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formulario EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA Dirección del Área de los EGEL ENERO • 2017 formulario EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA Dirección del Área de los EGEL ENERO • 2017 Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarán el Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) y está vigente a partir de agosto de 2015. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido está sujeto a revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y críticas que hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de educación superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Técnico del examen. El Ceneval y el Consejo Técnico del EGEL-IELECTRO agradecerán todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a: Dirección del Área de los Exámenes Generales para el Egreso de la Licenciatura (DAEGEL) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. Av. Camino al Desierto de los Leones (Altavista) 37 Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01000, México, CDMX Tel: 01 (55) 5322-9200, ext. 5103 http://www.ceneval.edu.mx Email: [email protected] D. R. 2017 Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. (Ceneval) Octava edición [EGEL-IINDU] Directorio Dirección General Dr. en Quím. Rafael López Castañares Dirección del Área de los Exámenes Generales para el Egreso de la Licenciatura (DAEGEL) M. en Ed. Luz María Solís Segura Encargado del Despacho de la Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) en Diseño, Ingenierías y Arquitectura Ing. Eduardo Ramírez Díaz Coordinación del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Ing. Eloín Alarcón Maldonado Consejo Técnico Representantes de instituciones educativas M. en C. Arnulfo Luis Ramos Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Dr. Jorge de la Torre y Ramos Universidad Autónoma de Zacatecas M. en C. Arturo Javier Escoto Méndez Centro de Enseñanza Técnica y Superior Dr. Ramón García Hernández Universidad Autónoma del Carmen M. en C. Jorge Carlos Canto Esquivel Instituto Tecnológico de Mérida Dr. Armando Rafael San Vicente Cisneros Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey M. en I. Carlos Roberto González Escarpeta Instituto Tecnológico de Veracruz Dr. Omar Jacobo Santos Sánchez Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Dr. Edgar Omar López Caudana Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey M. en C. Eduardo Rodríguez Ángeles Universidad Autónoma del Estado de México M. en C. Gabriel Domínguez Sánchez Universidad Autónoma de Aguascalientes M. en C. Juan Carlos Aldaz Rosas Universidad de Guadalajara M. en C. Marco Antonio Félix Lozano Universidad Autónoma de Baja California Mtro. Víctor A. Gutiérrez Martínez Cámara Nacional de la Industria Electrónica de Telecomunicaciones y Tecnologías de la Información M. en C. David García Chaparro Universidad Autónoma de Ciudad Juárez M. en C. Mauricio Alberto Ortega Ruiz Universidad del Valle de México Dr. José Luis Tecpanecatl Xihuitl Universidad Autónoma de San Luis Potosí M. en I. José Antonio Sánchez Flores Universidad de la Salle Bajío Dr. Gerardo Romero Galván Universidad Autónoma de Tamaulipas Dr. Armando Gregorio Rojas Hernández Universidad de Sonora Dr. Miguel Ángel Carrasco Aguilar Universidad Autónoma de Tlaxcala Dr. Luis Alfredo González López Universidad de Sonora Contenido Administración de sistemas electrónicos ......................................................... 11 Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos .................................... 11 Inversión inicial ............................................................................................................ 11 Tasa mínima aceptable de rendimiento ....................................................................... 11 Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta .............................................................. 11 Valor presente neto (con TMAR) .................................................................................. 12 Valor presente neto (con anualidad e interés) .............................................................. 12 Tasa interna de retorno ................................................................................................ 12 Periodo de recuperación de la inversión ...................................................................... 13 Punto de equilibrio en ventas ....................................................................................... 13 Costo beneficio ............................................................................................................ 13 Ingeniería económica ................................................................................................... 14 Interés simple ........................................................................................................................... 14 Interés compuesto .................................................................................................................... 14 Valor futuro pago único............................................................................................................. 14 Valor presente pago único ........................................................................................................ 14 Cantidad compuesta serie uniforme ......................................................................................... 14 Fondo de amortización ............................................................................................................. 15 Recuperación del capital de una serie uniforme ...................................................................... 15 Valor presente de una serie uniforme ...................................................................................... 15 Series de gradiente ................................................................................................................... 15 Tasa efectiva de interés anual .................................................................................................. 15 Capitalización continua ............................................................................................................. 15 Definición de “e” ........................................................................................................................ 15 Pagos continuos ....................................................................................................................... 16 Tasa mixta ................................................................................................................................ 16 Métodos de análisis de inversiones.............................................................................. 17 Valor presente .......................................................................................................................... 17 Valor futuro ............................................................................................................................... 17 Costo anual uniforme equivalente (CAUE)............................................................................... 17 Serie uniforme equivalente ....................................................................................................... 17 Recuperación de capital ........................................................................................................... 17 Retiro y reemplazo .................................................................................................................... 17 Tasa interna de retorno ............................................................................................................ 17 Periodo de recuperación........................................................................................................... 17 Razón costo-beneficio .............................................................................................................. 18 Diseño e integración de sistemas electrónicos ................................................ 19 Construcción e implementación de sistemas electrónicos............................. 19 Comunicaciones .......................................................................................................... 19 Radiofrecuencia ........................................................................................................................ 19 Parámetros de dispersión ......................................................................................................... 23 Líneas de transmisión .................................................................................................. 25 Impedancia característica ......................................................................................................... 25 Línea de transmisión de tipo microcinta ................................................................................... 26 Impedancia característica de líneas de microcinta paralelas ................................................... 26 Constante de propagación ....................................................................................................... 27 Velocidad de propagación ........................................................................................................ 27 Tiempo de retardo .................................................................................................................... 27 Ondas estacionarias ................................................................................................................. 27 Coeficiente de reflexión ............................................................................................................ 27 Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión (𝚪) ................................... 28 Impedancia de entrada (Zin) ..................................................................................................... 28 Tabla de parámetros distribuidos ............................................................................................. 29 Antenas ....................................................................................................................... 30 Ganancia directiva .................................................................................................................... 30 Resistencia de radiación........................................................................................................... 30 Ancho de banda de la antena ................................................................................................... 30 Longitud efectiva ....................................................................................................................... 30 Área efectiva ............................................................................................................................. 30 Densidad de potencia radiada .................................................................................................. 30 Impedancia característica del medio ........................................................................................ 30 Potencia total radiada ............................................................................................................... 30 Directividad ............................................................................................................................... 31 Lóbulo ....................................................................................................................................... 31 Ancho del haz principal............................................................................................................. 31 Intensidad del campo................................................................................................................ 31 Conectores .................................................................................................................. 32 RJ45.......................................................................................................................................... 32 RJ11.......................................................................................................................................... 33 VGA .......................................................................................................................................... 34 USB........................................................................................................................................... 35 DB9 ........................................................................................................................................... 35 DB-25 ........................................................................................................................................ 36 IEEE.488 ................................................................................................................................... 37 RS-232 DB9 .............................................................................................................................. 38 RS – 422/485 DB – 9 ................................................................................................................ 39 Formulario general .............................................................................................. 40 Matemáticas ................................................................................................................ 40 Álgebra...................................................................................................................................... 40 Álgebra lineal ............................................................................................................................ 46 Cálculo diferencial .................................................................................................................... 48 Cálculo integral ......................................................................................................................... 53 Geometría ................................................................................................................................. 63 Geometría analítica plana......................................................................................................... 65 Geometría analítica del espacio ............................................................................................... 67 Trigonometría ........................................................................................................................... 71 Números complejos .................................................................................................................. 77 Análisis vectorial ....................................................................................................................... 79 Fracciones racionales ............................................................................................................... 86 Series de Fourier ...................................................................................................................... 87 Transformada de Fourier .......................................................................................................... 91 Transformada de Laplace ......................................................................................................... 95 Probabilidad y estadística ....................................................................................................... 100 Física ......................................................................................................................... 106 Mecánica ................................................................................................................................ 106 Electricidad y magnetismo ...................................................................................................... 116 Química ..................................................................................................................... 121 Análisis de circuitos eléctricos.................................................................................... 123 Ley de Ohm con fasores......................................................................................................... 123 Voltaje y corriente en elementos reactivos(con condiciones iniciales iguales a cero) ........... 123 Divisor de corriente ................................................................................................................. 124 Divisor de voltaje .................................................................................................................... 124 Leyes de Kirchhoff .................................................................................................................. 125 Potencia .................................................................................................................................. 126 Resonancia RLC serie ............................................................................................................ 127 Resonancia RLC paralelo ....................................................................................................... 128 Circuitos excitados con señales senoidales de diferentes frecuencias ................................. 129 Impedancia y admitancia de una red pasiva de dos terminales............................................. 130 Teoremas de redes ................................................................................................................. 131 Parámetros de dos puertos .................................................................................................... 133 Respuesta transitoria .............................................................................................................. 135 Función de transferencia ........................................................................................................ 141 Diagramas de Bode asintóticos .............................................................................................. 142 Sistemas acoplados ................................................................................................................ 143 Sistemas trifásicos .................................................................................................................. 144 Potencia trifásica .................................................................................................................... 146 Electrónica analógica ................................................................................................. 147 Diodo de propósito general .................................................................................................... 147 Diodo Zener ............................................................................................................................ 147 Rectificadores de media onda y onda completa (fuentes de alimentación) ........................... 148 Transistor de unión bipolar (BJT) ........................................................................................... 151 Transistor de efecto de campo (FET) ..................................................................................... 161 Transistor MOSFET ................................................................................................................ 168 Amplificadores operacionales ................................................................................................. 169 Filtros activos .......................................................................................................................... 175 Filtros pasivos ......................................................................................................................... 179 Convertidores ......................................................................................................................... 180 Amplificadores de corriente .................................................................................................... 182 Electrónica digital ....................................................................................................... 186 Algebra de Boole .................................................................................................................... 186 Mapa de Karnaugh ................................................................................................................. 187 Conversión de decimal a BCD natural, BCD Aiken y BCD exceso 3 ..................................... 188 Circuitos digitales básicos ...................................................................................................... 188 Flip-flops ................................................................................................................................. 190 Electrónica de potencia .............................................................................................. 192 Fórmulas básicas .................................................................................................................... 192 Dispositivos ............................................................................................................................. 194 Teoría de control ........................................................................................................ 204 Terminología de la ingeniería de control ................................................................................ 204 Modelos de control ................................................................................................................. 204 Tipos de respuesta ................................................................................................................. 205 Regla de Mason ...................................................................................................................... 209 Controladores ......................................................................................................................... 210 Comunicaciones ........................................................................................................ 213 Osciladores ............................................................................................................................. 213 Modulación y demodulación AM-FM ...................................................................................... 218 Decibel .................................................................................................................................... 219 Oscilador de relajación UJT ................................................................................................... 220 Oscilador de relajación PUT ................................................................................................... 221 Instrumentación ......................................................................................................... 222 Valor promedio ....................................................................................................................... 222 El valor rms ............................................................................................................................. 222 Errores en medición ................................................................................................................ 222 Puentes de Wheatstone ......................................................................................................... 223 Puente de Kelvin ..................................................................................................................... 224 Ruido térmico o ruido de Jhonson .......................................................................................... 224 Termopar ................................................................................................................................ 224 Termistor ................................................................................................................................. 226 Sensores ................................................................................................................................. 227 Transformada Z ...................................................................................................................... 232 Tablas adicionales de datos prácticos........................................................................ 233 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Administración de sistemas electrónicos Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos Inversión inicial II CO CP CA donde: II =Inversión inicial CO = Costos de operación CP = Costos de producción CA = Costos de administración y ventas Tasa mínima aceptable de rendimiento TMAR * i n donde: TMAR = Tasa mínima aceptable de rendimiento µ = Monto i = Tasa de interés n = Número de periodos a considerar Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta TMARmixta I1 PR1 %I1 %PR1 I2 PR2 %I2 %PR2 donde: TMARmixta = Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta In = Inflación PRn= Premio al riesgo %In = Inflación ÷ 100 %PRn = Premio al riesgo ÷ 100 11 In PRn %In %PRn Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Valor presente neto (con TMAR) n St t 1 1 i t VPN S0 donde: VPN =Valor presente neto SO = Inversión inicial St = Flujo de efectivo neto del periodo t N = Número de periodos de la vida del proyecto I = Tasa de recuperación mínima atractiva Valor presente neto (con anualidad e interés) 1 i n 1 VS VPN P A i 1 i n donde: VPN = Valor presente neto P = Inversión inicial A = Anualidad i = Tasa de interés VS = Valor de salvamento al final del periodo n n = Número de periodos Tasa interna de retorno n TIR 1 FNEn (1 i ) n VS (1 i )n donde: TIR = Tasa interna de retorno FNE = Flujo neto de efectivo del periodo n, o beneficio neto después de impuesto más depreciación VS = Valor de salvamento al final del periodo n i = Tasa de interés n = Número de periodos 12 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Periodo de recuperación de la inversión ROI UN I donde: ROI = Periodo de recuperación de la inversión UN =Utilidad neta I =Inversión Punto de equilibrio en ventas PE CF CV 1 VT donde: PE = Punto de equilibrio CF = Costos fijos CV = Costos variables VT = Ventas totales Costo beneficio B B D C C donde: B = Beneficios asociados al proyecto C = Costo neto del proyecto D = Valor de las desventajas 13 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Ingeniería económica Glosario de términos para ingeniería económica I: n: i: P: F: A: G: Ief: R: m: Inversión Periodo Tasa de interés Valor presente Valor futuro Serie uniforme Gradiente Tasa efectiva Tasa de interés divisible Periodo de intervalo  : RC: Vs: Θ: Pr: B: C: D: e: Factor de pago continuo Factor de recuperación de capital Valor de salvamento Tasa mixta Periodo de recuperación Beneficio Costo Desventaja Base de logaritmos neperianos Interés simple I niP Interés compuesto i n F 1 I Valor futuro pago único F P 1 i n Valor presente pago único P F 1 1 i n Cantidad compuesta serie uniforme 1 i n 1 F A i 14 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Fondo de amortización i AF 1 i n 1 Recuperación del capital de una serie uniforme i 1 i n A P 1 i n 1 Valor presente de una serie uniforme 1 1 I n P A i Series de gradiente 1 A G i n 1 i n 1 Tasa efectiva de interés anual m ief r 1 1 m Capitalización continua m r i lim 1 1 er 1 m m Definición de “e” 15 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura m 1 i lim 1 e m m F em P P e m F em 1 F A er 1 1 em P A er 1 A 1 n G 1 e m em 1 Pagos continuos em 1 F r Aˆ em 1 P Aˆ rem Tasa mixta i 1 16 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Métodos de análisis de inversiones Valor presente n Vp Flujo(P / F , i , j ) j 0 Valor futuro n Vp Flujo(F / P, i , j ) j 0 Costo anual uniforme equivalente (CAUE) n Vp Flujo(P / F , i , j ) * A / P, i , j j 0 Serie uniforme equivalente SAUE CAUE Recuperación de capital CAUE SAUE RC P Vs A iVs P, i , n Retiro y reemplazo CAUE j RC j A j Tasa interna de retorno n Vp Flujo inicial Flujo(P / F, i , j ) j 1 Periodo de recuperación Pr ABS(flujo ) ingreso por periodo 17 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Razón costo-beneficio B D B C C Nota: El ROI no se maneja en este contexto ya que es un indicador financiero. 18 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Diseño e integración de sistemas electrónicos Construcción e implementación de sistemas electrónicos Comunicaciones Radiofrecuencia Criterio de estabilidad de Linville C YrYt 2g1g0 Re YrYt Si C < 1 el transistor es incondicionalmente estable Si C > 1 el transistor es potencialmente inestable Factor de estabilidad de Stern K 2 g1 Gs g0 GL YrYt Re YrYt Ganancia máxima disponible en el transistor (MAG) MAG 2 Yr 4g1g0 donde: Yr = La admitancia de transferencia inversa Yt = La admitancia de transferencia directa g1 = La conductancia de entrada g0 = La conductancia de salida Re = La parte real del producto entre paréntesis Gs = La conductancia de la fuente GL = La conductancia de la carga Criterio de estabilidad incondicional en términos de los parámetros S 2 K 2 1 S11 S22 2 2 S12S21 donde: S11S22 S12S21 1 19 1 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Teorema de Miller Cent (Miller ) Cbo 1 Av 1 Av Csal (Miller ) Cbo Av Capacitancia de entrada Miller, donde C=Cbo Capacitancia de salida Miller, donde C=Cbo donde: Cbo es la capacitancia entre la entrada y la salida del amplificador. Respuesta en frecuencia de un amplificador Modelo de señal pequeña del BJT Modelo de señal pequeña del FET 20 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT) Modelo equivalente de señal pequeña del amplificador Los polos del circuito son: 1 fp1 fp 2 R 2ro C C 1 g mRL L C CL ro CgL C g m g o gL CL g o gm C CL 2C C CL C donde: RL 1 gL r o 1 g o 21 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Respuesta en altas frecuencias de un amplificador fuente común (FET) Considere el caso anterior (Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT)) y en las expresiones según la figura. Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT) SiCi>> Cπ y Cµ es despreciable La función de transferencia está dada por: 𝐶 r ro g R s2 Ri r RL ro m L H s 1 1 s s Ci Ri r Co ro RL Los polos del circuito están dadas por: fp1 1 2Ci Ri r 22 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura fp 2 1 2Co ro RL Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador fuente común (FET) Si Cµes despreciable: La función de transferencia está dada por: H s ro 1 g Rs Ri Cgs RL ro m L 1 Ci Cgs s Ri Ci Cgs 1 s Co ro RL y los polos del circuito son: 1 Ci Cgs fp1 2R1 fp 2 Ci Cgs 1 2Co ro RL Parámetros de dispersión 23 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura b1 S11 S12 a1 b S 2 21 S22 a2 S11 b1 a1 a Coeficiente de reflexión del puerto 1 (Entrada) b2 a1 Coeficiente de transmisión del puerto 1 al 2 (Ganancia) a2 0 b1 a2 a10 2 0 S21 S12 S22 b2 a2 Coeficiente de transmisión del puerto 2 al 1 (Ganancia en inversa) Coeficiente de reflexión del puerto 2 (Salida) a10 24 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Líneas de transmisión Impedancia característica Z0 276log 2D d donde: D = distancia entre conductores o diámetro exterior d = diámetro del conductor o diámetro interior Impedancia característica para cable coaxial: Z0 1 D D ln 138 r log 2 d r d donde: D = distancia entre conductores o diámetro exterior d = diámetro del conductor o diámetro interior r y r es la permeabilidad relativa y la permitividad relativa del material aislante, respectivamente. 25 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Línea de transmisión de tipo microcinta Si t<<W 60 8b W ln e W 4b Z0 120 e W / b 1.393 0.667ln W / b 1.444 donde: e r 1 r 1 1 2 2 1 12b / W En otro caso: Z0 5.98b ln 1.41 0.8W t 87 r = constante dieléctrica W = ancho de la pista t = espesor de la pista b = distancia entre la pista al plano a tierra Impedancia característica de líneas de microcinta paralelas Z0 60 4d ln 0.67W 0.8 t / b Impedancia característica Z0 R j L G j C 26 Sí W 1 b Sí W 1 b Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Constante de propagación R j L G j C Velocidad de propagación 1 vp LC Tiempo de retardo td LC Ondas estacionarias Ondas estacionarias en una línea de transmisión en circuito abierto Coeficiente de reflexión Vr Vi ZL Z0 ZL Z0 Si Vmax 1 y Vmin 1 entonces: Vmax Vmin Vmax Vmin donde: = Coeficiente de reflexión Vr = Voltaje reflejado Vi = Voltaje incidente 27 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión (𝚪) SWR V max 1 V min 1 y SWR 1 SWR 1 Si ZL y ZL Z0 , entonces: SWR ZL Z0 SWR Z0 ZL Si ZL y ZL Z0 , entonces: Impedancia de entrada (Zin) Zin Z0 ZL jZ0 tan l Z0 jZL tan l donde: β = es el número angular de onda l = es la longitud de la línea Para una línea de transmisión de / 2 Zin ZL Para una línea de transmisión de / 4 Zin Z02 ZL 28 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Tabla de parámetros distribuidos Coaxial Bifilar d Doble cinta a a b 2a b t C (F/m) 2 In b/a In d/a b a L (Hy/m) In b/a 2 In d/a a b 2 cq 2 cq cq b G (Ω M)-1 Alta frecuencia Baja frecuencia In b/a In d/a R (Ω/m) Rs 1 1 + 2 a b Rs a 2 Rs b Z0 (Ω) In b/a 2 In d/a a b p 1 1 + 2 a 2bt 2p 2p bt R (Ω/m) a 2 R i L G i C Z0 (Ω) 29 a Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Antenas Ganancia directiva GdB Pantena de prueba Pantena de referencia dB Resistencia de radiación Rr Pradiada 2 Ientrada 2 l Rr 790 Ancho de banda de la antena fm fL fH Longitud efectiva le 292 f Área efectiva Aef Wr Pi Densidad de potencia radiada P , Re E H Impedancia característica del medio E H Potencia total radiada Wr P , ds 30 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Directividad D Pmax Wr 4r 2 Lóbulo Lóbulo principal Lóbulos menores HPBW Lóbulo trasero Lóbulo lateral Ancho del haz principal BWn 2.25BW3dB Intensidad del campo E 30Dt Pt d 31 0.5 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Conectores RJ45 Cable cruzadoT568A Cable cruzado T568B 32 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura RJ11 Posición RJ11 RJ10 RJ14 Par T/R ± Colores cat 5e/6 1 1 2 2 1 3 4 3 4 2 3 5 5 4 6 6 1 2 3 T + blanco/verde 2 T 1 1 R T + blanco/naranja – azul + blanco/azul 2 R – naranja 3 R – verde 33 Colores antiguos naranja Colores alemanes rosa blanco/naranja azul/blanco blanco/azul negro verde rojo verde blanco marrón naranja/blanco verde/blanco amarillo amarillo azul gris Colores blanco/verde Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura VGA Pines Un conector DE15 hembra. Pin 1 RED Canal rojo Pin 2 GREEN Canal verde Pin 3 BLUE Canal azul Pin 4 N/C Sin contacto Pin 5 GND Tierra (HSync) Pin 6 RED_RTN Vuelta rojo Pin 7 GREEN_RTN Vuelta verde Pin 8 BLUE_RTN Vuelta azul Pin 9 +5 V +5 V (Corriente continua) Pin 10 GND tierra (Sincr. Vert, corriente continua) Pin 11 N/C Sin contacto Pin 12 SDA I²C datos Pin 13 HSync Sincronización horizontal Pin 14 VSync Sincronización vertical Pin 15 SCL I2Velocidad reloj 34 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura USB Patillaje The standard USB A plug (left) and B plug (right) Pin 1 VCC (+5 V) Pin 2 Data- Pin 3 Data+ Pin 4 Ground DB9 Se debe tener en cuenta que existen adaptadores DB9-DB25 para convertir fácilmente un enchufe DB9 en uno DB25 y viceversa. Pines Número de clavija Nombre 1 CD: Detector de transmisión 2 RXD: Recibir datos 3 TXD: Transmitir datos 4 DTR: Terminal de datos lista 5 GND: Señal de tierra 6 DSR: Ajuste de datos listo 7 RTS: Permiso para transmitir 8 CTS: Listo para enviar 9 RI: Indicador de llamada 35 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura DB-25 Asignaciones de patas el conector D-25 para impresoras:Este conector trabaja para el puerto paralelo. Pata Señal E/S Definición 1 STB# E/S Estrobo 2 PD0 E/S Bit 0 de datos de impresora 3 PD1 E/S Bit 1 de datos de impresora 4 PD2 E/S Bit 2 de datos de impresora 5 PD3 E/S Bit 3 de datos de impresora 6 PD4 E/S Bit 4 de datos de impresora 7 PD5 E/S Bit 5 de datos de impresora 8 PD6 E/S Bit 6 de datos de impresora 9 PD7 E/S Bit 7 de datos de impresora 10 ACK# E Reconocimiento 11 BUSY E Ocupado 12 PE E Fin del papel 13 SLCT E Seleccionar 14 AFD# S Avance automático 15 ERR# E Error 16 INIT# S Iniciar impresora 17 SLIN# S Seleccionar 18–25 GND N/D Tierra de señal 36 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura IEEE.488 Terminales Conector hembra IEEE-488 Pin 1 DIO1 Entrada de dato / bit de salida Pin 2 DIO2 Entrada de dato / bit de salida. Pin 3 DIO3 Entrada de dato / bit de salida Pin 4 DIO4 Entrada de dato / bit de salida Pin 5 EOI Final o identificación Pin 6 DAV Validación de datos Pin 7 NRFD No está listo para recibir dato Pin 8 NDAC No se acepta el dato Pin 9 IFC Interfaz limpia Pin 10 SRQ Servicio Pin 11 ATN Atención de datos Pin 12 SHIELD Pin 13 DIO5 Entrada de dato / bit de salida Pin 14 DIO6 Entrada de dato / bit de salida Pin 15 DIO7 Entrada de dato / bit de salida Pin 16 DIO8 Entrada de dato / bit de salida Pin 17 REN Remoto activado Pin 18 GND (emparejado con DAV) Pin 19 GND (emparejado con NRFD) Pin 20 GND (emparejado con NDAC) Pin 21 GND (emparejado con IFC) Pin 22 GND (emparejado con SRQ) 37 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura RS-232 DB9 PIN 1: PIN 2: PIN 3: PIN 4: PIN 5: PIN 6: PIN 7: PIN 8: PIN 9: Detector de acarreo Recibe dato Transmite dato Terminal de dato lista Tierra Dato listo Requisita para mandar Limpia para enviar Indicador Convertidor RS-232 a DB-25 38 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura RS – 422/485 DB – 9 PIN 1: PIN 2: PIN 3: PIN 4: PIN 5: PIN 6: PIN 7: PIN 8: PIN 9: 39 Salida auxiliar + Dato de salida + Tierra Entrada de dato + Salida auxiliar + Salida auxiliar – Salida de dato – Entrada de dato – Entrada auxiliar – Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Formulario general Matemáticas Álgebra Propiedades de desigualdades Si x y Si x y; z 0 Si x y; z 0 Si x y; y z x z y z xz yz x,y,z xz yz x z Teorema del residuo f x ; g x 0 , existen q(x); r(x); f, g, q, r polinomios tales que: f x g x q x r x , con gr r gr g o r x 0 Teorema de la raíz racional f ( x ) an x n an 1x n 1 ... a1x a0 an 0 a0 0 Las raíces racionales de f son de la forma p donde p es factor de a0 y q de an. q 40 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Para matrices A y B AB 1 B 1 A1 A y B no singulares tr(A B) tr A + tr B tr aA a tr A AB T BT AT det A det AT det AB det A det B A Adj A Adj A A det (A-1 ) 1 det (A) A no singular donde: tr A= traza de A AT= transpuesta de A Fórmulas para potencia y raíces p an q an p q a n am an am n am a a a a n n a m n m an n b 1 an p n a q n a p q n a n n n m amn a n b ab n a n b 1 a a n n n b b b n a n am n a m n x m an amx n am a i a *No es válida en algunos casos por ejemplo: 22 2, Nota: Los exponentes para potencias y raíces deben ser escalares 41 2 2 2 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Transformación de expresiones algebraicas usuales a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 a b c 2 a2 2ab 2ac b2 2bc c 2 a2 b2 a b a b a3 b3 a b a2 ab b2 ax 2 bx c 0 x1,2 a3 b3 a b a2 ab b2 b b2 4ac 2a x 2 px q 0 x1,2 p 2 a b c 2 a2 2ab 2ac b2 2bc c 2 a b n a n n n 1 n 2 2 n n 1 n 2 n 3 3 n n 1 a b a b a b 1 1 2 1 2 3 an bn a b an 1 an 2b an 3b2 abn 2 bn 1 bn Logaritmos x log x log y y 1 log n x log x n loga a 1 log x y log x log y log log x n n log x loga n n log a log1 0 Binomio de Newton n n n n 1 n n 2 2 n n 3 3 b a b a a b a 0 1 2 3 a b n Donde n tiene que ser un número entero n n n 1 n 2 n k 1 1 2 3 k k 42 p2 q 4 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Teorema del binomio (de Newton) 1 x 1 n nx n n 1 x 1! 2! 2 Teorema binomial n k n k x a k 0 k n x a n Permutaciones Número de permutaciones de n elementos Pn n ! 1 2 3 n Combinaciones y ordenaciones Número de combinaciones sin repetición Ckn Número de combinaciones con repetición n k 1! n k 1 r n Ck k k ! n 1 ! n n! k ! n k ! k r con repetición Número de ordenaciones sin repetición n n! Okn Ckn Pk k ! n k ! k Número de ordenaciones con repetición r Okn nk donde: C = número de combinaciones posibles N = número de elementos dados K = número de elementos seleccionados de entre n elementos dados O =número de ordenaciones posibles Serie binómica o binomial f x 1 x 1 x 1 2! x2 es un número cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario 1 2 3 n! n 43 n 1 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Serie de Taylor (serie de McLaurin) f x f a f ´ a 1! x a f ´ a 2! x a 2 Forma de McLaurin, cuando a 0 f x f 0 f ´ 0 1! x f ´´ 0 2! x2 Expansión de Taylor ex 1 x x2 x3 1! 2! 3! x Determinantes por la regla de Cramer para la solución de ecuaciones simultáneas Determinantes de segundo orden Para el sistema de dos ecuaciones: A1x B1y C1 A2 x B2 y C2 Se resuelve mediante: = x y A1 B1 A2 B2 C1 B2 C2 B2 A1 C2 A2 C2 = A1 B2 - B1 A2 C1 B2 B1 C2 A1 C2 C1 B2 Para el sistema de tres ecuaciones: A1x B1y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 A3 x B3 y C3 z D3 44 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Se resuelve mediante: A1 A2 x y z B1 C1 B2 C2 A1B2C3 A2B3C1 A3B1C2 A3B2C1 A1B3C2 A2B1C3 A3 B3 C3 D1 B1 D2 B2 C2 D3 B3 C3 C1 A1 D1 A2 D2 C2 A3 D3 C3 D1B2C3 D2B3C1 D3B1C2 D3B2C1 D1B3C2 D2B1C3 A1D2C3 A2D3C1 A3D1C2 A3D2C1 A1D3C2 A2D1C3 A1B2D3 A2B3D1 A3B1D2 A3B2D1 A1B3D2 A2B1D3 C1 A1 B1 D1 A2 B2 D2 A3 B3 D3 45 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Álgebra lineal Si B v 1, v 2 , , v n es base de un espacio V; x V y x 1v 1 2v 2 n v n ; entonces, el vector de coordenadas de x respecto a B es: x B 1, 2 , , n T Si u, v , w V C espacio vectorial, entonces f u,v u | v es producto interno en V si: 1) u | v v |u 3) u | v u | v 4) u | u 0 si u 0 2) u | v w u | v u | w v v |v 12 norma de v d u, v v u distancia de u a v cos u v u v Si B g1, g2 , i v | g g | g i i Si e1, e2 , coseno del ángulo entre u y v , gn es base ortogonal de un espacio V; v V y v B 1, 2 , , n entonces T i 1, 2, ..., n i , em es base ortonormal de un subespacio W del espacio V y v V; entonces, la v |ei ei m proyección de v sobre W es: i=1 46 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Para la transformación lineal T:VW T V T v | v V N T v V / T v O dim V = dim T V + dim N T recorrido de V núcleo de T Para T:VW A v1, v 2 , ,v n base de V y B base de Wla matriz asociada a T, MBA T tiene por columnas a: T v1 , T v 2 , B B , T v n B para T:VV, v V es vector característico de T si: T v v con 0 y v 0 47 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Cálculo diferencial Relación de cambio: Derivada Pendiente en un punto. Relación (o intensidad) de cambio Pendiente de una curva En una curva y f (x) , la pendiente m varía en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P es también la tangente en dicho punto: m tan y ' x ' Relación media de cambio (cociente incremental) La intensidad media de variación de la función y f ( x ) es la relación de los incrementos y x correspondientes al segmento de curva PP1 y f ( x x ) f ( x ) x x Derivada (cociente diferencial) Cuando x tiende a cero, el punto P1 tiende al punto P, y la secante PP1 , a la tangente a la curva en P. De manera que la relación de incrementos se convierte en la relación de diferenciales, que es la derivada (o Intensidad de cambio) de la función en P: y dy f '( x ) x 0 x dx y ' lim Interpretación geométrica de la derivada Curvas de derivadas sucesivas Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada, se obtendrá la curva de y ' f '( x ) , o de la primera derivada de la curva dada y f ( x ) . Si se deriva la curva y ' f '( x ) se obtendrá y '' f ''( x ) o la segunda derivada de la curva dada y f ( x ) , etc. Radio de curvatura en un punto dado x. (1 y 2 )3 y 48 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Coordenadas del centro de curvatura C correspondiente a un radio y '' ax 1 y 2 y y by 1 y 2 y Determinación de los valores máximos, mínimos y puntos de inflexión Valores máximos y mínimos Hágase y ' 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x a en y '' Si y ''(a) 0 habrá un mínimo en x a Si y ''(a) 0 habrá un máximo en x a Punto de inflexión Hágase y '' 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x a en y '' Si y ''(a) 0 habrá un punto de inflexión en x a Forma de la curva y f ( x ) 49 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Crecimiento y decrecimiento y '( x ) 0 y '( x ) 0 y '( x ) 0 y ( x ) crece si aumenta x y ( x ) decrece si aumenta x y ( x ) tiene en x una tangente paralela al eje x Curvatura y ''( x ) 0 y ''( x ) 0 y ''( x ) 0 y ( x ) será cóncava hacia arriba y ( x ) será cóncava hacia abajo con cambio de signo y ( x ) tendrá en x un punto de inflexión sin cambio de signo y ( x ) tendrá en x un máximo o un mínimo Otros casos Si para x a y '(a) y ''(a) y '''(a) siguientes: y ( n 1) (a) 0 , pero y n 0 , pueden presentarse los cuatro casos 50 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Tablas de derivadas d cx c dx d du dv dw u v w dx dx dx dx d dv du uv u v dx dx dx du dv v u d u dx dx 2 dx v v du 1 dx dx du d (c ) 0 dx d cx n ncx n 1 dx d du cu c dx dx d dw dv du uvw u v u w v w dx dx dx dx d du u n nu n 1 dx dx dF dF du (Regla de la cadena) dx du dx Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas d v d v ln u d du dv u e ev ln u v ln u vuv -1 dx uv ln u dx dx dx dx loga e du d loga u dx u dx d u du a au ln a dx dx a 0, a 1 d d 1 du ln u loge u dx dx u dx d u du e eu dx dx Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas d du sen u cos u dx dx d du cot u csc 2 u dx dx d du cos u sen u dx dx d du sec u sec u tan u dx dx d du tan u sec 2 u dx dx d du csc u csc u cot u dx dx d 1 du cos1 u dx 1 u 2 dx d 1 du sen1 u 2 dx 1 u dx 0 cos1 u d 1 du tan1 u dx 1 u 2 dx sen1 u 2 2 d 1 du cot 1 u dx 1 u 2 dx tan1 u 2 2 0 cot 1 u 51 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura d 1 du 1 du sec 1 u , dx u u 2 1 dx u u 2 1 dx d 1 du 1 du csc 1 u , dx u u 2 1 dx u u 2 1 dx 1 si 0 sec u 2 si sec 1 u 2 si si 2 1 csc u 0 2 0 csc 1 u Derivadas de las funciones hiperbólicas y de las hiperbólicas recíprocas d du senh u cosh u dx dx d du coth u csc h2 u dx dx d du cosh u senh u dx dx d du sec h u sec h u tanh u dx dx d du tanh u sec h2 u dx dx d du csc h u csc h u coth u dx dx d 1 du sen h-1u dx u 2 1 dx d 1 du tanh1 u , dx 1 u 2 dx d 1 du cos h -1u , dx u 2 1 dx d 1 du csc h-1u , dx u 1 u 2 dx si cosh1 u 0, u 1 si cosh1 u 0, u 1 si u 0, si u 0 d 1 du sec h-1u , dx u u 2 1 dx d 1 du coth1 u , dx 1 u 2 dx u 1 ó u 1 si sec h 1u 0, 0 u 1 si sec h 1u 0, 0 u 1 52 1 u 1 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Cálculo integral Significado de la integración Por integración se entiende el encontrar una función F ( x ) a partir de una función dada y f ( x ) de manera que la derivada F ( x ) sea igual a la original f ( x ) . Por lo tanto, F ( x ) dF ( x ) f (x) dx La integral indefinida f ( x )dx F ( x ) C C es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya que la derivada de una constante es igual a cero. Significado geométrico de la integral indefinida Como muestra la figura, hay una infinidad de curvas y F x con pendiente o derivada y F x . Todas las curvas y f x son iguales pero desplazadas paralelamente y en la dirección del eje y . La constante C fija una curva determinada. Si la curva debe pasar por el punto x0 , y 0 se tendrá: C y 0 F ( x0 ) 53 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura La integral definida La integral definida tiene la forma: b a f ( x )dx F ( x ) a F (b) F (a) b En la integral resultante se sustituye primero el límite superior y luego el inferior, y se resta el segundo resultado del primero. Desaparece así la constante C. 54 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Reglas de integración Formas fundamentales u dv uv v du n u du e u 1 n 1 u C n 1 n 1 du eu C au C ln a u a du du ln u C u Formas trigonométricas sen u du cos u C csc u cot u du csc u C cos u du sen u C tan u du ln sec u C sec csc 2 u du tan u C cot u du ln sen u C 2 u du cot u C sec u du ln sec u tan u C sec u tan u du sec u C csc u du ln csc u cot u C Formas cuadráticas a2 u 2 du u a budu 2 15b 3bu 2a a bu 3 2 2 du a u 2 2 du a 2 u2 3/2 a2 u 2 2 a u a 2 a u 2 2 du a u 2 2 sen1 du 1 u du u 2 a2 du 1 u C a 1 u a C 1 u sec 1 C a a u a a2 u 2 2a ln u a C u a2 u 2 a tan C a2 u 2 a a2 u 2 du a2 u 2 a ln C u u u2 u a2 a2 u 2 ln u a2 u 2 C 2 2 du 1 u a u 2 a2 2a ln u a C 55 C C Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura a2 u 2 du u2 2 2 2 u a u du u 2du a2 u 2 a2 u 2 ln u a2 u 2 C u 1 u a2 u 2 a ln u 2u 2 a2 8 a2 u 2 a4 u sen1 C 8 a u 2 a2 a u 2 ln u a2 u 2 C 2 2 a2 u 2 a a2 u 2 du a2 u 2 a ln C u u 1 a a2 u 2 C u a2 u 2 a ln u u2 du a u 2 u 2du a bu 2 du a 2 u2 u 2du u 2 a2 un 2 3 a bu a bu du a2 u 2 C 2 a u u a 2 1 1 a2 a bu 2a ln a bu a bu b3 du udu 2 a u 2 2 C 2 3b 2 1 a n 1 u n 1 bu 2a u u a bu a ln a bu b 2n 3 ln u a2 u 2 C 2 u 2du a2 u 2 u 2 a2 u a u2 sen1 C 2 2 a a2 u 2 u n du u 2 a2 a du u 2 a2 a cos1 C u u u du 2 u 2 a2 du u a u 2 a2 ln u u 2 a2 C u du u2 2 1 2 u a u 2 sen1 C u a 2u n a bu 2na u n 1du b 2n 1 b 2n 1 a bu a bu C a bu a u ln u u 2 a2 C 2 a bu b2 a bu a ln a bu C u 2 a2 u a2 ln u u 2 a2 C 2 2 du 2 du u a2 u a2 u 2 sen1 C 2 2 a a2 u 2 du u a2 u 2 a2 ln u u 2 a2 C 2 2 u 2 a2 du a2 u 2 a C u du udu du 2a n 1 u n 1 a bu du u2 a bu C 56 u 2 a2 du u 2 a2 u 1 3 du a bu 2 a u 2 a2 a2u u a 2 tan1 1 a C 2 ln u 2 a2 C a bu a a bu a C, si a 0 a bu C, si a 0 a Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura du 1 b udu a u 2 a bu au a2 ln a bu C u 1 a bu 2 b2 a bu b ln a bu C u a bu 2 a a bu a2 ln a bu C u a du u2 2 1 3 2 du 2 2 2 u a u du 1 u 2u 2 5a2 8 u 2 a 2u 2 8 a2 u 2 a2 u 2 a bu du du 2 a bu a u u a bu a bu u 2 du a bu b du u 2 u a bu 3a 4 u sen1 C 8 a a2 ln u a2 u 2 C 8 u 2du 1 2 2 a bu 2b3 a bu 4a a bu 2a ln a bu C 2 2 2 u u a du u 2u 2 a2 8 u 2 a2 a4 ln u u 2 a2 C 8 Otras formas trigonométricas csc 3 sen u du 21 u 41 sen2u C 2 cos u du 21 u 41 sen2u C u du 21 csc u cot u 21 ln csc u cot u C 2 n 1 senn 2 u du n n 1 n n 1 n 2 cos u du n1 cos u sen u n cos u du 1 n n 1 n 2 tan u du n 1tan u tan u du 1 n n 1 n 2 cot u du n 1cot u cot u du 1 n2 n n 2 n 2 sec u du n 1 tan u sec u n 1 sec u du 1 n2 n n 2 n 2 csc u du n 1cot u csc u n 1 csc u du sen n u du n1 senn 1 u cos u sen au sen bu du cos au cos bu du u n sen a b u 2 a b sen a b u 2 a b sen a b u 2 a b sen a b u 2 a b tan u du tan u u C 2 cot 2 u du cot u u C sen 3 u du 31 2 sen2 u cos u C cos 3 u du 31 2 cos2 u sen u C tan u du 21 tan u ln cos u C 3 cot C 3 sec C cos u du u n sen u n u n 1 sen u du 2 u du 21 cot 2 u ln sen u C 3 u du 21 sec u tan u 21 ln sec u tan u C sen au cos bu du 57 cos a b u 2 a b cos a b u 2 a b C Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura u sen u du sen u u cos u C sen n u cosm u du senn 1 u cosm1 u n 1 senn 2 u cosm u du nm nm senn 1 u cosm1 u m 1 senn u cosm2 u du nm nm sen u du u n cos u n u n 1 cos u du u cos u du cos u u sen u C u 2u 2 1 u 1 u2 1 u cos u du cos u C 4 4 1 utan u du 1 n n 1 u sen u du 1 n 1 u n 1du 1 u sen u , n 1 n 1 1 u 2 sen n 1 u cos u du 1 n 1 u n 1du 1 u cos u , n 1 n 1 1 u 2 cos n 1 u tan u du tan 1 n 1 1 u n 1du u tan u , n 1 n 1 1 u 2 u2 1 u tan 1u C 2 2 1 u du u sen1 u 1 u 2 C 1 u du u cos1 u 1 u 2 C 1 u du u tan 1u 21 ln 1 u 2 C Formas exponenciales y logarítmicas ln u du u ln u u C 1 au 1 eau C a2 1 n au n n 1 au n au u e du a u e a u e du ue au du au e sen bu du au e cos bu du eau a b 2 2 eau a2 b2 n u ln u du u n 1 n 12 n 1 ln u 1 C 1 u ln u du ln ln u C a sen bu b cos bu C a cos bu b sen bu C Formas hiperbólicas senh u du cosh u C cosh u du senh u C tanhu du lncosh u C coth u du ln senh u C 1 sechu du tan senh u C sechu du ln tan 21 u C 2 sech u du tanhu C 2 csch u du coth u C sechu tanhu du sechu C cschu coth u du cschu C 58 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Otras formas cuadráticas 2au u 2 du 2au u 2 u2 2au u 2 u2 u 2du 2au u 2 u a a2 a u 2au u 2 cos1 C 2 2 a du 2 2au u 2 a u cos1 C u a u 3a 2 u 2au u du 2 1 a 2au u 2 a u cos1 C a 2a u u 2 a u 2au u 2 a cos1 C a 2au u 2 du u du 2a u u 2 u 2a u u 2 a u C u du 2au u a cos C a 2 du 3a2 a u cos1 C 2 a 2u au 3a2 a3 a u 2au u 2 cos1 C 6 2 a 59 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Regla de Simpson Para curvas hasta de tercer grado Ai h y 0 4y1 y 2 3 Para curvas de grado mayor que el tercero A h y 0 y n 2 y 2 y 4 ... y n 2 4 y1 y 3 ... y n 1 3 Integrales múltiples x a y f x F x, y dydx x a y f x F x, y dy b f2 ( x ) b 1 f2 ( x ) 1 dx donde y f1 x e y f2 x son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así: y c x g y F x, y dxdy y c x g y F x, y dx d g2 ( y ) d 1 g2 ( y ) 1 dy donde x g1( y ) , x g2 ( y ) son las ecuaciones de las curvas HPG yPGQ, respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones. s s( t ) t a r (t ) dt Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a, t . Vector tangente unitario En parámetro arbitrario: r (t ) t (t ) r (t ) Vector normal principal n(t ) b(t ) t (t ) Vector binormal b (t ) r r (t ) r r (t ) 60 En parámetro s: t (s ) r (s ) n( s ) r (s ) r (s ) b (s ) r (s ) r (s ) r (s ) Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Los vectores unitarios t , n, b forman una triada positiva b txn, n bxt , t nxb Recta tangente en t0 Ecuación vectorial Ecuación paramétrica r r t0 r t0 x x0 y y 0 z z0 x0 y 0 x0 Plano oscilador t , n en t0 Ecuación vectorial Ecuación paramétrica r r t0 r t0 xr t0 0 x x0 x0 y y0 y 0 x0 y 0 z z0 z0 0 z0 Curvatura y torsión y´´ 3 t r t xr t r t 1 ( y´)2 2 3 r t r t xr t r t xr t d N B kT ds d T kN ds s r s t d B N ds Plano normal Ecuación vectorial Ecuación paramétrica r r t0 r t0 0 x0 x x0 y0 y y0 z0 z z0 0 Plano rectificante t , b en t0 Ecuación vectorial r r t0 n t0 0 Ecuación paramétrica x-x0 x0 y -y 0 y 0 z-z0 z0 y 0 z0 y 0z0 z0 x0 z0 x0 x0 y 0 x0 y 0 61 2 0 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Componentes tangencial y normal de la aceleración aT a T . a x a aN a N Propiedades de la divergencia i ) div (F G ) div (F ) div (G ) ii ) div (F ) div (F ) (grad ) F iii ) div (F G ) G rot F -F rot G 62 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Geometría Áreas r Círculo A r Trapecio Bb A h 2 2 b a B Triángulo A ab sen bh 2 2 a a h α Volúmenes Prismas V SB h donde SB = área de la base S h Pirámides V B 3 donde SB = área de la base Esfera r V 34 r 3 A 4 r 2 Cilindro V r 2h A 2 rh 63 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Cono V 31 r 2h A r r 2 h2 r l V 31 h a2 a b b2 2 a b h 2 b a A a b l 64 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Geometría analítica plana Distancia entre dos puntos x2 x1 2 y 2 y1 2 Pendiente de una recta m y 2 y1 x2 x1 Ecuación de una recta y y1 m( x x1); Ax By C 0 Ángulo entre rectas tan m1 m2 1 m1m2 Circunferencia ( x h)2 ( y k )2 r 2; Ax 2 Ay 2 Dx Ey F 0 Parábola Eje vertical Eje horizontal ( x h)2 4p( y k ); Ax 2 Dx Ey F 0 ( y k )2 4 p( x h); By 2 Dx Ey F 0 LR 4 p e 1 Elipse Eje focal horizontal x h 2 y k 2 1 ; ab Eje focal vertical x h 2 y k 2 1 ; ab a2 b2 a2 b2 c 2 ; b2 a2 LR 2b2 ; a Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0; Hipérbola 65 e c 1 a AC 0 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Eje focal horizontal x h 2 y k 2 1 Eje focal vertical y k 2 x h 2 1 a2 a2 c 2 a2 b2 ; b2 b2 LR 2b2 ; a Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0; 66 e c 1 a AC 0 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Geometría analítica del espacio Considerando P1 x1, y1, z1 y P2 x2 , y 2 , z2 Vector que une P1 y P2 P1P2 x2 x1 , y 2 y1 , z2 z1 l , m, n Distancia entre dos puntos d x2 x1 2 y 2 y1 2 z2 z1 2 l 2 m2 n 2 Recta que pasa por dos puntos Forma paramétrica x x1 l t y y1 mt z z1 n t Forma simétrica t x x1 l t y y1 m t z z1 n Cosenos directores cos x2 x1 l d d cos y 2 y1 m d d cos z2 z1 n d d donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z, respectivamente. Ecuación del plano - Que pasa por un punto P1 x1, y1, z1 y tiene vector normal a a1, a2 , a3 : a1 x x1 a2 y y1 a3 z z1 0 -Forma general: Ax By Cz D 0 cos2 cos2 cos2 1 o l 2 m2 n2 1 67 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Distancia del punto P0 x0 , y 0 , z0 al plano Ax By Cz D 0 d Ax0 By 0 Cz0 D A2 B 2 C 2 en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa. Coordenadas cilíndricas x r cos y r sen z z r x 2 y 2 1 y tan x z z Coordenadas esféricas x sen cos y sen sen z cos x 2 y 2 z2 tan1 yx z cos1 2 x y 2 z2 68 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Definiciones geométricas importantes tan Ángulo entre dos rectas en el plano Producto escalar para a y b que pertenecen a 3 m1 m2 1 m1m2 a b a1b1 a2b2 a3b3 i j k a x b a1 a2 a3 Producto vectorial b1 b2 b3 a1 a2 a3 a b c b1 b2 c1 c2 Producto mixto Ángulo entre dos vectores cos ab a b3 c3 ax b sen= ; b a p po +tu Ecuación vectorial de la recta x xo at y y o bt z z ct o Ecuaciones paramétricas de la recta u a, b, c x xo y y o z zo a b c u (a, b, c) Ecuaciones cartesianas de la recta, en forma simétrica d Distancia de un punto Q a una recta PoQ x u u d Distancia entre dos rectas P1P2 u1x u2 u1 x u2 p po r u sv Ecuación vectorial de un plano x xo ru x sv x y y o ruy sv y z zo ruz sv z Ecuaciones paramétricas de un plano Ax By Cz D 0 Ecuación cartesiana de un plano en forma general N ( A, B, C) PoP N 0 ; Ecuación normal de un plano 69 N A,B,C b Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura PoQ N Distancia de un punto Q a un plano d Ángulo entre una recta y un plano sen N u u 70 N N Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Trigonometría Medida de ángulos planos Representación La medida de un ángulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco (radianes). Se representa a veces, respectivamente, por y ̂ . Unidades comunes (sexagesimales): grado (°), minuto ('), segundo ("). 1° = 60'; 1' = 60" Unidad de arco 1 radián (rad) es el ángulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un arco también unitario. Por lo tanto: 1 rad 1m 1(número adimensional ) 1m Con frecuencia no se indica específicamente la unidad, como en la siguiente tabla. ̂ 0° 0 0 30° /6 0.52 45° / 4 0.78 60° /3 1.05 75° 5 /12 1.31 71 90° /2 1.57 180° 3.14 270° 3 / 2 4.71 360° 2 6.28 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Equivalencias Por definición: 360 2 rad, 1 rad 180 57.2967 rad 0.017453 rad 180 ˆ 180 57.2967 longitud de arco ˆ arc radio 1 La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el ángulo central ̂ (en radianes) de la circunferencia: b r ˆ Funciones trigonométricas 72 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura En un triángulo rectángulo: cateto opuesto a hipotenusa c cateto adyacente b cos hipotenusa c cateto opuesto a tan cateto adyacente b sen Operaciones con funciones trigonométricas sen2 A cos2 A 1 sen2 A 21 21 cos2A sec 2 A tan2 A 1 cos2 A 21 21 cos2A csc 2 A cot 2 A 1 sen2A 2sen A cos A sen A cos A cos A cot A sen A sen A csc A 1 cos2A cos2 A sen2 A cos A sec A 1 tan A tan B 1 tan A tan B A 1 cos A sen 2 2 A 1 cos A cos 2 2 tan A tan A cot A 1 sen A sen A cos A cos A tan A tan A sen A B sen A cos B cos A sen B cos A B cos A cos B sen A sen B tan A B sen A sen B 21 cos A B cos A B sen A cos B 21 sen A B sen A B cos A cos B 21 cos A B cos A B 73 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C. Ley de los senos a b c sen A sen B sen C Ley de los cosenos c 2 a2 b2 2 a b cos C Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Ley de las tangentes a b tan 21 A B a b tan 21 A B Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Teorema de Pitágoras a2 b2 c 2 74 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Valores de las funciones de ángulos importantes sen cos tan cot sec csc 0° 0 1 0 1 30° 1 2 3 3 3 2 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 1 2 2 3 3 3 2 2 3 3 1 0 0 1 45° 60° 90° Relaciones entre ángulo simple, ángulo doble y mitad de ángulo s e n cos 90 cos s e n(90 ) 1 cos2 1 s e n2 cos 2 2 tan 2sen 1 tan2 cos2 cos2 1 1 cot 2 cos2 s e n2 2 2 cot 1 tan2 2 1 tan2 2 s e n2 cos2 1 cot sen cos sen 1 tan cos sen cos 1 2 1 tan2 2 2 tan cot tan(90 ) 1 cot 2 1 2 s e n2 2 tan cot(90 ) 1 s e n2 1 1 cos2 2 tan 2 1 tan2 2 1 cos2 1 1 s e n2 cot 2 1 2 2cot 2 tan2 cot 2 1 tan2 75 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura cos2 s e n2 2s e n cos 2cos 1 2 1 2sen 2 sen 2 1 cos 2 cos 2 tan 1 tan 2 cot tan 2 sen 1 cos 1 cos sen 1 cos 1 cos 2 tan 1 cos 2 76 2 cot 2 1 2cot 1 1 cot tan 2 2 2 sen 1 cos 1 cos sen 1 cos 1 cos cot Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Números complejos Forma trigonométrica o polar de un número complejo y Se tiene que r z ( x, y ) y que arg( z ) tan1 x Luego: sen cos y y r sen r x x r cos r Por lo tanto: z ( x, y ) x yi r cos i r sen r (cos i sen ) Forma exponencial de un número complejo Sea z r (cos i sen ) un número complejo donde r es su módulo y su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene: z r (cos i sen ) r ei Operaciones de números complejos en forma polar r1 1 r2 2 r1 r2 1 2 n r n r k 360 n Nota: cos i sen ; ln r ei ln r 2 k i ; k entero k entero Teorema de De Moivre Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que r cos isen r p cos p isenp p Sea n cualquier entero positivo y p 1 , entonces: n 77 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura r cos isen 1 n r 1 n cos n2k isen n2k donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo k 0,1, 2, , n 1 . 78 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Análisis vectorial Magnitud, dirección y componentes de vectores Vector: Representación de una cantidad física con magnitud y dirección. Coordenadas del punto inicial A del vector a : x1, y1, z1 Coordenadas del punto final B del vector a : x2 , y 2 , z2 Vectores unitarios sobre los ejes OX , OY , OZ : i , j , k Componentes escalares ax , ay , az 0 ax x2 x1 ay y 2 y1 az z2 z1 Componentes vectoriales a ax ay az a ax i ay j az k Magnitud de un vector: a (o bien, a ) a ax2 ay2 az2 ( a siempre 0 ) Cosenos directores de un vector: cos , cos , cos 79 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura , , son los ángulos entre el vector a y los ejes OX ,OY ,OZ , , 0 cos ax , a cos ay a cos , 180 az a Cálculo de las componentes.Si se conocen a , , , , ax a cos ; ay a cos ; az a cos Observación: Operaciones vectoriales como la determinación de magnitudes, cosenos directores, sumas y productos se llevan a cabo con las componentes de los vectores a lo largo de los ejes OX ,OY ,OZ Adición y sustracción de vectores Suma vectorial s de dos vectores libres a y b s a b s x i s y j sz k sx ax bx , sy ay by , sz az bz s sx2 sy2 sz2 Diferencia vectorial s de dos vectores libres a y b 80 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura s a b sx ax bx , sy ay by , sz az bz s sx2 sy2 sz2 Valores importantes s para 2 vectores 0°; 360° a b a b a b 2 a 90° a 2 b a 180° 2 2 a b 0 270° a 2 a Suma vectorial s de dos vectores libres a y b , c , etc.: s a b c s x i s y j sz k sx ax bx c x , sy ay by c y , sz az bz cz s sx2 sy2 sz2 Producto de un escalar por un vector Escalar: Magnitud física sin dirección. El producto escalar k con el vector a da el vector c c k a c x k ax ; cy k ay ; cz k az ; c k a Si k 0 entonces c a por lo que: Si k 0 entonces c a por lo que: 81 b 2 2 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Productos de dos vectores libres El producto escalar de dos vectores libres a y b da el escalar k Símbolo del producto escalar: punto “ ” k a b b a a b cos a b cos k ax bx ay by az bz cos1 ax bx ay by az bz a b b Φ a b cos Φ Valores importantes a b cos 0°; 360° 90° 180° 270° a b 0 a b 0 Ejemplo: Trabajo W de una fuerza F en el desplazamiento s W Fuerza Desplazamiento F s W F s cos s Φ s cos Φ F El producto vectorial de dos vectores libres a y b da el vector c 82 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Símbolo del producto vectorial: cruz “x” c ab ba c ab sin a b sin ca y c b a , b , c forman una triada derecha c x ay bz az by c y az bx ax bz cz ax by ay bx c c x2 c y2 cz2 0°<Φ<180° c < (c = 0) > b Φ a Φ b Valores importantes 180°<Φ<360° a c 0°; 360° 90° 180° 270° a b sin 0 a b 0 a b A B A B cos 0 donde es el ángulo formado por A y B A B A1B1 A2B2 A3B3 donde: 83 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura A A1 i A2 j A3 k B B1 i B2 j B3 k Son resultados fundamentales: i j k Producto cruz: A B A1 A2 B1 B2 A3 A2B3 A3B2 i A3B1 A1B3 j A1B2 A2B1 k B3 Magnitud del producto cruz A B A B sen El operador nabla se define así: i j k x y z En las fórmulas siguientes se asume que U U( x, y, z) y A A( x, y , z ) tienen derivadas parciales. Gradiente de U U U U grad (U ) U i j k U i j k z y z x y x Divergencia de A A A A div ( A) A i j k A1i A2 j A3k 1 2 3 z x y z x y Rotacional de A rotA A i j k A1i A2 j A3k z x y i j k x A1 y A2 z A3 A A A A A A 3 2 i 1 3 j 2 1 k z z x x y y Laplaciano de U 84 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura 2U (U ) 2U x 2 85 2U y 2 2U z 2 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Fracciones racionales Descomposición y(x) P ( x ) a0 a1x a2 x 2 ... am x m Q( x ) b0 b1x b2 x 2 ... bn x n donde n y m son enteros y n>m. Los coeficientes a , b pueden ser reales o complejos. Si n son las raíces de Q x , se obtiene la forma factorizada: y(x) P( x ) P( x ) Q( x ) ( x n1)k1( x n2 )k 2 ...( x nq )kq En esta expresión pueden representarse raíces de multiplicidad k1, k2 , ..., kq de Q x , que pueden ser reales o complejas; α es un factor constante. Descomposición de fracciones parciales Para lograr un manejo más sencillo de y ( x ) es conveniente descomponerla en fracciones parciales: y(x) A A12 P( x ) 11 Q( x ) x n1 ( x n1 )2 A21 A22 x n2 ( x n2 )2 Aq1 x nq Aq 2 ( x nq )2 A1k 1 ( x n1 )k 1 A2k 2 ( x n2 )k 2 ... Aqkq ( x nq )kq Si los coeficientes de Q( x ) son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales reales. Si en b '1, n2 n1 (compleja conjugada de n1 ) y debido a su aparición por parejas k1 k2 k3 , entonces las fracciones parciales de b ' 2 , con las constantes A11,..., A2k 2 pueden agruparse en las fracciones parciales: B11x C11 x ax b 2 B12 x C12 ( x ax b ) 2 2 86 ... B1k x C1k ( x 2 ax b )k Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Series de Fourier Toda función periódica f(x), que puede descomponerse en el intervalo de periodicidad x en un número finito de intervalos continuos, podrá descomponerse en ese intervalo en una serie convergente de la forma: f x a0 an cos nx bn s e n nx 2 n 1 Los coeficientes de cada término se forman como sigue: ak 1 f x cos kx dx bk Funciones pares: f x f x ak 2 f x cos kx dx 0 para k 0,1,2, , bk 0 87 1 f x s e n kx dx Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Funciones impares: f x f x ak 0 bk 2 f x s e n kx dx 0 para k 0,1,2, , Tablas de desarrollo en series de Fourier 88 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura y y a para 0 x y a para x 2 4a se n(3 x ) se n(5 x ) y sen x ... 3 5 a π o y a para x y a para x 2 4a 1 y cos s e n x cos(3)s e n(3 x ) 3 2π 3π x y a o π/2 π 3π/2 2π 3π x 2π 3π x -a 1 cos(5 )s e n(5 x ) ... 5 y a para x 2 y f 2 x y y 2a s e n( ) s e n 2( ) cos x cos 2x 2 1 3 o s e n3( ) cos 3 x ... 3 π α ax para 0 x b b y a para b x b a( x ) para b x y b 4a 1 1 y s e n b s e n x 2 s e n(3b)s e n(3 x ) 2 b 1 3 y s e n(5b )s e n(5 x ) ... 5 ax para 0 x 2 y 2 a 1 2 y f 2 x a a s e n x s e n 2x s e n3 x ... 2 1 2 3 2ax para 0 x / 2 y 2a x para x y 2 y 89 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura y f x s e n3 x s e n5 x a s e n x ... 2 2 3 5 ax para 0 x y a 2 x para x 2 y y 8 2 y f 2 x a 4a cos x cos3 x cos5 x ... 2 2 2 2 12 3 5 y a s e n x para 0 x y a s e n x para x 2 y y f x 2a 4a cos 2x cos 4 x cos 6 x ... 1 3 35 57 y 0 para 0 x 2 3 y a s e n( x ) para x 2 2 2 y y f 2 x 2a 1 cos 2x cos 4 x cos 6 x cos x 2 2 . 2 ... 2 4 2 1 4 17 6 1 2 y x para x y y f x f 2 x 2 cos x cos 2x cos 3 x 4 2 ... 2 2 3 2 3 1 ax para 0 x y y f 2 x y a 2a cos x cos 2 x cos 3 x 2 2 ... 2 2 4 1 2 3 a s e n x s e n 2 x s e n3 x ... 1 2 3 y 90 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Transformada de Fourier Definiciones: F s t S w s t e jwt j 1 dt ; F 1 S w s t 1 jwt S w e dw; 2 j 1 Reglas de operación Desplazamiento en tiempo F s t S w e jwt Convolución s1 t * s2 t s1 s2 t d s2 * s1 t d F s1 t s2 t S1 w * S2 w F s t S w F s at 1 w S , a a a0 F s1 t s2 t S1 w S2 w Enseguida se indican las densidades espectrales calculadas para algunas importantes funciones del tiempo. Función tiempo s(t ) Densidad espectral S(w ) 2ATsen(wt ) S(w ) wT Función rectángulo A RT (t ) 91 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Función tiempo s(t ) Función rectángulo con cambio de signo Densidad espectral S(w ) S(w ) j 2 AT sen 2 wt 2 S(w ) 4 AT cos(2wt ) s(t ) sen(w 0t ) A w0 w 0t w0 2 T senwt wt S(w ) ARw 0 (w ) (Función rectángulo) 2 Función triángulo wt 2 Tw sen 2 AT S(w ) Tw 2 ADT (t ) 92 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Función tiempo s(t ) Rectángulo modulado A RT (t )cos(w0t ) w 0 Densidad espectral S(w ) 2 2 T0 aT S(w ) A Impulso de Gauss Ae a senT (w w0 ) senT (w w 0 ) A w w0 w w0 2 2 t w 2 A 2 S(w ) e 4a a Impulso coseno A cos(w0t ) w 0 2 T T cos w AT 4 S(w ) 2 T 1 w 2 2 2 2 Impulso cos2 A cos (w0t ) w 0 T T sen w AT 1 4 S(w ) 2 4 T T 4 w 1 w 4 93 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Función tiempo s(t ) Impulso exponencial Densidad espectral S(w ) S(w ) 94 A jw a Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Transformada de Laplace Definiciones: L f (t ) F (s ) f (t )e st dt ; 0 L1 F (s ) f (t ) 1 2j F (s )e st ds; j 1 Reglas de operación Linealidad L f1(t ) f2 (t ) F1(s ) F2 (s ) L c f1(t ) cF1(s ) Teorema de traslación Teorema de convolución L f (t a) eas F (s ) t t 0 0 f1(t ) f2 (t ) f1( ) f2 (t )d f2 ( ) f1(t )d L f1 t f2 t F1 s F2 s Cambio de variable Diferenciación 1 t L f F a s a a L f '(t ) sF s f 0 L f "(t ) s 2F s sf 0 f ' 0 n 1 n k L f (t ) s n F s f 0 s n k 1 Integración L k 0 f t dt s1 F s 95 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Tabla de transformadas de Laplace: f(t) F(s) = L {f(t)} 1 s 1. 1 2. t n , n 1, 2,3,... 3. t 1/ 2 4. e at 5. senkt n! sn 1 s 1 s a k s k2 2 6. cos kt s s2 k 2 7. senhkt k s k2 8. cosh kt s s k2 9. eat t F s a 10. t a , a 0 11. t a U t a , a 0 12. t n t , 13. n t , 14. 0 g t d 15. t t0 , t0 0 16. t n eat , 2 2 e as s e as F s 1 n 1, 2, 3... n dn ds n F s s nF s s n 1 0 ... n 1, 2, 3... F s G s t e st0 n! ( s a)n 1 n 1, 2, 3... 96 n 1 0 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura k ( s a)2 k 2 17. eat senkt 18. eat cos kt 19. tsenkt 20. t cos kt sa ( s a)2 k 2 2ks ( s k 2 )2 2 s2 k 2 (s 2 k 2 ) 2 2k 3 (s 2 k 2 )2 21. senkt - kt cos kt 2ks 2 22. senkt + kt cos kt 23. senhkt - senkt 24. cosh kt - cos kt 25. 26. 27. 28. s 2 2k 2s s4 k 4 k2 s s2 k 2 k3 s s2 k 2 asenbt bsenat s4 k 4 kt - senkt s cos bt cos at s 2 2 a2 b2 29. t 30. t n 1 n 1 31. exp at 1 32. 1 exp t / T T a 2 a 2 s 2 b2 2 b2 s s 1 1 sn a s s a 1 1 Ts 97 1 2 ab a b k2 2k 3 1 cos kt 2 2 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura 33. 34. 35. s 1 sin kt 2k s 1 sin kt 2k t cos kt 2 cos kt s s 36. 37. 1 at e sin kt k 2 40. k2 2 2 2 1 s a s b 1 s a 2 k 2 1 t s 1 t s s 1 4 t 5 3 s 2 1 at e e bt t 43. 1 sin a t t a 2t t e s s 2 42. 44. k2 2 1 2 t 3 41. 2 s3 ebt eat ,b a ba 39. s2 k t sin kt 2 38. k2 2 In tan1 a s a2 e 4t e a s ; a 0 1 a s e ; a0 s a 45. erfc 46. Función de Bessel J0 kt sb sa 2 t 1 s2 k 2 Transformada inversa Fracciones parciales 98 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Sea: G(s ) Q(s ) P (s ) donde: P(s ) s n an 1s n 1 a1s a0 Si G(s) tiene polos simples G(s ) K1 K2 s s1 s s2 Kn s sn Q(s ) K i s si P (s ) s s i Si G(s) tiene polos de orden múltiple G(s ) Q(s ) P (s ) s s 1 Q(s ) s s2 s snr s si r Siendo: i 1,2, , n r G(s ) K1 K2 s s1 s s2 K( n r ) s s( n r ) A1 A2 s si s s 2 i n - r términos de polos simples Ar 1 d r s si G(s ) s si ds Ar 2 1 d2 s si r G(s ) 2 2! ds s si 1 d r 1 s si r G(s ) r 1 r 1 ! ds s si 99 Ar s si r r términos de polos repetidos r Ar s si G(s ) s si A1 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Probabilidad y estadística Parámetro Estimador puntual Intervalo de confianza (1-) 100% Media (varianza 2 conocida) X 1 n Xi n i 1 X z 2 n X z 2 Varianza 2 (de una distribución normal) Sn21 1 n Xi X n 1 i 1 n 1 sn21 2 n 1 sn21 2 x 2 2 Desviación estándar de distribución de medias X n Valor promedio (media) n X Xi i 1 n Media de medias m Xj X j 1 n Intervalo o rango de valores R Vmax Vmin Media de rangos m Rj R j 1 m 100 , n 1 x2 1 , n 1 2 n Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Hipótesis nula H0 : = 0, Estadístico de prueba 2 conocida H0 : = 0, Z0 2 desconocida t0 X 0 n X 0 Sn 1 n n a 1 a n a n b b b n x02 Regresión lineal y 0 1 x 0 y 1 x 1 n n y xi i n i 1 i 1 y i xi n i 1 n xi n 2 xi i 1n i 1 2 Coeficiente de correlación de la muestra y i xi x n i 1 r xi x i 1 n y 2 n i 1 i y Permutaciones Prn n! n r ! Combinaciones n n! r r ! n r ! 101 1 2 2 n 1 Sn21 02 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Permutaciones con objetos similares Pnn1,n2 ,...,nk n! n1 ! n2 !...nk ! Probabilidad condicional P A B P A B P B Teorema de Bayes P Bk A P Bk P A Bk N P Bi P A Bi i 1 102 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Valor promedio aprom a1 a2 ... an n donde: aprom = valor promedio an = valor de cada lectura n = número de lecturas Desviación estándar y varianza d12 d22 dn2 n 1 donde: = desviación estándar di = desviación de la lectura i-ésima con respecto al valor promedio L a varianza V es el valor de la desviación estándar elevado al cuadro Distribución gaussiana V 2 103 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Tabla de distribución de probabilidad normal estándar z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 0 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.758 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.999 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1 0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.695 0.7291 0.7611 0.791 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.992 0.994 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1 0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.983 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1 0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.937 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1 0.04 0.516 0.5557 0.5948 0.6331 0.67 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1 104 0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.996 0.997 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1 0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.877 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.975 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1 0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.834 0.8577 0.879 0.898 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.985 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1 0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.648 0.6844 0.719 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.881 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.998 0.9986 0.999 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1 0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.883 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.989 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.999 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Modelos probabilísticos comunes Nombre Binomial Distribución Rango Media Varianza Función generatriz de momentos n x nx p q x x = 0,1,..n np npq (q + pe )n pq x-1 x = 1,2,... 1 p q pe 1 - qe p Geométrica 2 p pe 1 qe De Pascal (Binomial negativa) x 1 r x r p q r 1 x = r,r +1,... r p De Poisson ( t ) x e - t x! x = 0,1,2,... t t Uniforme 1 b-a ax b a+ b 2 (b - a )2 12 b a e -e (b - a) Exponencial e - x x 0 1 1 - - < x < Ji-cuadrada x>0 2 t de Student - < x < 0 ,> 2 -2 Normal 1 2 1 x 2 e F (de Fisher) 0< x< ( t )r -1e - t (r - 1)! 2 e 2 r t( e-1) 2 2 , 2 - 2 2 > 2 Erlang rq t >0 r 105 2 2 22( 1 + 2 - 2 ) 2 1( 2 - 2 ) ( 2 - 4 ) 2 > 4 r 2 e 1 22 2 1 2 2 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Física Mecánica Centroides Arco de circunferencia y r sen 180 rs b Triángulo y 1 h 3 Sector de círculo y 2r sen 180 3 2rs Trapecio y h a 2b 3 ab Segmento de corona circular y 2 R 3 r 3 sen 3 R2 r 2 y 2 R3 r 3 s 3 R2 r 2 b Segmento de círculo y s3 12 A 106 3b Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Estática Fuerza aplicada paralelamente al plano de deslizamiento Fricción estática F1 F1 G tan 1 N G C 1 variable 0 Valor límite F F0 G tan 0 N G 0 tan 0 0 constante Fricción dinámica F F G tan N G tan 0 constante 0 Fuerza aplicada oblicuamente respecto al plano de deslizamiento F G 0 sen0 G sen 0 cos sen 0 Rozamiento en un plano inclinado tan tan Fricción de chumaceras De carga radial M1 r rF De carga axial M r1 r2 F 2 107 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Fricción rodante Rodamiento de un cilindro macizo F f f N G r r Condición de rodamiento F 0N Movimiento de una placa sobre rodillos F f1 f2 G1 nf2G2 2r Si f1 f2 f y nG2 G1 f G r 1 F = Fricción en cables Fuerza de tracción para subir la carga G F1 e0 G, Ff e0 1 G Fuerza de tracción para bajar la carga G F2 e 0 G, Ff 1 e 0 G Transmisión de banda o correa Fp Mi r y Fp F En movimiento F0 Fp e F1 Fp 0 1 e0 e0 1 108 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura e0 1 Fa Fp e 0 1 En reposo F0 F1 2 e 1 Fa e0 1 Fa Fp 0 e0 1 e 0 1 Cinemática F = xi + yj + zk a= = dr dt a= d dt d 2 ut + un dt = u t = r u r + r u a = (r - r 2 )u r + (r + 2r )u Movimiento en una dimensión x = vt x = x0 + vt v= 1 (v + v 0 ) 2 v = v0 + at 109 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura x = x0 + 1 (v 0 + v)t 2 x = x0 + v 0 t + 1 2 at 2 v 2 = v02 + 2a (x - x0 ) Dinámica W F = ma = g F =G α W: peso mM r2 F = m dV dt X B = XB - X A A VB = VB - VA A aB = aB - aA A Características cinemáticas de puntos y segmentos rectilíneos Conceptos lineales y angulares1 Se tiene que son conceptos lineales: r = posición, v= velocidad, a = aceleración, t = tiempo Se tiene que son conceptos angulares: = posición, w= velocidad, = aceleración, t = tiempo Expresión que relaciona ambos conceptos: v wxr 1 Por simplicidad se omite la dependencia del tiempo en las funciones. Por ejemplo: v(t) ≡ V. 110 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Conceptos correspondientes a puntos y partículas en movimiento Concepto Símbolo(s)más común(es) Vector de posición (lineal) Relación con otra(s)función(es) r Velocidad (lineal) v= v, r Aceleración (lineal) a, r a= dr dt dv d 2 r dt dt 2 Conceptos correspondientes a segmentos rectilíneos que modifican su dirección durante el movimiento, y de cuerpos rígidos que contengan ese tipo de segmentos Concepto Vector de posición (angular) Símbolo(s)más común(es) Velocidad (angular) w, Aceleración (angular) , Relación con otra(s)función(es) d dt dw d 2 = 2 dt dt w= Componentes cartesianas de los vectores de posición, velocidad y aceleración lineales para movimientos en el espacio, en un plano y rectilíneos. r r (t ) xi yj zk v r xi y j zk a r xi y j zk Entonces, si P se mueve en el plano xy tenemos: r r (t ) xi yj v r xi y j a r xi y j Si P realiza un movimiento rectilíneo cualquiera en el eje x se tienen: r r (t ) xi v r xi 111 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura a r xi Relaciones entre conceptos lineales y angulares. a w wr r Cinemática del cuerpo rígido v R wx a R ax wx wx Ecuaciones aplicables a cualquier tipo de movimiento del cuerpo rígido. Centro y eje instantáneo de rotación. v w donde es un vector perpendicular al eje instantáneo de rotación. Primeros momentos de la masa de un sistema de partículas. Con respecto a los planos xy, xz, yz tenemos: n n n i 1 i 1 i 1 M xy mi zi , M xz mi y i , Myz mi xi Primeros momentos de la masa de un cuerpo rígido. Mxy zdM, Mxz ydM, Myz xdM v v v Ecuaciones escalares de centro de masa. n n n i 1 i 1 i 1 M Xc mi xi , MYc mi y i , MZc mi zi Para cuerpos rígidos tenemos: M Xc xdM, MYc ydM, MZc zdM v v 112 v Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Momentos de inercia de la masa de un cuerpo rígido. I xx MM xz MM xy I yy MM yz MM xy Izz MM yz MM xz Dinámica de la partícula Ecuaciones de movimiento F ma Trabajo y energía dT p dr Energía cinética y su relación con el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre una partícula EC 1 m2 2 Impulso y cantidad de movimiento lineales 1 Fdt m2 m1 2 Ecuación del impulso y la cantidad de movimiento lineales Ecuación diferencial de movimiento para sistemas de partículas n F mi a1 i 1 F Mac n n F dt m v mi v i i i i 1 2 i 1 1 1 2 113 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Ecuación de impulso y cantidad de movimiento lineales para sistemas de partículas Principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal para sistemas de partículas. n n m v i i mi v i 0 i 1 2 i 1 1 Ecuación para obtener la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido. Hcc Icc Ecuación para obtener la suma de los momentos de los elementos mecánicos que actúan sobre un cuerpo rígido. Mcc Icc Momento de un sistema de fuerzas y/o pares que actúan sobre un cuerpo, con respecto el eje CC. n Mcc ( pi Fi ) i 1 Primera forma de la ecuación del trabajo y la energía para un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general. 1 2 2 n n 1 1 Fi dpi Q j d j M Vc2 Icc 2 F drc 2 2 i 1 1 j 1 1 2 Ecuación del impulso y la cantidad de movimiento angulares. 2 Mcc dt Icc 2 1 1 Modelo matemático correspondiente a las vibraciones libres con un grado de libertad. X 2n X 0 con 2n = cte Modelo matemático correspondiente a las vibraciones forzadas con un grado de libertad. X 2n X donde 2n = cte. 114 Fe m Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Trabajo, energía y conservación de la energía U F r dU F dr P U F r F v t t P: potencia Psal Pent : eficiencia U K Kf Ki K 1 mv 2 2 K: energía cinética W v vf v i V: energía potencial V ( y ) mgy Ve 1 2 kx 2 Impulso e ímpetu I Fdt I p p mv p pf pi Fdt p : ímpetu p : impulso 115 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Electricidad y magnetismo q1q2 r r2 r F k E F k q1q2 r2 r r1 r2 F q E E dA V k q 0 E : flujo eléctrico q r V : potencial electróstatico b Vb Va Ub Ua W ab E dl q q a m i 1 U qi q j i 1 j 1 40 rij U : energíapotencialelectróstatica Capacitancia q CV C K 0 C A d C k 0 C : capacitancia A d Capacitor de placas paralelas k 0 2l In b / a k : Constante dieléctrica Capacitor cilíndrico U q2 1 1 CV 2 qV 2C 2 2 U : energia almacenada en un capacitor u 1 k 0E 2 2 u : densidad de energía 116 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Corriente, resistencia y fuerza electromagnética i dq dt i: corriente eléctrica i nqvA j i ni qi v i A i E j R V l i A j: densidad de corriente, A: área : resistividad R: resistencia R R0 1 t Variación de R con la temperatura Vab IR ient isal Elevaciones de potencial Caídas de potencial P Vi Ri 2 V2 R P: potencia eléctrica 117 v i 0 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Magnetismo F qv B ν:velocidad, F il B l : elemento de longitud B:campo magnético NiABsen B dl 0 i B dA B 0 i 2r B 0I 2a B 0Ni 2r dB B 0I send 4a r : distancia N : número de vueltas r : radio 0I cos 1 cos 2 4a d B dt : fuerza electromagnética Bl d dt 118 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Equivalencias Longitud 1m 1 in 1 ft 1 mi m 1 2.54x10-2 0.3048 1609 in 39.37 1 12 6.336x104 ft 3.281 8.333x10-2 1 5280 mi 6.214x10-4 1.578x10-5 1.894x10-4 1 Masa 1 kg 1 uma 1 lb Kg 1 1.661x10-27 0.4536 uma 6.022x1026 1 2.732x1026 lb 2.205 3.662x10-27 1 Fuerza 1 dina 1N 1 lbf 1 kgf dina 1 105 4.448x105 9.807x105 N 10-5 1 4.448 9.807 lbf 2.248x10-6 0.2248 1 2.205 kgf 1.020x10-6 0.1020 0.4536 1 Presión 1 atm 1 mm Hg 1 Pa 1 bar atm 1 1.316x10-3 9.869x10-6 0.987 mm Hg 760 1 7.501x10-3 750.062 Pa 1.013x105 133.3 1 105 bar 1.013 1.333x10-3 10-5 1 Energía, trabajo, calor 1 Btu 1 HP∙h 1J 1 cal 1 kWh 1 eV Btu 1 2545 9.481x10-4 3.969x10-3 3413 1.519x10-22 HP∙h 3.929x10-4 1 3.725x10-7 1.560x10-6 1.341 5.967x10-26 J 1055 2.385x106 1 4.186 3.600x106 1.602x10-19 cal 252 6.413x105 0.2389 1 8.600x105 3.827x10-20 Campo magnético 1 gauss 1 tesla gauss 1 104 Flujo magnético 119 T 10-4 1 kWh 2.930x10-4 0.7457 2.778x10-7 1.163x10-6 1 4.450x10-26 eV 6.585x1021 1.676x1025 6.242x1018 2.613x1019 2.247x1025 1 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura 1 maxwell 1 weber maxwell Wb 1 10-8 108 1 1 rpm = 6.283 rad/min 120 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Química Constantes Carga del electrón = -1.6021 x 10-19 C Carga del protón = 1.6021 x 10-19 C Masa electrón = 9.1094 x 10-31 kg Masa protón = 1.673 x 10-27 kg Constante de Boltzmann = 1.3805 x 10-23 J/K Constante de Planck = 6.6261 x 10-34 J s Constante de Avogadro = 6.022 x 1023 mol-1 Constante gravitacional G = 6.67384 x 10-11 Nm2/kg2 Constante dieléctrica εo = 8.8542 x 10-12 F/m Constante de permeabilidad = 4π x 10-7 H/m = 1.2566 x 10-6 H/m Electrón-volt (eV) = 1.6021 x 10-19 J Radio medio de la Tierra = 6.378 x 106 m Distancia de la Tierra a la Luna = 3.844 x 108 m Masa de la Tierra = 5.972 x 1024 kg Masa de la Luna = 7.349 x 1022 kg Aceleración en la superficie de la: Luna 1.62 m/s2 Tierra g = 9.81 m/s2 ρCu = 1.71 x 10-8 Ω.m ρAl = 2.82 x 10-8 Ω.m ρAg = 1.62 x 10-8 Ω.m ρFe = 9.71 x 10-8 Ω.m δCu = 8.96 x 103 kg/m3 δAl = 2.7 x 103 kg/m3 δmadera = 0.6 - 0.9 x 103 kg/m3 121 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura 122 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Análisis de circuitos eléctricos Ley de Ohm con fasores I V Z donde: I = Corriente [A] V= Voltaje [V] Z = Impedancia [Ω] Voltaje y corriente en elementos reactivos(con condiciones iniciales iguales a cero) Capacitor v C (t ) 1 i (t )dt C iC (t ) C dv (t ) dt v L (t ) L di (t ) dt Inductor libre de acoplamientos magnéticos i L (t ) 1 v (t )dt L Inductor con acoplamientos magnéticos N i k (t ) kl v l (t )dt l 1 k 1,2,3,...., N N v k (t ) Lkl l 1 di l (t ) dt k 1,2,3,.., N kl cofLlk Lkl donde: Lkl = Inductancia mutua entre el inductor k y el inductor l Γkl = Invertancia mutua entre los inductores k y l Cof Llk = Cofactor del la inductancia mutua Llk ΔLkl = Determinante del sistema de inductancias propias y mutuas 123 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura k = k-ésimo inductor N = número total de inductores que se encuentren acoplados Divisor de corriente Si el circuito está integrado por n elementos: If I1 R1 I X If I X If I2 R2 RTotal paralelo RX ZTotal paralelo ZX donde: Ix = Corriente en el resistor o impedancia de interés Rx = Resistor de interés Zx = Impedancia de interés Divisor de voltaje + R1 R2 Vf + V1 V2 + Rn Vn - 124 In Rn Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura VX Vf RX RTotal serie Leyes de Kirchhoff Ley de Kirchhoff de voltaje Ley de Kirchhoff de corriente Ne Ni Vk 0 Ik 0 k 1 k 1 donde: Ne = Número de caídas o elevaciones de tensión en una malla cerrada Ni = Número de corrientes que entran o salen a un nodo K = k-ésimo elemento 125 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Potencia Potencia activa P VI cos W V2 cos Z W P W P I 2 Z cos Potencia reactiva Q VI sin VAR V2 sin Z VAR Q Q I 2 Z sin VAR Potencia compleja S VI * VA Factor de potencia fp cos 126 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Resonancia RLC serie Frecuencia de resonancia 1 0 f0 LC 1 2 LC Frecuencias de corte 2 1 R 1 R f1 2 2L LC 2L f2 2 1 R 1 R 2 2L LC 2L Ancho de banda BW f2 f1 BW R L Factor de calidad Q Qs 0 BW 1 L R C 127 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Resonancia RLC paralelo Frecuencia de resonancia 1 0 f0 LC 1 2 LC Frecuencias de corte 2 1 1 1 1 f1 LC 2 2RC 2RC f2 2 1 1 1 1 2 2RC LC 2RC Ancho de banda BW f2 f1 BW 1 RC Factor de calidad Q 0 BW Qp R 128 C L Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Circuitos excitados con señales senoidales de diferentes frecuencias Sea v t una función de la forma: v t Vo V1sen 1t 1 V2sen 2t 2 ... Vnsen nt n Entonces, el voltaje eficaz (RMS) en una red excitada con una tensión v t es: Vrms Vo2 1 n 2 Vk 2 k 1 donde k 1,2,3,..., n Sea I t una función de la forma: i t Io I1sen 1t 1 I2sen 2t 2 ... Insen nt n La corriente eficaz (RMS) en una red en la que circula una corriente i t es: Irms Io2 1 n 2 Ik 2 k 1 donde k 1,2,3,..., n La potencia media es: P VoIo 1 n Vk Ik cos k k 2 k 1 donde k 1,2,3,..., n 129 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Impedancia y admitancia de una red pasiva de dos terminales Impedancia Zt Zkl co Zkk donde: ΔZkl= Determinante de las impedancias propias y mutuas entre mallas cofZkk = Cofactor de la impedancia de malla donde están las dos terminales Admitancia Yt Ykl co Ykk donde: ΔYkl= Determinante de las admitancias propias y mutuas entre nodos cofYkk = Cofactor de la admitancia de nodo donde están las dos terminales 130 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Teoremas de redes Teorema de Thevenin Pasos para obtener el circuito equivalente de Thevenin Identificar los nodos A y B dentro del circuito donde se desea encontrar el circuito equivalente de Thevenin. Desconectar del circuito original el circuito del que se desea obtener su equivalente. Entre los nodos A y B debe considerarse un circuito abierto. Calcular el voltaje en los puntos A y B ( Vth ). Poner en cortocircuito los nodos A y B y calcular la corriente de cortocircuito ( Icc ). Calcular la impedancia de Thevenin como: Zth Vth Icc Construir el circuito equivalente de Theveninen los nodos A y B con Vth en serie con Zth. El teorema de Thevenin se puede aplicar para redes que cuenten con acoplamientos magnéticos, siempre y cuando, éste no se encuentre dentro del circuito al que se desea encontrar el equivalente. Teorema de Norton Pasos para obtener el circuito equivalente de Norton Identificar los nodos A y B dentro del circuito donde se desea encontrar el circuito equivalente de Norton. Desconectar del circuito original el circuito del que se desea obtener su equivalente. Entre los nodos A y B debe considerarse un cortocircuito. Calcular la corriente de Norton que circula entre los nodos A y B ( IN ). Considerar entre los nodos A y B un circuito abierto y calcular el voltaje de circuito abierto ( Vca ). Calcular la impedancia de Norton como: ZN Vca IN Construir el circuito equivalente de Norton. El teorema de Norton se puede aplicar para redes que cuenten con acoplamientos magnéticos, siempre y cuando, éste no se encuentre dentro del circuito al que se desea encontrar el equivalente. Teorema de reciprocidad 131 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Si se tiene un circuito formado sólo por elementos pasivos, entonces, es posible aplicar el teorema de reciprocidad. Si este circuito tiene una fuente de corriente o voltaje a la entrada, entonces, los pasos para aplicar el teorema de intercambio de fuentes son: Identificar los nodos A y B donde se va a aplicar el teorema de reciprocidad. Calcular el voltaje o corriente entre A y B. Desconectar la fuente de entrada y conectarla entre A y B. Si la fuente es de voltaje, la entrada se cortocircuita. Si la fuente es de corriente, la entrada se pone en circuito abierto. La corriente o el voltaje, según sea el caso, a la entrada del circuito es la misma que en el caso original. Teorema de superposición Si el circuito es lineal es posible aplicar este teorema. Los pasos necesarios son: Identificar el número de fuentes que se encuentran en el circuito. Seleccionar una de ellas y para el resto de las fuentes debe considerarse lo siguiente: si es una fuente de voltaje, ésta debe substituirse por un cortocircuito y si es una fuente de corriente, ésta debe substituirse por un circuito abierto. Obtener los voltajes y corrientes en el circuito. Repetir el proceso según el número de fuentes que haya en el circuito seleccionando en cada iteración una fuente diferente. Sumar los voltajes y corrientes obtenidos para cada una de las fuentes dadas en el circuito. 132 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Parámetros de dos puertos Parámetros de impedancias(Z) V1 Z11I1 Z12I2 V2 Z21I1 Z22I2 Los parámetros de impedancias están dados por: V1 I1 I Z11 V2 I1 Z21 Impedancia de entrada 2 0 Impedancia de transferencia directa I2 0 V1 I2 I Z12 Impedancia de transferencia inversa 1 0 Z22 V2 I2 Impedancia de salida I10 Parámetros de admitancias (Y) I1 Y11V1 Y12V2 I2 Y21V1 Y22V2 Y11 I1 V1 V Admitancia de entrada 2 0 Y21 I2 V1 V Admitancia de transferencia directa I1 V2 V 0 Admitancia de transferencia inversa I2 V2 V 0 Admitancia de salida 2 0 Y12 1 Y22 1 133 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Parámetros híbridos directos V1 h11I1 h12V2 I2 h21I1 h22V2 h11 V1 I1 V Impedancia de entrada con terminales de salida en cortocircuito I2 I1 V Ganancia en corriente V1 V2 Inverso de la ganancia de voltaje I10 I2 V2 I10 2 0 h21 2 0 h12 h22 Admitancia de salida con terminales de entrada abiertas Parámetros híbridos inversos I1 g11V1 g12I2 V2 g 21V1 g 22I2 g11 g 21 g12 I1 V1 I V2 V1 Admitancia de entrada con terminales de salida abiertas 2 0 Ganancia en voltaje I2 0 I1 I 2 V 0 Inverso de la ganancia corriente V2 I 2 V 0 Impedancia de salida con terminales de entrada en cortocircuito 1 g 22 1 134 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Respuesta transitoria Condiciones iniciales y finales de los elementos Elemento R L C Circuito equivalente inicial para t < 0 Cargado Descargado Circuito equivalente para t>>0 Resistencia iL(0-) = iL(0+) iL(0+) = 0 Fuente ideal de corriente Circuito abierto vC(0-) = vC(0+) VC(0+) = 0 Fuente ideal de Voltaje Cortocircuito Cortocircuito Circuito abierto Respuesta total en circuitos RC Para la corriente t i t E v c 0 e RC R A Para el capacitor t vC t E vC 0 E e RC V Para la resistencia v R t Ri t E v c 0 Constante de tiempo RC donde vc(0) es el voltaje inicial en el capacitor. 135 s t RC e V Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Respuesta total en circuitos RL Para la corriente E i t 1 e R Rt i 0 e L Rt L A Para el resistor Rt v R t Ri t E 1 e L Rt Ri 0 e L V Para el inductor vL t L di t dt Ee Rt L Ri 0 e La constante de tiempo es: L R 136 s Rt L V Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Respuesta libre en un circuito RC i t t E RC e [ A] R v R Ri (t ) Ee t RC V t vC (t ) E v R (t ) E 1 e RC V Respuesta libre en un circuito RL i t E e R vR t vL t Rt L Rt Ee L Rt Ee L 137 A V V Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Respuesta libre de un circuito RLC Solución General para i(t) i t k1eD1t k2eD2t donde D1 y D2 son las raíces: 2 D1 R 1 R 2L 2 L LC D2 R 1 R 2L LC 2L 2 R 2L 2 1 LC 2 2 v c 01 Voltaje inicial en C Caso I: 2 2 Respuesta bajo amortiguada (raíces complejas conjugadas) i t k1e j t k2e k1 k2 138 j t Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura v c 0 k i t 2L e v c 0 t L sen t A Caso II: (𝛼 2 = 𝜔2 ) Respuesta críticamente amortiguada (raíces reales repetidas) i t k1et k2et k1 0 k2 i t v c 0 L te v c 0 t L A Caso III:(𝛼 2 > 𝜔2 ) Respuesta sobreamortiguada (raíces reales diferentes) i t k1e t k2e k1 k2 139 t Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura k1 k2 i t v c 0 2L v c 0 2L e v c 0 t L 140 senh t Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Función de transferencia H s H s H s H s Vo s Vi s Vo s Ii s Io s Ii s Io s Vi s Relación de voltajes Impedancia de transferencia Relación de corrientes Admitancia de transferencia donde Io s y Vo s son la corriente y el voltaje en la salida, respectivamente. Ii s y Vi s son la corriente y el voltaje en la entrada, respectivamente. 141 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Diagramas de Bode asintóticos Summary of Bode straight-line magnitude and phase plots. Factor Magnitude Phase 20log10 K K 0 90N 20N dB /decade jN 1 j N 1 1 20N dB /decade 90N 20N dB /decade j 1 z 90N N 0 z z 10 p 10 0 p 1 1 j p N 20N dB /decade z 10z p 10 p 90N 180N 40N dB /decade 2 j j 2 1 n n N n k 1 1 2 j / j / 2 k k N 0 n 10 k 10 0 n k 10n 10k 40N dB /decade 180N 142 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Sistemas acoplados Factor de acoplamiento K kl Llk Lkk Lll Inductancia mutua Lkl Kkl Lkk Lll donde: Kkl= factor de acoplamiento entre los inductores k y l Lkl = inductancia mutua entre los inductores k y l Lll= inductancia propia del inductor l Lkk= inductancia propia del inductor k 143 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Sistemas trifásicos Resistencia y reactancia en serie La impedancia Z de una carga reactiva que está formada por una resistencia R y una reactancia en serie es: Z R jX Convirtiéndola a su admitancia equivalente Y: Y R jX Z 2 donde: Z R2 X 2 Según la ley de Ohm: V ZI y I YV Entonces: I VR jVX Z I VR Z 2 2 j VX Z 2 I IP jIQ donde IP e IQ son las corrientes activa y reactiva, respectivamente. La corriente activa IP y la corriente reactiva IQ son: IP VR IQ VX Z Z 2 2 I cos I sin 144 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura donde está dada por: P Q Q tan1 cos1 sin1 S S P Si se aplica una tensión V, a una carga reactiva Z y la corriente I que circula en el circuito, entonces, la potencia compleja S, potencia activa P y potencia reactiva Q están dadas por: S VI * ZV 2 Z 2 P VIP Q VIQ 2 I Z V 2R Z 2 V2X Z 2 El factor de potencia ( fp ) y el factor reactivo ( fr ) son: fp cos R Z fr sen X Z 145 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Potencia trifásica Para una carga balanceada conectada en estrella con una tensión de línea Vlinea y una corriente de línea Ilínea : Vestrella Vlinea 3 Iestrella Ilínea Zestrella Vestrella Vlinea Iestrella 3Iestrella Sestrella 3VestrellaIestrella 3VlineaIlínea Vlinea 2 3Ilínea 2Zestrella Zestrella Para una carga balanceada conectada en delta con una tensión de línea Vlinea y una corriente de línea Ilínea : Vdelta Vlínea Idelta Zdelta Ilínea 3 Vdelta V 3 línea Idelta Ilínea Sdelta 3VdeltaIdelta 3Vlínea 2 Ilínea 2Zdelta Zdelta Note que la equivalencia entre cargas balanceadas conectadas en estrella y delta es: Zdelta 3Zestrella 146 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Electrónica analógica Diodo de propósito general Ecuación de Shockley del diodo qVD ID IS e nk T 1 donde: ID = Corriente a través del diodo [A] Is = Corriente de saturación (10-12 A) VD = Voltaje de polarización directo [V] q= Carga del electrón (1.6022E-19) [C] n = Constante para Ge = 1 y para Si = 1.1 y 1.8 k = Constante de Boltzman 1.3806E-23 [J/K] T = Temperatura absoluta [K] Diodo Zener Regulación de línea = Rz Rz Rs Regulación de carga Rz Rs Regulación Zener Rs Rz Rs Vzo Vz (Rz Iz ) Para RL = 0 Iz Vs Vzo Rz Rs El voltaje de salida está dado por: Vo Vzo (Rz Iz ) Rs Vs Vzo Rz Iz Iz IL 147 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura En caso de conocer los rangos de VS e IL Rs Vs(max) Vzo Rz Iz(max) Rs Iz(max) IL(min) Vs(min) Vzo Rz Iz(min) Iz(min) IL(max) Pz Vz Iz Rectificadores de media onda y onda completa (fuentes de alimentación) Rectificador de media onda Voltaje de rizo pico-pico Voltaje de salida VO Voltaje rizo rms Factor de rizo Cálculo del capacitor Relación Vrms y VL Vm f RL C Vr ( pp ) VO(cd ) Vr ( rms ) FR C Vm 2f RLC 1 2f RL C Vm 1 FR 2 2f RL C 1 1 1 2 RF Vrms 1 0.0024 VL 420 Regulación de voltaje Regulación línea Vsal 100% Vent Regulación carga VNL VFL VFL Regulación de carga 148 VO(cd ) Vm 4f RLC 1 Vr ( rms ) 2 2 f RL C 1 2f RL Rectificador de onda completa Vm Vr ( pp ) 2f RL C Rsal 100 RFL C 4f RL C Vm 4 2 f RL C 1 2 4f RL C 1 1 4f RL 1 1 2 RF Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura donde: VNL = Voltaje sin carga VFL = Voltaje a plena carga Regulador básico en serie con OA R Vo 1 2 Vref R3 Reguladores en paralelo lineales básico ILmax Vin RL Reguladores de conmutación básicos t Vo off Vin T donde: T = tin + toff Reguladores de voltaje en circuito integrado 149 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura R Vsal Vref 1 2 I ADJ R2 R1 IL(max) Vsal IG R11 150 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Transistor de unión bipolar (BJT) Parámetros de corriente directa cd Ic IB cd Ic IE donde: βcd=Ganancia en corriente en CD αcd=Factor de amplificación de corriente en polarización directa IC=Corriente de colector IB=Corriente de base IE=Corriente de emisor Corrientes en un transistor IE IC IB Voltaje entre la base y el emisor VBE 0.7 V Corriente en la base IB VCC VBE RB donde: VBB = Voltaje de polarización en la base VBE = Voltaje base-emisor RB = Resistencia de base Voltaje en el colector con respecto al emisor VCE VCC IC RC donde: VCC =Voltaje de polarización en el colector VCE = Voltaje colector-emisor RC =Resistencia de colector 151 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Voltaje en el colector con respecto a la base VCB VCE VBE donde: VCB =Voltaje colector-base VCE = Voltaje colector-emisor RC =Resistencia de colector Condición de corte VCE corte VCC Corriente de saturación en el colector IC SAT VCC VCE SAT RC Corriente de base mínima para saturación IBmin IC SAT cd Polarización Polarización con realimentación del emisor VB IE RE VBE VC VCC IC RC 152 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura VE VB VBE IE VCC VBE RE RB / cd IC IE Polarización con realimentación del colector VC VCC IC RC VB VBE VE 0 V IC IC VCC VBE RC VCC VBE R RC B cd VCE VCC IC RC IE IC IB VC VBE RB 153 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Polarización de base VB VBE VC VCC IC RC VE 0 V V VBE IC cd CC RB IE IC IB VC VBE RB VCE VCC IC RC 154 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Polarización del emisor VB VE VBE VC VCC IC RC VE VEE IE RE IE IE VEE VBE RE VEE VBE R RE B cd IE IC IB VB V IB B RB RB 155 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Polarización con divisor de voltaje R2 VB VCC R1 R2 VC VCC IC RC VE VB VBE IE VE RE IE IC IE VTH VBE R RE TH cd IB VB cd RE 156 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Parámetros de corriente alterna (amplificador) Amplificador emisor común Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden r 'e 25mV IE Rin R1 R2 ca r 'in Rout RC RL AV RC RL r 'e AI IC Iin 157 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Impedancia de entrada de un seguidor de voltaje Zin Rin RB Rs RE RL Amplificador con compensación para variación de temperatura AV RC RL RE1 Rout RC RL Rin R1 R2 ca 1 r 'e RE1 158 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Amplificador colector común Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden r 'e Rin R1 R2 25 mV IE ca 1 r 'e RE RL Rout RE RL r 'e R1 R2 rout ca 1 AV Re 1 r 'e Re Ai Ie Iin Amplificador en base común Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden r 'e 25 mV IE 159 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Rent(emisor) r 'e Rsal RC AV RC r 'e Ai 1 donde: r’e=Resistencia interna de CA en el emisor Rent=Resistencia de entrada Rsal=Resistencia de salida Av=Ganancia en voltaje Ai=Ganancia en corriente 160 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Transistor de efecto de campo (FET) Parámetros de corriente directa Características de transferencia de un JFET VGS ID IDSS 1 VGS (corte) 2 Transconductancia VGS gm gm0 1 VDS corte 2 Transconductancia con VGS = 0 gm0 2IDSS VGS(corte) Característica de transferencia de E – MOSFET ID K VGS VGS(umbral) 161 2 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Polarización Polarización fija VGS VGG IDS VDD VDS RD VDD IDS VDS Autopolarización IDS RS VGS RS VGS(OFF ) IDSS 162 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura IDS VGS IDSS 1 VGS (OFF ) 2 K1 0.382 IDS K1IDSS VGSQ 0.382VGSoff IDS VDD VDS RD RS VDD IDS RD RS VDS Polarización por divisor de voltaje IDS VGG VGS RS RG R1 R2 VGG IDS R1 VDD R1 R2 VDD VDS RS RD 163 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Amplificador fuente común RG R1 R2 RL RC RL Zi RG Zo rds RD AV RG VL gm rds RD RL VS RG rS Ai rDS RD VL gm RG VS rDS RD RL ID RS ID IDSS 1 VGS (CORTE ) AV gmRd 164 2 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura V Rent RG GS IGSS Parámetros de corriente alterna (amplificador) Amplificador drenaje común Característica Drenaje común Zi RG Z0 r Rs ds 1 AV 1 VL Vin AI1 IL Iin 1 RS RL RS RL AV 1 I R ID IDSS 1 D S VGS (corte ) AV gmRS 1 gmRS V Rent RG GS IGSS 165 Zin RL 2 rds 1 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Amplificador en compuerta común Característica Compuerta común Zi r RD RL RS ds 1 Z0 RD rds 1 RS ra AV 1 VL Vin AI1 IL Iin 1 g m rds RD RL rds 1 RD RL AV 1 I R ID IDSS 1 D S VGS (corte ) AV gmRD 1 Rent RS gm donde: ID=Corriente a través de un FET autopolarizado Av=Ganancia en voltaje Rent=Resistencia de entrada 166 2 Zin RL Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura IDSS=Corriente en drenaje VGS=Voltaje en la compuerta RS=Resistencia en la fuente IGSS=Corriente de fuga en inversa Capacitancia Compuerta común Ci 1 2 FL ra Zin 1 C0 f 2 L rL Zout 10 167 Drenaje común 1 F 2 L ra Zin 10 1 2 fL Zo Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Transistor MOSFET Curva característica ID IDmax C e r r a d o Pmax VGS = 15 V VGS = 12 V VGS = 7 V SOAR A v a l a n c h a VGS ○ VGS,TH Corte VDSmax VDS ID D VDS G VGS S 𝑃 = 𝑅𝑂𝑁 𝐼𝐷2 Para un MOSFET de canal inducido tipo n en su región lineal: V2 ID( Act ) K VGS VT VDS DS 2 bn en la que b es el ancho del canal, μn la movilidad de los electrones, ε es LW la permitividad eléctrica de la capa de óxido, L la longitud del canal y W el espesor de capa de óxido. donde: K Cuando el transistor opera en la región de saturación, la fórmula pasa a ser la siguiente: ID(sat ) K 1 VGS VT 2 K0 168 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Amplificadores operacionales Características Razón de rechazo de modo común CMRR AVd AVc A CMRR 20log Vd AVc Rapidez de variación de voltaje (slew-rate) Vsal t SR Corriente de polarización de entrada I polarización I1 I2 2 Desequilibrio de corriente de entrada IOS I1 I2 Voltaje de error de salida Vsal error Av Ios Rent Frecuencia máxima de operación fmax AB fmax SR 2Vp si si 169 AB SR 2Vp AB > SR 2Vp Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Configuraciones de amplificadores Amplificador no inversor Av 1 R2 R1 Seguidor de voltaje AV 1 Amplificador inversor AV Rf Rin Zent Rin 170 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Amplificador sumador inversor con ganancia de n entradas V V V Vout Rf in1 in 2 inn R2 Rn R1 Amplificador restador R R4 R2 Vsal 1 2 V2 V1 R1 R3 R4 R1 R2 Amplificador derivador Vout RC dVin dt Amplificador integrador Vout 1 Vin t dt Vc 0 RC 171 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Amplificador de disparo alto Vdisparo alto R2 Vsal R1 R2 max Vdisparo bajo R2 Vsal R1 R2 max Amplificador de disparo bajo Amplificador de histéresis VH Vdisparo alto Vdisparo bajo Amplificador de instrumentación 1 Ig V2 V1 Rg 2R Vintermedio V2 V1 1 1 Rg 2R R Vout V2 V1 1 1 3 Rg R2 Amplificador de aislamiento Av 1 Rf 1 1 Ri 1 Av 2 Rf 2 1 Ri 1 172 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Amplificador logarítmico V Vout 0.025 ln in IEBO R Amplificador anti logarítmico Vin Vout R IEBO ln1 25mV Convertidor de voltaje a corriente Iout Vin Ra 173 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Convertidor de corriente a voltaje VOUT IIN R1 Disparador Schmitt RF Vsat R1 Vth RX R1 RF 174 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Filtros activos Ancho de banda de un filtro pasa bajas AB fc Ancho de banda de un filtro pasa banda AB fcs fci Frecuencia central de un filtro pasa banda f0 fcs fci Factor de calidad de un filtro pasa banda Q f0 AB Filtro pasa bajas de primer orden Ganacia en la región R2 H0LP R1 Frecuencia de corte 1 fc = 2R2C de paso de paso Filtro pasa altas de primer orden Ganacia en la región R2 H0HP R1 Frecuencia de corte 1 fc = 2R1C 175 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Filtro pasa bajas Sallen&Key (KRC) de segundo orden Si R1 R2 R y C1 C2 C H0LP K 1 RB RA 1 RC 1 Q 3K O Filtro pasa altas Sallen&Key (KRC) de segundo orden Si R1 R2 R y C1 C2 C H0HP K 1 1 RC 1 Q 3K O 176 RB RA Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Filtro pasa banda Sallen&Key (KRC) de segundo orden Si R1 R2 R3 R y C1 C2 C K 4K 2 O RC 2 Q 4K H0BP Tabla de diseño de filtros activos n 2 3 4 5 n 2 3 4 5 Butterworth low-pass filter f01 Q1 f02 Q2 f03 1 0.707 1 1.000 1 1 0.541 1 1.306 1 0.618 1 1.620 1 f01 1.274 1.453 1.419 1.561 Bessel low-pass filter Q1 f02 Q2 f03 0.577 0.691 1.327 0.522 1.591 0.806 0.564 1.760 0.917 1.507 Q3 Q3 0.10-dB ripple Chebyshev low-pass filter n f01 Q1 f02 Q2 f03 Q3 2 1.820 0.767 3 1.200 1.341 0.969 4 1.153 2.183 0.789 0.619 5 1.093 3.282 0.797 0.915 0.539 1.00-dB ripple Chebyshev low-pass filter n f01 Q1 f02 Q2 f03 Q3 2 1.050 0.957 3 0.997 2.018 0.494 4 0.993 3.559 0.529 0.785 5 0.994 5.556 0.655 1.399 0.289 177 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura donde: n = orden del filtro O 2fc f0n para el filtro pasa bajas O 2fc f0n para el filtro pasa altas Filtros Butterworth La magnitud de la función de transferencia al cuadrado es: H j 1 2 1 2n La función de transferencia para un filtro Butterworth se expresa como: H s 1 Bn s Los polinomios normalizados para los filtros Butterworth son: B1 s s 1 B2 s s 2 1.4142s 1 B3 s s3 2s 2 s 1 178 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Filtros pasivos Filtro pasa bajas de primer orden Frecuencia de corte 1 fc = 2RC Filtro pasa altas de primer orden Frecuencia de corte 1 fc = 2RC Filtro pasa bajas de segundo orden O 1 LC 1 L Q R C Filtro pasa altas de segundo orden O 1 O 1 LC 1 L Q R C Filtro pasa banda de segundo orden LC 1 L Q R C 179 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Convertidores Convertidores de voltaje a frecuencia f0 Vref v1 Rent Cref donde: V1 = voltaje de entrada Vref = voltaje de refencia Cref = capacitancia de referencia Convertidores de frecuencia a voltaje V0 Vref RintCref fent donde: fent = frecuencia de entrada en Hz Vref = voltaje de referencia en V Rint = resistencia del integrador interno Cref = capacitancia de referencia Convertidores digital analógico B B B B Is Vref 0 1 2 3 R0 R1 R2 R3 B B B B V0 RF IF RFVref 0 1 2 3 R0 R1 R2 R3 donde: R0 R1 R2 R 20 R 1 2 R 2 2 180 R R 2 R 4 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura R3 R 3 2 R 8 Convertidordigital analógico con red de escalera R – 2R V0 V0 V0 Vref RF B0 para LSB = 1 único 3R 24 Vref RF B3 para MSB = 1 único 3R 21 Vref RF B0 B1 B2 B3 cuando el sistema está completamente activado 3R 24 23 22 21 Convertidor analógico digital de aproximaciones sucesivas 1 para Va Vb Vconv sgn Va Vb 0 para Va Vb Proceso de aproximaciones sucesivas Paso 1 2 3 4 Vb B3 B2 B1 B0 Comparaciones Respuesta 8V 1 0 0 0 ¿Es Va > 8 V? Sí 12 V 1 1 0 0 ¿Es Va > 12 V? No 10 V 1 0 1 0 ¿Es Va > 10 V? Sí 11 V 1 0 1 1 ¿Es Va > 11 V? No 10 V 1 0 1 0 Leer salida 181 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Amplificadores de corriente Fuente de corriente con BJT VBE1 VBE 2 VCE1 0.7 V La corriente en el colector IC1 IC 2 R1 IR 1 2 F VCC VBE1 IR Fuente de corriente Widlar La suma de las tensiones en la base de los transistores 182 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura VBE1 VBE2 IC2RE 0 Para el análisis de esta fuente de corriente es preciso utilizar la ecuación de Ebers-Moll simplificada de un transistor en la región lineal que relaciona la IC con la tensión VBE: VT ln donde: IC1 IC1 IS IS RE VCC VBE R1 La resistencia de salida de esta fuente es: F RE 1 ZO hoe 2 1 hie 2 RE Fuente de corriente Wilson IE 2 1 F IB2 Si los transistores son idénticos 1 IC1 IE 2 IC 3 IB3 IB1 1 F F IOUT VCC 2VBE R1 Resistencia de salida 183 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Zout 1 hfe hoe 2 Fuente de corriente Cascode Iout VCC 2VBE R1 1 Zout hfe hoe Fuentes de corriente controlada con voltaje Si R2 = R4 184 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura IS R2Ve RS R1 Para que el operacional esté en equilibrio se debe de cumplir que: V Ve V RS IS R4 R1 R2 Para la polarización del transistor V2 V RSIS 185 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Electrónica digital Algebra de Boole a) Propiedad conmutativa: a+b+c+d=d+c+b+a a b c d=d c b a d c b a+d c a+b c=d c a+c b+d a c b b) Propiedad asociativa: a + b + c + d = (a + b) + (c + d) d c b a = (d c) (b a) c) Propiedad distributiva: a (b + c) = a b + a c a + (b . c) = (a + b) . (a + c) d) Propiedad de identidad de elementos neutros 0 y 1: 0+a=a 1.a=a e) Leyes del algebra de Boole: f) a+0=a a 0=0 a+1=1 a 1=a a+a=a a a=a a + a' = 1 a a' = 0 0+0=0 0-0=0 0+1=1 0-1=1 1+0=1 1-0=1 1 + 1 = 10 1-1=0 Suma y resta binaria: g) Teorema de Shanon: Cualquier expresión booleana negada es equivalente a la misma expresión en la que todas las variables son negadas y se sustituyen las operaciones (+) por (·) y viceversa: ( (a + b) c )' = (a b)' + c' 186 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura h) Primer teorema de De Morgan: El complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables: (a b)' = a' + b' i) Segundo teorema de De Morgan: El complemento de una suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables: (a + b)' = a' b' Mapa de Karnaugh Reglas para simplificar una función mediante mapas de Karnaugh Determinar el número de variables involucradas Ejemplo: A y B Realizar un mapa que cumpla con la relación 2N. Donde N representa el número de variables y 2N el número de combinaciones posibles Ejemplo: Si N es igual a 2 entonces 22 = 4 combinaciones posibles A B SALIDA 0 0 0 1 1 0 1 1 Debe de existir un cuadro para cada combinación de entrada. Introducir el valor lógico de cada minitérmino en su cuadro correspondiente. Ejemplo: F(A,B)= ∑m( 0,1 ). 187 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Buscar encerrar 2N cuadros adyacentes. Hacer encierros de 1,2,4,8, etc. Determinar la función de salida correspondiente: Ejemplo: Salida = /B Aspectos a considerar a) Tratar de hacer el máximo encierro posible b) Buscar que no exista redundancia en los encierros seleccionados Conversión de decimal a BCD natural, BCD Aiken y BCD exceso 3 Decimal BCD natural BCD Aiken BCD exceso 3 8 4 2 1 2 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 5 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 6 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 7 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 8 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 9 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 Circuitos digitales básicos Compuerta Función Tabla de verdad f = A+ B B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 f 0 1 1 1 AND f = AB B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 f 0 0 0 1 NOT f=A OR A f 0 1 1 0 188 Símbolo Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura NOR f = A+ B NAND f = AB XOR f = AB XNOR f = AB B 0 0 1 1 B 0 0 1 1 B 0 0 1 1 B 0 0 1 1 A 0 1 0 1 A 0 1 0 1 A 0 1 0 1 A 0 1 0 1 f 1 0 0 0 f 1 1 1 0 f 0 1 1 0 f 1 0 0 1 189 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Flip-flops Flip-flop SR básico con compuerta NAND Flip-flop SR básico con compuerta NOR Flip-flop SR Temporizado Q 0 0 0 0 1 1 1 1 S 0 0 1 1 0 0 1 1 Ǭ (t+1) S R Q(t+1) 0 0 1 1 inválido inválido 1 0 0 1 Q(t) Ǭ (t) 0 1 0 1 Ǭ (t+1) S R Q(t+1) 0 0 1 1 Q(t) Ǭ(t) 0 1 1 0 inválido inválido R 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Q(t+1) Ǭ (t+1) 0 1 0 1 1 0 indeterminado indeterminado 1 0 0 1 1 0 indeterminado indeterminado Q D Q(t+1) Ǭ (t+1) Flip-flop D 0 0 1 1 190 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Flip-flop JK Q J K 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Q(t+1) Ǭ (t+1) 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 Q T Q(t+1) Ǭ (t+1) Flip-flop T 0 0 1 1 191 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Electrónica de potencia Fórmulas básicas Eficiencia PCD PCA Valor efectivo CA 2 2 VCA Vrms VCD El factor de utilización del transformador PCD Vs Is TUF donde: VS = Voltaje rms en el secundario del transformador [V] IS = Corriente rms en el secundario del transformador [A] Distorsión armónica total THD 1 IS2 IS2 2 THD 2 1 IS 1 Rectificador monofásico de onda completa T VCD 2V 2 2 Vm sen tdt m T 0 donde: Vm = Voltaje máximo inverso [V] Corriente promedio de carga es ICD VCD R 192 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Corriente rms de salida Irms Vrms R Voltaje rmssalida 1 Vrms 2 T 2 V 2 Vm2sen 2 tdt m 2 T 0 Rectificador trifásico en puente VCD 2 3 3 6 3 V cos t dt Vm m 0 2 / 6 donde: Vm = Voltaje máximo [V] El voltaje rms de salida es: 1 Vcd 1 2 2 3 9 3 2 6 3 V 2 cos 2t dt V m 0 2 4 m 2 / 6 193 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Dispositivos Ecuación del Diodo Schockley VD nVT ID IS e 1 donde: ID=Corriente a través del diodo [A] VD=Voltaje de polarización directo [V] IS=Corriente de fuga [A] n =Constante para Ge = 1 y para Si = 1.1 y 1.8 VT kT 25.8 mV q donde: VT=Voltaje térmico Q=Carga del electrón (1.6022 x 10-19) [C] T= Temperatura absoluta [K] K=Constante de Boltzman 1.3806 x 10-23 [J/K] Tiempo total de recuperación inversa (trr) trr ta tb donde: ta=Tiempo de almacenamiento de carga en la región de agotamiento[s] tb=Tiempo de almacenamiento de carga en el cuerpo del semiconductor [s] Corriente inversa pico (IRR) IRR t di d 2QRR i dt dt donde: QRR = carga de recuperación inversa [C] 194 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Rectificadores monofásicos de media onda Potencia de salida en CD PCD VCD ICD Potencia de salida en CA PCA Vrms Irms 195 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura UJT B2 E B1 El disparo ocurre entre el emisor y la base1 y el voltaje al que ocurre este disparo está dado por la fórmula: Vp 0.7 nVB2B1 donde: n = intrinsic standoff radio (dato del fabricante) VB2B1 = Voltaje entre las dos bases Condición para encendido y apagado VBB VP V VV R1 BB IP IV 196 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura PUT Este transistor se polariza de la siguiente manera: Cuando IG = 0 RB 2 VG VBB RB1 RB 2 VG n VBB donde: n = RB2 / (RB1+RB2) El periodo de oscilación T está dado en forma aproximada por: T R2 Vs 1 RC ln RC ln 1 f R1 Vs Vp Circuito de disparo para un PUT 197 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura DIAC Si (+V) o (- V) es menor que la tensión de disparo, el DIAC se comporta como un circuito abierto. Si (+V) o (- V) es mayor que la tensión de disparo, el DIAC se comporta como un cortocircuito. Circuito equivalente del DIAC 198 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura SCR Cuando el SCR está polarizado en inversa se comporta como un diodo común (ver la corriente de fuga Is. En la región de polarización en directo el SCR se comporta también como un diodo común, siempre que el SCR ya haya sido activado (On). Ver los puntos D y E. Para valores altos de corriente de compuerta (IG) (ver punto C), el voltaje de ánodo a cátodo es menor (VC). Si la IG disminuye, el voltaje ánodo-cátodo aumenta. (ver el punto B y A, y el voltaje ánodo-cátodo VB y VA). Circuito equivalente del SCR 199 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura TRIAC Circuito equivalente al TRIAC 200 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura IGBT ID Avalancha Saturación VGS VRRM muy bajo si es un PT-IGBT Corte Corte Avalancha VDSON menor menor si es un PT-IGBT 201 BVDS VDS Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura GTO Característica estática Al cebarlo por corriente entrante de puerta, tenemos exactamente el mismo proceso que en el SCR normal. Para bloquearlo, será necesario sacar los transistores de saturación aplicando una corriente de puerta negativa: luego IG IA off donde off es la ganancia de corriente en el momento del corte y vendrá expresada por: off 2 1 2 1 Para conseguir cortar el GTO, con una corriente soportable por la puerta, debe ser βofflo mayor posible, para ello debe ser: α2≈1 (lo mayor posible) y α1≈0 (lo menor posible). 202 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura SIT Curva característica D G S Nota: A=D y K=S IG I A ICBO 1 IG IA IA 1 gmRG ICBO 1 gmRG 1 1 gmRG 1 203 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Teoría de control Terminología de la ingeniería de control donde: r = señal de referencia o set point e = señal de error (e=r –y) u = acción de control (variable manipulada) y= señal de salida (variable controlada) C = controlador P= Proceso Modelos de control Los modelos clásicos de control clásico comprenden ecuaciones diferenciales de orden n. a0 d n y t dt n a1 d n 1y t dt n 1 ... an 2 dy t dt an 1y t an k u t Modelo diferencial de primer orden dy t dt 1 k y t u t donde: u(t) = variable de entrada y(t) = variable de salida 𝜏 = Constante de tiempo k= ganancia del sistema Modelo diferencial de segundo orden Frecuencia amortiguada d n 1 2 204 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Tipos de respuesta Respuesta escalón La respuesta escalón es la variación, respecto al tiempo, de la variable de salida de un elemento de transferencia, cuando la variable de entrada es una función escalón r t c, c cte. Respuesta al escalón de sistemas de primer orden y t 1 e t Respuesta al escalón de sistemas de segundo orden Forma estándar del sistema de segundo orden: n 2 C (s ) 2 R(s ) s 2n s n 2 donde: es el factor de amortiguamiento es la frecuencia angular 205 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura 1. Subamortiguado 0 1 , raíces complejas conjugadas. y t 1 e nt cos n t sen n t 2 1 2. Críticamente amortiguado 1 , raíces reales e iguales. y t 1 ent n tent 3. Sobreamortiguado 1 , raíces reales y diferentes. y t 1 e s1t n te s2t s2 2 2 1 s1 n donde: 1 s1 2 1 s2 2 4. No amortiguado 0 , raíces imaginarias puras. y t 1 cos n t 206 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Parámetros de la respuesta transitoria Tiempo de retardo (Td) Es el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar por primera vez la mitad del valor final. Tiempo de crecimiento (Tr) Es el tiempo requerido para que la respuesta crezca del 0 al 100% de su valor final o del 10 al 90%. Tr d tan1 d n Tiempo pico (Tp) Es el tiempo en el cual la respuesta del sistema alcanza el primer pico del sobreimpulso. Tp d Máximo sobreimpulso (Mp) Es el valor pico máximo de la respuesta medido desde la unidad. Mp 2 1 e 207 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Tiempo de establecimiento (Ts) Es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango alrededor del valor final especificado en porcentaje absoluto del valor final. Se usa generalmente el 5% o 2% Para un criterio de 2%, Ts 4 n Para un criterio de 5%, Ts 3 n Tiempo de autonomía de una máquina t H I H C k donde: t = Tiempo de autonomía de una máquina [h] C = Tiempo de carga del fabricante [Ampere h] H= Tiempo indicado por el fabricante [h] I = Corriente total que demanda el sistema [A] k = Coeficiente de Peukert (1.1 para baterías de gel y 1.3 para baterías de plomo-ácido) Temperatura t Temp kA 1 e donde: Temp = Temperatura [°C] t= tiempo [s] = Constante de tiempo [s] 208 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Regla de Mason La función de transferencia entre una entrada U(s) y una salida Y(s) está dada por: G s Y s U s 1 Gi i donde: Gi = ganancia de la trayectoria directa i-ésima entre yentrada y ysalida = determinante del sistema = 1 - (ganancia de todos los lazos individuales) + (productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos que no se tocan) - (productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos que no se tocan) +... i = el valor de para aquella parte del diagrama de bloques que no toca la k-ésima trayectoria directa Tabla 1. Fórmulas para sintonización por el método de ganancia última Ganancia Tiempo Tipo de controlador proporcional integral Proporcional P Ku/2.0 -Proporcional-Integral PI Ku/2.2 Tu/1.2 Proporcional-Integral-Derivativo Ku/1.7 Tu/2.0 PID 209 Tiempo derivativo --Tu/8.0 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Controladores Raíces en el plano complejo Controlador P Ganancia Gc s Kc 1 Gc s Kc 1 i s Gc s Kc 1 d s PI PD 1 Gc s Kc 1 d s i s PID Controladores PID Estructura ideal Gc s U s 1 Kc 1 d s E s i s donde: E(s)=R(s) - Y(s) R(s) es la transformada de Laplace de la referencia Y(s) es la transformada de Laplace de la variable de proceso controlada U(s) es la transformada de Laplace de la variable de manipulación Sintonización por criterios integrales para cambios en perturbación para un PID ideal Proporcional-Integral ISE IAE ITAE Kc 1.305 to K 210 0.959 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 0.984 to K 0.986 0.859 to Kc K 0.977 Kc 0.739 i to 0.492 0.707 to i 0.608 0.680 i to 0.674 Proporcional-Integral-Derivativo ISE IAE ITAE 1.495 to Kc K 0.945 1.435 to K 0.921 1.357 to Kc K 0.947 Kc to i 01.101 0.771 0.749 i to 0.878 211 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura 0.738 i to 0.842 1.006 t d 0.560 o 1.137 t d 0.482 o t d 0.381 o 0.995 donde: K = la ganancia del proceso de primer orden = constante de tiempo to = tiempo muerto Sintonización por criterios integrales para cambios en referencia para un PID ideal Proporcional-Integral IAE ITAE Proporcional-Integral-Derivativo IAE ITAE 212 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Comunicaciones Osciladores Oscilador controlado por voltaje Modo de carga Tiempo de carga en el capacitor f 1 C1 C vC 1 VH VL IQ IQ Modo de descarga f 2 C1 C C vC 1 VL VH 1 VH VL IQ IQ IQ T f 1 f 2 2C1 VH VL IQ La frecuencia de oscilación es: f0 IQ 1 T 2C1 VH VL IQ Gm vCN vCO donde: Gm = Transconductancia de la fuente de corriete, en A/V VCN = voltaje de control aplicado, en V VCO = voltaje constante KvF df0 Gm dvCN 2C1 VH VL 213 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Oscilador de corrimiento de fase La función de transferencia del oscilador es: s VF s Vo s R 3C 3s 3 R 3C 3s 3 6R 2C 2s 2 5RCs 1 La ganancia de voltaje de lazo cerrado es: A s Vo s VF s RF R1 La frecuencia de oscilación es: f0 1 2 6RC La resistencia de retroalimentación es: 5 RF R1 2 2 2 1 R C Osciladores de cuadratura La función de transferencia es: 1 1 s Cs Vo s R 1 1 RCs Cs Vf s La frecuencia de oscilación es: f0 1 2RC Af 1 2 La ganancia en lazo cerrado es: 214 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura El voltaje en la salida es: RVo1 1 RCs Vo Osciladores de Puente Wien La función de transferencia es: s VF s Vo s RCs R C s 3RCs 1 2 2 2 La ganancia en voltaje de lazo cerrado es: A s 1 RF R1 La frecuencia de oscilación es: f0 1 2RC La condición para la oscilación es: RF 2 R1 Oscilador Colpitts La ganancia de lazo cerrado es: 1 A 0 La frecuencia de oscilación es: 1 1 C1 C2 2 f0 2 C1C2L 215 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Oscilador de Harley La frecuencia de oscilación es: 1 2 1 1 f0 2 C L1 L2 Osciladores de cristal La impedancia del cristal esta dada por: Z s 1 s 2 s2 sCp s 2 2p La frecuencia de oscilación es: f0 1 2 LCs 555/556 (Multivibrador astable) donde: TA 0.693 Ra Rb C TB 0.693RbC La frecuencia con que la señal de salida oscila está dada por la fórmula: f0 1.44 Ra 2Rb C y el período es simplemente: T 1/ f0 216 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura 555/556 (monoestable) El tiempo o periodo es igual a: T 1.1RaC La especificación mínima de muestras por segundo de una tarjetaDAQ frecuencia mínima de muestreo = 2*fmax 217 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Modulación y demodulación AM-FM Modulación en amplitud Señal moduladora ys t As cos s t Señal portadora y p t Ap cos pt Señal modulada y t Ap 1 mAp xn t cos pt donde: y(t) = señal modulada xn(t) = señal moduladora normalizada con respecto a su amplitud = ys(t) / As m = índice de modulación (suele ser menor que la unidad)=As / Ap Índice de modulación en A.M. m E max E min E max E min donde: y(t) = señal modulada xn(t) = señal moduladora normalizada con respecto a su amplitud m = índice de modulación (suele ser menor que la unidad) 218 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Factor de modulación: mt m12 m22 m32 ... donde: mt = índice de modulación total m1, m2, m3= índice de modulación de las señales moduladoras Potencia total transmitida Pt Pc m2 m2 Pc Pc 4 4 donde: Pt = potencia total transmitida (W) Pc = potencia de portadora (W) m = índice de modulación La expresión matemática de la señal modulada en frecuencia está dada por: f v t Vpsen 2fpt cos 2fmt fm El índice de modulación es: m f fm donde: mf = índice de modulación Δf = variación de la frecuencia de la portadora Fm = frecuencia de la portadora Decibel P dB 10log10 1 P0 El decibel referenciado a 1 mW P1 P dBm 10log10 1 mW 219 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Densidad de flujo (W/m2) S dB W /m 2 10log 10 P1 2 1W / m Decibel referenciado a µV U U dBV 20log10 1 1 V Acoplamiento de impedancias Decibel en antenas dBi = Ganancia de una antena referenciada a una antena isotrópica dBd = Ganancia de una antena referenciada a una antena dipolo dBq = Ganancia de una antena referenciada a una antena de un cuarto longitud de onda Decibel en acústica dB(SPL) = Nivel de presión del sonido relativo a 20 µPa dB(PA) = dB relativo a un pascal dB SIL = intensidad de nivel de sonido referenciado a 10 E-12 W/m2 dB SWL = Nivel de potencia del sonido referenciado a 10E – 12W Oscilador de relajación UJT Vbb Re R2 Ve UJT Vb1 Ce R1 donde: Vp Vd Va Vd nVbb n R1 R 1 R1 R2 Rbb 220 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura T ReCe ln Re max 1 1 n Vbb Vp Ip Vbb Re minIv Vv Oscilador de relajación PUT Vbb Rb2 R Vo1 G Vo3 A PUT Vo2 C Rb1 K Rk donde: Vg VbbRb1 nVbb Rb1 Rb 2 Vak Vp Vd Vg 0.7 nVbb T RC ln 1 Rb1 Rb 2 Vbb Vp Rmax Ip Rmin Vbb Vv v 221 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Instrumentación Valor promedio Aprom área bajo la curva longitud del periodo Siendo Aprom el valor promedio de la onda T Aprom 1 f t dt T 0 El valor rms T Arms 2 1 f t dt T0 Señal senoidal Aprom 0 Arms A0 2 Rectificador de onda completa (señal senoidal) 2A0 Aprom A0 Arms 2 Arms Arms A0 3 Señal senoidal desplazada con CD Aprom A0 Señal cuadrada Aprom Rectificador de media onda (señal senoidal) A Aprom 0 A0 Arms 2 Señal triangular Aprom 0 A0 2 A0 Arms A02 2 Errores en medición Error absoluto = Resultado - Valor verdadero Error relativo = Error absoluto Valor verdadero 222 1 2 A1 2 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Puentes de Wheatstone Rx R2 R3 R1 Puente ligeramente desbalanceado RTH R1 R2 R3 Rx VTH V0 R3 R 2R3Rx R32 Rx2 Si las cuatro resistencias son iguales el puente esta en equilibrio por lo cual: RTH R VTH V0 223 R 4R Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Puente de Kelvin R5 R1 R6 R2 Ruido térmico o ruido de Jhonson En 4KTR fH fL donde: K = constante de Boltzman = 1.38E-23 J/K T = temperatura (K) R = Valor de la resistencia (Ω) fH = frecuencia máxima de operación (Hz) fL = frecuencia mínima de operación (Hz) Termopar La relación de temperatura voltaje es: V0 AT BT 2 224 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Características de los termopares Tipo B C E J K N R S Composición Platino 30% Rodio (+) Platino 6% Rodio (-) Tungsteno 5% Renio (+) Tungsteno 26% Renio (-) Cromel (+) Constantán (-) Hierro (+) Constantán (-) Cromel (+) Alumel (-) Nicrosil (+) Nisil (-) Platino 13% Rodio (+) Platino (-) Platino 10% Rodio (+) Aquí me quede Platino (-) Rango de medición continua (°C) Sensibilidad aprox. (μV/oC) 50 a 1800 10 Notas Fácilmente contaminado, requiere protección. 0 a 2300 Sin resistencia a la oxidación. Para usos en vacío, hidrógeno o atmósferas inertes. -40 a 800 68 No someterlo a la corrosión en temperaturas criogénicas. 55 Recomendado en ambientes reductores o secos. El cable de hierro se oxida en altas temperaturas, por lo que se usan calibresgruesos para compensar. 41 No recomendado en ambientes con presencia de azufre. Se usa en ambientes inertes o levemente oxidantes. 39 Mayor resistencia a la oxidación y al sulfuro que el tipo “K”; estable a alta temperatura. 0 a 1600 10 Recomendado en atmósferas oxidantes. Fácil de contaminarse, requiere protección. 0 a 1600 10 Patrón de laboratorio, altamente reproducible. Buena resistencia a -100 a 750 -180 a 1300 -270 a 1300 225 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Características de los termopares Tipo Rango de medición continua (°C) Composición Sensibilidad aprox. (μV/oC) Notas ambientes oxidantes, pobre resistencia a ambientes reductores. T Cobre (+) -185 a 400 Constantán (-) 43 El más estable en rangos de temperatura criogénica. Excelente en atmósferas reductoras y oxidantes dentro del rango de temperatura. Termistor El cambio de resistencia de los termistores en respuesta a cambios en la temperatura 1 3 A B ln R C ln R T donde: T = temperatura (K) R = resistencia del termistor (Ω) A,B,C = constantes del ajuste de curva La proximación de la resistencia se obtiene con: R R0 1 1 T T e 0 donde: R = resistencia a la temperatura T (K) R0 = resistencia a T0 (K) = constante del ajuste de curva 226 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Sensores Sensores resistivos Potenciómetros R l 1 l x A A donde: x = distancia recorrida desde un punto fijo = fracción de longitud correspondiente en un punto fijo = coeficiente de resistividad del material l = longitud del material A = sección transversal del material Galgas extensométricas Las galgas extensométricas se basan en la variación de la resistencia de un conductor o un semiconductor cuando es sometido a un esfuerzo mecánico. R l A Si se somete a un esfuerzo en la dirección longitudinal R cambia. dR d dl dA R l A El cambio de longitud que resulta se determina a través de la ley de Hooke F dl E E A l donde: E = módulo de Young = tensión mecánica = deformación unitaria 227 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Fotorresistencia Energía de la radiación óptica E hf donde: E = energía h = constante de Planck 6.62 x 10-34Ws2 f = frecuencia Para la longitud de onda de radiación hc E donde: c = velocidad de la luz h = constante de Plack E = 1.602E-19 J Sensores capacitivos Condensadores variables C 0 r A n 1 d donde: A = área de las placas d = distancia entre pares de placas r = constante dieléctrica relativa 0 = 8.85 pF/m Los sensores capacitivos no son lineales, su linealidad depende del parámetro que varía y del tipo de medición. En un condensador plano, si varía A o r por lo cual: C A d 1 donde: d x 228 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Condensador diferencial Vi V C1 A d1 x C2 A d2 x 1 di x 1 1 di x di x V Por lo cual, para el caso en que d1 y d2, se tiene: V1 V2 V Sensores inductivos La inductancia se expresa como: LN d di donde: N = número de vuelas del circuito I = corriente = flujo magnético El flujo magnético se obtiene con: M R 229 x d di x 2di Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura donde: M = fuerza electromotriz R = reluctancia Para una bobina de sección A y de longitud l, la reluctancia es: R 1 1 0 r A Sensores electromagnéticos Sensor basado en la ley de Faraday e N d dt Tacogeneradores La tensión inducida por el generador es: e NBA sentdt Si es constante e NBA cos t Sensores de velocidad lineal e Blv donde: L = longitud del conductor v = velocidad lineal 230 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Sensores de efecto Hall AH VH t IB Aportación de magnitud y fase para cada término de la función de transferencia K Magnitud logarítmica 20log K j 20log 90 1 j 20log 90 j 1 20log 1 j 1 20log Término Ángulo de fase Magnitud logarítmica Ángulo de fase 0 20log K Línea diagonal con pendiente 20 dB/dec que cruza el punto (w=1,db=0) Línea diagonal con pendiente –20 dB/dec que cruza el punto (w=1,db=0) 0 db, hasta la frecuencia de corte. 1 Pendiente 20 dB/dec a partir de 1 0 db, hasta la frecuencia de corte 1 0 1 tan 1 tan Pendiente - 20 dB/dec a 1 Línea horizontal 0 db hasta n 90 90 de 0 a 90 1 en 45 de 0 a 90 1 en 45 partir de 2 2n j 1 n 1 2 j 2 1 n n e j t0 40log n 2 n tan1 2 1 n 2 n 1 40log tan 2 n 1 n 57.3t0 0 231 Pendiente 40 dB/dec para n Línea horizontal 0 db hasta n Pendiente -40 dB/dec para n 0 de 0 a 180 en v 90 de 0 a 180 en v 90 57.3t0 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Transformada Z La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define: X z Z x n donde: n= un entero z= un número complejo 232 x n z n n Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Tablas adicionales de datos prácticos Sistema de unidades eléctricas. Fórmulas fundamentales en CD Magnitud Fórmulas más utilizadas para su cálculo Sistema MKSI Unidad Símbolo Ampere A CGSEM Unidad Símbolo Desplazamiento o inducción Cantidad de electricidad d.d.p. o tensión Resistencia Capacidad Campo eléctrico y gradiente de potencia Desplazamiento o inducción electrostática Inducción magnética Campo magnético I, i Q Coulomb Q Q=I·t U R C E Volt Ohm Farad V/m V Ω F -- V=R·I R=V/I C=Q/V E=F/Q D Q/m2 -- D=ϵ·E B Tesla W/m2 Gauss Gs H A/m -- Oersted Oe Permeabilidad Flujo magnético μ Φ -Weber -Wb Maxwell Mx Ampere At, A Gisbert Gb Henry At/Wb Candela Lumen lm/s Lux Stilb H Fuerza magnetomotriz .Inductancia Reluctancia Intensidad luminosa Flujo luminoso Cantidad de luz Iluminación Brillo L R I Φ Q E Cd lm -lx sb 233 I=V/R β=1.25 · N · I · μ/L (Gs) H=1.25 · N · I/L (Oe) μ=β/H Φ=1.25·N·I·μ·S/L (mx) ϵ=1.25 · N · I L=N·φ/108·I R=I/S·μ I=φ/ω Φ=Q/t -E=φ/S Sb=1 cd/1 cm2 1 nit= 1 cd/1 m2 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Resistividad y conductividad de conductores (a 20 °C) Material Acero dulce Aluminio Antimonio Cadmio Carbón Cobre (eléc.) Constantán Cromo-Ni-Fe Estaño Hierro fundido Hierro (puro) Grafito Latón Ms 58 mm m 0.1300 0.0278 0.4170 0.0760 40.000 0.0175 0.4800 0.1000 0.1200 1.0000 0.1000 8.0000 0.0590 2 1 Material 7.700 36.00 2.400 13.10 0.025 57.00 2.080 10.00 8.300 1.000 10.00 0.125 17.00 Latón Ms 63 Magnesio Manganina Mercurio Níquel Niquelina Oro Plata Plata alemana Platino Plomo Tungsteno Zinc mm2 m 0.0710 0.0435 0.4230 0.9410 0.0870 0.5000 0.0222 0.0160 0.3690 0.1110 0.2080 0.0590 0.0610 1 14.00 23.00 2.370 1.063 11.50 2.000 45.00 62.50 2.710 9.000 4.800 17.00 16.50 Resistividad de aislantes Material Aceite de parafina Agua de mar Agua destilada Ámbar comprimido Baquelita Caucho (hule) duro Mármol cm 1018 106 107 1018 1014 1018 1010 Material Mica Parafina (pura) Plexiglás Poliestireno Porcelana Tierra húmeda Vidrio cm 1017 1018 1015 1018 1014 108 1015 Coeficiente térmico de resistencia 20 (a 20 °C) Material Acero dulce Aluminio Carbón Cobre Constantán Estaño Grafito Latón C 1, K 1 + 0.00660 + 0.00390 -0.00030 +0.00380 -0.00003 + 0.00420 -0.00020 + 0.00150 Material Manganina Mercurio Níquel Niquelina Plata Plata alemana Platino Zinc 234 C 1, K 1 +/- 0.00001 + 0.00090 + 0.00400 + 0.00023 + 0.00377 + 0.00070 + 0.00390 + 0.00370 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Constante dieléctrica r r 3 2.2 4.7 Material aislante Aceite de oliva Aceite de parafina Aceite de ricino Aceite mineral para transformadores Aceite vegetal para transformadores Agua Aire Aislamiento para cable alta tensión Aislamiento para cable telefónico Araldita Baquelita Cartón comprimido Material aislante r 4 2.5 2.5 Papel Kraft Papel pescado Parafina r 4.5 4 2.2 4.5 Petróleo 2.2 4 Material aislante 2.2 Caucho (hule) duro Caucho (hule) suave Compuesto (compound) Cuarzo 2.5 Ebonita 2.5 Pizarra 80 1 4.2 Esteatita Fibra vulcanizada Gutapercha 6 2.5 4 Plexiglás Poliamida Poliestireno 3.2 5 3 1.5 Laca (Shellac) 3.5 Porcelana 4.4 3.6 3.6 4 Mármol Mica Micanita Papel 8 6 5 2.3 Resina fenólica Teflón Tela Trementina (aguarrás) Vidrio 8 2 4 2.2 Papel impregnado 5 5 Serie de potenciales electroquímicos Diferencia de potencial referida a electrodo de hidrógeno Material Aluminio Berilio Cadmio Calcio Cobalto Cobre Cromo Estaño Volts -1.66 -1.85 -0.40 -2.87 -0.28 +0.34 -0.74 -0.14 Material Hidrógeno Hierro Magnesio Manganeso Mercurio Níquel Oro Plata Volts 0.00 -0.41 -2.37 -1.19 +0.85 -0.23 +1.50 +0.80 Material Platino Plomo Potasio Sodio Tungsteno Zinc Volts +1.20 -0.13 -2.93 -2.71 -0.58 -0.76 Números estandarizados mediante una razón progresiva Serie E 6 6 10 1.0 1.5 2.2 3.3 4.7 6.8 Serie E 12 12 10 1.0 2.2 4.7 1.2 2.7 5.6 1.5 3.3 6.8 235 Serie E 24 24 10 1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura 10 22 etc. 47 1.8 3.9 8.2 10 22 etc. 47 1.8 2.0 10 3.9 4.3 22 8.2 9.1 47 etc. Intensidad de campo h y permeabilidad relativa r en función de la inducción magnética b deseada Inducción o densidad de flujo B Tesla Gauss(Gs) (T=Vs/m2) 0.1 1 000 0.2 2 000 0.3 3 000 0.4 4 000 0.5 5 000 0.6 6 000 0.7 7 000 0.8 8 000 0.9 9 000 1.0 10 000 1.1 11 000 1.2 12 000 1.3 13 000 1.4 14 000 1.6 16 000 1.7 17 000 1.8 18 000 1.9 19 000 2.0 20 000 2.1 21 000 2.2 22 000 2.3 23 000 Hierro fundido H r A/m 440 740 980 1 250 1 650 2 100 3 600 5 300 7 400 10 300 14 000 19 500 29 000 42 000 Acero fundido y lámina tipo “dynamo” W Fe10 3.6 kg r H A/m 181 215 243 254 241 227 154 120 97 77 63 49 36 26 30 60 80 100 120 140 170 190 230 295 370 520 750 1 250 3 500 7 900 12 000 19 100 30 500 50 700 130 000 218 000 236 Lámina de acero aleado W Fe10 1.3 kg H r A/m 2 650 2 650 2 980 4 180 3 310 3 410 3 280 3 350 3 110 2 690 2 360 1 830 1 380 890 363 171 119 79 52 33 13 4 8.5 25 40 65 90 125 170 220 280 355 460 660 820 2 250 8 500 13 100 21 500 39 000 115 000 9 390 6 350 5 970 4 900 4 420 3 810 3 280 2 900 2 550 2 240 1 900 1 445 1260 495 150 103 67 39 14 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura Valores para lámina tipo “dynamo” (de la norma din 46 400) Clase Tipo Tamaño mm x mm Espesor, mm Densidad, kg/dm3 Valor máximo Fe10 de las pérdidas, Fe10 W/kg Tesla B25 Gauss Tesla Valor B50 Gauss mínimo de la Tesla B100 inducción Gauss Tesla B300 Gauss Lámina normal I 3.6 Lámina de aleación Mediana Alta III 2.3 IV 1.5 IV 1.3 Baja II 3.0 1 000 x 2 000 750 x 1 500 0.5 0.35 7.8 3.6 7.75 3.0 7.65 2.3 7.6 1.5 1.3 8.6 7.2 5.6 3.7 3.3 1.53 15 300 1.63 16 300 1.73 17 300 1.98 19 800 1.50 15 300 1.60 16 000 1.71 17 100 1.95 19 500 1.47 14 700 1.57 15 700 1.69 16 900 1.93 19 300 1.43 14 300 1.55 15 500 1.65 16 500 1.85 18 500 Explicaciones: B25 = 1.53 tesla significa que una inducción o densidad de flujo mínima de 1.53 T se alcanzará con una intensidad de campo de 25 A/cm. Para una línea de flujo de, p. ej., 5 cm, se necesitarán: 5 x 25 = 125 A. Fe10 Fe15 Pérdidas magnéticas por unidad de masa con las inducciones de: 10 000 Gs = 1.0 tesla 15 000 Gs = 1.5 tesla Los valores corresponden a las siguientes condiciones: Densidad a t=15 °C Temperaturas (o puntos) de fusión y de ebullición para = 1.0132 bar = 760 Torr Los valores entre paréntesis indican sublimación, o sea, cambio directo del estado sólido al gaseoso. Conductividad térmica a 20 °C Capacidad térmica específica (o calor específico) para el intervalo de temperaturas 0 < t < 100 °C Puntos de Sustancia Densidad Fusión (soldf.) Ebullición Aceite de colza Aceite de linaza Aceite para calefacción kg/dm3 0.91(3) 0.94(3) 0.92(3) °C -3.5 -20 -5 °C 300 316 175-350 237 Conductividad térmica k W/(mK)(1) 0.17 0.15 0.12 Calor específico c kJ/(kgK)(2) 1.97 Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Aceite para máquinas Aceite para transformadores Acero Acero colado Acero dulce Acero de alta velocidad Acetona Ácido acético Ácido cianhídrico Ácido clorhídrico 10% Ácido clorhídrico 40% Ácido fluorhídrico Ácido nítrico Ácido sulfúrico Ácido sulfúrico 50% Ácido sulfúrico concentrado Ágata Agua Alcohol Alcohol etílico 95% Alcohol metílico 0.91 -5 380-400 0.126 1.67 0.87 -5 170 0.15 1.84 7.85 7.8 7.85 8.4-9.0 0.79(3) 1.08 0.7 1.05 1.20 0.99 1.56(4) 1.49(5) 1.40 ~1 350 ~1 350 ~1 400 ~1 650 2 500 47-58 52.3 46.5 25.6 0.46 0.502 0.461 0.498 0.50 3.14 16.8 -15 -14 2 500 2 600 56.1 118 27 102 -92.5 -1.3 -73 19.5 86 -10 0.53 2.72 1.34 1.84 10-0 338 0.5 1.38 ~2.6 1.0(6) 0.79 0.82(3) 0.8 ~1 600 0 -130 -90 -98 ~2 600 100 78.4 78 66 11.20 0.58 0.17-0.23 0.16 0.80 4.183 2.42 238 2.51 Ceneval, A.C. Camino al Desierto de los Leones (Altavista) 19, Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01000, México, CDMX www.ceneval.edu.mx El Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior es una asociación civil sin fines de lucro que quedó formalmente constituida el 28 de abril de 1994, como consta en la escritura pública número 87036 pasada ante la fe del notario 49 de la Ciudad de México. Sus órganos de gobierno son la Asamblea General, el Consejo Directivo y la Dirección General. Su máxima autoridad es la Asamblea General, cuya integración se presenta a continuación, según el sector al que pertenecen los asociados, así como los porcentajes que les corresponden en la toma de decisiones: Asociaciones e instituciones educativas (40%): Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior, A.C. (ANUIES); Federación de Instituciones Mexicanas Particulares de Educación Superior, A.C. (FIMPES); Instituto Politécnico Nacional (IPN); Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM); Universidad Autónoma del Estado de México (UAEM); Universidad Autónoma de San Luis Potosí (UASLP); Universidad Autónoma de Yucatán (UADY); Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM); Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla (UPAEP); Universidad Tecnológica de México (UNITEC). Asociaciones y colegios de profesionales (20%): Barra Mexicana Colegio de Abogados, A.C.; Colegio Nacional de Actuarios, A.C.; Colegio Nacional de Psicólogos, A.C.; Federación de Colegios y Asociaciones de Médicos Veterinarios y Zootecnistas de México, A.C.; Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A.C. Organizaciones productivas y sociales (20%): Academia de Ingeniería, A.C.; Academia Mexicana de Ciencias, A.C.; Academia Nacional de Medicina, A.C.; Fundación ICA, A.C. Autoridades educativas gubernamentales (20%): Secretaría de Educación Pública. • Ceneval, A.C.®, EXANI-I®, EXANI-II® son marcas registradas ante la Secretaría de Comercio y Fomento Industrial con el número 478968 del 29 de julio de 1994. EGEL®, con el número 628837 del 1 de julio de 1999, y EXANI-III®, con el número 628839 del 1 de julio de 1999. • Inscrito en el Registro Nacional de Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología con el número 506 desde el 10 de marzo de 1995. • Organismo Certificador acreditado por el Consejo de Normalización y Certificación de Competencia Laboral (CONOCER) (1998). • Miembro de la International Association for Educational Assessment. • Miembro de la European Association of Institutional Research. • Miembro del Consortium for North American Higher Education Collaboration. • Miembro del Institutional Management for Higher Education de la OCDE. Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) Dirección del Programa de Evaluación de Egreso (EGEL) Diseño, Ingenierías y Arquitectura Dirección del Área de los EGEL ENERO • 2017 240
![b) Áreas básicas[1]](http://s1.aprenderly.com/store/data/000011425_1-37af52cad5e25a1cd29dc5e9de078814-150x150.png)
