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99
Ley de los senos
Ley de los senos
¡Empecemos!
En el semestre anterior estudiaste las razones trigonométricas para resolver triángulos con
un ángulo de 90º. Sin embargo, no todas las situaciones de
nuestro entorno pueden representarse a través de triángulos
rectángulos, naturalmente esto
lleva a preguntarnos cómo resolver triángulos que no tienen
un ángulo de 90º, triángulos
oblicuángulos. En esta sesión, para resolver tales triángulos aplicaremos la
Ley de los senos y la de los cosenos (ésta última la abordaremos en la semana
siguiente). ¡Anímate a seguir profundizando en el estudio de los triángulos!
¿Qué sabes de...?
Para avanzar satisfactoriamente en este tema responde: ¿qué son ángulos
complementarios? ¿Qué son ángulos suplementarios?
Traza todas las alturas del siguiente triángulo.
B
a
c
A
b
C
El reto es...
La estación guardacostas Ribas está situada a 240km al sur de la estación
Miranda. Un barco envía una llamada SOS de auxilio que es recibida por ambas estaciones. La llamada a la estación Ribas indica que el barco se localiza a
35º al noreste; la llamada a la estación Miranda indica que el barco está a 30º
al sureste.
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Semana 9
Ley de los senos
Vamos al grano
Los triángulos oblicuángulos son aquellos que no tienen un ángulo recto.
Todo triangulo oblicuángulo es, o bien acutángulo (todos sus ángulos están
comprendidos entre 0º y 90º) u obtusángulo (un ángulo 90°<θ<180°).
Resolver un triángulo significa hallar la longitud de sus lados y la medida
de sus ángulos. Necesitas conocer la longitud de un lado con otros dos elementos, así es posible conocer el resto de las cantidades del triángulo. Hay 4
posibilidades por considerar:
Caso 1. Se conoce un lado y dos án- Caso 2. Se conocen dos lados y el ángulos (LAA o ALA).
gulo opuesto a uno de ellos (LLA)
Caso 3. Se conocen dos lados y el án- Caso 4. Se conocen los tres lados
gulo comprendido entre ellos (LAL). (LLL).
Ley de los senos
Vamos a demostrar la Ley de los senos mediante las propiedades de los
triángulos rectángulos estudiados en el semestre anterior. Trazamos la altura
h desde uno de los vértices del triángulo. Usando las razones trigonométricas
del seno en cualquiera de los triángulos obtenemos:
C
γ
a
h
b
m
β
α
A
b
c
a
γ
α
B A
a) Triángulo acutángulo
h
m
180°-γ
C
β
c
B
b) Triángulo obtusángulo
Figura 14
senα=
h
h
y senβ=
b
a
Despejando h de ambas igualdades se obtiene:
senα =
senβ
(1)
a
b
Se utiliza el hecho de
que sen(180 -x)=sen x
De manera similar se procede en el segundo triangulo:
h=b·senα y h=a·senβ, entonces b·senα= a·senβ y
m
senα= m y senγ=(180°-γ)=
a
c
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Semana 9
Ley de los senos
Por consiguiente, m=c·senα y m=a·senγ
Al igualar ambas expresiones: c·senα=a·senγ y senα
senγ
=
(2)
a
c
Al combinar las ecuaciones 1 y 2 obtenemos la Ley de los senos.
Para un triángulo con lados a, b y c y ángulos opuestos α, β y γ, respectivamente se tiene:
senα = senβ = senγ
b
a
c
La Ley de los senos expresa que la razón entre el seno del ángulo
opuesto a cada lado y la longitud de éste es constante.
La Ley de los senos se aplica a los casos 1 y 2 mencionados anteriormente.
Veamos a través de ejemplos cada uno de los casos.
Caso 1. Conociendo dos ángulos y un lado (ALA)
El triángulo que se forma en el problema propuesto en la sección “El reto es”
nos da información de dos ángulos y un lado. Tenemos que usar la Ley de los
senos para resolver el triángulo. Para dar respuesta a la situación planteada
tendrías que ver cuál es la menor distancia, si la longitud a: distancia estación
Miranda-barco o longitud b: distancia estación Ribas-barco.
En el triángulo que se obtiene del problema puedes notar que los ángulos
dados son exteriores al triangulo. Necesitamos conocer la medida de los ángulos interiores ¿cómo hallarlos? ¡Exacto! En la figura 15 aprecias que ambos
ángulos son complementarios, es decir, suman 90º.
B
β =60°
a
γ =65°
c=240 km
α =55°
212
A
Figura 15
b
C
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Ley de los senos
El ángulo γ es muy fácil de encontrar, porque los ángulos internos de un
triángulo suman 180º. Luego γ=180°-60°-55°=65°
Usamos la Ley de los senos para hallar las distancias a y b:
sen55° sen55°
=
a
150
150sen55°
a= sen65°
sen60° sen65°
=
b
150
b=
150sen60°
sen65°
122.87
a=
sen65°
=135.6 m
129.9
sen65°
=143.3 m
b=
La estación Miranda está más próxima al lugar donde se encuentra el barco,
por tanto el helicóptero deberá salir de esa estación. Ahora bien, empleando
tus conocimientos acerca del movimiento rectilíneo uniforme puedes hallar
el tiempo requerido para que el helicóptero llegue al barco.
Caso 2. Conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Un avión vuela desde la ciudad A hasta la ciudad B, que está a 200km de distancia, luego cambia su rumbo a 40º y se dirige a la ciudad C, como se observa
en la figura 16. Anímate a realizar el ejercicio.
a) Si la distancia entre A y C es de 450km, ¿qué distancia hay entre las ciudades B y C?
b) ¿Qué ángulo debe girar el piloto en C para volver a la ciudad A?
C
γ
b=450 km
β =140°
α
c=200 km
A
B
Figura 16
El ángulo interior y externo en B suma 180º por ser ángulos adyacentes, así
que el ángulo interior en B es 140º, este ángulo se opone al lado b de 450km.
Aplicamos la Ley de los senos para determinar el ángulo γ a.
sen140°
=
450
senγ
200
senγ =
200sen140° 4sen140°
=
=0.29
450
9
γ= sen-1 0.29=16.9°
Conociendo los ángulos β y γ, puedes determinar la medida del ángulo α
El tercer lado (la distancia de B a C), puede determinarse empleado nuevamente la Ley de los senos:
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sen140° sen21.26
=
450
a
450sen23.1°
a= =274.7km
sen140
De acuerdo a la ilustración, el piloto tendría que girar desde C con un ángulo
de 180º-16.9º=163.1º (ver figura 17).
C
γ=16.9°
β =140°
α = 23.1°
A
B
Figura 17
Para saber más…
Consulta la siguiente dirección web: http://goo.gl/6F4TA para profundizar sobre la Ley de los senos.
Aplica tus saberes
Reforcemos con otra situación…
Dos observadores miden simultáneamente el ángulo de elevación
de un helicóptero. Un ángulo resulta
ser de 25º y el otro de 45º, respectivamente. Si los observadores están
a 160km el uno del otro y el helicóptero se encuentra sobre la línea
que los une, ¿qué tan alto vuela el
helicóptero?
En esta situación sería conveniente
trabajar con los dos triangulos que
se obtienen al trazar la altura, aplicar
la Ley de los senos y posteriormente
igualar la longitud h de la dos ecuaciones que resultan.
C
γ=115°
α =25°
A
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25°
300 m
40°
h
β =40°
B
c=300 m
Tambien puedes realizarlo aplicando
la razón trigonometrica tan θ. Hazlo y
compara los resultados con tus compañeros del CCA.
300-x
x
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Comprobemos y demostremos que…
Las estrategias de evaluación esta semana consistirán en la resolución de
problemas, la participación en el CCA y la autoevaluación.
En el CCA, en pequeños grupos, realizarán los ejercicios y problemas propuestos; luego, entréguenlos al facilitador.
1. En los siguientes ejercicios resuelve cada triángulo:
a) α=40°, β=20°, a=2
b) α=110°, γ=30°, c=3
c) β=70°, γ=10°, b=5
d) a=2, c=1, γ=25°
e) b=4, c=6, β=20°
f ) a=3, b=7, α=70°
2. Resuelve los siguientes problemas:
a) Una avioneta al realizar su recorrido se encuentra con una fuerte tormenta, por lo que debe cambiar su curso. Gira 25º hacia
el norte y vuela 89km. Luego hace otro giro de 115º y se dirige
hacia el curso original. Halla la distancia que recorrió de más la
avioneta para evitar la tormenta, encuentra además el ángulo
que debe girar para regresar al curso original (ver figura 18).
89 km
115°
25°
Figura 18
b) Para encontrar la distancia de la casa A a la casa B, un topógrafo
determina que el ángulo BAC es de 40º; luego camina una distancia de 100 pies y determina que el ángulo ACB es de 50. ¿Cuál
es la distancia de A a B? (ver figura 19).
Figura 19
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c) El teleférico transporta pasajeros desde el punto A que está a una
distancia de 650m del punto B, que se halla en la base de un cerro, hasta un punto P situado en la cima del cerro. Los ángulos de
elevación de P desde A y B son 21º y 65º respectivamente. Halla
la distancia entre A y P y calcula la altura del cerro.
Figura 20
Autoevaluación
¿Qué dudas fueron aclaradas a través del video, propuesto en la sección
“Para saber más”? ¿Qué acciones he realizado para comprender la temática?
¿Cuáles son las dificultades que se han presentado para la solución de los problemas? ¿En qué debo seguir mejorando en la resolución de problemas donde se aplique la Ley de los senos?
En momentos de crisis, solo la imaginación es más importante
que el conocimiento. Albert Einstein
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