Download Algunas propiedades de los números reales

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología
Matemática –1º Cuatrimestre Año 2013
Prof. María Elena Ruiz
Algunas propiedades
de los Números reales
(Este material tiene como objeto presentar una selección de conceptos correspondientes a la Unidad 1,
para brindarle al alumno la posibilidad de revisar definiciones, propiedades, etc. de números racionales
e irracionales. También abordamos aquí cuestiones relacionadas con las propiedades de la potencia y
radicación, la notación científica y el valor absoluto de un número).
Números reales (R)
El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los números racionales e
irracionales.
Números racionales (Q)
Dados dos números enteros cualesquiera, a y b, con b ≠0, el cociente entre a y b,
racional.
a
, es un número
b
Operaciones:
a c a.d  b.c
 
b d
b.d
1- Todo número racional
a c a.c
 
b d b.d
a c
a.d
 
b d
b.c
a
se puede expresar en forma decimal de la siguiente manera:
b
-
Como una expresión decimal finita si al dividir a por b se llega a un resto cero. Por ejemplo:
1
3
1
 0,2 ;  0,375 ;  0,5
8
5
2
-
Como una expresión decimal periódica si al dividir a por b no se obtiene nunca un resto cero, pues
los sucesivos restos son todos menores que b, llega un momento en que uno se repite y a partir
de él se repiten las cifras del cociente.
Por ejemplo:

4
1
1,333... 1,3 ;  0,142857142857...  0,142857
3
7
Son entonces números racionales: 2;
1
3
3
 0,5 ;
  0,75 ;
 1,5 ;
2
4
2

2
 0,2 ;
9
2- Un número racional se puede expresar como cociente de distintos pares de números enteros de tal
manera que:
a c
  a.d  b.c siendo a, b, c, d  Z y b  0 y d  0
b d
1
Ejemplo:
1 2
7
 
2 4 14
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Números irracionales (I)
Existen números tales como 2 , 3,  , e que no pueden expresarse como cociente entre dos
números enteros. A dichos números se los denomina “números irracionales”.
Todo número real puede expresarse en forma decimal:
a)
Si el número real es racional, su expresión decimal tiene un número finito de cifras
decimales o tiene infinitas cifras decimales periódicas.
b)
Si el número real es irracional, su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales
no periódicas.
Expresión aproximada de un número real
En algunos casos, al operar con números que tienen expresiones decimales infinitas, se utilizan
aproximaciones de los mismos.
Por ejemplo, al utilizar el número π=3,14159265…, se pueden considerar aproximaciones al
diezmilésimo, es decir con cuatro cifras decimales, por truncamiento o por redondeo.
Aproximaciones por truncamiento: se eliminan todas las cifras decimales a partir de la
quinta, y se obtiene así: π=3,1415.
Aproximaciones por redondeo: se eliminan todas las cifras a partir de la quinta, pero como
la sexta cifra es 9 y 9 es mayor que 5, se aumenta en una unidad a la última cifra conservada: 5+1=6;
luego se obtiene π=3,1416.
Conclusión:
Aproximación por truncamiento: a una cifra determinada consiste en eliminar las cifras que le
siguen.
Aproximación por redondeo:
 Consiste en aumentar en una unidad la última cifra conservada, si la primera cifra a
eliminar es igual o mayor que 5.
 Consiste en truncar directamente el número a la cantidad de cifras deseadas, si la
primera cifra eliminada es menor que 5.
Potenciación
Para un número real a y n un número natural, se define la potencia n-ésima de a que indicaremos an como
sigue:
an = a.a.a.a...a , n factores, donde “a” es la base y “n” el exponente de la potencia.
La definición se extiende a exponente entero de la siguiente forma:
a 0  1 si a  0

 n
n 1
 a  a  si a R , a  0 , n  Z , n  0
Se verifica además que: ( a -1)n = ( a n) -1 con n  N
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Ejemplos 2-3 = ( 23)-1 =
1
8
1
2
1
 1  2 
1
1
          16
4
16 
 4  
Observación 0 n = 0 si n  0 pues 00 no está definido.
Propiedades:
Distributiva respecto del producto:
(a . b)n = an.bn
n
n
a  a
Distributiva respecto del cociente:    n
b  b
, b0
Producto de potencias de igual base: an. am = an + m
a n n m
Cociente de potencias de igual base: m  a
, a0
a
 
Potencia de potencia: a
n m
 a n .m
Observación: La potencia no es distributiva respecto de la suma ni de la resta:
En general: a  b   a  b
n
n
 a,bR
n
Ejemplos
a) 32. 33 = 3 2+3 = 3 5 = 243
b)
7 5 53
 7  7 2  49
3
7
c) ( 23 )2 = 26 = 64
Radicación
Sea a un número real y n un natural, n >1.
Si a  0, entonces n a es el número positivo b tal que bn  a
n
0 0
Si a  0 y n es impar, entonces
n
a es el número negativo b tal que bn  a
Si a  0 y n es par, entonces n a no es un número real
Simbólicamente:
n
a  b  bn = a , n  N
donde n es el índice, a el radicando, b la raíz, y
el signo radical.
2
Si n = 2
a a
Si n = 1, de acuerdo con la definición, el radicando coincide con la raíz, por lo tanto sólo nos
referiremos a radicales de índice n  1.
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Las raíces de índice 2 se llaman cuadradas, las de índice 3 cúbicas, las de índice 4 cuartas, etc.
Ejemplos
3
-8   2
2,
3,
16  4
(-2)3 = -8
pues
, e
pues
pues
42 =16
23 = 8
Surge ahora la siguiente pregunta: ¿Es siempre posible la radicación en R?
La respuesta es que no y lo veremos mediante un ejemplo:
Para calcular
- 16 debemos encontrar un número real que elevado al cuadrado de –16. Pero no existe
ningún número real que elevado al cuadrado de un número negativo, por lo tanto - 16 no tiene
solución en R.
Esto nos lleva a la siguiente conclusión: “Toda raíz de índice par y radicando negativo no tiene
solución en R. En otras palabras la radicación no es cerrada en R”.
Observación
1) Si n es un número natural impar, siempre se puede calcular
2) Si n es un número natural par se puede calcular
n
a.
a siempre que a  0.
n
Propiedades
Distributiva respecto del producto:
Distributiva respecto del cociente:
Raíz de raíz :
n a .b n a .n b
n a :b n a : n b
n m a n .m a
Observación La radicación no es distributiva respecto de la suma o la resta, es decir:
n a b  n a  n b
n a b  n a  n b
Potenciación de exponente racional:
Dado a  R, p, q  Z, q  0 diremos que a p/q =
Ejemplos:
43/2 = 2 4 3 = 8
161/2 = 16 = 4
16-1/2 = (161/2)-1 = ( 16 )-1 =
1
4
4
q
ap
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Notación científica
En matemáticas y ciencias, a menudo debemos utilizar números muy grandes o muy pequeños, cuya
expresión tendría muchos dígitos. Esto podría ocasionar algunos problemas, como por ejemplo
introducirlos en las calculadoras, operar con ellos, la posibilidad de determinar el orden de magnitud,
etc. Para evitar estos problemas, conviene expresar estos números en notación científica.
 Un número escrito en notación científica está expresado como el producto de un
número decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, y una potencia de diez.
Por ejemplo:
1. La edad del universo se calcula en 15.000.000.000 = 1,5 x 1010 años
2. El diámetro del electrón es aproximadamente 0,0000000000010mm=10-13mm
¿Cómo expresar un número en notación científica?
Se escribe al número de forma decimal tal que la parte entera conste de un solo dígito distinto de cero.
Como exponente de la potencia 10, se escribe el número que corresponde a la cantidad de lugares que
he corrido la coma para obtener el decimal.
Si para obtener el decimal he corrido la coma a la izquierda el exponente es positivo
Si para obtener el decimal he corrido la coma a la derecha el exponente es negativo
Ejemplos:
- Poner en notación científica el número 3897000000000000
Forma decimal: 3,897
Exponente de la potencia de diez: +15
El número en notación científica sería: 3,897 x 1015
- Poner en notación científica el número 0,000000000003897
Forma decimal: 3,897
Exponente de la potencia de diez: -12
El número en notación científica sería: 3,897 x 10-12
¿Cómo pasar de la notación científica a la escritura del número?
De la parte decimal se corre la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente positivo
de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros.
Si el exponente de la potencia de diez negativo se corre la coma hacia la izquierda tantos lugares como
indica el valor absoluto del exponente.
Ejemplos:
- ¿Qué número representa 4,567 x 1012?
Ponemos 4,567
Corremos la coma hacia la derecha 12 lugares
El número que queda es: 4567000000000
¿Qué número representa 4,567 x 10-12?
Ponemos 4,567
Movemos la coma hacia la izquierda 12 lugares
El número que queda es: 0,000000000004567
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Valor absoluto de un número real
El valor absoluto de un número se define como el número no negativo, que notamos a que está
determinado por:
si a  0
a
a 
 a si a  0
El valor absoluto es siempre un valor positivo
Ejemplos: -3 = -(-3) = 3; 4  = 4; -18 = 18
Interpretación gráfica de la noción de valor absoluto
El concepto de valor absoluto se puede relacionar con la noción de distancia diciendo que el valor
absoluto de un número es la distancia de ese número al cero, en la recta numérica. Lo notamos:
x = d(x, 0)
Ejemplos:
1) x = 3
Serían aquellos x cuya distancia a cero es 3 es decir x1 = 3 y x2 = -3
-3
0
3
2) x  < 2, indica el conjunto de los números reales cuya distancia al cero es menor que 2.
Gráficamente
(
)
-2
0
2
Son los x  (-2, 2)
3) x  3, indica el conjunto de los números reales que están a una distancia al cero mayor o
igual que 3. Gráficamente:
]
-3
0
Son los x  (-,-3]  [3, +)
[
3
Para la elaboración de este texto se utilizaron los siguientes materiales:
 Detzel, P. y Ruiz, María Elena (2009). Ficha teórica de la cátedra Instrumentos cuantitativos
de la carrera Licenciatura Comercio Exterior, UNRN.
 Suhit, G. (2002) Seminario de ingreso Matemática. UTN Regional Bahía Blanca.
 Agrasar, M. y otros. (2003). Matemática 9: Anexo teórico. Ed. Longeseller. Bs. As.
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