10 cm = 0,1 m
La fuerza que ejerce q1 sobre q3 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le
denomina F31. VER GRAFICA
-6 ⎞ ⎛
−6 ⎞
⎛
2 ⎜ 2 * 10 C ⎟ * ⎜ 4 * 10 C ⎟
q1 q 3
m
⎠
⎠ ⎝
F31 = K e
*⎝
= 9 * 10 9 N
2
2
2
(0,1 m )
a
C
8 * 10 - 12
Newton
0,01
F31 = 9 * 10 9 * 8 * 10 -10 = 72 * 10 - 1 Newton
F31 = 9 * 10 9 *
22
F31 = 7,2 Newton
La fuerza que ejerce q2 sobre q3 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le
denomina F32. VER GRAFICA
⎛⎜ 2 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 4 * 10 − 6 C ⎞⎟
q2 q3
m2 ⎝
⎠
⎠ ⎝
9
F32 = K e
*
= 9 * 10 N
2
2
2
(0,1 m )
a
C
8 * 10 - 12
Newton
0,01
F32 = 9 * 10 9 * 8 * 10 -10 = 72 * 10 - 1 Newton
F32 = 7,2 Newton
F32 = 9 * 10 9 *
La fuerza F31 se descompone en F31X y en F31Y (Ver las graficas)
F31X = F31 cos 60 = 7,2 * 0,5 = 3,6 Newton
F31X = 3,6 Newton
F31Y = F31 sen 60 = 7,2 * 0,866 = 6,2352 Newton
F31Y = 6,2352 Newton
La fuerza F32 se descompone en F32X y en F32Y (Ver las graficas)
F32X = - F32 cos 60 = 7,2 * 0,5 = - 3,6 Newton
F32X = - 3,6 Newton
F32Y = F32 sen 60 = 7,2 * 0,866 = 6,2352 Newton
F32Y = 6,2352 Newton
F es la fuerza resultante entre las fuerzas F1 y la fuerza F2 (Ver las graficas)
La fuerza F se descompone en FX = 0 y en FY (Ver las graficas)
FX = F31X - F32X = 3,6 Newton - 3,6 Newton = 0
FX = 0 (no tiene componente en el eje de las X) . (Ver las graficas)
FY = F31Y + F32Y = 6,2352 Newton + 6,2352 Newton = 12,47 Newton
FY = 12,47 Newton
F=
(FX )2
+ (FY )2 =
(0)2 + (12,47 )2
= 12,47
F = 12,47 Newton
Problema 5. Determine la fuerza neta sobre la carga de q2 = 2,5 μC = 2,5 * 10 – 6 C. Todas las cargas
son positivas.
a = 0,5 m
F23
q1 = + 1,3 * 10 - 6C
b = 1,5 m
F21
q2 = + 2,5 * 10 - 6C
q3 = + 3,2 * 10 - 6C
23
La fuerza que ejerce q1 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le
denomina F21. VER GRAFICA
-6 ⎞ ⎛
−6 ⎞
⎛
2 ⎜1,3 * 10 C ⎟ * ⎜ 2,5 * 10 C ⎟
q1 q 2
m
⎠
⎝
⎠
⎝
F21 = K e
*
= 9 * 10 9 N
(0,5 m )2
a2
C2
3,25 * 10 - 12
29,25 * 10 - 3
Newton
F21 =
= 117 * 10 - 3 Newton
0,25
0,25
La fuerza que ejerce q3 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le
denomina F23. VER GRAFICA
-6 ⎞ ⎛
−6 ⎞
⎛
2 ⎜ 3,2 * 10 C ⎟ * ⎜ 2,5 * 10 C ⎟
q3 q2
m
⎠
⎠ ⎝
F23 = K e
*⎝
= 9 * 10 9 N
2
2
2
(1,5 m )
a
C
F21 = 9 * 10 9 *
F23 = 9 * 10 9 *
8 * 10 - 12
Newton
2,25
F23 =
72 * 10 - 3
= 32 * 10 - 3 Newton
2,25
Sea F la fuerza resultante, entre F21 que esta dirigida hacia la derecha y F23 que esta dirigida hacia la
izquierda en el eje de las X.
F = F21 - F23 = 117 * 10- 3 – 32 *10-3 = 85 * 10- 3 Newton
F = 85 * 10- 3 Newton
Problema 6. Para la configuración de cargas eléctricas que se muestra en la figura determine en que
dirección se moverá inicialmente una carga Q (+) al ser colocada en el centro de un hexagono.
q2 =+2q
q3 = - q
q2 =+2q
q1= - 2q
q3 = - q
q1= - 2q
F3
F1
Q(+)
Q(+)
q4 =+2q
q4 =+2q
q6 = - q
q5 =+2q
F2
q6 = - q
q5 =+2q
La fuerza que ejerce Q (+) sobre q1 (-) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta
fuerza se le denomina F1. VER GRAFICA
La fuerza que ejerce Q (+) sobre q2 (+) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se
le denomina F2. VER GRAFICA
24
La fuerza que ejerce Q (+) sobre q3 (-) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta
fuerza se le denomina F3. VER GRAFICA
q2 =+2q
q2 =+2q
F5
q3 = - q
q3 = - q
F3
F4
q1= - 2q
F4
F1
F1
Q(+
Q(+
q4 =+2q
q4 =+2q
F6
F2
q1= - 2q
q6 = - q
q6 = - q
q5 =+2q
q5 =+2q
La fuerza que ejerce Q (+) sobre q4 (+) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se
le denomina F4. VER GRAFICA.
La fuerza que ejerce Q (+) sobre q5 (+) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se
le denomina F5. VER GRAFICA
La fuerza que ejerce Q (+) sobre q6 (-) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta
fuerza se le denomina F6. VER GRAFICA
Se observa en la grafica, que la fuerza F3 y la fuerza F6 tienen la misma magnitud pero en sentido
contrario, por lo tanto se cancelan estas fuerzas.
Se observa en la grafica, que la fuerza F2 y la fuerza F5 tienen la misma magnitud pero en sentido
contrario, por lo tanto se cancelan estas fuerzas.
a
F4
F1
30
Q(+
30
F1 = K e
Q2q
a2
F4 = K e
Q2q
a2
a/2
a/2
30
Q(+
F1X
F
F4Y
F4
F1
F1Y
F4Y
F1Y
30
F4X
Q(+
F4X
F1X
F 1 = F4
La fuerza F1 se descompone en F1X y en F1Y (Ver las graficas)
25
F1X = F1 cos 30
F1Y = F1 sen 30
La fuerza F4 se descompone en F4X y en F4Y (Ver las graficas)
F4X = F4 cos 30
F4Y = F4 sen 30
F es la fuerza resultante entre las fuerzas F1 y la fuerza F4 (Ver las graficas)
La fuerza F se descompone en FX y en FY (Ver las graficas)
FX = F1X + F4X = F1 cos 30 + F4 cos 30
FY = F1Y + F4Y = F1 sen 30 + F4 sen 30
F=
(FX )2
+ (FY )2
Problema 7. Que fuerza electrostática, debido a las otras dos cargas actúa sobre q1
-6
q1 = - 1,2 *10 C
-6
q2 = 3,7*10 C
-6
q3 = - 2,3 *10 C
q3 = - 2,3 μC
q3 = - 2,3 μC
θ = 320
θ = 320
a = 10 cm
q2 = 3,7 μC
q1 = - 1,2 μC
F12
b = 15 cm
q1 = - 1,2 μC
q2 = 3,7 μC
F13
La fuerza que ejerce q1 (-) sobre q3 (-) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se
le denomina F13. VER GRAFICA
La fuerza que ejerce q1 (-) sobre q2 (+) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta
fuerza se le denomina F12. VER GRAFICA
⎛⎜1,2 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 2,3 * 10 − 6 C ⎞⎟
q1 q 3
m2 ⎝
⎠
⎠ ⎝
9
F13 = K e
*
= 9 * 10 N
2
2
2
(0,1 m )
a
C
26
q3 = - 2,3 μC
q3 = - 2,3 μC
θ = 320
θ = 320
α = 580
F12
α = 580
F13Y
α = 580
q2 = 3,7 μC
F13
F13X
F13 = 9 * 10 9 *
F12
μ
320
F13
q2 = 3,7 μC
F
2,76 * 10 - 12
Newton
0,01
24,84 * 10 - 3
= 2484 * 10 - 3 Newton
0,01
F13 = 2,484 Newton
F13 =
⎛⎜1,2 * 10 - 6 C ⎞⎟ * ⎛⎜ 3,7 * 10 − 6 C ⎞⎟
m2 ⎝
⎠
⎠ ⎝
9
*
F12 = K e
= 9 * 10 N
2
2
2
(0,15 m )
a
C
4,44 * 10 - 12
F12 = 9 * 10 9 *
Newton
0,0225
39,96 * 10 - 3
F12 =
= 1776 * 10 - 3 Newton
0,0225
F12 = 1,776 Newton
q1 q 2
La fuerza F13 se descompone en F13X y en F13Y (Ver las graficas)
F13X = F13 cos 58 = 2,484 Newton * 0,5299 = 1,31 Newton
F13X = 1,31 Newton
F13Y = - F13 sen 58 = - 2,484 Newton * 0,848 = - 2,106 newton
F13Y = - 2,106 Newton
La fuerza F12 = F12X (Ver las graficas), es decir no tiene componente en el eje Y.
F12 = F12X = 1,776 Newton
F es la fuerza resultante entre las fuerzas F13 y la fuerza F12 (Ver las graficas)
La fuerza F se descompone en FX y en FY (Ver las graficas)
FX = F13X + F12 = 1,31 Newton + 1,776 Newton = 3,08 Newton
27
FY = - F13Y = - 2,106 Newton
FY = - 2,106 Newton
F=
(FX )2
+ (FY )2 =
(3,08)2 + (- 2,106)2
= 9,48 + 4,43 = 13,91 = 3,72 Newton
F = 3,72 Newton
- FY - 2,106
=
= - 06837
FX
3,08
μ = arc tg - 0,6837
μ = - 34,360
tg μ =
28