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Matemáticas
Jornadas sobre el siglo XIX
En capítulos anteriores ...
Concepto de demostración ( paso a
paso a través de la LÓGICA)
Necesidad de AXIOMAS (no
se puede demostrar TODO)
… 2000 años después
GEOMETRÍA EUCLÍDEA (300 a.C)
Pienso, luego
existo
DESCARTES (1637)
"Vemos las cosas, no como son,
sino como somos nosotros."
KANT (1724 - 1805)
SIGLO XIX
I. Crisis de la Geometría de Euclides
II. Crisis de los
Fundamentos
de las
Matemáticas
Gauss, “el Príncipe de las Matemáticas”
(1777 - 1855)
CAPÍTULO I
DESMONTANDO A EUCLIDES
“En la teoría de las paralelas no
estamos hoy más avanzados que
Euclides. Esta es una parte
vergonzosa de las matemáticas... “
Carl Friedrich GAUSS (1813)
Los Axiomas de Euclides
DEFINICIONES (abstracciones de la realidad física)
Un punto es lo que no tiene partes
Una línea es una longitud sin anchura
Los extremos de una línea son puntos
Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura.
Las extremidades de una superficie son líneas
Etc ...
NOCIONES COMUNES (a todas las ciencias)
1. Cosas iguales a la misma cosa son también iguales entre sí
2. Si a iguales se añaden iguales, las sumas son iguales
3. Si de iguales quitamos iguales, los residuos son iguales
4. Dos objetos que coinciden el uno con el otro son iguales
5. El “todo” es mayor que la “parte”
Los Axiomas de Euclides
POSTULADOS (axiomas para la Geometría plana)
I. Es posible trazar una recta desde cualquier punto a otro punto
cualquiera
II. Una línea recta finita puede prolongarse continuamente en línea
recta
III. Se puede trazar una circunferencia, con un punto cualquiera
como centro y cualquier distancia como radio
IV. Todos los ángulos rectos son iguales
...
El quinto postulado de Euclides
“Si una recta corta a otras dos, formando ángulos internos,
por el mismo lado, que suman menos de dos ángulos rectos,
esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortarán por
ese lado en que los ángulos suman menos de dos rectos”
¡Mi sistema es COMPLETO,
CONSISTENTE y NO
REDUNDANTE!
Círculos viciosos
(lo definido no debe entrar en la definición)


Dados una línea y un punto
que no esté en ella, es
posible dibujar exactamente
una línea a través del punto
y que sea paralela a la
línea.
La suma de los ángulos de
un triángulo es dos rectos
(180º)
El quinto postulado es una
proposición INDECIDIBLE
1)Una sola paralela
2)Ninguna paralela
3)Al menos dos paralelas ( infinitas)
Geometrías no euclídeas
PSEUDOESFÉRICA
o AGUDA
Saccheri, Lobachevsky,
Bolyai y Gauss
(círculos máximos)
ESFÉRICA
u OBTUSA
Riemann 1854
(ramas hiperbólicas)
Geometrías no euclídeas ( y II)
Geometrías no euclídeas ( y III)
CAPÍTULO II
LA CRISIS DE LOS
FUNDAMENTOS
“Dios creó los
naturales ...”
“… lo demás es obra
del Hombre”
“Las propiedades de los
conjuntos finitos se han
extendido alegremente a los
conjuntos infinitos”
Kronecker
Brouwer
CAPÍTULO II
LA CRISIS DE LOS
FUNDAMENTOS
"No existirá otra alegre y
confiada mañana"
"Nadie podrá expulsarnos
del maravilloso paraíso que
Cantor ha creado para
nosotros"
Russell
Hilbert
Construir las MATEMÁTICAS
TODAS LAS MANZANAS SON ROJAS
(enunciado)
EL CONJUNTO DE LAS MANZANAS ESTÁ INCLUIDO EN
EL CONJUNTO DE LAS COSAS ROJAS
(TEORÍA DE CONJUNTOS)
“SER MANZANA” → “SER ROJO”
(LÓGICA)
La paradoja del mentiroso
“TODOS LOS MATEMÁTICOS MENTIMOS SIEMPRE”
La paradoja del mentiroso (y II)
La paradoja de Russell
LOS CONJUNTOS QUE NO SE
CONTIENEN A SÍ MISMOS
El conjunto de las manzanas NO es una manzana
El conjunto de las cosas que no son manzanas SÍ es
una cosa que no es una manzana
BERTRAND RUSSELL
(1872 - 1970)
¿QUÉ PASA CON EL CONJUNTO
DE LOS CONJUNTOS QUE NO
SE CONTIENEN A SÍ MISMOS?
¿SE CONTENDRÁ A SÍ MISMO?
¿EH?
El Hotel del Infinito
Los conjuntos infinitos
“Un conjunto infinito es aquél que posee
un subconjunto con la misma cantidad de
elementos”
“Hay conjuntos infinitos que tienen MÁS
elementos que otros”
Demuestra que el conjunto de los
GEORGE CANTOR números reales es MAYOR que el de
los números naturales.
(1845 - 1918)
Demuestra que el conjunto de todos los
subconjuntos de un conjunto dado es
MAYOR que dicho conjunto.

La escalera de álefs
Números racionales
0 Números enteros
Números naturales
Números pares
Números irracionales Números reales
Puntos de un segmento Puntos de una recta
Puntos de un cuadrado
1 Intervalo (0,1)
Puntos de todo el Universo conocido
Los monstruos de la mente
Las curvas patológicas
David HILBERT
(1891)
Helge von KOCH
(1904)
¿Cómo reconstruir las bases?
NUEVO CONCEPTO DE CONJUNTO
(no queremos conjuntos paradójicos)
CON EL INFINITO NO SE
JUEGA
(escapa a nuestra intuición)
El conjunto de RUSSELL
es un conjunto infinito
Uno de los Axiomas de EUCLIDES es incompatible con los
conjuntos infinitos (El “todo” es mayor que la “parte”), y otro
los emplea (Una línea recta finita puede prolongarse
continuamente en línea recta)
LA CONTROVERSIA SOBRE LOS
FUNDAMENTOS
LOS INTUICIONISTAS
LA EXISTENCIA DE UN OBJETO ES
EQUIVALENTE A LA POSIBILIDAD
DE SU CONSTRUCCIÓN
Kronecker
NO aceptan LOS CONJUNTOS
INFINITOS ni las demostraciones por
REDUCCIÓN AL ABSURDO
Brouwer
LOS LÓGICOS
AXIOMA DEL CÍRCULO VICIOSO
LOS ELEMENTOS DE UN
CONJUNTO NO SE PUEDEN
DEFINIR A PARTIR DE LOS
RESTANTES ELEMENTOS
DEL CONJUNTO
¿Qué es eso del conjunto de todos los
subconjuntos de sí mismo? ¿EH?
Russell
LOS FORMALISTAS
LA VERDAD MATEMÁTICA ES LA AUSENCIA DE
CONTRADICCIÓN
Si no te gustan
mis AXIOMAS ...
¡tengo otros!
La LÓGICA es la herramienta, el lenguaje
Es INDEPENDIENTE del significado
que pueda tener en el MUNDO FÍSICO
Hilbert
TEORÍAS MATEMÁTICAS
SÍ
SE MEJORAN
SÍ
¿ÚTILES?
NO
¿Se pueden
sustituir?
NO
SE RECHAZAN
MATEMÁTICAS Y REALIDAD